精品解析：河南许昌市建安区第二高级中学2025-2026学年高二下学期第二次质量检测数学试题

2025-2026学年第二学期第二次质量检测 高二数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷、答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知空间中三点共线，则（ ） A. 2 B. 0 C. 1 D. -1 【答案】B 【解析】 【分析】由三点共线可得，进而根据空间向量平行的坐标表示求解即可. 【详解】因为三点共线，所以， 因为，所以，解得. 故选：B 2. 若直线l与直线垂直，则l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，结合直线l与直线垂直得斜率，从而得到l的倾斜角． 【详解】直线的斜率是， 因为直线l与直线垂直，所以直线l的斜率为， 由，所以l的倾斜角为． 故选：B. 3. 已知随机变量服从正态分布，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】由方差的性质即可求解. 【详解】由题意得，所以. 故选：C. 4. 已知在数列中，，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】推导出数列的周期，利用数列的周期性可求得的值. 【详解】因为，则， ，故. 故选：A. 5. 某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻且第一个节目不能是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（ ）种. A. 144 B. 288 C. 480 D. 672 【答案】B 【解析】 【分析】利用插空法分步考虑即可，需要注意限制条件. 【详解】先排 4 个歌舞节目，有种排法，排好后会产生 5 个空位（包括两端）， 然后将 2 个机器人表演节目插入除第一个以外的空位，有种排法， 所以满足条件的排法有种. 6. 设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产规格的芯片， 现有 20 块该规格的芯片， 其中甲、乙生产的芯片分别为 12 块， 8 块， 且乙生产该芯片的次品率为， 现从这 20 块芯片中任取一块芯片， 若取得芯片的次品率为， 则甲厂生产该芯片的次品率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先设分别表示取得的这块芯片是由甲厂、乙厂生产的，B表示取得的芯片为次品，甲厂生产该芯片的次品率为，得到则，，，，再利用全概率公式求解即可. 【详解】设分别表示取得的这块芯片是由甲厂、乙厂生产的，B表示取得的芯片为次品， 甲厂生产该芯片的次品率为， 则，，，， 则由全概率公式得：，解得， 故选：B． 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线右支上一点，且轴，若直线与以为圆心，为半径的圆相切，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知得出，再轴，代入计算得出，最后应用定义得出齐次式计算离心率. 【详解】因为直线与以为圆心，为半径的圆相切，所以圆的半径， 又，所以，所以， 因为轴，所以当时，有，解得，所以， 因为，所以， 所以，整理得， 因为，所以，解得. 8. 某次知识竞赛中，题库共有9道题目，选手需随机抽取3道作答.答对题数未达到2道的视为不合格，记为分；恰好答对2道的为合格，记为0分；3道题全部答对为优秀，记为2分.已知某位选手仅能答对其中5道题，记该选手的得分为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】的所有可能取值为，0，2，根据组合数及古典概型求出相应概率，列出分布列，根据期望公式求解即可. 【详解】的所有可能取值为，0，2， 所以， ， ， 则的分布列为： 0 2 所以. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设是等差数列，是其前n项的和.且，，则下面结论正确的是（ ） A. B. C. 与均为的最大值 D. 满足的n的最小值为14 【答案】BCD 【解析】 【分析】由可判断A错误；由A可得B正确；由，可得C正确；由等差中项和前项和的性质可得D正确. 【详解】A：因为，所以， 所以，故A错误； B：由A的解析可得B正确； C：因为，，所以与均为的最大值，故C正确； D：因为，由，， 故D正确； 故选：BCD. 10. 已知展开式中二项式系数之和为64，则（ ） A. B. 展开式的各项系数之和是1 C. 展开式中第4项的二项式系数最大 D. 展开式中常数项为240 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二项式系数之和得到，再根据二项式及展开式通项、组合数、赋值法判断各项的正误. 【详解】A，由题设，二项式系数之和，A错； B，所以时各项系数之和为，B对； C，由组合数的性质知，，即时二项式系数最大，C对； D，对于，则，， 令，则常数项为，D对. 故选：BCD 11. 设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴交于点，则（ ） A. B. C. D. 与的面积之比为 【答案】ABC 【解析】 【分析】联立方程消去后根据韦达定理可判断A；根据抛物线的定义列方程可解得，可判断B；根据弦长公式或两点间的距离公式可判断C；将面积比转化为线段比可判断D. 【详解】因为，由抛物线的定义知， 所以，所以在的右侧， 又，所以，如图： 由消去得， 所以，故A正确. 所以，解得或（舍去），故B正确. 所以，所以， 由韦达定理知，代入得，解得或（舍去）， 所以直线方程为，令得，所以； 令得，所以； 令得，所以， 所以，故C正确. 所以，由题意知三点共线，到与的距离相等， 所以，即与的面积之比为，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线与圆相交，所得的弦的长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】写出圆的标准方程，然后利用弦长公式计算即得. 【详解】因为圆即：， 则圆心到直线的距离：， 由弦长公式可得弦长为：. 故答案为：. 13. 给如图所示的四个区域涂色，有4种不同的颜色可选，相邻区域颜色不能相同，则共有______种不同的涂色方案. 【答案】84 【解析】 【详解】当A和C颜色相同， 第一步涂A：共4种颜色可选，所以有种选择； 第二步涂B：由于B与A不同色，只有剩下的种颜色可选，所以有种选择； 第三步涂C：由于C与A同色，只有种选择； 第四步涂D：此时D仅需与A（C）不同色，有种选择； 所以根据分步计数乘法原理可知此类方案数为：； 当A和C颜色不同， 第一步涂A：共4种颜色可选，所以有种选择； 第二步涂B：由于B与A不同色，只有剩下的种颜色可选，所以有种选择； 第三步涂C：由于C与A不同色，且与B不同，只有剩下的种颜色可选，所以有种选择； 第四步涂D：此时D既与A不同色，又与C不同色，由于A与C也不同色，故只有种选择； 所以根据分步计数乘法原理可知此类方案数为：； 利用分类计数加法原理，把这两类相加可得总方案数为：. 14. 已知直线分别与曲线，相切于点，，则的值为____________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用导数求切点处的切线方程，可得，通过指数式对数式的运算，求出的值. 【详解】由，，有，， 在点处的切线方程为， 在点处的切线方程为， 则有，得， 所以，可得. 故答案为：1. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记为数列的前项和，且． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用，再结合等比数列的概念，即可求出结果； （2）由（1）可知数列是以为首项，公差为的等差数列，根据等差数列的前项和公式，即可求出结果. 【小问1详解】 解：当时，，解得； 当且时， 所以 所以是以为首项，为公比的等比数列所以； 【小问2详解】 解：由（1）可知， 所以， 又 , 所以数列是以为首项，公差为的等差数列， 所以数列的前项和. 16. 近年来，因使用手机过久､工作压力大等因素导致不少人出现了睡眠问题.某媒体为了了解出现睡眠问题者的年龄分布，调查了200名成年人的睡眠时间，得到如下列联表： 90后 非90后 合计 23：00前入睡 30 80 23：00后入睡 合计 100 200 （1）完成列联表，根据小概率值的独立性检验，分析能否认为“23：00前入睡”与“是90后”有关联？ （2）随着出现睡眠问题人群的增加，及社会对睡眠健康重视程度的加深，有助提高睡眠质量的产品受到消费者推崇，记年的年份代码依次为1，2，3，4，5，下表为年中国睡眠经济市场规模及2024年中国睡眠经济市场规模（单位：千亿元）预测， 年份代码 1 2 3 4 5 市场规模 3.8 4.2 4.5 5.0 5.3 根据上表数据求关于的回归方程. 参考公式：，其中.回归方程， 其中 参考数据：. 【答案】（1）列联表见解析，认为“前入睡”与“是90后”有关联 （2） 【解析】 【分析】（1）补全列联表，根据公式求出，再通过独立性检验与临界值比较判断即可； （2）利用公式得到经验回归方程. 【小问1详解】 列联表如下： 90后 非90后 合计 前入睡 30 50 80 后入睡 70 50 120 合计 100 100 200 零假设：“23：00前入睡”与“是90后”无关联， 因为， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为“前入睡”与“是90后”有关联，此推断犯错误的概率不超过0.01. 【小问2详解】 由的取值依次为， 得， 所以， ， 所以， 所以关于的回归方程为. 17. 已知函数. （1）当时，求函数的极值点； （2）若对任意，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）是函数的极小值点； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数的极值点. （2）分离参数并构造，再利用导数求出最大值即可. 【小问1详解】 当时，函数的定义域为，求导得， 由，得，当时，；当时，， 所以是函数的极小值点. 【小问2详解】 当时，不等式， 设，依题意，，， 求导得，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，，则， 所以实数的取值范围是. 18. 如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，、、分别是、、的中点. （1）求证：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为 （ⅰ）求的值； （ⅱ）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 因为四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面， 所以以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，所以，，， 所以， ，所以，， 即，，又，，平面， 所以平面； （2）（i）或（ii） 【解析】 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，应用数量积得出线线垂直，再应用线面垂直判定定理证明即可； （2）（ⅰ）先求出平面的一个法向量，再应用线面角正弦公式计算得出参数；（ⅱ）再求出平面的一个法向量进而应用二面角余弦公式计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知，，， 设平面的一个法向量为，则， 所以，取，则，，所以， 设直线与平面所成的角为， 所以， 化简得，解得或，所以或. （ⅱ）因为，所以由（ⅰ）知，所以，， 由（1）知，平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，则， 所以，取，则，，所以， 设平面与平面夹角为， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 19. 某篮球运动员进行定点投篮训练，据以往训练结果，第一次投篮命中的概率为．若前一次投篮命中，那么下次投篮命中的概率为；若前一次投篮未命中，那么下次投篮命中的概率为． （1）求该运动员第二次投篮命中的概率； （2）记该运动员前两次投篮命中的次数为，求的分布列和数学期望； （3）设第次投篮命中的概率为，求证：． 【答案】（1） （2） 0 1 2 数学期望为 （3） 由题意得，； 当时， 即， 变形为，所以数列是以为公比的等比数列， 又，于是， 即，所以． 【解析】 【分析】（1）设事件“第次投篮命中”，再根据全概率公式求解即可； （2）由题意的所有取值为0,1,2，再求分布列与数学期望即可； （3）由题意得，；再根据题意得出递推公式，进而构造数列求解即可. 【小问1详解】 设事件“第次投篮命中”，则“第次投篮未命中”，， 易知与是互斥事件， 所以由全概率公式得 该运动员第二次投篮命中的概率为． 【小问2详解】 由题意得，， 的所有取值为0,1,2， , 所以的分布列为 0 1 2 ……所以． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期第二次质量检测 高二数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷、答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知空间中三点共线，则（ ） A. 2 B. 0 C. 1 D. -1 2. 若直线l与直线垂直，则l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知随机变量服从正态分布，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 4. 已知在数列中，，，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻且第一个节目不能是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（ ）种. A. 144 B. 288 C. 480 D. 672 6. 设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产规格的芯片， 现有 20 块该规格的芯片， 其中甲、乙生产的芯片分别为 12 块， 8 块， 且乙生产该芯片的次品率为， 现从这 20 块芯片中任取一块芯片， 若取得芯片的次品率为， 则甲厂生产该芯片的次品率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线右支上一点，且轴，若直线与以为圆心，为半径的圆相切，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 某次知识竞赛中，题库共有9道题目，选手需随机抽取3道作答.答对题数未达到2道的视为不合格，记为分；恰好答对2道的为合格，记为0分；3道题全部答对为优秀，记为2分.已知某位选手仅能答对其中5道题，记该选手的得分为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设是等差数列，是其前n项的和.且，，则下面结论正确的是（ ） A. B. C. 与均为的最大值 D. 满足的n的最小值为14 10. 已知展开式中二项式系数之和为64，则（ ） A. B. 展开式的各项系数之和是1 C. 展开式中第4项的二项式系数最大 D. 展开式中常数项为240 11. 设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴交于点，则（ ） A. B. C. D. 与的面积之比为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线与圆相交，所得的弦的长为__________. 13. 给如图所示的四个区域涂色，有4种不同的颜色可选，相邻区域颜色不能相同，则共有______种不同的涂色方案. 14. 已知直线分别与曲线，相切于点，，则的值为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记为数列的前项和，且． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 近年来，因使用手机过久､工作压力大等因素导致不少人出现了睡眠问题.某媒体为了了解出现睡眠问题者的年龄分布，调查了200名成年人的睡眠时间，得到如下列联表： 90后 非90后 合计 23：00前入睡 30 80 23：00后入睡 合计 100 200 （1）完成列联表，根据小概率值的独立性检验，分析能否认为“23：00前入睡”与“是90后”有关联？ （2）随着出现睡眠问题人群的增加，及社会对睡眠健康重视程度的加深，有助提高睡眠质量的产品受到消费者推崇，记年的年份代码依次为1，2，3，4，5，下表为年中国睡眠经济市场规模及2024年中国睡眠经济市场规模（单位：千亿元）预测， 年份代码 1 2 3 4 5 市场规模 3.8 4.2 4.5 5.0 5.3 根据上表数据求关于的回归方程. 参考公式：，其中.回归方程， 其中 参考数据：. 17. 已知函数. （1）当时，求函数的极值点； （2）若对任意，恒成立，求实数a的取值范围. 18. 如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，、、分别是、、的中点. （1）求证：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为 （ⅰ）求的值； （ⅱ）若，求平面与平面夹角的余弦值. 19. 某篮球运动员进行定点投篮训练，据以往训练结果，第一次投篮命中的概率为．若前一次投篮命中，那么下次投篮命中的概率为；若前一次投篮未命中，那么下次投篮命中的概率为． （1）求该运动员第二次投篮命中的概率； （2）记该运动员前两次投篮命中的次数为，求的分布列和数学期望； （3）设第次投篮命中的概率为，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $