专题02认识概率期末复习讲义(9大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题02认识概率期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.区分必然事件、不可能事件、随机事件，理解三类事件的定义与特点。 2.掌握概率的基本含义，明确概率的取值范围。 3.学会用 ** 列举法（列表、画树状图）** 求简单随机事件的概率。 4.理解频率与概率的联系与区别，知道用频率估计概率的原理。 1.能结合生活实例，准确判断事件类型。 2.熟练运用列表法、树状图分析所有等可能结果，规范计算概率。 3.能根据试验频率变化趋势，估计事件发生的概率。 4.会利用概率知识解释生活现象、判断游戏规则是否公平。 1.基础题：快速完成事件判断、概率取值类选择填空题，杜绝概念错误。 2.计算题：规范使用列表、树状图解题，保证概率计算准确、步骤完整。 3.应用题：能判断游戏公平性，并根据要求修改规则。 4.规避易错点：列举结果时有遗漏、混淆频率与概率、判断事件类型出错。 题型01.事件的分类 题型02.判断事件发生可能性大小 题型03.实验结果的等可能性判断 题型04.概率的意义 题型05.概率大小比较 题型06.求某事件的频率 题型07.频率与概率的关系 题型08.由频率估计概率 题型09.频率估计概率的综合应用 解答题5题 知识点01:事件的分类 1. 三类基本事件 事件类型 定义 概率取值 举例 必然事件 在一定条件下，一定发生的事件 P=1 太阳从东方升起；实数绝对值非负 不可能事件 在一定条件下，一定不发生的事件 P=0 水中捞月；掷骰子点数大于 6 随机事件（不确定事件） 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 0<P<1 掷硬币正面朝上；抽奖中奖 补充说明 (1)必然事件和不可能事件统称为确定事件； (2)生活中绝大多数现象都属于随机事件。 知识点02:概率的基本概念 1.定义 一个随机事件发生的可能性大小，称为这个事件的概率，记作P。 2.概率取值范围 任意事件的概率：0 P l 必然事件：P=1 不可能事件：P=0 随机事件：0<P<1 等可能试验特征① 试验结果有限；② 每种结果出现的可能性大小相等。 知识点03:简单随机事件概率计算（核心考点） 1. 通用计算公式 若一次试验共有n种等可能的结果，事件A包含其中m种结果，则： P(A)=： n所有等可能结果总数；m：事件A包含的结果数mn 2. 常用列举方法（解答题必考） 方法 适用场景 解题要点 直接列举法 结果数量少（3 种及以内） 逐一写出所有可能结果，数清\(m、n\) 列表法 两步试验、结果较多 行列分别表示两步试验，不重不漏 树状图法 两步及以上试验 分层梳理所有结果，多步试验首选 解题规范要求 先说明 “所有等可能结果” 总数； 再找出目标事件包含的结果数； 代入公式计算概率，书写格式统一。 知识点04:频率与概率 1. 概念区分 类别 频率 概率 本质 试验中事件实际出现的次数与总试验次数的比值 事件本身固有的发生可能性大小 特点 随试验次数变化，具有波动性 固定不变的常数，客观存在 关系 试验次数较少时，频率与概率偏差较大；试验次数越多，频率越稳定在概率附近 随机事件的理论值 2. 用频率估计概率 当重复试验次数足够大时，可以用事件发生的频率作为事件发生概率的估计值。公式：频率= 知识点05:概率的实际应用 1. 判断游戏公平性 判断标准：参与游戏的各方，获胜概率相等则游戏公平；概率不相等则游戏不公平 解题步骤： (1)分别计算各方获胜的概率； (2)比较概率大小，做出判断； (3)若不公平，可修改规则使双方概率相等。 2. 简单预估 已知概率和总数量，估算事件发生数量： 预估数量= 总数量对应概率 知识点06:高频易错点（课堂重点强调） 易错类型 常见错误 正确做法 事件判断失误 混淆随机事件、必然事件、不可能事件 结合实际，判断 “一定发生、一定不发生、可能发生” 结果列举不全 列表 / 画树状图漏解、重复计数 按顺序列举，保证所有结果不重、不漏 频率与概率混淆 认为频率就是概率 频率随试验改变，概率是定值；仅试验次数极大时，频率近似概率 公平性判断错误 只看次数多少，不计算概率 严格对比双方获胜概率，概率相等才公平 公式套用错误 分子分母写反 牢记：概率 = 目标结果数 ÷ 全部等可能结果数 题型01.事件的分类 1．“若是有理数，则”是______事件． 【答案】必然 【分析】先根据绝对值的性质判断命题的真假，再结合事件的分类定义判断事件类型． 【详解】解：根据绝对值的性质可知：对任意有理数，都有恒成立，即该事件一定发生，根据定义，在一定条件下必然发生的事件称为必然事件，因此该事件是必然事件． 2．有两个事件，事件（1）：购买1张福利彩票中奖；事件（2）：掷一枚六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6的骰子，向上一面的点数大于6．下列判断正确的是（     ） A．（1）（2）都是随机事件 B．（1）（2）都是不可能事件 C．（1）是随机事件，（2）是不可能事件 D．（1）是随机事件，（2）是必然事件 【答案】C 【分析】根据随机事件、不可能事件的概念判断两个事件即可，随机事件指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，不可能事件指在一定条件下一定不会发生的事件． 【详解】解：∵ 事件（1）购买1张福利彩票，可能中奖也可能不中奖， ∴ 事件（1）是随机事件； ∵事件（2）中骰子的点数最大为6，不可能出现点数大于6的结果， ∴事件（2）是不可能事件 3．中华民族历经浩浩汤汤五千年璀璨历史，其中对民族发展和历史进程做出重要贡献的伟人多如繁星．若你穿越回唐朝，则以下哪一件是不可能事件（     ） A．从岭南为杨贵妃运送荔枝 B．与元稹、白居易参加科举考试，荣登三甲 C．与李太白金龟换酒、舞剑赋诗 D．和王安石共商国是，探讨青苗法、募役法 【答案】D 【分析】不可能事件是一定不会发生的事件，结合历史常识判断各事件能否在唐朝发生即可得到答案． 【详解】解：∵不可能事件是一定不会发生的事件，王安石是北宋时期人物，青苗法、募役法是北宋王安石变法的内容，不可能出现在唐朝， ∴ D选项描述的事件是不可能事件. 其余选项中，杨贵妃、元稹、白居易、李白均为唐代人物，对应的事件都可能在唐朝发生，不符合要求． 题型02.判断事件发生可能性大小 4．下列事件中，是必然事件的是（    ） A．打开电视机，正在播放新闻 B．某种彩票中奖率为，买10000张该种彩票会中奖 C．掷一枚硬币，正面朝上 D．太阳从东方升起 【答案】D 【分析】先明确必然事件的概念，必然事件是一定条件下必然会发生的事件，据此逐一判断各选项即可得到答案； 【详解】解：∵必然事件是指在一定条件下一定发生的事件. A选项，打开电视机，可能播放其他节目，不是一定会播放新闻，属于随机事件，不符合要求； B选项，该彩票中奖率为，买10000张也有可能不中奖，属于随机事件，不符合要求； C选项，掷一枚硬币，可能反面朝上，不是一定正面朝上，属于随机事件，不符合要求； D选项，太阳从东方升起是确定的自然规律，是一定会发生的事件，属于必然事件，符合要求； 5．将4个红球、5个黄球、2个绿球放入一个不透明袋子里，这些球除颜色外都相同，从中一次性摸出8个球，则“摸到红球”这个事件（   ） A．不太可能发生 B．不可能发生 C．很可能发生 D．必然发生 【答案】D 【分析】先计算所有非红球的总数量，再和摸出的球数比较，即可判断该事件的类型． 【详解】解：∵袋子中非红球（黄球绿球）的总数为个， ∴要一次性摸出8个球，最多只能取出7个非红球， ∴摸出的8个球中至少有1个红球． ∴“摸到红球”这个事件必然发生． 6．将一个能自由转动的转盘平均分为六个扇形，每个扇形区域分别标有1到6的数字．转动转盘两次，下列事件是不可能事件的是（     ） A．两次转出的数字和大于1 B．两次转出的数字和等于6 C．两次转出的数字差等于0 D．两次转出的数字差等于6 【答案】D 【详解】解：∵每次转出的数字都大于或等于1， ∴两次转出的数字和大于1是必然事件； 两次转出的数字和等于6是随机事件； 两次转出的数字差等于0是随机事件； 最大数字为6，最小数字为1，差的绝对值最大为5， 两次转出的数字差等于6是不可能事件，故D选项符合题意． 题型03.实验结果的等可能性判断 7．小梅随机选择在下周一至周五的某一天去打新冠疫苗，则她选择在周二去打疫苗的概率为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意中从下周一至周五的某一天去打新冠疫苗，共有5种情况，且每种情况的可能性相同，即可得出选择周二打疫苗的概率． 【详解】解：小梅选择周一到周五共有5种情况，且每种情况的可能性相同，均为， ∴选择周二打疫苗的概率为：， 故选：B． 【点睛】题目主要考查简单概率的计算，理解题意是解题关键． 8．彤彤抛五次硬币，次正面朝上，次反面朝上，她抛第次时，下面说法正确的是哪一个？（    ） A．一定正面朝上 B．一定反面朝上 C．不可能正面朝上 D．有可能正面朝上也有可能反面朝上 【答案】D 【分析】根据等可能事件的意义解答即可． 【详解】解：抛硬币正面朝上和反面朝上的概率相同， 每一次抛都是有可能正面朝上也有可能反面朝上， 故选：D． 【点睛】本题考查了等可能事件的定义，能够正确判断事件发生的概率是解本题的关键． 9．在抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，如果没有硬币，则下列不能作为替代物进行试验的是（   ） A．一枚均匀的正方体骰子 B．两张不同的扑克 C．两张不同的卡片 D．一枚图钉 【答案】D 【分析】替代物需要满足和原抛硬币试验一致，即能产生两种概率相等的结果，据此判断各选项即可． 【详解】原抛硬币试验中，有正面向上、反面向上两种等可能结果，每种结果发生的概率为，替代物需满足两种结果发生概率相等． 选项A，均匀正方体骰子，点数为奇数、偶数的结果各3种，概率均为，可分别对应硬币正反，能用作替代物； 选项B，两张不同扑克，任意抽取一张，抽到每张的概率均为，可对应硬币正反，能用作替代物； 选项C，两张不同卡片，任意抽取一张，抽到每张的概率均为，可对应硬币正反，能用作替代物； 选项D，抛掷图钉时，钉尖朝上与钉帽朝上的概率不相等，不满足两种结果等可能的要求，因此不能作为替代物． 题型04.概率的意义 10．抛掷一枚质地均匀的硬币，前10次有8次都是正面朝上，掷第11次时正面朝上的概率是__________． 【答案】 【分析】一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，根据概率的意义即可求解． 【详解】解：掷一枚质地均匀的硬币，在大量重复进行的情况下，正面朝上的频率会稳定在左右， ∴前10次有8次都是正面朝上，掷第11次时正面朝上的概率是． 11．商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为0.01”．下列说法正确的是（　  　） A．抽101次不可能没有抽到一等奖 B．抽100次奖必有一次抽到一等奖 C．抽一次也可能抽到一等奖 D．抽了99次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖 【答案】C 【分析】概率是描述事件发生可能性大小的量，不代表事件一定发生或一定不发生，每次抽奖为独立事件，据此判断选项即可． 【详解】解：∵抽到一等奖的概率为0.01，说明每次抽奖都有0.01的可能性抽到一等奖，可能性小但仍可能发生，且每次抽奖结果相互独立； ∴A选项：抽101次也可能没有抽到一等奖，A错误； B选项：抽100次不一定必有一次抽到一等奖，B错误； C选项：抽一次也可能抽到一等奖，C正确； D选项：前99次没抽到，第100次抽到一等奖的概率仍为0.01，不是肯定抽到，D错误． 12．在抛掷一枚均匀硬币的试验中，如果没有硬币，我们可以用替代物，但下列物品不能做替代物的是（ ） A．一枚均匀的普通六面体骰子 B．两张扑克牌一张黑桃，一张红桃 C．两个只有颜色不同的小球 D．一枚图钉 【答案】D 【分析】在抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，硬币正反两面向上的概率为；若用其它物体代替只要此物体只能出现这两种情况且概率为即可． 【详解】A、一枚均匀的普通六面体骰子向上的点数为奇数和偶数的概率都为，能作替代物，故不符合题意； B、两张扑克牌张黑桃，张红桃，两张花色不同的扑克，分别代替硬币正面和反面，且各自概率为，与抛硬币一样，故不符合题意； C、两个只有颜色不同的小球，符合硬币只有正反两面的可能性，能作替代物，故不符合题意； D、图钉两面不同，不能替代该实验，故符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了模拟实验，选择实验的替代物，应从可能性是否相等入手思考． 题型05.概率大小比较 13．有如下两个事件：①明天会下雨；②13名同学中一定有2名同学的生日在同一个月，把这两个事件的序号按发生的可能性从小到大排列____． 【答案】 ①② 【分析】先判断两个事件的类型，得到两个事件发生的概率范围，再比较概率大小，即可完成排序. 【详解】解：事件①“明天会下雨”是随机事件，随机事件发生的概率满足； 一年共有12个月份，事件②“13名同学中一定有2名同学的生日在同一个月”是必然事件，必然事件发生的概率为； ∴，按发生的可能性从小到大排列为. 14．下列说法正确的是（    ） A．可能性很小的事件不可能发生 B．可能性很大的事件必然发生 C．必然事件发生的概率1 D．不确定事件发生的概率为 【答案】C 【分析】事件的可能性主要看事件的类型，事件的类型决定了可能性及可能性的大小． 【详解】解：A、可能性很小的事件也可能发生，故本选项错误，不符合题意； B、可能性很大的事件不是必然事件，不一定发生，故本选项错误，不符合题意； C、必然事件发生的概率为1，故本选项正确，符合题意； D、不确定事件发生的概率是不确定的，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间． 15．从一副扑克牌中任意抽取1张，下列事件：①抽到“K”；②抽到“黑桃”；③抽到“大王”；④抽到“黑色”的，其中，发生可能性最大的事件是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据概率公式逐项计算，再比较大小． 【详解】∵从一副扑克牌中任意抽取1张，共有54种等可能结果， ∴①抽到“K”的概率为 = ； ②抽到“黑桃”的概率为 ； ③抽到“大王”的概率为 ； ④抽到“黑色”的概率为 = ， 故答案为：D． 【点睛】此题考查了概率大小，解题的关键是熟记概率公式． 题型06.求某事件的频率 16．在最近天内，某市空气质量为优的天数为天，则空气质量为优的频率是____． 【答案】 【分析】频率的计算公式为． 【详解】解：由题意可得，空气质量为优的频率是． 17．如图是一枚图钉被抛起后钉尖触地的频率和抛掷次数变化趋势图，则一枚图钉被抛起后钉尖触地的频率稳定值约是____． 【答案】 【详解】解：随着抛掷次数的增加，钉尖触地频率逐渐稳定在附近， 则一枚图钉被抛起后钉尖触地的频率稳定值约是． 18．小星做掷一枚质地均匀的骰子实验，通过大量重复试验，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．出现数字为2点朝上的频率 B．出现数字为3朝上的频率 C．出现数字为奇数的频率 D．出现数字为2或4的朝上频率 【答案】D 【分析】先得到试验结果的频率，分别计算各选项的频率，进而判断即可． 【详解】解：由统计图可知试验结果的频率逐渐稳定在左右， A．出现数字为2点朝上的概率为，即试验结果的频率逐渐稳定在左右，不符合题意； B．出现数字为3朝上的概率为，即试验结果的频率逐渐稳定在左右，不符合题意； C．出现数字为奇数的概率为，即试验结果的频率逐渐稳定在左右，不符合题意； D．出现数字为2或4的朝上概率为，即试验结果的频率逐渐稳定在左右，符合题意． 题型07.频率与概率的关系 19．一般地，当试验的可能结果有很多且各种可能结果发生的可能性相等时，则用列举法，利用概率公式__________的方式得出概率． 当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，常常是通过______来估计概率，即在同样条件下，大量重复试验所得到的随机事件发生的频率的稳定值来估计这个事件发生的_______． 【答案】 P（A）＝ 统计频率 概率 【解析】略 20．在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为．下列说法正确的是（   ） A．试验次数越多，越大 B．试验次数越多，越大 C．与都可能发生变化 D．试验次数大量增加时，在附近摆动，并趋于稳定 【答案】D 【分析】概率P是固定值，频率f随试验次数增加在P附近波动并趋于稳定. 本题考查频率与概率的关系，熟练掌握二者的关系是解题的关键. 【详解】解：∵ 概率P是常数，不随试验次数改变； 频率f随试验次数增加而逐渐稳定于P附近. ∴ 选项D正确. 故选：D. 21．下列说法正确的是（    ）． A．不可能事件发生的概率为1 B．随机事件发生的概率为 C．概率很小的事件不可能发生 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 【答案】D 【分析】利用概率的意义、随机事件的判定等知识分别判断，即可确定正确的选项． 【详解】解：A.不可能事件发生的概率为0，故该选项错误，不符合题意； B.随机事件发生的概率大于0，小于1，，故该选项错误，不符合题意； C.概率很小的事件也可能发生，故该选项错误，不符合题意； D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率、随机事件、概率的意义等知识，解题的关键是了解大量重复试验中，事件发生的频率可以估计概率． 题型08.由频率估计概率 22．质检部门对一台发球机在某一参数下的发球合格性进行测试，这台发球机连续发射个球，如图显示了发球合格的结果． 根据图象信息，估计这台发球机发球合格的概率为________（结果精确到）． 【答案】 【分析】由统计图可知，随着发球次数的增加，发球合格的频率越来越接近，利用频率估计概率，估计这台发球机发球合格的概率为. 【详解】解：由统计图可知，随着发球次数的增加，发球合格的频率越来越接近， 估计这台发球机发球合格的概率为. 23．某篮球运动员进行定点投篮训练，其成绩如表所示：则这名运动员定点投篮一次，投中的概率约是___________（精确到0.1）． 投篮次数 10 100 1000 10000 投中次数 9 89 910 9002 频率 0.90 0.89 0.91 0.90 【答案】0.9 【分析】在大量重复试验中，可用事件发生的频率估计概率，根据频率的稳定值得到概率的估计值，再按要求精确度求解即可． 【详解】解：观察表格可知，随着投篮次数逐渐增大，投中的频率逐渐稳定在附近，将精确到得，因此这名运动员定点投篮一次，投中的概率约为． 24．一个不透明的口袋中装有m个红球，为了估计红球的个数，小华向口袋中加入2个白球，它们除颜色外完全相同，从口袋中随机摸出一球，记下颜色后放回，通过多次摸球后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则估计m的值是_______． 【答案】18 【分析】根据概率公式得到，即可得到答案． 【详解】解：， 解得． 25．如图1，在边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，信息技术强的小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为（     ）． A．160 B．140 C．100 D．70 【答案】B 【分析】根据频率估计概率解答即可． 【详解】解：由统计图知，随着实验次数的增加，点落在不规则图案上的频率稳定在， ∴点落在不规则图案上的概率为． ∴估计阴影部分面积约为． 题型09.频率估计概率的综合应用 26．某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 400 800 1000 2000 4000 发芽的频数 304 644 796 1602 3200 发芽的频率 0.760 0.805 0.796 0.801 0.800 若学校劳动基地对该批次油菜籽200粒进行萌发，发芽的植株大约有_____株． 【答案】160 【分析】根据用频率估计概率的知识，在大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在概率附近．观察大量重复试验后频率的稳定值，得到发芽概率的估计值，再计算200粒油菜籽的发芽植株数． 【详解】解：由表格数据可知，随着试验粒数增加，该油菜籽的发芽频率逐渐稳定在附近， 估计该油菜籽发芽的概率为， 粒该油菜籽发芽的植株大约为（株）． 27．当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组利用某个二维码开展数学试验活动，如图，在边长为的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计这个区域内白色部分的总面积约为______． 【答案】 【分析】用正方形的面积乘以点落在区域内白色部分的频率稳定值即可解答． 【详解】解：根据题意，估计这个区域内白色部分的总面积约为． 28．在一个不透明的罐子里装有若干个白色的围棋，现要估计白棋的个数，从装黑棋的罐子里取出10个黑棋放入白棋的罐子里．这些棋子除㖣色外其他完全相同．将罐子里的棋子搅匀，从中随机摸出一个棋子，记下颜色后再放回袋中，不断地重复这个过程，摸了200次后，发现有25次摸到黑棋子，估计这个罐子里的白棋有（    ） A．80个 B．75个 C．70个 D．60个 【答案】C 【分析】首先根据重复试验确定取到黑棋子的频率，然后估计白棋子的个数即可． 【详解】解：∵共取了200次，其中有25次取到黑棋子， ∴摸到黑色棋子的概率约为， ∴摸到白色棋子的概率约为， ∵共有10可黑色棋子， ∴设有个白色棋子，则， 解得：，经检验是分式方程的解， 故选：C． 【点睛】考查了用样本估计总体的知识，解题的关键是根据重复试验确定摸到各种棋子的概率，难度不大． 解答题 29．把一副扑克牌中的13张从到的红桃牌正面朝下，洗匀后，从中任意抽取1张．下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？并写出这些事件发生的可能性的大小． (1)抽到的牌上的数是偶数； (2)抽到的牌上的数不小于6； (3)抽到的牌是梅花； (4)抽到的牌是红桃． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【详解】（1）解：抽到的牌上的数是偶数的可能性为，是随机事件； （2）解：抽到的牌上的数不小于6的可能性为，是随机事件； （3）解：抽到的牌是梅花，是不可能事件，发生的可能性为0； （4）解：抽到的牌是红桃，是必然事件，发生的可能性为1. 30．一个质地均匀的袋子里有4个红球和1个白球，从中随机摸出一个球，摸出白球的概率是．某同学连续摸球5次（每次摸出后放回并摇匀），结果一次白球都没摸到，他认为“概率是错的"．请判断该同学的观点是否正确，并说明理由． 【答案】不正确，见解析 【分析】本题考查了概率的意义． 根据概率的意义作答即可． 【详解】解：不正确． 5次试验属于少量试验，频率为0是可能出现的偶然情况（如连续掷5次硬币都正面朝上）． 若该同学摸球1000次，每次放回摇匀，摸出白球的频率会逐渐趋近于，从而验证概率的正确性． 31．植树节为每年月日，某单位买了一批树苗组织员工去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数 成活的棵数 成活的频率 (1)完成上述表格：___________，___________； (2)这种树苗成活的概率估计值为___________（精确到）． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）用总棵数乘以成活的频率求出的值，用成活的棵数除以总棵数求出的值； （2）随着树苗棵数的增加，即可估算得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，，； （2）解：由表格中的数据可知，随着树苗棵数的增加，成活的频率稳定在附近， ∴这种树苗成活的概率估计值为． 32．某工厂3月份共生产了26000件工艺品，为了检测该产品的合格率，工厂质检员对产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 48 98 194 490 980 合格频率 0.96 0.98 0.97 0.98 0.98 (1)求表格中，的值； (2)若该工厂每生产一件不合格产品将损失20元，求3月份该工厂因不合格产品所造成的损失大约为多少元？ (3)如果重新抽取1000件产品进行质检，对比上表记录的数据，两表的结果会一样吗？为什么？ 【答案】(1) ， (2)3月份该工厂因不合格产品所造成的损失大约为10400元 (3)结果不一定一样，原因见解析 【分析】（1）根据频数除以总数等于频率，列式计算即可求解； （2）用乘以不合格品的概率再乘以20即可求解； （3）根据频率估计概率作答即可． 【详解】（1）解：由题意得，，； （2）解：（元）， 答：3月份该工厂因不合格产品所造成的损失10400元； （3）解：结果很可能会不一样，但随着抽取产品数量的增加，它们的合格率都会稳定在左右． 33．植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树．资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数n 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数m 37 77 a 316 640 800 成活的频率 b (1)完成上述表格：_____________，_____________； (2)这种树苗成活的概率估计值为_____________（精确到）． (3)如果想要有1000棵树能够成活，那么在相同条件下买1200棵树苗够吗？为什么？ 【答案】(1)， (2) (3)不够，理由见解析 【分析】（1）利用成活率、每批棵树、成活的棵树的关系列式计算即可； （2）利用大量测试下，试验的频率在概率附近波动； （3）利用1200乘以成活概率，再与1000比较即可． 【详解】（1）解：，． （2）解：因为在相同条件下，当试验次数很大时，事件发生的频率可作为概率的近似值，而试验数据量最大为1000棵，对应频率为， 所以这种树苗成活的概率估计值是，（精确到）． （3）解：不够，理由如下： 由（棵），则想要有1000棵树能够成活，那么在相同条件下买1200棵树苗不够． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02认识概率期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.区分必然事件、不可能事件、随机事件，理解三类事件的定义与特点。 2.掌握概率的基本含义，明确概率的取值范围。 3.学会用 ** 列举法（列表、画树状图）** 求简单随机事件的概率。 4.理解频率与概率的联系与区别，知道用频率估计概率的原理。 1.能结合生活实例，准确判断事件类型。 2.熟练运用列表法、树状图分析所有等可能结果，规范计算概率。 3.能根据试验频率变化趋势，估计事件发生的概率。 4.会利用概率知识解释生活现象、判断游戏规则是否公平。 1.基础题：快速完成事件判断、概率取值类选择填空题，杜绝概念错误。 2.计算题：规范使用列表、树状图解题，保证概率计算准确、步骤完整。 3.应用题：能判断游戏公平性，并根据要求修改规则。 4.规避易错点：列举结果时有遗漏、混淆频率与概率、判断事件类型出错。 题型01.事件的分类 题型02.判断事件发生可能性大小 题型03.实验结果的等可能性判断 题型04.概率的意义 题型05.概率大小比较 题型06.求某事件的频率 题型07.频率与概率的关系 题型08.由频率估计概率 题型09.频率估计概率的综合应用 解答题5题 知识点01:事件的分类 1. 三类基本事件 事件类型 定义 概率取值 举例 必然事件 在一定条件下，一定发生的事件 P=1 太阳从东方升起；实数绝对值非负 不可能事件 在一定条件下，一定不发生的事件 P=0 水中捞月；掷骰子点数大于 6 随机事件（不确定事件） 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 0<P<1 掷硬币正面朝上；抽奖中奖 补充说明 (1)必然事件和不可能事件统称为确定事件； (2)生活中绝大多数现象都属于随机事件。 知识点02:概率的基本概念 1.定义 一个随机事件发生的可能性大小，称为这个事件的概率，记作P。 2.概率取值范围 任意事件的概率：0 P l 必然事件：P=1 不可能事件：P=0 随机事件：0<P<1 等可能试验特征① 试验结果有限；② 每种结果出现的可能性大小相等。 知识点03:简单随机事件概率计算（核心考点） 1. 通用计算公式 若一次试验共有n种等可能的结果，事件A包含其中m种结果，则： P(A)=： n所有等可能结果总数；m：事件A包含的结果数mn 2. 常用列举方法（解答题必考） 方法 适用场景 解题要点 直接列举法 结果数量少（3 种及以内） 逐一写出所有可能结果，数清\(m、n\) 列表法 两步试验、结果较多 行列分别表示两步试验，不重不漏 树状图法 两步及以上试验 分层梳理所有结果，多步试验首选 解题规范要求 先说明 “所有等可能结果” 总数； 再找出目标事件包含的结果数； 代入公式计算概率，书写格式统一。 知识点04:频率与概率 1. 概念区分 类别 频率 概率 本质 试验中事件实际出现的次数与总试验次数的比值 事件本身固有的发生可能性大小 特点 随试验次数变化，具有波动性 固定不变的常数，客观存在 关系 试验次数较少时，频率与概率偏差较大；试验次数越多，频率越稳定在概率附近 随机事件的理论值 2. 用频率估计概率 当重复试验次数足够大时，可以用事件发生的频率作为事件发生概率的估计值。公式：频率= 知识点05:概率的实际应用 1. 判断游戏公平性 判断标准：参与游戏的各方，获胜概率相等则游戏公平；概率不相等则游戏不公平 解题步骤： (1)分别计算各方获胜的概率； (2)比较概率大小，做出判断； (3)若不公平，可修改规则使双方概率相等。 2. 简单预估 已知概率和总数量，估算事件发生数量： 预估数量= 总数量对应概率 知识点06:高频易错点（课堂重点强调） 易错类型 常见错误 正确做法 事件判断失误 混淆随机事件、必然事件、不可能事件 结合实际，判断 “一定发生、一定不发生、可能发生” 结果列举不全 列表 / 画树状图漏解、重复计数 按顺序列举，保证所有结果不重、不漏 频率与概率混淆 认为频率就是概率 频率随试验改变，概率是定值；仅试验次数极大时，频率近似概率 公平性判断错误 只看次数多少，不计算概率 严格对比双方获胜概率，概率相等才公平 公式套用错误 分子分母写反 牢记：概率 = 目标结果数 ÷ 全部等可能结果数 题型01.事件的分类 1．“若是有理数，则”是______事件． 2．有两个事件，事件（1）：购买1张福利彩票中奖；事件（2）：掷一枚六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6的骰子，向上一面的点数大于6．下列判断正确的是（     ） A．（1）（2）都是随机事件 B．（1）（2）都是不可能事件 C．（1）是随机事件，（2）是不可能事件 D．（1）是随机事件，（2）是必然事件 3．中华民族历经浩浩汤汤五千年璀璨历史，其中对民族发展和历史进程做出重要贡献的伟人多如繁星．若你穿越回唐朝，则以下哪一件是不可能事件（     ） A．从岭南为杨贵妃运送荔枝 B．与元稹、白居易参加科举考试，荣登三甲 C．与李太白金龟换酒、舞剑赋诗 D．和王安石共商国是，探讨青苗法、募役法 题型02.判断事件发生可能性大小 4．下列事件中，是必然事件的是（    ） A．打开电视机，正在播放新闻 B．某种彩票中奖率为，买10000张该种彩票会中奖 C．掷一枚硬币，正面朝上 D．太阳从东方升起 5．将4个红球、5个黄球、2个绿球放入一个不透明袋子里，这些球除颜色外都相同，从中一次性摸出8个球，则“摸到红球”这个事件（   ） A．不太可能发生 B．不可能发生 C．很可能发生 D．必然发生 6．将一个能自由转动的转盘平均分为六个扇形，每个扇形区域分别标有1到6的数字．转动转盘两次，下列事件是不可能事件的是（     ） A．两次转出的数字和大于1 B．两次转出的数字和等于6 C．两次转出的数字差等于0 D．两次转出的数字差等于6 题型03.实验结果的等可能性判断 7．小梅随机选择在下周一至周五的某一天去打新冠疫苗，则她选择在周二去打疫苗的概率为（    ） A．1 B． C． D． 8．彤彤抛五次硬币，次正面朝上，次反面朝上，她抛第次时，下面说法正确的是哪一个？（    ） A．一定正面朝上 B．一定反面朝上 C．不可能正面朝上 D．有可能正面朝上也有可能反面朝上 9．在抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，如果没有硬币，则下列不能作为替代物进行试验的是（   ） A．一枚均匀的正方体骰子 B．两张不同的扑克 C．两张不同的卡片 D．一枚图钉 题型04.概率的意义 10．抛掷一枚质地均匀的硬币，前10次有8次都是正面朝上，掷第11次时正面朝上的概率是__________． 11．商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为0.01”．下列说法正确的是（　  　） A．抽101次不可能没有抽到一等奖 B．抽100次奖必有一次抽到一等奖 C．抽一次也可能抽到一等奖 D．抽了99次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖 12．在抛掷一枚均匀硬币的试验中，如果没有硬币，我们可以用替代物，但下列物品不能做替代物的是（ ） A．一枚均匀的普通六面体骰子 B．两张扑克牌一张黑桃，一张红桃 C．两个只有颜色不同的小球 D．一枚图钉 题型05.概率大小比较 13．有如下两个事件：①明天会下雨；②13名同学中一定有2名同学的生日在同一个月，把这两个事件的序号按发生的可能性从小到大排列____． 14．下列说法正确的是（    ） A．可能性很小的事件不可能发生 B．可能性很大的事件必然发生 C．必然事件发生的概率1 D．不确定事件发生的概率为 15．从一副扑克牌中任意抽取1张，下列事件：①抽到“K”；②抽到“黑桃”；③抽到“大王”；④抽到“黑色”的，其中，发生可能性最大的事件是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 题型06.求某事件的频率 16．在最近天内，某市空气质量为优的天数为天，则空气质量为优的频率是____． 17．如图是一枚图钉被抛起后钉尖触地的频率和抛掷次数变化趋势图，则一枚图钉被抛起后钉尖触地的频率稳定值约是____． 18．小星做掷一枚质地均匀的骰子实验，通过大量重复试验，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．出现数字为2点朝上的频率 B．出现数字为3朝上的频率 C．出现数字为奇数的频率 D．出现数字为2或4的朝上频率 题型07.频率与概率的关系 19．一般地，当试验的可能结果有很多且各种可能结果发生的可能性相等时，则用列举法，利用概率公式__________的方式得出概率． 当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，常常是通过______来估计概率，即在同样条件下，大量重复试验所得到的随机事件发生的频率的稳定值来估计这个事件发生的_______． 20．在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为．下列说法正确的是（   ） A．试验次数越多，越大 B．试验次数越多，越大 C．与都可能发生变化 D．试验次数大量增加时，在附近摆动，并趋于稳定 21．下列说法正确的是（    ）． A．不可能事件发生的概率为1 B．随机事件发生的概率为 C．概率很小的事件不可能发生 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 题型08.由频率估计概率 22．质检部门对一台发球机在某一参数下的发球合格性进行测试，这台发球机连续发射个球，如图显示了发球合格的结果． 根据图象信息，估计这台发球机发球合格的概率为________（结果精确到）． 23．某篮球运动员进行定点投篮训练，其成绩如表所示：则这名运动员定点投篮一次，投中的概率约是___________（精确到0.1）． 投篮次数 10 100 1000 10000 投中次数 9 89 910 9002 频率 0.90 0.89 0.91 0.90 24．一个不透明的口袋中装有m个红球，为了估计红球的个数，小华向口袋中加入2个白球，它们除颜色外完全相同，从口袋中随机摸出一球，记下颜色后放回，通过多次摸球后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则估计m的值是_______． 25．如图1，在边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，信息技术强的小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为（     ）． A．160 B．140 C．100 D．70 题型09.频率估计概率的综合应用 26．某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 400 800 1000 2000 4000 发芽的频数 304 644 796 1602 3200 发芽的频率 0.760 0.805 0.796 0.801 0.800 若学校劳动基地对该批次油菜籽200粒进行萌发，发芽的植株大约有_____株． 27．当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组利用某个二维码开展数学试验活动，如图，在边长为的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计这个区域内白色部分的总面积约为______． 28．在一个不透明的罐子里装有若干个白色的围棋，现要估计白棋的个数，从装黑棋的罐子里取出10个黑棋放入白棋的罐子里．这些棋子除㖣色外其他完全相同．将罐子里的棋子搅匀，从中随机摸出一个棋子，记下颜色后再放回袋中，不断地重复这个过程，摸了200次后，发现有25次摸到黑棋子，估计这个罐子里的白棋有（    ） A．80个 B．75个 C．70个 D．60个 解答题 29．把一副扑克牌中的13张从到的红桃牌正面朝下，洗匀后，从中任意抽取1张．下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？并写出这些事件发生的可能性的大小． (1)抽到的牌上的数是偶数； (2)抽到的牌上的数不小于6； (3)抽到的牌是梅花； (4)抽到的牌是红桃． 30．一个质地均匀的袋子里有4个红球和1个白球，从中随机摸出一个球，摸出白球的概率是．某同学连续摸球5次（每次摸出后放回并摇匀），结果一次白球都没摸到，他认为“概率是错的"．请判断该同学的观点是否正确，并说明理由． 31．植树节为每年月日，某单位买了一批树苗组织员工去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数 成活的棵数 成活的频率 (1)完成上述表格：___________，___________； (2)这种树苗成活的概率估计值为___________（精确到）． 32．某工厂3月份共生产了26000件工艺品，为了检测该产品的合格率，工厂质检员对产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 48 98 194 490 980 合格频率 0.96 0.98 0.97 0.98 0.98 (1)求表格中，的值； (2)若该工厂每生产一件不合格产品将损失20元，求3月份该工厂因不合格产品所造成的损失大约为多少元？ (3)如果重新抽取1000件产品进行质检，对比上表记录的数据，两表的结果会一样吗？为什么？ 33．植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树．资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数n 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数m 37 77 a 316 640 800 成活的频率 b (1)完成上述表格：_____________，_____________； (2)这种树苗成活的概率估计值为_____________（精确到）． (3)如果想要有1000棵树能够成活，那么在相同条件下买1200棵树苗够吗？为什么？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $