江苏省苏州市2025～2026学年八年级下学期数学期末模拟试卷一

**基本信息** 立足初二数学核心知识，通过投壶概率、纸扇黄金比、拍照成像等生活与文化情境，结合动态几何（如正方形旋转、折叠问题）及统计应用，考查抽象能力、推理意识与数据观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|二次根式、因式分解、抽样调查、位似变换|第3题以教师生日调查考样本概念，强化数据意识| |填空题|8/24|函数自变量范围、统计概率、中点性质|第12题纸扇黄金比渗透文化传承，体现数学审美| |解答题|11/82|几何证明（等腰梯形）、应用题（工作效率）、动态几何（折叠）|第22题以拍照成像考相似三角形，第27题中心对称重叠面积探究，培养创新意识与推理能力|

参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D D B C A D C 1．A 【详解】解：A、，不能与合并，故A符合题意； B、，能与合并，故B不符合题意； C、，能与合并，故C不符合题意； D、，能与合并，故D不符合题意． 2．D 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，据此进行判断即可． 【详解】解：选项A：，是因式分解，但未分解彻底，所以选项A不符合题意； 选项B：是乘法运算，没有化为几个整式的积的形式，所以选项B不符合题意； 选项C：右侧没有化为几个整式的积的形式，所以选项C不符合题意； 选项D：符合因式分解的定义，所以选项D符合题意． 3．D 【分析】根据抽样调查的知识点判断即可得到结果； 【详解】解：这是一个抽样调查，样本是被抽查的13名教师的出生月份，因此选项A不正确，选项D正确； 这个问题中的总体是80名教师的出生月份，因此选项B不正确； “这13名教师中有人出生月份相同”是必然事件，因此选项C不正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了抽样调查的知识点，准确分析是解题的关键． 4．B 【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：∵与位似，位似中心是原点O， ∴位似比为， ∵， ∴，即， 故选：B． 5．C 【分析】根据平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定逐项进行判断即可． 【详解】解：A、且，不能得到四边形是矩形，故A错误； B、且，仅能说明邻边相等，对边关系不确定， 则四边形不一定是菱形，故B错误； C、且，则对角线互相平分，四边形是平行四边形，故C正确； D、且，未强调对角线互相平分， 则不能判定四边形是正方形，故D错误． 6．A 【分析】本题考查分式方程的解与增根的概念．先将分式方程化为整式方程，得到关于的表达式，再分别验证甲、乙、丙的结论即可． 【详解】解：原方程整理得：， 方程两边同乘得：， 展开整理得：， ， 分式方程分母不为， ，即，得， 验证甲：当时，，满足，结论正确； 验证乙：若方程有增根，则增根为，代入得，解得，结论正确； 验证丙：若方程的解为非负数，则，即，解得，又， 的取值范围是且，丙的结论错误； 甲、乙对，丙错，故选A． 7．D 【分析】首先根据方程有两个实数根，利用判别式求出参数的取值范围；再通过韦达定理得到两根之和与两根之积，将所求式子展开并转化为关于的代数式并配方，最后在的取值范围内求出最小值． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，解得， 且． ∴． ∵，， ∴， ∴的最小值是，故选D． 8．C 【分析】根据等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，正方形的性质，旋转的性质，以及三角形的面积公式，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定与性质，对每个选项逐一判断即可． 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴平分， ∴， 在上取一点G，使，连接， ∵四边形为正方形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在正方形中，， ∴，， ∴， 化简得，故A正确，不符合题意． 延长，过作延长线垂线， ，， ∵， ∴， 即， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，，， ∴，， 即，故B正确，不符合题意． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故D正确，不符合题意． 由B选项可知，， ∴, 整理得：， ∴当取最小值时，，故C错误，符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，正方形的性质，旋转的性质，以及三角形的面积公式，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据题中信息解答． 9． 【分析】根据函数、二次根式、分式有意义的条件列出不等式组求解即可． 【详解】解：根据二次根式被开方数为非负数，分式分母不为零，可得，解得：． 10． 【分析】本题主要考查了模拟试验，由频率估计概率，近似数等知识点，掌握用频率估计概率是解题的关键．结合折线统计图，随着试验次数的增加，投中的频率逐渐稳定在附近，据此即可估计小新投壶一次投中的概率． 【详解】解：由图可知，随着试验次数的增加，投中的频率逐渐稳定在附近，投中的概率约为，结果保留到小数点后一位为， 故答案为：． 11．1 【分析】由直角三角形斜边中线的性质得出AB=2DE，再由三角形中位线的性质可得FG的长； 【详解】解：∵Rt△ABC中，点E是AB的中点，DE=1， ∴AB=2DE=2， ∵点F、G分别是AC、BC中点， ∴， 故答案为：1 【点睛】本题考查了直角三角形的性质及三角形中位线的性质等知识；熟练掌握中位线定理是解题的关键． 12． 【分析】根据黄金分割的定义，确定线段与的数量关系，即较短线段与较长线段的比等于黄金比，代入的长度进行计算即可求解． 【详解】解：由题意可知，与之比符合黄金比，且由图形可知为较长线段，为较短线段， 根据黄金分割的定义可得 因为 所以 13．， 【分析】先对等式左侧分式通分，根据左右两边分式分母相等，得到分子对应项系数相等，列二元一次方程组求解即可得到常数的值． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得． 14． 【分析】本题考查了无理方程，涉及解一元二次方程、二次根式有意义的条件、求不等式组的解集等知识点． 根据二次根式有意义的条件得到，解得，再将无理方程两边平方，整理得，求出的值，再验证是否满足，即可得出答案． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∵， ∴，即， 整理得：， 解得，， ∵， ∴， ∴方程的解为． 故答案为：． 15．或 【分析】分四边形是菱形和四边形是菱形两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵四边形为矩形，，， ∴轴，，， ∵点D是的中点， ∴， 当O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当四边形是菱形时，则， ∴， ∴， ∴； ②当四边形为菱形时，则， ∴， ∴； 综上：或． 16．2或6 【分析】平行于的一边的位置共有两种：①，先证明，求出，，，然后设，根据勾股定理列方程求解即可；②，根据轴对称的性质，结合平行线的性质证明即可． 【详解】解：，，， ， 当时，， 沿直线折叠，得到， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得； 当时，， 沿直线折叠，得到， ， ， ； 综上所述，线段的长为2或6． 【点睛】先要根据已知条件画出符合题意的不同位置的图形，然后根据相似三角形的性质、勾股定理等知识求解． 17． 【详解】解：原式 ． 18． 【详解】解：原方程可化为 方程两边同乘最简公分母，得 展开整理得 因式分解得 解得， 检验：当时，，原分式方程分母为0，无意义，因此是增根，舍去 当时， 因此原方程的解为 19．； 【分析】本题考查分式的化简求值，运用整体思想是解题的关键；根据分式的运算法则先化简，由已知求出，再整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ， ， ∴原式 ． 20．(1)见解析 (2)25 【分析】（1）证明梯形的两个底角相等，、不平行，即可得到结论； （2）作于点 ，于点，根据直角三角形的性质以及平行四边形的判定与性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是梯形， ∵， ， ， ∴， ， ， ， ， ∴、不平行， 梯形是等腰梯形． （2）解：作于点 ，于点， ∵四边形是等腰梯形 ∴ ∵ ∴ ∴， ∵， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴． 21．(1)本次参与调查的居民有人； (2)补全条形统计图见解析，； (3)关注“龙江杂粮”的居民有人； 【分析】（1）根据项关注的人数为人，项关注占总人数的百分数为即可解答； （2）根据条形统计图和扇形统计图可知各项的关注人数，再根据总人数为即可解答； （3）抽样调查中项关注人数为人，抽样调查中的总人数为人即可解答． 【详解】（1）解：∵项关注的人数为人，项关注占总人数的百分数为， ∴本次参与调查的总人数有（人）， （2）解：∵本次参与调查的总人数是人，项关注人数所占百分数为， ∴项关注的人数为（人）， ∴项关注的人数为（人）， ∴项所占百分数为； ∴如图所示，    故答案为； （3）解：∵项关注人数为人，本次调查的总人数为人， ∴该社区关注关注“龙江杂粮”的居民有（人）； 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计整体，读懂条形统计图和扇形统计图的信息是解题的关键． 22．(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，可证，，再利用相似三角形对应边成比例推导即可； （2）作，，分别交直线于点，，通过证明，，得到，，再证明，结合已知，计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴，， ∴，即； （2）解：如图，作，，分别交直线于点，， 同理，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 23．(1)甲组单独完成整项工作需要天 (2)该纪念品的售价为元 【分析】（1）根据工作总量工作时间工作效率，设甲组单独完成整项工作需要天，则甲组的工作效率是，乙组的工作效率是，根据工程的完成情况列方程解答即可． （2）根据利润（售价进价）销售量，设该纪念品的售价为元，根据涨价后的销售情况列方程解答即可． 【详解】（1）解：设甲组单独完成整项工作需要天，则甲组的工作效率是，乙组的工作效率是， 由题意可列方程：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：甲组单独完成整项工作需要天； （2）解：设该纪念品的售价为元， 由题意可列方程：， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴． 答：该纪念品的售价为元． 24．（1） （2）9 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，运用平方差公式进行运算，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据材料中的方法进行分母有理化； （2）先将各部分分母有理化，再计算加减． 【详解】（1）解：； （2） ． 25．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合平行四边形的性质得，．又因为，得，则四边形是平行四边形； （2）结合四边形是菱形，得，再由等边对等角得，证明，然后整理，得，即可作答． （3）根据矩形的性质以及M为的中点，得，因为，证明，故，最后把数值代入进行化简，即可作答． 【详解】（1）证明∶∵四边形是平行四边形， ∴，． 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 又， ∴， ， ∴． （3）解：当四边形是矩形时，，故此时点B，E重合．补全图形如图所示． ∵点G是矩形的对角线的交点， ，， ∵M为的中点， ∴ ∵ ， ∵， ∴，， ， ∴， 则 ∴． 26．(1)见解析 (2)或或9 (3)2 【分析】（1）可推出，从而得出结论； （2）分为三种情形：当点E在上时，设，则，根据得出，从而求得结果；当点E在的延长线上，当时，设，则，根据得出，进而求得结果；当时，设，由得出，求得m的值，进一步得出结果； （3）作，交于点G，作于H，作于Q，作于T，可得：，，，从而得出比例式，设，则，设，则，依次表示出，根据列出①；可得出，从而，进而得出②，由①②求x的值，进而得出结果． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：如图1， 当点E在上时，设， 是以为腰的三角形， ， ， 由（1）得：； ∴，即， ∴， ， 如图2， 当点E在的延长线上，当时， 由（1）得：； ∴，即， 设，则， ∴， ∴， ∴， 如图3， 当时，设， 由得，， ， ， 综上所述：的长为或或9； （3）解：如图4， 作，交于点G，作于H，作于Q，作于T， 可得：，，， ∴， 设，则，设，则， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 由得， ， ①， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴②， 由①②得，， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 27．(1)①，② (2)，是的重心. 【分析】（1）①利用面积先求解，再结合中心对称的性质可得，②证明，可设，结合的面积为，可得，同理，进一步建立方程求解即可. （2）如图，连接，，记，的交点为，证明共线，共线，，，，，，设，，， 可得，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵点关于点的对称点为点， ∴. ②∵， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴设， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴， ∵ 与关于成中心对称， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， 解得：，经检验符合题意， ∵，， ∴， ∴. （2）解：如图，连接，，记，的交点为， ∵与关于成中心对称，“平行六边形”， ∴共线，共线，，，，， ∴， 设，，， ∴, ∵， ∴， ∴，即， 同理：， ∴，即， 同理：， ∴，即， ∴， ∵，，， ∴的最小值为： ， 此时，，， ∴，即， ∴“平行六边形”的面积的最大值为：， 同理可得：， 同理：，， ∴，， ∴， ∴是的重心. 【点睛】本题考查的是中心对称的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的重心的判定与性质，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线，选择合适的方法解题是关键. 学科网（北京）股份有限公司 $初二数学 期末考试模拟试卷（一） 2025~2026年第二学期苏州市期末考试模拟试卷（一） 初 二 数 学 2026.06 注意事项: 1.本试卷共27小题,满分130分,考试时间120分钟; 2.答题前,考生务必将自己的姓名、考点名称、考场号、座位号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡相应位置上,并认真核对条形码上的准考号、姓名是否与本人的相符; 3.答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案;答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上,不在答题区域内的答案一律无效,不得用其他笔答题; 4.考生答题必须答在答题卡上,保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破,答在试卷和草稿纸上一律无效. 1、 选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上. 1．下列二次根式中，不能与合并的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式中，由左向右变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 3．某校有教师80名，为体现“人文关怀，尊师重教”，学校决定按月为教师过集体生日．办公室先随机抽查统计了其中13名教师的出生月份，则下列说法正确的是 A．这是一个抽样调查，样本是被抽查的13名教师 B．这个问题中的总体是80名教师 C．“这13名教师中有人出生月份相同”是随机事件 D．这是一个抽样调查，样本是被抽查的13名教师的出生月份 4．如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点O，已知，则的对应点的坐标是 A． B． C． D． （第4题图） （第5题图） 5．如图，在四边形中，对角线、相交于点O，则下列说法正确的是 A．若且，则四边形是矩形 B．若且，则四边形是菱形 C．若且，则四边形是平行四边形 D．若且，则四边形是正方形 6．李老师在多媒体上展示了一个关于的方程，甲、乙、丙同学分别提出了自己的结论：甲：当时，此方程的解为；乙：若此方程有增根，则；丙：当此方程的解是非负数时，的取值范围是．下列判断正确的是 A．甲、乙对，丙错 B．甲、丙对，乙错 C．乙、丙对，甲错 D．甲、乙、丙都对 7．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是 A． B． C． D． 8．如图，在正方形中，，点是上一点，连接，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，则下列结论错误的是 A．当时， B．当时， C．当取最小值时， D．当时，（第8题图） 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。把答案直接填在答题卡相应位置上. 9．函数中自变量的取值范围是 ▲ ． 10．投壶是中国古代一种宴饮游戏和礼仪活动．某小组统计了小新在同一条件下投壶投中的次数，绘制了如图所示的折线统计图： （第10题图） 据此估计小新投壶一次投中的概率为 ▲ （结果精确到0.1）． 11．如图，在和中，，、、分别为、、的中点，若，则 ▲ ． （第11题图） （第12题图） 12．中国纸扇历史悠久，古代工匠凭审美与经验形成了稳定的“东方黄金律”，设计中多处暗合黄金分割．如扇面高度（）与扇柄长度（）之比就符合黄金比，此时重心适中，持握舒适．若，则 ▲ ．（结果保留根号） 13．已知，则常数，的值分别是： ▲ ． 14．已知被开方数中含有未知数的方程是无理方程，无理方程又叫根式方程，则关于的无理方程的解为 ▲ ． 15．已知如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，，点D是的中点，动点P在线段上．以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒．在第一象限内，线段上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？写出点Q的坐标 ▲ . （第15题图） （第16题图） 16．如图，在中，，，，点P是线段上一点，连接．将沿直线折叠，点A落在点D处．当平行于的一边时（不在的边上），线段的长为 ▲ ． 三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔． 17．（本题满分3分） 计算：． 18．（本题满分3分） 解方程：． 19．（本题满分4分） 先化简，再求值：，其中满足． 20．（本题满分6分） 如图，已知在四边形中，，，，，． (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)求的长． （第20题图） 21．（本题满分8分） 第二十二届中国绿色食品博览会上，我省采用多种形式，全方位展示“寒地黑土”“绿色有机”金字招牌，大力推介以下绿色优质农产品：．“龙江奶”；．“龙江肉”；．“龙江米”；．“龙江杂粮”；．“龙江菜”；．“龙江山珍”等，为了更好地了解某社区对以上六类绿色优质农产品的关注程度，某校学生对社区居民进行了抽样调查（每位居民只选最关注的一项），根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整统计图．请根据两幅统计图中的信息，解答下列问题：    （第21题图） (1)本次参与调查的居民有多少人？ (2)补全条形统计图，在扇形统计图中类的百分比是 ▲ ； (3)如果该社区有人，估计关注“龙江杂粮”的居民有多少人？ 22．（本题满分8分） 如何拍出大长腿的效果？ （第22题图） 【数学眼光】 如图①，低角度拍摄，并结合仰拍技巧，可以有效地拉长腿部线条． 【数学思维】 (1)针孔相机的成像原理：如图②，由于光的直射，人的足部与头部通过小孔的成像分别在，处，线段的像是线段，上点的像是点．若，求证：． 【数学语言】 (2)如图③，小美站立在处，摄影师给小美仰拍．小美的身高的像为，腿部的像为．若，，，，，求的值. 23．（本题满分8分） 某广告公司承包了一项产品推广工作，派遣了甲组和乙组共同参与，已知乙组的工作效率是甲组的，甲组先单独做了天，之后甲组和乙组又合作了天，刚好如期完成了整项工作． (1)求甲组单独完成整项工作需要多少天？ (2)推广工作结束后，该公司负责人为提高业绩，立即发售代表该产品的特色套装纪念品，每套纪念品进价元，定价为元，发售前进行市场调查，售价元时，每天可卖套，而售价每涨元，日销售量就减少套，若想每天获利元，在售价不低于原售价的基础上，那么该纪念品的售价应为多少元？ 24．（本题满分8分） 【知识链接】 ①有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．例如：的一个有理化因式是；的一个有理化因式是． ②分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：，． 【知识理解】（1）将的分母有理化； 【启发运用】（2）计算： 25．（本题满分10分） 在中，，点D是的中点，点E在边上，以为两边作平行四边形，连接． （第25题图） (1)如图（1），求证：四边形是平行四边形； (2)如图（2），当四边形是菱形时，求证： (3)若四边形为矩形，与相交于点G，M为的中点，连接交于点N，请在图（3）中补全图形，并求出的值． 26．（本题满分12分） 已知，如图1，在等腰中，，点E是射线上的动点，点D是边上的动点，且，射线交射线于点F． （第26题图） (1)求证：； (2)连接，如果是以为腰的等腰三角形，求线段的长； (3)如图2，当点E在边上时，连接，若，线段的长 为 ▲ ． 27．（本题满分12分） 【数学发现】 某校数学兴趣小组进行了如下探究：以内部任意一点为中心，画出与成中心对称的．当点处于不同位置时，从“形”的角度发现两个三角形的重叠部分只可能有两种情况：如图1所示的平行四边形，如图2所示的有三组对边分别平行的六边形（称为“平行六边形”）；从“数”的角度发现两个三角形重叠部分的面积在不断变化． （第27题图-1） 【问题解决】 组员小明选择面积为1的，以其内部任意一点为中心，画出与之成中心对称的，探究了下列问题，请你帮他解答． （第27题图-2） (1)如图3，，当点关于点的对称点落在边上时，两个三角形重叠部分为． ①若，求的长； ②若的面积为，求的长． (2)如图4，点为的中点，点在上，若两个三角形的重叠部分为“平行六边形”，求“平行六边形”面积的最大值，并指出此时点的位置． 数学试卷 第 3 页（共 6 页） 学科网（北京）股份有限公司 $