第六章 重点突破3 解三角形中的综合问题-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

学习目标 1.会解决解三角形与三角恒等变换、三角函数的综合问题，培养数学运算的核心素养. 2.会解决三角形的中线、角平分线等问题，培养直观想象及数学运算的核心素养. 题型一　解三角形与三角恒等变换的综合 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Bcos C＝2sin Acos B－sin Ccos B. (1)求B； (2)若a＝2，c＝3，求b和sin A的值. 解：(1)因为sin Bcos C＝2sin Acos B－sin Ccos B，则sin ＝2sin Acos B. 因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以sin ＝sin ＝sin A，则有sin A＝2sin Acos B. 因为A，B∈，所以sin A≠0，cos B＝，故B＝. (2)由(1)可知，B＝. 在△ABC中，因为a＝2，c＝3. 由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B＝4＋9－2×2×3×＝7，则b＝. 由正弦定理可得＝，即＝， 所以sin A＝＝. 　　对于此类问题，大多是边角互化后基于三角形内角和定理(A＋B＋C＝π)展开的，一般是通过正、余弦定理边化角，求得相应的角或者寻找相应的角之间的关系(此时往往需要用到三角形内角和定理替换角，达到减元的目的)，进而运用三角恒等变换及诱导公式转化为一个角的三角函数问题，从而求解. 对点练1.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2c＝a＋2bcos A. (1)求角B； (2)若cos A＝，求sin 的值； (3)若c＝7，bsin A＝，求b的值. 解：(1)因为2c＝a＋2bcos A，由正弦定理得，2sin C＝sin A＋2sin Bcos A，所以2(sin Acos B＋cos Asin B)＝sin A＋2sin Bcos A，即2sin Acos B＝sin A. 因为0＜A＜π，所以sin A≠0，所以cos B＝. 又0＜B＜π，所以B＝. (2)由已知cos A＝得sin A＝＝，所以sin 2A＝2sin Acos A＝，cos 2A＝2cos 2A－1＝－. 所以sin ＝sin ＝sin 2Acos ＋cos 2Asin ＝. (3)由正弦定理＝，得a＝. 由(1)知B＝，结合bsin A＝，所以a＝2，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝19，所以b＝. 题型二　解三角形与三角函数的综合 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设f(x)＝sin (x＋B)＋cos (x＋B)tan C，且f()＝－. (1)求角A； (2)若△ABC的面积为，且sin B＋sin C＝，求a的值. 解：(1)f(x)＝＝＝＝－. 因为f()＝－，所以－＝－，所以sin (－A)＝1. 又0＜A＜π，所以－＜－A＜，所以－A＝，所以A＝. (2)因为△ABC的面积S＝bcsin A＝bc·＝，所以bc＝4. 设△ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理知＝＝＝2R，sin B＝，sin C＝，a＝R，sin B＋sin C＝⇒b＋c＝R. 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos ，所以a2＝(b＋c)2－3bc，所以3R2＝6R2－12，所以R＝2，所以a＝2. 　　正弦、余弦定理与三角函数相结合，常见两种考查方式：一是先由正弦、余弦定理求出内角正弦值、余弦值，再结合和、差、倍、半角公式求解问题中出现的三角函数值；二是先利用函数的性质，再利用函数求角，解与三角形有关的问题. 学生用书⬇第52页 对点练2.已知函数f＝2sin 2－cos 2x. (1)求f在上的单调递增区间； (2)已知△ABC的内角A，B，C的对边长分别是a，b，c，若f＝1－，c＝2，求△ABC面积的最大值. 解：(1)f＝2sin 2－cos 2x＝1－cos (2x＋)－cos 2x＝1＋sin 2x－cos 2x＝1＋2＝1＋2sin (2x－)，令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋. 又x∈，当k＝0时，0≤x≤， 所以f. (2)由(1)可得f＝1＋2sin . 因为f＝1－， 所以1＋2sin ＝1－， 化简得1－2cos C＝1－，所以cos C＝. 因为C∈，所以C＝. 根据余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，C＝，c＝2，所以4＝a2＋b2－ab. 因为a2＋b2≥2ab，所以4＝a2＋b2－ab≥ab，即ab≤＝4，当且仅当a＝b＝＋时，等号成立. 所以△ABC的面积S＝absin C＝absin ＝ab，则S≤×4＝2＋，△ABC面积的最大值为2＋. 题型三　解三角形中的中线问题 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且＝a. (1)求角B的大小； (2)若b＝2，D为AC的中点，且BD＝3，求△ABC的周长. 解：(1)因为＝a(sin C－sin A)，所以由正弦定理得a2＋c2－b2＝ac. 由余弦定理得cos B＝＝，又0＜B＜π，所以B＝. (2)D为线段AC的中点，故＝，＝＝. 因为B＝，BD＝3，故＝9，整理可得a2＋c2＋ac＝36. 在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos ，所以a2＋c2－ac＝12，两式联立可得ac＝12，a2＋c2＝24，所以a＋c＝＝4. 从而△ABC的周长为a＋b＋c＝4＋2＝6. 求解三角形中线问题的常用方法 1.中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2). 2.向量法：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则＝(b2＋c2＋2bccos A). 对点练3.在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足bcos ＝asin B. (1)求A； (2)若a＝，·＝3，AD是△ABC的中线，求AD的长. 解：(1)cos ＝cos (－)＝sin ， 所以bsin ＝asin B. 由正弦定理得sin Bsin ＝sin Asin B. 因为sin B≠0，所以sin ＝sin A， 所以sin ＝2sin cos . 因为A∈(0，π)，∈(0，)，所以sin ≠0， 得cos ＝，即＝，所以A＝. (2)因为·＝3，所以bccos (π－A)＝3，得bc＝6，由余弦定理得b2＋c2＝a2＋2bccos A＝13. 因为＝＋)，所以｜｜2＝＋)2＝(c2＋b2＋2bccos A)＝. 所以｜｜＝，即AD的长为. 题型四　解三角形中的角平分线问题 (一题多解)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，acos B－bcos A＝ccos A－acos C. (1)求A； (2)已知边BC上的点D满足AD平分∠BAC，AD＝，a＝3，求△ABC的周长. 解：(1)法一：因为acos B－bcos A＝ccos A－acos C，所以由余弦定理得a·－b·＝c·－a·，所以＝，所以a2＝b3＋c3， 即a2＝. 因为b＋c≠0，所以a2＝b2＋c2－bc，则b2＋c2－a2＝bc，故cos A＝＝＝. 又A∈，所以A＝. 法二：因为acos B－bcos A＝ccos A－acos C，所以由正弦定理可得sin Acos B－sin Bcos A＝sin Ccos A－sin Acos C，则sin ＝sin . 因为A，B，C∈，所以A－B∈，C－A∈，所以A－B＝C－A或＋＝2×＋＝2×，即2A＝B＋C或C＝B＋π(舍去)或B＝C＋π(舍去). 又A＋B＋C＝π，所以A＝. (2)由题意得S△DAB＋S△DAC＝S△ABC，即AB·ADsin ∠DAB＋AC·ADsin ∠DAC＝AB·ACsin ∠BAC. 又∠DAB＝∠DAC＝，AD＝，所以AB＋AC＝AB·AC，所以AB＋AC＝AB·AC，即c＋b＝cb. 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos ＝－3bc.所以－3－18＝0， 所以b＋c＝6(b＋c＝－3舍去). 所以△ABC的周长为6＋3. 求解三角形角平分线问题的常用方法 在△ABC中，AD平分∠BAC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c： 1.利用角度的倍数关系：∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD. 2.内角平分线定理：AD为△ABC的内角∠BAC的平分线，则＝. 3.等面积法：S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，AD＝(角平分线长公式). 学生用书⬇第53页 对点练4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足＝1＋.内角A的角平分线交BC于点M，若BM＝2CM，则＝(　　) A. B. C. D.2 答案：A 解析：因为＝1＋，所以＝1＋＝1＋＝＝.又sin (A＋B)＝sin (π－C)＝sin C，sin B＞0，sin C＞0，则＝，即cos A＝.又A∈(0，π)，则A＝.由AM为∠CAB的角平分线(如图)，则＝＝2，即AB＝2AC，且∠CAM＝∠BAM＝.在△ACM中，cos ∠CAM＝＝，即AC2＋AM2－CM2＝AC·AM　①，cos ∠CMA＝.在△ABM中，cos ∠BMA＝＝，由∠BMA＋∠CMA＝π，则＋＝0，化简得，AM2＝2AC2－2CM2　②，将②代入①可得，AM＝AC　③，将③代入②可得，CM＝AC，所以BC＝AC，所以＝＝.故选A. 题型五　解三角形中的最值(范围)问题 在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且sin C＝sin . (1)求角B； (2)若a＝2，求△ABC周长的取值范围. 解：(1)由题意得sin C＝csin ，则由正弦定理得sin C＝sin Csin ，由于sin C≠0，所以sin A－sin C＝sin ， 所以sin －sin C＝sin ， 所以cos Bsin C－sin C＝－cos Bsin C. 由于sin C≠0，所以2cos B＝1，得cos B＝. 又B∈，故B＝. (2)根据＝＝，得b＝＝，c＝＝， 则△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋＝2＋＝2＋＝2＋＝3＋＝3＋， 由△ABC为锐角三角形，得 所以A∈， 则∈，tan ∈， 所以3＋＜a＋b＋c＜6＋2. 故△ABC周长的取值范围是. 　　解三角形中的最值(范围)问题主要有两种解决方法：一是将问题表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将问题用三角形某一个角的三角函数表示，利用三角函数的有界性、单调性，再结合角的范围确定最值(范围). 对点练5.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝，n＝(c－b，sin A＋sin B)，满足m∥n. (1)求A； (2)若角A的平分线交边BC于点D，AD长为2，求△ABC的面积的最小值. 解：(1)因为m∥n， 所以＝， 由正弦定理得＝，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝＝. 因为A∈，故A＝. (2)因为AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝. 因为S△ABD＋S△ACD＝S△ABC， 所以AB·AD·sin ∠BAD＋AC·AD·sin ∠CAD＝b·c· sin A，即2csin ＋2bsin ＝bcsin ，所以c＋b＝. 由基本不等式可得bc＝b＋c≥2，得bc≥，当且仅当b＝c＝时取等号. 所以S△ABC＝bcsin A＝bc≥，即△ABC的面积的最小值为. 1.已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则tan C＝(　　) A. B.3 C. D.2 答案：D 解析：因为＝，所以由正弦定理可得＝，所以3sin Bcos C－sin Acos C＝cos Asin C，即3sin Bcos C＝sin Acos C＋cos Asin C＝sin (A＋C).又因为sin (A＋C)＝sin (π－B)＝sin B，0＜B＜π，所以sin B＞0，故3cos C＝1，解得cos C＝.又因为0＜C＜π，所以sin C＞0，所以sin C＝＝＝，所以tan C＝＝＝2.故选D. 2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin 2B＝bcos B，且角B为锐角，b＝8，sin A＝，则sin 的值为　　　　. 答案： 解析：已知sin 2B＝bcos B，所以2sin Bcos B＝bcos B.因为B为锐角，即cos B≠0，所以2sin B＝b.已知b＝8，得sin B＝.因为B为锐角，所以cos B＝＝＝.由正弦定理＝，得a＝＝＝.因为a＝＜b＝8，所以A＜B，所以A也为锐角.所以cos A＝＝＝.因为A＋B＋C＝π，所以2B＋C＝π＋B－A，则sin ＝sin(π＋B－A)＝－sin ＝－(sin Bcos A－cos Bsin A)＝－＝. 3.在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足－1＝，且A≠C. (1)求证：B＝2C； (2)已知BD是∠ABC的平分线，若a＝4，求线段BD长度的取值范围. 解：(1)证明：由题意得＝， 由正弦定理得＝＝. 因为A≠C，则a≠c， 可得＝，整理得b2＝c2＋ac. 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B， 整理得c＝a－2ccos B. 由正弦定理得sin C＝sin A－2sin Ccos B， 故sin C＝sin －2sin Ccos B，整理得sin C＝sin . 又因为△ABC为锐角三角形，则C∈，B∈，可得B－C∈， 所以C＝B－C，即B＝2C. (2)在△BCD中，由正弦定理得＝， 所以BD＝＝＝. 因为△ABC为锐角三角形，且B＝2C，所以＜C＜. 故＜cos C＜，所以＜BD＜2. 因此线段BD长度的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $