第六章 解三角形的简单应用讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学讲义通过表格对比与分类梳理构建解三角形知识体系，涵盖正余弦定理及其变形、三角形面积公式、解的个数判断、隐含条件及实际测量术语，清晰呈现知识脉络与重难点内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，从正弦定理应用到实际测量问题，如“测量河对岸塔高”题培养数学眼光与应用意识，综合题提升推理能力，助力不同学生巩固基础或深化思维，为教师精准教学提供系统支持。

第六章 解三角形的简单应用 目录 题型1：正弦定理的应用 5 题型2：三角形解的个数 8 题型3：余弦定理的应用 10 题型4：判断三角形的形状 12 题型5：三角形中的面积与周长问题 16 题型6：正、余弦定理的综合 23 题型7：解三角形的实际应用 27 1. 余弦定理 (1) 余弦定理：三角形中任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即 ； ； ． (2) 常见变形：. 2. 正弦定理 (1) 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等.即 (为外接圆半径). (2) 常见变形及推论 ①; ②; ③; ④. 3. 三角形的面积 (1) ； (2) （别为内切圆的半径）. 4. 三角形解的个数问题 为锐角 为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 5. 解三角形时，注意的隐含条件： (1) 三边关系：①;②. (2) 内角和定理：. (3) ①;②射影定理:; ③;④; ⑤;⑥. (4) 大边对大角：； (5) 若为锐角三角形，则 ①； ②. 6. 余弦定理、正弦定理应用举例 (1) 实际测量中的有关名称、术语 术语 概念 图示 基线 在测量过程中，根据测量的需要而确定的线段叫做基线. 在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量有较高的精确度.一般来说，基线越长，测量的精确度越高. 铅垂平面 与地面垂直的平面 坡角和坡比 坡角：坡面与水平面的夹角. 坡比（坡度）：坡面的垂直高度与水平宽度的比. 视角 观察物体时，从物体两端引出的光线在人眼光心处形成的夹角. 仰角和俯角 仰角：在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角. 俯角：在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角. 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角. 方位角 从正北方向顺时针转到目标方向线的最小正角. (2) 测量距离、高度、角度的问题 ①当长度不可直接测量时，求间的距离有以下三种类型： 类型一： . 类型二： . 类型三： ,, . ②当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型： 类型一： . 类型二： ，. 类型三： ，. ③角度测量问题主要涉及测量不可达两点间的视角、航海中的方位角、高度测量中的仰角等，解决问题的关键是根据题意画出草图，将实际问题中的方位、距离、角度在图中标清楚，再找三角形，然后化归为方程问题求解并检验作答。 题型1：正弦定理的应用 【例1.1.】 在中，角，，所对的边为，，.若，，则外接圆的面积为____________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】正弦定理求外接圆半径 【分析】借助正弦定理计算可得，再由圆的面积公式即可得. 【详解】设外接圆的半径为， 由正弦定理可得，故， 则外接圆的面积. 【例1.2.】 若外接圆的半径为，内角的对边分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、正弦定理解三角形 【分析】已知等式由正弦定理边化角解得，又，可求的值. 【详解】由，有，得， 因为，所以，所以或， 又，所以应舍去，则. 又，解得. 【例1.3.】 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】应用正弦定理结合角的范围计算求解. 【详解】因为，，，所以. 因为，所以. 故选：C. 【例1.4.】 在中，角A，B，C的对边分别为，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【难度】0.82 【知识点】正弦定理解三角形、已知正（余）弦求余（正）弦 【详解】，， ， 由正弦定理得：， ． 【例1.5.】 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则角C为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】根据题意，利用正弦定理，求得，结合，得到，即可求解. 【详解】因为，，， 由正弦定理，可得， 因为，可得，所以. 【例1.6.】 记△ABC的内角的对边分别为,已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用 【分析】利用和角公式与正弦定理将题设等式化成，结合角的范围即可求得角. 【详解】由，展开得， 由正弦定理，， 因， 代入可得， 即. 因为，所以，故， 则，又，所以. 【例1.7.】 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)若，求边c的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.78 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形 【分析】（1） 应用两角和的正弦公式，再应用正弦定理计算求解； （2）应用正弦定理结合诱导公式计算求解边长比. 【详解】（1）， 由正弦定理，， 得. （2）由正弦定理及， 得， 即， 又， 所以， 所以，即. 题型2：三角形解的个数 【例2.1.】 下列条件判断三角形解的情况，正确的是（   ） A．，有两解 B．，有一解 C．，无解 D．，有一解 【答案】D 【难度】0.68 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理判定三角形解的个数 【详解】对于A,由正弦定理，则， 则三角形是直角三角形，只有1解，故A错误； 对于B,由正弦定理，则， ，故，可能是锐角或钝角，故三角形有两解，故B错误； 对于C,由正弦定理，则， ，故，三角形只有1解，故C错误； 对于D,，为钝角且，故必为锐角， 三角形有1解，故D正确． 【例2.2.】 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，的有两解，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理判定三角形解的个数 【分析】根据正弦定理得到边与角的关系，再结合三角形有两解的条件来确定b的取值范围. 【详解】在中，，， 由正弦定理可得： ， 因为，且时，时， 要使有两解， 则的取值有两个，一个锐角，一个钝角， 由于，且为三角形内角， 所以的取值范围是， 同时有两解时的取值要满足， 由，可得， 又因为，可得， 综上，的取值范围为. 【例2.3.】 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝2，，满足条件的△ABC有两个，则b可能为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】已知边a与其对角A，求边b可利用正弦定理，建立边b与角B之间的关系，因为△ABC有两个，故角B有两个，根据正弦函数图象确定范围即可． 【详解】由正弦定理可得：，因为a＝2，， 故，故， 因为△ABC有两个，故存在两个不同的角B满足题意， 则（否则角B不满足有两个三角形的条件），（否则B只能有直角一个值）， 故且，则， 故，解得．故只有B选项符合题意． 题型3：余弦定理的应用 【例3.1.】 在中，分别为角所对的边，若，，，则____________． 【答案】 【难度】0.82 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理求出，再利用余弦定理求即可． 【详解】由余弦定理，， ， 故． 【例3.2.】 在中，内角的对边分别为，若，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】余弦定理解三角形 【详解】在中由余弦定理得： ，则或（舍）. 【例3.3.】 在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则角的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.53 【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、三角恒等变换的化简问题、余弦定理解三角形 【分析】借助余弦定理计算可得，借助三角恒等变换公式化简可得，代入计算即可得角的大小. 【详解】因为，由余弦定理得， 则，又，所以， 因为， 所以， 即， 又，所以， 所以或（舍）， 则，所以. 题型4：判断三角形的形状 【例4.1.】 在中，角的对边分别为，已知，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】由正弦定理把换成,代入化简得,结合三角形内角范围,得或,故三角形为等腰三角形或直角三角形. 【详解】在中，由正弦定理，为外接圆半径. 得，. 将其代入已知条件，可得. 化简得，因为，所以. 因此有两种情况： ①，即，此时为等腰三角形； ②，即，则，此时为直角三角形. 综上，的形状为等腰三角形或直角三角形. 【例4.2.】 在中，，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】正弦定理及辨析、正、余弦定理判定三角形形状 【详解】由题设，显然为三角形的最大角，且， 由，故为锐角， 综上，为锐角三角形. 【例4.3.】 若的三个内角，，满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．以上都有可能 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、正弦定理边角互化的应用 【分析】根据正弦定理得到边长比值，通过余弦定理得到最大角的余弦值 大于，进而判断三角形为锐角三角形 【详解】由正弦定理可得，则，， 因此根据余弦定理，即， 而由可知，三角形为锐角三角形. 【例4.4.】 在中的角的对应边分别为，且，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或等腰三角形 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】二倍角的余弦公式、余弦定理解三角形、余弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】将已知条件中的半角余弦表达式转化为边长关系，通过代数运算推导出角为直角. 【详解】因为，所以， 即， 所以， 即， 整理得， 角为直角，为直角三角形. 【例4.5.】 在中，若，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】和差化积公式、正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【详解】正弦定理，，，即； ，，，即. ，，； 或； ，，，，； ，，即. 【例4.6.】 在中，，则这个三角形一定是（     ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用三角恒等变换判断三角形的形状、正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】由正弦定理和三角恒等变换得到或，得到三角形形状 【详解】，由正弦定理得， 故， 又， ， 所以， 所以， 即，所以或， 由得或（舍去）， 由得， 故这个三角形一定是等腰或直角三角形 【例4.7.】 （多选）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论正确的是（） A．若，则为钝角三角形 B．若，则为锐角三角形 C．若，则一定是等腰三角形 D．若，则 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】利用余弦函数的单调性求参数、正、余弦定理判定三角形形状 【详解】选项A，根据余弦定理 已知，则，因此. 又因为，所以为钝角，故为钝角三角形，A正确； 选项B，，说明三个余弦值全为正，或一正两负. 三角形中若有两个钝角，则内角和会超过，矛盾. 因此只能是三个余弦值全为正，即均为锐角，为锐角三角形，B正确； 选项C，，根据正弦函数性质或， 即或. 当时，为直角三角形，不一定是等腰三角形，C错误； 选项D，余弦函数在上单调递减. 若，且，则，而非，D错误. 题型5：三角形中的面积与周长问题 【例5.1.】 在中，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.78 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】先利用正弦定理求出角，再结合三角形内角和定理求出角，代入三角形面积公式求解即可. 【详解】由正弦定理得，即，解得， 因为，则，所以， 因此， 所以的面积为. 【例5.2.】 已知三角形的三个内角A，，所对边为，，，若，且，，则三角形的面积为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】由正弦定理边角互化可得，随后由正弦定理可得，最后由面积公式得答案. 【详解】由正弦定理边角互化，， 得，又在三角形中，有，则. 又，由正弦定理，，则三角形面积为： . 故选：B 【例5.3.】 记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.68 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】根据正弦定理结合二倍角的正弦公式可求的正弦和余弦，再根据三角变换公式求得，从而可求三角形的面积. 【详解】在中，由正弦定理得， 即，解得，而为三角形内角，所以， ，， 所以。 则.故选：B. 【例5.4.】 已知的内角，，所对的边分别为，，，且，三角形面积为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】利用三角形面积公式和余弦定理即可求解. 【详解】根据三角形面积公式 ，代入已知，； ，解得：， 根据余弦定理 ，代入， ​， 对式子变形： ，代入， 得： ，即 ，所以， 三角形周长为. 【例5.5.】 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角B的大小； (2)若，，求的周长. 【答案】(1) (2) 【难度】0.66 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合三角形内角和性质、两角和的正弦公式化简得的值，结合角B的范围求角B； （2）先由正弦定理结合已知的值求，再由余弦定理求，进而得三角形周长， 【详解】（1）由正弦定理（为外接圆半径），得，， 代入已知等式： 因为，故， 两边约去得： 又， 故， 代入上式： ， 展开左边消去两边同类项得： 由， 得，又，故 （2）由正弦定理得： 故，，则， 代入得。;由余弦定理， 代入已知值： 化简得，结合， 代入得： 解得，因故， 因此的周长为. 【例5.6.】 记内角、、的对边分别为、、，． (1)求； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【难度】0.66 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，再结合角的取值范围可得出角的值； （2）由三角恒等变换化简得出，结合角的取值范围可得出角的值，进而可得出的值，再利用正弦定理求出、的值，结合三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）由及正弦定理知 故，即， 即， 又因为，则，所以， 又因为，所以. （2）由题知 ， 因为，所以，则，故，， 由正弦定理知：，即，得， 所以. 【例5.7.】 在中，角的对边分别为，且. (1)求角； (2)若，求边和三角形的面积. 【答案】(1) (2)，面积 【难度】0.85 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据题意，由余弦定理代入计算，即可求解； （2）根据题意，由条件可得，再由正弦定理和三角形面积公式代入计算，即可求解. 【详解】（1）已知，由余弦定理得：， ， 化简得，又，故； （2）由（1）知， 由正弦定理得. 因为， 所以. 【例5.8.】 在中，内角、、的对边分别为、、，已知. (1)求角的大小； (2)已知，为的中点，且，求的周长. 【答案】(1) (2) 【难度】0.61 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、已知数量积求模 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，再结合角的取值范围可得出角的值； （2）由题意得出，利用平面向量数量积的运算性质以及余弦定理可得出、的方程组，解出、的值，可得出的值，即可得出的周长. 【详解】（1）由及正弦定理得， 因为，所以， 代入上式：，整理得， 因为，所以，所以， 又，所以. （2）因为为中点，所以， 两边平方得 ，可得①， 由余弦定理可得②， 整理可得，，故， 故的周长为. 【例5.9.】 在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若，边上的高为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【难度】0.66 【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】(1)由正弦定理化简即可. (2)由三角形面积公式可得，再利用余弦定理可求解. 【详解】（1）由及正弦定理， 得． 因为，所以， 即，即． 因为，所以． 因为，所以． （2）由三角形面积公式，得， 将代入，得，所以． 由余弦定理，得， 解得或（舍去），则． 所以的周长为 题型6：正、余弦定理的综合 【例6.1.】 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则其外接圆的半径为__________. 【答案】 【难度】0.6 【知识点】正弦定理求外接圆半径、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理及三角形面积公式求出，再由正弦定理求解. 【详解】由可得， 因为，所以， 所以，解得， 所以，即， 由正弦定理知，，即. 【例6.2.】 已知中，角所对的边分别为，若，，，则（   ） A．3 B．5 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】根据，结合二倍角公式及正弦定理求出，再由余弦定理求出或，讨论舍去即可求出答案. 【详解】由，得， 所以. 由余弦定理，得， 解得或. 若，则，得，又由且，得， 所以，与矛盾； 若，由余弦定理得， 又，且， 所以，符合题意． 综上所述，. 【例6.3.】 在中，内角的对边分别为，若，且的面积为，则外接圆的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理和余弦定理即可求得，结合面积公式及正弦定理可求外接圆的半径，进而可求周长； 【详解】由和正弦定理得，即， 因为，所以，又因，则， 由余弦定理，，因，所以，； 在中，由解得， 由正弦定理得的外接圆的半径为， 所以外接圆的周长. 【例6.4.】 在中，三个内角分别为，，，所对的三边长分别为，，，若，并且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.55 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】题目考查解三角形的综合应用，重点考查余弦定理，正弦定理，三角恒等变换与三角形内角和定理.解题关键是通过余弦定理的代入运算，利用正弦定理将边的关系转化为角的三角函数关系，再利用三角恒等式化简，得到内角之间的数量关系，进而求出未知角. 【详解】中，因为，由，， 所以，； 又因为，(为的外接圆的半径)， ，，，得， 又，，， 所以， 两角和的正弦公式，得，，， 中，，当时，所以，. 当时，矛盾，不存在，故选项D正确. 【例6.5.】 在中，角所对的边分别为，满足，，则的外接圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.55 【知识点】正弦定理求外接圆半径、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】由正弦定理边化角得到，再通过计算，结合余弦定理即可求解. 【详解】已知，即， 由正弦定理边化角得：， 即，又，， ，，． ． ， 故，又，所以， 由正弦定理知，故． 【例6.6.】 在中，内角所对的边分别为，已知，，. (1)求外接圆的面积； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.71 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、正弦定理求外接圆半径、余弦定理解三角形 【详解】（1）已知，由正弦定理，得， 即，显然，故， 由，得， 所以外接圆的半径，其面积为. （2）由（1）知，又， 由余弦定理，可得， 解得（舍去），故. （3）由正弦定理，且，，得， 又，则为锐角，故， 故， 故 . 题型7：解三角形的实际应用 【例7.1.】 如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内且相距20米的两个测量基点与．现测量得，在点处测得塔顶的仰角分别为，若河宽至少12米，则塔高______米．    【答案】 【难度】0.62 【知识点】余弦定理解三角形、几何图形中的计算、距离测量问题、高度测量问题 【分析】根据余弦定理结合几何关系求出，结合河宽至少12米进一步判断即可. 【详解】由题意知，平面，，，，. 因为平面，所以，. 在中，，所以. 在中，，所以. 在中，由余弦定理得，， 即，整理得， 即，解得或. 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 故. 【例7.2.】 如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为15°，地面某处的俯角为45°，且，则此无人机距离地面的高度为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、高度测量问题 【分析】在中，求得，进一步可得，由正弦定理求得，又为等腰直角三角形，求得. 【详解】在中，，，所以， 在中，，， 所以， 由正弦定理得，所以， 又为等腰直角三角形，所以. 【例7.3.】 盘山是中国著名的5A级景区，它有五大主峰.以主峰挂月峰为中心，其余四峰（紫盖峰、自来峰、九华峰、舞剑峰）环绕，合称“五峰攒簇”.如图，工作人员要测量舞剑峰M，九华峰N之间的距离，P，G，M，N四点在同一铅垂平面内，飞机沿水平方向在P，G两点进行测量，途中在点P测得，，在点G测得，，测得． (1)求点P和点M之间的距离； (2)求两主峰M，N间的距离． 【答案】(1)2km； (2). 【难度】0.7 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、几何图形中的计算、距离测量问题 【分析】（1）利用三角形内角和定理求出第三个角，然后运用正弦定理解出所求边长； （2）先通过正弦定理求出另一条边的长度，再在包含目标线段的三角形中，使用余弦定理计算该线段的长. 【详解】（1）根据题意得，，， 所以， 在△PMG中，根据正弦定理， 得，解得PM，所以点P和点M之间的距离为. （2）在中，， ，所以 由正弦定理得，解得， 在中，， 由余弦定理得 ，解得. 综上所述，两主峰M、N之间的距离为． 【例7.4.】 已知，是两个暗礁群，将其视为质点，相距.为保障航行安全，欲在一条东西方向的航道（视为直线）上选取，点建两座灯塔，其中选取在距比距近的地方，且在灯塔处测得在它的南偏东方向，测得在它的南偏东方向.从灯塔沿航道向正东行驶可到灯塔，在灯塔处测得在它的南偏西方向，则在处测得在它的（    ） A．南偏西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向 【答案】C 【难度】0.55 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、角度测量问题 【分析】先作出示意图，再利用正弦定理求出的长，在中，利用余弦定理求出的长，最后在中利用余弦定理求出即可. 【详解】根据题意作出如图所示的示意图，在中，，，，则， 由正弦定理得，所以. 在中，，由余弦定理得， 即， 整理得，解得或， 因为，所以 在中，，则， 因为，所以，则， 所以在处测得在它的南偏西方向上. 【例7.5.】 （多选）某货轮在处时，灯塔位于货轮的北偏东，距离为海里，灯塔位于货轮的北偏西，距离为海里.该货轮自处向正北方向航行到处时，灯塔位于货轮的南偏东，则下列说法正确的是（ ） A．处在灯塔的西偏北 B．处与处之间的距离是海里 C．灯塔与处之间的距离是海里 D．灯塔在处的西偏南 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】距离测量问题、角度测量问题 【分析】作出示意图，利用正弦定理、余弦定理解三角形，结合方向角的概念逐项判断即可. 【详解】作出示意图如下图所示： 对于A选项，由题意可知，故处在灯塔的西偏北，A错； 对于B选项，在中，，，，故， 由正弦定理得，故， 即处与处之间的距离是海里，B对； 对于C选项，在中，，，， 由余弦定理可得， 故，即灯塔与处之间的距离是海里，C对； 对于D选项，因为，则，故灯塔在处的西偏南，D对. 【例7.6.】 如图，甲船从出发以每小时25海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里.当甲船航行12分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距5海里，下面结论正确的是（    ） A．乙船的行驶速度与甲船相同 B．乙船的行驶速度是海里/时 C．甲､乙两船相遇时，甲船行驶了小时 D．甲､乙两船可能相遇 【答案】A 【难度】0.55 【知识点】余弦定理解三角形、距离测量问题、角度测量问题、速度、位移的合成 【分析】先利用余弦定理求出乙船12分钟的航行距离得到乙船速度，再建立方程判断是否存在时间使两船相遇，从而得到正确结论. 【详解】甲船速度海里/时，航行分钟小时，因此海里， 由题意海里，， 因此是等边三角形，得海里，， 在南偏西，因此，且海里， 在中 ， 解得海里，乙船速度海里/时，和甲船速度相同，因此A正确，B错误； 建立坐标系：设，正北为轴正方向，正东为轴正方向， 设小时后甲、乙两船于处相遇，则， 乙船起点， 则， 由前分析知两船速度相同，则，则， 即， 整理得， 因为方程无正根，所以两船不会相遇，故C、D错误. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 解三角形的简单应用 目录 题型1：正弦定理的应用 5 题型2：三角形解的个数 6 题型3：余弦定理的应用 6 题型4：判断三角形的形状 7 题型5：三角形中的面积与周长问题 8 题型6：正、余弦定理的综合 9 题型7：解三角形的实际应用 10 1. 余弦定理 (1) 余弦定理：三角形中任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即 ； ； ． (2) 常见变形：. 2. 正弦定理 (1) 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等.即 (为外接圆半径). (2) 常见变形及推论 ①; ②; ③; ④. 3. 三角形的面积 (1) ； (2) （别为内切圆的半径）. 4. 三角形解的个数问题 为锐角 为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 5. 解三角形时，注意的隐含条件： (1) 三边关系：①;②. (2) 内角和定理：. (3) ①;②射影定理:; ③;④; ⑤;⑥. (4) 大边对大角：； (5) 若为锐角三角形，则 ①； ②. 6. 余弦定理、正弦定理应用举例 (1) 实际测量中的有关名称、术语 术语 概念 图示 基线 在测量过程中，根据测量的需要而确定的线段叫做基线. 在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量有较高的精确度.一般来说，基线越长，测量的精确度越高. 铅垂平面 与地面垂直的平面 坡角和坡比 坡角：坡面与水平面的夹角. 坡比（坡度）：坡面的垂直高度与水平宽度的比. 视角 观察物体时，从物体两端引出的光线在人眼光心处形成的夹角. 仰角和俯角 仰角：在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角. 俯角：在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角. 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角. 方位角 从正北方向顺时针转到目标方向线的最小正角. (2) 测量距离、高度、角度的问题 ①当长度不可直接测量时，求间的距离有以下三种类型： 类型一： . 类型二： . 类型三： ,, . ②当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型： 类型一： . 类型二： ，. 类型三： ，. ③角度测量问题主要涉及测量不可达两点间的视角、航海中的方位角、高度测量中的仰角等，解决问题的关键是根据题意画出草图，将实际问题中的方位、距离、角度在图中标清楚，再找三角形，然后化归为方程问题求解并检验作答。 题型1：正弦定理的应用 【例1.1.】 在中，角，，所对的边为，，.若，，则外接圆的面积为____________. 【例1.2.】 若外接圆的半径为，内角的对边分别为，则（    ） A． B． C． D． 【例1.3.】 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（  ） A． B． C． D． 【例1.4.】 在中，角A，B，C的对边分别为，则（   ） A． B．2 C． D． 【例1.5.】 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则角C为（    ） A． B． C．或 D．或 【例1.6.】 记△ABC的内角的对边分别为,已知，则（    ） A． B． C． D． 【例1.7.】 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)若，求边c的值； (2)若，求的值. 题型2：三角形解的个数 【例2.1.】 下列条件判断三角形解的情况，正确的是（   ） A．，有两解 B．，有一解 C．，无解 D．，有一解 【例2.2.】 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，的有两解，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2.3.】 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝2，，满足条件的△ABC有两个，则b可能为（    ） A．2 B． C． D．3 题型3：余弦定理的应用 【例3.1.】 在中，分别为角所对的边，若，，，则____________． 【例3.2.】 在中，内角的对边分别为，若，则（    ） A．3 B． C． D． 【例3.3.】 在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则角的大小为（ ） A． B． C． D． 题型4：判断三角形的形状 【例4.1.】 在中，角的对边分别为，已知，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【例4.2.】 在中，，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【例4.3.】 若的三个内角，，满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．以上都有可能 【例4.4.】 在中的角的对应边分别为，且，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或等腰三角形 【例4.5.】 在中，若，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【例4.6.】 在中，，则这个三角形一定是（     ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【例4.7.】 （多选）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论正确的是（） A．若，则为钝角三角形 B．若，则为锐角三角形 C．若，则一定是等腰三角形 D．若，则 题型5：三角形中的面积与周长问题 【例5.1.】 在中，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【例5.2.】 已知三角形的三个内角A，，所对边为，，，若，且，，则三角形的面积为（   ） A． B． C． D．1 【例5.3.】 记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【例5.4.】 已知的内角，，所对的边分别为，，，且，三角形面积为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【例5.5.】 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角B的大小； (2)若，，求的周长. 【例5.6.】 记内角、、的对边分别为、、，． (1)求； (2)若，且，求的面积． 【例5.7.】 在中，角的对边分别为，且. (1)求角； (2)若，求边和三角形的面积. 【例5.8.】 在中，内角、、的对边分别为、、，已知. (1)求角的大小； (2)已知，为的中点，且，求的周长. 【例5.9.】 在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若，边上的高为，求的周长． 题型6：正、余弦定理的综合 【例6.1.】 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则其外接圆的半径为__________. 【例6.2.】 已知中，角所对的边分别为，若，，，则（   ） A．3 B．5 C． D． 【例6.3.】 在中，内角的对边分别为，若，且的面积为，则外接圆的周长为（   ） A． B． C． D． 【例6.4.】 在中，三个内角分别为，，，所对的三边长分别为，，，若，并且，则（   ） A． B． C． D． 【例6.5.】 在中，角所对的边分别为，满足，，则的外接圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例6.6.】 在中，内角所对的边分别为，已知，，. (1)求外接圆的面积； (2)求的值； (3)求的值. 题型7：解三角形的实际应用 【例7.1.】 如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内且相距20米的两个测量基点与．现测量得，在点处测得塔顶的仰角分别为，若河宽至少12米，则塔高______米．    【例7.2.】 如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为15°，地面某处的俯角为45°，且，则此无人机距离地面的高度为（ ） A． B． C． D． 【例7.3.】 盘山是中国著名的5A级景区，它有五大主峰.以主峰挂月峰为中心，其余四峰（紫盖峰、自来峰、九华峰、舞剑峰）环绕，合称“五峰攒簇”.如图，工作人员要测量舞剑峰M，九华峰N之间的距离，P，G，M，N四点在同一铅垂平面内，飞机沿水平方向在P，G两点进行测量，途中在点P测得，，在点G测得，，测得． (1)求点P和点M之间的距离； (2)求两主峰M，N间的距离． 【例7.4.】 已知，是两个暗礁群，将其视为质点，相距.为保障航行安全，欲在一条东西方向的航道（视为直线）上选取，点建两座灯塔，其中选取在距比距近的地方，且在灯塔处测得在它的南偏东方向，测得在它的南偏东方向.从灯塔沿航道向正东行驶可到灯塔，在灯塔处测得在它的南偏西方向，则在处测得在它的（    ） A．南偏西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向 【例7.5.】 （多选）某货轮在处时，灯塔位于货轮的北偏东，距离为海里，灯塔位于货轮的北偏西，距离为海里.该货轮自处向正北方向航行到处时，灯塔位于货轮的南偏东，则下列说法正确的是（ ） A．处在灯塔的西偏北 B．处与处之间的距离是海里 C．灯塔与处之间的距离是海里 D．灯塔在处的西偏南 【例7.6.】 如图，甲船从出发以每小时25海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里.当甲船航行12分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距5海里，下面结论正确的是（    ） A．乙船的行驶速度与甲船相同 B．乙船的行驶速度是海里/时 C．甲､乙两船相遇时，甲船行驶了小时 D．甲､乙两船可能相遇 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $