江苏省南京市联合体2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷

**基本信息** 八年级数学期末模拟卷，涵盖代数（分式、二次根式、因式分解）与几何（菱形、正方形、旋转），解答题含代数推理、实际应用及几何综合，注重抽象能力与推理意识考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/16|分式性质、二次根式意义|基础概念辨析，如分式值不变条件判断| |填空题|8/16|同类二次根式、因式分解|结合数轴化简二次根式，考查符号意识| |解答题|9/68|代数推理、行程问题、几何证明|代数推理题强调推理依据（如平方差公式），几何综合题（第26题）结合正方形旋转与面积计算，应用题（第23题）构建行程模型，体现模型意识|

八年级数学下学期期末模拟卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．下列式子中，为最简二次根式的是( ) A． B． C． D． 3．在下列分式中，若，的值都扩大为原来的2倍，则分式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 4．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（    ） A． B． C． D． 5．若为整数，则代数式的值一定可以（   ） A．被9整除 B．被6整除 C．被3整除 D．被2整除 6．若，则M为（   ） A． B． C． D． 7．如图，菱形中，O为的中点，M为的中点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． （第7题） （第8题） 8．如图，将绕点A逆时针旋转到AEDF的位置，此时点E落在上，，下列关于与描述正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9．化简的结果是__________． 10．最简二次根式与是同类二次根式，则______． 11．因式分解：____． 12．当______时，分式值为零． 13．若，则_____． 14．实数a，b在数轴上对应的点如图所示，化简：_______． 15．已知a，b分别为等腰三角形的两边，且a，b满足，则该三角形的周长为______． 16．如图，点在正方形的边上，延长至点，使，连接和，取的中点，连接并延长，与交于点．若，，则的长为______． （第14题） （第16题） （第17题） 17．如图，正方形的对角线、相交于点，是上的一点，连接，过点作，交于点，若四边形的面积是，则的长为______． 18．若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是______． 三、解答题 19．（8分）计算：(1)； (2)． 20．（8分）解下列方程：(1)； (2)． 21．（7分）先化简，后求值：，其中，． 22．（8分）代数推理是指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论．请先完成第题的填空，填写推理的依据，再完成第题的证明． (1)已知实数x，y满足，求证：． 证明：， ①_______________________， ②__________________， ， ，，，，，，． (2)在三边长分别为a，b，的三角形中，利用的结论，求证： 23．（8分）A，B两地相距100，甲、乙分别从A，B两地出发，甲到达B地后再返回A地。甲开车的速度是乙骑自行车速度的3倍，当他们相向行驶时，甲将在某一时刻与乙相遇；当他们同向行驶时，甲将在某一时刻追上乙，已知甲追上乙的时间比甲乙相遇所花的时间多h，甲、乙的速度分别是多少？ 24．（8分）如图，在中，分别以为边向内作和，且，连接． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若点E在对角线上，且所在直线平分，当四边形的面积为6时，的面积为_______． 25．（8分）某居民小区实施绿化改造工程，由甲、乙两个工程队合作完成，已知乙工程队单独完成这项工程所需要天数是甲工程队单独完成这项工程所需天数的若由乙工程队单独施工天后，再由甲、乙两队合作天即可完成全部工程． (1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)若甲工程队每天的施工费为万元，乙工程队每天的施工费为万元，为缩短工期，由甲、乙两队同时合作施工，求需要的施工预算总费用不足一天的按一天计算． 26．（9分）如图，正方形的边长为，直线分别交于点关于直线l的对称点为，且点恰好在上． (1)当点是中点时，的长为_____； (2)连接，交于点，连接，交于点． ①连接，求证； ②已知的面积为，求的长． 《学情调查（12）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A D C D C C 1．D 【分析】根据被开方数即可求解． 【详解】解：若式子在实数范围内有意义，则， ∴． 2．B 【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，判断即可． 【详解】解：A.原式，故A不符合题意． B.是最简二次根式，故B符合题意． C.原式，故C不符合题意． D.原式，故D不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式，本题属于基础题型． 3．A 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把每个选项中的式子中的，替换为，，再约分即可得到答案． 【详解】解：A、，分式的值不变，符合题意； B、，分式的值变化，不符合题意； C、，分式的值变化，不符合题意； D、，分式的值变化，不符合题意； 故选：A． 4．D 【分析】本题考查了因式分解． 将每个多项式因式分解后，检查是否含有因式，不含有该因式的即为答案． 【详解】解：选项A：，含有因式； 选项B：，含有因式； 选项C：，含有因式； 选项D：，不含有因式； 故选：D． 5．C 【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算、因式分解的应用等知识点，掌握整式的四则混合运算法则成为解题的关键． 先运用整式的四则混合运算化简，再因式分解，然后判断即可． 【详解】解：因为 ， 所以该代数式的值一定可以被3整除． 故选：C． 6．D 【分析】本题考查的是分式的基本性质，根据分式的分母的变化确定分子分母都乘以，从而可得答案. 【详解】解：∵，而， ∴， 故选：D 7．C 【分析】本题考查了菱形的性质，中位线定理，勾股定理，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 先利用中位线定理求出菱形的边的长，再利用菱形的性质求得，从而可得，再利用勾股定理求得的长． 【详解】解：∵O为的中点，M为的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C ． 8．C 【分析】如图，过点A作于M，过点E作于N，则，证明四边形是矩形，可得，结合旋转可得，可得，，设，则，可得，结合，可得，再进一步分两种情况解答即可. 【详解】解：如图，过点A作于M，过点E作于N，则 ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， 而 ∴四边形是矩形， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转到的位置， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 当时， ∴，即，， ∴，故A，B错误； 当时， ∴，即，， ∴，故C正确，D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，矩形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，作出合适的辅助线是解本题的关键. 9． 【分析】本题考查的是分式的约分，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．先确定分式的分子、分母的公因式，再约分即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 10．4 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义，若两个最简二次根式是同类二次根式，则它们的被开方数必须相同，据此列出方程求解即可 【详解】解：由最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：4． 11． 【分析】找出原式的公因式，提取公因式即可完成因式分解 【详解】解： 12． 【详解】解：依题意， 由 解得或， 由解得， 综上所述，的值为． 13．1 【分析】本题主要考查了求代数式的值， 将原式两边都除以x，可得答案． 【详解】解：， 两边都除以x，得， 即． 故答案为：1． 14．a 【分析】本题考查了数轴的相关知识及二次根式的化简．掌握二次根式的性质是解决本题的关键． 根据数轴上点的位置，确定a、b的正负，判断出，再化简给出的代数式，合并后得结果； 【详解】解：由数轴可知，且，则， ， 故答案为：a． 15．10 【分析】根据题意求出a、b的值，然后根据三角形的三边关系确定三角形的边长，进而求出此三角形的周长． 【详解】解：由题意得，3a−6≥0，2−a≥0， 解得：a≥2，a≤2， ∴a＝2，b＝4， ∵2＋2＝4， ∴2、2、4不能组成三角形， ∵2＋4＝6＞4， ∴2、4、4能组成三角形， ∴此三角形的周长为2＋4＋4＝10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件、三角形三边关系和等腰三角形的性质，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 16． 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，先证明，得到是的垂直平分线，则，设，则，，在中，由勾股定理得，解方程即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵的中点为， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， 设，则，， ∴在中，由勾股定理得 ∴， 解得：， ∴， 故答案为：。 17． 【分析】本题考查正方形的性质和全等三角形的性质，熟悉性质是解题关键．先过作，，然后利用正方形的性质得出≌，从而得到四边形的面积与四边形的面积相等，等于正方形面积的，即可得到大正方形的面积，从而求出的长． 【详解】解：过作，，如图： 四边形是正方形， 平分， ，， ， ， ， ， ， 四边形的面积是， 正方形的面积为， ， 故答案为：． 18．且 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为负数确定出m的范围即可． 【详解】解： 原方程去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得： ∵关于x的分式方程的解为负数， ∴且． ∴且． 故答案为：且． 19．(1)5 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式乘除的混合运算法则计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 20．(1) (2)无解 【分析】该题考查了解分式方程，注意：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根． （1）观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解； （2）观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 【详解】（1）解：， 方程两边同时乘以，得， 解得：． 检验：把代入． ∴原方程的解为：． （2）解：， 方程两边同时乘以，得， 解得：． 检验：把代入． ∴原方程无解． 21． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键． 先根据分式的混合运算法则化简，然后将、代入计算即可． 【详解】解： ． 当、时，原式． 22．(1)①不等式的基本性质1，②平方差公式 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、非负数的性质、三角形的三边关系、算术平方根、实数大小比较、不等式的性质，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． （1）依据题意，根据不等式的性质，及平方差公式即可判断得解； （2）依据题意，根据所给信息即可计算判断得解． 【详解】（1）解：由题意，， （①不等式的基本性质1）， （②平方差公式）， 故答案为：①不等式的基本性质1，②平方差公式． （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ． 23．乙骑自行车速度为，甲开车速度为50 【分析】设乙骑自行车速度为x ，则甲开车速度为，根据题意，得，计算求出满足要求的解，进而可得结果． 【详解】解：设乙骑自行车速度为x ，则甲开车速度为， 根据题意，得， 解得，， 经检验，是原分式方程的解， ∴， 答：乙骑自行车速度为，甲开车速度为50． 【点睛】本题考查了分式方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列分式方程． 24．(1)见解析 (2)18 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理证明四边形为平行四边形． （2）利用平行四边形的性质，三角形面积特性，计算解答即可． 本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形面积特性，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和三角形面积的特性是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴，，，． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴． 即． 在和中， ， ∴， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． （2）解：连接，交于点Q， ∵四边形的面积为6，四边形是平行四边形． ∴，，，． 延长交于点N， ∵所在直线平分， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ． 25．(1)甲队单独完成这项过程需要25天，则乙队单独完成这项工程需要20天 (2)万元 【分析】（1）设甲队单独完成这项过程需要x天，则乙队单独完成这项工程需要天， 然后根据题意列分式方程求得x的值，再求得的值即可解答； （2）应先算出甲乙合作所需天数，再算所需费用即可． 【详解】（1）解：设甲队单独完成这项过程需要x天，则乙队单独完成这项工程需要天，  根据题意，得， 解得，  经检验，是原方程的根，  则天．  答：甲队单独完成这项过程需要25天，则乙队单独完成这项工程需要20天． （2）解：设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，  则有，  解得．  因为不足一天的按一天计算， 所以工期为12天． 所以需要施工费用：（万元）．  答：需要的施工预算总费用是万元． 26．(1) (2)①证明过程见详解；② 【分析】（1）如图所示，过点作，交于点，可得四边形是平行四边形，，，由正方形，折叠的性质得到，得到，则，由勾股定理即可求解； （2）①如图所示，过点作于点，可证，得，，再证，得，由，即可求解； ②根据题意得到，设，则，，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作，交于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 在正方形中，， ∵折叠， ∴，垂足为点， ∴，垂足为点， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， ∴， ∴的长为， 故答案为：； （2）解：①如图所示，过点作于点， ∴， ∵折叠， ∴， 在正方形中，， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴，，， ∴，， 在中， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②根据上述证明得到， ∴， 设，则， ∴， ∵的面积为， ∴，则， 在中，， ∴，整理得，， 设， ∴，整理得，， 解得，， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质等知识的综合，掌握正方形的性质，折叠的性质，数形结合分析，合理作出辅助线是关键． 学科网（北京）股份有限公司 $