第六章 平面向量及其应用章节重难点题型总结讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用章节重难点题型总结 目录 题型1：平面向量的概念辨析 2 题型2：向量的线性运算 2 题型3：用基底表示向量 3 题型4：共线定理的应用 4 题型5：数量积的运算 5 题型6：向量的模与夹角问题 6 题型7：奔驰定理与四心问题 7 题型8：平面向量中的范围与最值问题 9 题型9：正弦、余弦定理的简单应用 11 题型10：判断三角形的形状 12 题型11：多三角形问题中的计算 12 题型12：三角形中的范围与最值问题 13 题型13：测量问题 15 题型1：平面向量的概念辨析 【例1.1.】 下列说法正确的是（    ） A．方向相同的向量叫相等向量 B．零向量是没有方向的向量 C．共线向量不一定相等 D．平行向量方向相同 【例1.2.】 下列关于向量的命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则或 C．若，则 D．若，则 【例1.3.】 下列说法错误的是（   ） A．若，则为单位向量 B．若，则 C．若四边形是平行四边形，则， D．若是平面内所有向量的一个基底，则也可以作为一个基底 题型2：向量的线性运算 【例2.1.】 已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【例2.2.】 已知，，且与平行，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【例2.3.】 平面向量，，且，则（    ） A． B．2 C． D．3 【例2.4.】 已知平面上两点的坐标分别是，，是直线上的一点，且，则点的坐标为______. 【例2.5.】 (多选)在中，，是的中点，则（   ） A． B． C． D． 【例2.6.】 （多选）如图，点是正八边形的中心，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 题型3：用基底表示向量 【例3.1.】 若，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【例3.2.】 在中，是线段上的靠近的三等分点，则（   ） A． B． C． D． 【例3.3.】 在中，，，设，则（   ） A． B． C． D． 【例3.4.】 在中，点、分别在边、上，且，，，则（    ） A． B． C． D． 题型4：共线定理的应用 【例4.1.】 已知是两个不共线的向量，若，则四点中共线的三点是（   ） A． B． C． D． 【例4.2.】 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【例4.3.】 如图，在中，为CD上一点，且满足，则（   ） A． B． C． D． 【例4.4.】 如图，在中，点O是上的一点，且，过点O的直线分别交直线于不同的两点．设，，则______． 【例4.5.】 （多选）已知，，点在直线上，且，则点的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 【例4.6.】 已知为正内的一点，且满足，若的面积与的面积的比值为4，则的值为（    ） A．4 B．5 C．2 D．3 【例4.7.】 如图，在中，，与交于，求__________；设的面积为，的面积为，________ 题型5：数量积的运算 【例5.1.】 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量.若向量，则有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标.若在该坐标系中，， ，则（ ） A．-5 B． C．-4 D．0 【例5.2.】 如图，在中，，，，则（    ） A．4 B．6 C． D． 【例5.3.】 如图，在矩形中，，点为的中点，点在边上，若，则的值是_________． 【例5.4.】 如图，圆为的外接圆，，，则（   ） A．10 B．20 C．26 D．52 题型6：向量的模与夹角问题 【例6.1.】 已知向量、满足，，则______. 【例6.2.】 已知单位向量与向量垂直，则的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【例6.3.】 已知向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【例6.4.】 已知向量，的夹角为，，，则（    ） A． B． C． D． 【例6.5.】 已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则（    ） A． B．2 C． D．8 【例6.6.】 若为所在平面内一点，且满足，则的形状为（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【例6.7.】 在平面直角坐标系中，，设. (1)若，求的值； (2)若与的夹角是钝角，求的取值范围. 【例6.8.】 如图，在中，，，，M是的中点，N是边上一点，且，与交于点P. (1)若，求x，y的值； (2)求的值； (3)求的余弦值. 题型7：奔驰定理与四心问题 【例7.1.】 已知为所在的平面内一点，则下列命题错误的是（    ） A．若为的垂心，，则 B．若为平面内任意一点，，则点为的重心 C．若，，则动点的轨迹经过的内心 D．若为锐角的外心，且，则 【例7.2.】 点为所在平面内一点，若，则点为的（    ） A．内心 B．重心 C．垂心 D．外心 【例7.3.】 已知O为锐角内一点满足，且，则为（ ） A．底边和腰不相等的等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【例7.4.】 设是的外心，点满足，则是的（　　） A．内心 B．任意一点 C．垂心 D．重心 【例7.5.】 （多选）已知点是所在平面内任意一点，下列说法中正确的是（ ） A．若，则为的垂心 B．若，则为的外心 C．若为的重心，是边上的中线，则 D．若，则 【例7.6.】 （多选）三角形中的奔驰定理是指：是内一点，，，的面积分别为，，，则．若，则以下命题正确的有（   ） A． B．有可能是的重心 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则为直角三角形 题型8：平面向量中的范围与最值问题 【例8.1.】 若点是所在平面上一点，且，是直线上一动点，满足，则的最小值是（    ） A． B． C．8 D．9 【例8.2.】 （多选）已知扇形AOB的半径为1，，点C在弧AB上运动（包含边界），，下列说法正确的有（   ） A．的取值范围是 B．的最大值是2 C．的取值范围是 D．的最大值是 【例8.3.】 已知向量，若t是实数，且，则的最小值为（ ） A． B．1 C． D． 【例8.4.】 在 中， ． 点 为 所在平面上一动点，满足 ． 若 ，则 的最大值为______． 【例8.5.】 如图，与的面积之比为2，点是内任意一点(含边界)，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例8.6.】 已知平面向量，且向量满足，则的最大值是（    ） A．1 B． C．2 D．4 【例8.7.】 已知等边三角形的边长为2，，则的最小值为（   ） A． B． C． D．0 【例8.8.】 《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，点P是正八边形ABCDEFGH边上的一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【例8.9.】 如图，在中，为直线上一点，且满足. (1)求的值； (2)求的最小值. 【例8.10.】 如图，在中，是BC的中点，是的重心，过点的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q.设. (1)若，求的值； (2)求的最小值； (3)若是边长为1的等边三角形，求的最小值. 题型9：正弦、余弦定理的简单应用 【例9.1.】 在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【例9.2.】 在不等边中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（） A． B． C． D． 【例9.3.】 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（   ） A． B．2 C．3 D．4 【例9.4.】 记的面积为，的外接圆半径为，且，则为____． 【例9.5.】 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为．若，且，则（    ） A． B． C． D． 【例9.6.】 （多选）已知是锐角三角形，角，，的对边分别是，，，且，，则的值可能是（    ） A．3 B．4 C． D．5 题型10：判断三角形的形状 【例10.1.】 在中，（，，分别为角，，的对边），则是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【例10.2.】 在中，内角的对边分别为，且，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．非特殊三角形 【例10.3.】 在中，角､､所对的边分别为.若，则为（    ） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【例10.4.】 在中，已知，则的形状为________． 【例10.5.】 在中，角所对边分别为，已知向量， 且，同时满足，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 题型11：多三角形问题中的计算 【例11.1.】 已知的内角的对边为，且. (1)求角； (2)若的面积为，为的中点，且，，求中线的长及内角的角平分线的长. 【例11.2.】 在△ABC中，，则=（   ） A． B．2 C．3 D． 【例11.3.】 已知满足，，点在线段上，且，则______． 【例11.4.】 如图，在平面四边形中，，，，，则______，四边形的面积为______. 【例11.5.】 在平面四边形中，，，，对角线与交于点，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例11.6.】 如图， 在△ABC中，．取BC边中点D， 连接AD，设E为AD中点，连接BE 并延长与△ABC交于点F，则EF 的长为______． 【例11.7.】 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且AB边上一点P满足. (1)求角A的大小； (2)若，，求的面积. 题型12：三角形中的范围与最值问题 【例12.1.】 已知的三个内角所对的边分别是，且满足，，点是边上一点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例12.2.】 在中，角，，的对边分别是，，，且满足． (1)求； (2)若，是边上的高，求的最大值． 【例12.3.】 在中，角的对边分别为，已知． (1)求的值； (2)若，解答下列问题： ①当的面积为时，求AC边上的中线长； ②若点D在边上，且平分，求的取值范围． 【例12.4.】 如图，在四边形中，，为等边三角形，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【例12.5.】 在中，角所对的边分别为，若，为边的中点，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例12.6.】 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，． (1)求； (2)当为锐角三角形时，求周长的取值范围； (3)若为边上一点，，，证明：． 【例12.7.】 记的内角所对的边分别为，． (1)若，求； (2)若为边上的点，且，求的最小值． 【例12.8.】 在锐角中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，为的面积，且，则的取值范围是__________． 题型13：测量问题 【例13.1.】 如图，为测量一建筑物的高度，在地面上选取两点，从两点测得建筑物顶端的仰角分别为，且两点间的距离为，则该建筑物的高度为（    ） A． B． C． D． 【例13.2.】 如图，两座山峰的高度米，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点（三点在同一水平面上）测得点的仰角为点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【例13.3.】 如图，小明为了测量一棵榕树的高度，他选取与树根部在同一水平面的、两点，在点测得树根部在西偏北的方向上，沿正西方向步行10米到处测得树根部在西偏北的方向上，树梢的仰角为，则树的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【例13.4.】 太行山在河南的最高峰——济源斗顶，远近闻名.如图，某校高一年级数学实践小组为了测其高度.在山脚A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走a m到达B处，在B处测得山顶P的仰角为，若，，，，则山高为（   ）（图中的点A，B，P，C，Q均在同一个铅直平面内） A．2000m B．m C．1000m D．m 【例13.5.】 海军某登陆舰队在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东50°方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东70°方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给．若舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则______． 【例13.6.】 某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速度为海里/小时. (1)求点到点的距离； (2)若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 平面向量及其应用章节重难点题型总结 目录 题型1：平面向量的概念辨析 2 题型2：向量的线性运算 3 题型3：用基底表示向量 6 题型4：共线定理的应用 8 题型5：数量积的运算 13 题型6：向量的模与夹角问题 16 题型7：奔驰定理与四心问题 21 题型8：平面向量中的范围与最值问题 26 题型9：正弦、余弦定理的简单应用 37 题型10：判断三角形的形状 40 题型11：多三角形问题中的计算 43 题型12：三角形中的范围与最值问题 49 题型13：测量问题 59 题型1：平面向量的概念辨析 【例1.1.】 下列说法正确的是（    ） A．方向相同的向量叫相等向量 B．零向量是没有方向的向量 C．共线向量不一定相等 D．平行向量方向相同 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】由相等向量、零向量、共线向量的概念逐项判断即可. 【详解】长度相等，方向相同的向量叫相等向量，A错； 零向量的方向是任意的，B错； 共线向量即方向相同或相反的向量，故不一定相等，C正确； 平行向量方向相同或相反，D错. 【例1.2.】 下列关于向量的命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则或 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【难度】0.95 【知识点】向量的模、相等向量、平行向量（共线向量） 【详解】对于A和B，由，得的模相等，而它们的方向不确定，则向量不一定共线，所以A和B均错误； 对于C，取，满足，而可为任意方向，则不一定共线，C错误； 对于D，，由相等向量的意义，得，D正确. 【例1.3.】 下列说法错误的是（   ） A．若，则为单位向量 B．若，则 C．若四边形是平行四边形，则， D．若是平面内所有向量的一个基底，则也可以作为一个基底 【答案】C 【难度】0.82 【知识点】零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量）、基底的概念及辨析 【详解】对于AB，根据单位向量和相等向量、平行向量的定义，可知A，B正确； 对于C，若四边形是平行四边形，则，，故C错误； 对于D，若不能作为基底，则与共线，设，， 所以，即与共线，这与是平面内的基底矛盾，所以假设错误，故D正确. 题型2：向量的线性运算 【例2.1.】 已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.92 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【详解】. 【例2.2.】 已知，，且与平行，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【难度】0.82 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【详解】因为，， 所以，， 若与平行，则，解得. 【例2.3.】 平面向量，，且，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】由向量线性运算结果求参数 【分析】根据向量减法的坐标运算可得. 【详解】因为，，所以，所以，解得. 故选：B. 【例2.4.】 已知平面上两点的坐标分别是，，是直线上的一点，且，则点的坐标为______. 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】相等向量、用坐标表示平面向量、平面向量线性运算的坐标表示、线段的定比分点 【详解】设，因为平面上两点的坐标分别是，，且， 即，所以，解得，即的坐标为. 【例2.5.】 (多选)在中，，是的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.8 【知识点】向量减法的法则、向量加法的法则 【详解】A选项，由向量加法的三角形法则，，A正确； B选项，由向量的减法法则，，B正确； C选项，，C错误； D选项，，D正确； 【例2.6.】 （多选）如图，点是正八边形的中心，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】向量减法的法则、向量加法的法则 【详解】对于A选项，由正八边形的几何性质可得，， ，， 故，A对； 对于B选项，，B错； 对于C选项，连接、，如下图所示： 因为，，则为、的中点，故四边形为平行四边形， 所以且，由相等向量的定义可得， ，C对； 对于D选项，以、为邻边作平行四边形，则， 又因为，故平行四边形为正方形，所以， 即，D错. 题型3：用基底表示向量 【例3.1.】 若，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.89 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量 【详解】由可得，整理得. 又因，，则得. 【例3.2.】 在中，是线段上的靠近的三等分点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.82 【知识点】向量加法的法则、用基底表示向量 【分析】根据向量的加法计算即可. 【详解】 由题意可知. 【例3.3.】 在中，，，设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用基底表示向量 【分析】通过向量的线性运算，将目标向量用基底表示，再利用平面向量基本定理建立方程组求解参数，进而得到结果. 【详解】由，得为中点，故. 由，得，故. 将、代入， 得，整理得. 由与不共线，得，解得，，故. 【例3.4.】 在中，点、分别在边、上，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用基底表示向量 【分析】利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式. 【详解】因为，所以，又因为，故， 因为，所以， 所以. 题型4：共线定理的应用 【例4.1.】 已知是两个不共线的向量，若，则四点中共线的三点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.78 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题 【详解】， ， 与共线，三点共线. 【例4.2.】 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】平面向量共线定理证明线平行问题、基底的概念及辨析 【分析】判断向量组中两个向量是否共线． 【详解】由已知是平面内的一个基底， 则若共线，则存在实数，使得，即，与是基底矛盾，因此不共线， 若共线，则存在实数，，所以，与是基底矛盾，因此不共线， 因为，所以不共线，共线， 因此D不能作为基底， 故选：D． 【例4.3.】 如图，在中，为CD上一点，且满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.7 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、平面向量共线定理的推论 【详解】由，可知， 所以， 因为三点共线，所以，解得. 【例4.4.】 如图，在中，点O是上的一点，且，过点O的直线分别交直线于不同的两点．设，，则______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】平面向量共线定理的推论、利用平面向量基本定理求参数 【分析】根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质、三点共线的性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 又因为，， 所以， 又因为三点共线， 所以. 【例4.5.】 （多选）已知，，点在直线上，且，则点的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【难度】0.7 【知识点】线段的定比分点、由向量共线（平行）求参数 【分析】根据平面向量共线的坐标表示公式分类讨论进行求解即可. 【详解】设， 若； 若. 【例4.6.】 已知为正内的一点，且满足，若的面积与的面积的比值为4，则的值为（    ） A．4 B．5 C．2 D．3 【答案】D 【难度】0.42 【知识点】平面向量共线定理的推论、向量的线性运算的几何应用 【分析】由，得到，根据的面积与的面积比值为4，即可求解. 【详解】由于，即. 如图所示，分别是对应边的中点， 由平行四边形法则知， 故， 在正中，， ，则. 故选D. 【例4.7.】 如图，在中，，与交于，求__________；设的面积为，的面积为，________ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】线段的定比分点、平面向量基本定理的应用、已知向量共线（平行）求参数、向量的线性运算的几何应用 【分析】①由三点共线，结合已知条件可得，同理由三点共线，可得，从而可得，解方程组可求出的值，进而可求得答案； ②延长与交于点，由三点共线，可得，由，得，结合（1）可得，所以，求出的值，从而可求出的值. 【详解】①设，， 因为三点共线，所以， 又因为，所以，则， 同理，因为三点共线，所以， 又因为，所以，则， 根据平面向量基本定理，可得，解得， 所以， 则， 所以， 化简得：， 所以； ②延长与交于点，因为三点共线， 所以， 又因为，且，所以存在实数使得， 即， 所以，解得，所以，则， 所以. 题型5：数量积的运算 【例5.1.】 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量.若向量，则有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标.若在该坐标系中，， ，则（ ） A．-5 B． C．-4 D．0 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】利用平面向量数量积的定义可求的值，由题意得出，，利用平面向量数量积的运算性质可求的值. 【详解】由平面向量数量积的定义可得， 由题意可知，， 所以 【例5.2.】 如图，在中，，，，则（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【难度】0.8 【知识点】用基底表示向量、数量积的运算律 【分析】利用向量表示向量，再利用数量积的运算律求解. 【详解】由，得， 又，所以. 【例5.3.】 如图，在矩形中，，点为的中点，点在边上，若，则的值是_________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示、平面向量有关概念的坐标表示 【分析】以A为原点，建立平面直角坐标系，设点，由，根据向量的坐标运算，求得，得到，进而求得的值. 【详解】以A为原点，以所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，因为，可得， 因为点为的中点，点在边上，可得，设点， 则， 因为，可得， 整理得，解得，所以， 则. 【例5.4.】 如图，圆为的外接圆，，，则（   ） A．10 B．20 C．26 D．52 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】平面向量数量积的几何意义、数量积的运算律 【分析】取、中点、，连接、，可得， ，再利用数量积公式计算即可得. 【详解】取、中点、，连接、， 由垂径定理可知，、， 则 . 题型6：向量的模与夹角问题 【例6.1.】 已知向量、满足，，则______. 【答案】2 【难度】0.88 【知识点】坐标计算向量的模、平面向量线性运算的坐标表示 【详解】已知向量、满足，， 则，进而. 【例6.2.】 已知单位向量与向量垂直，则的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.8 【知识点】零向量与单位向量、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示 【详解】设单位向量，根据单位向量的定义，所以， 因为与向量垂直，所以， 联立，解得或． 【例6.3.】 已知向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示 【分析】根据向量运算法则展开求解计算，再结合向量夹角公式求解即可. 【详解】由，可得：， 代入已知，得： 设与的夹角为（），由， 代入得：， 所以. 【例6.4.】 已知向量，的夹角为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【详解】因为，所以，所以， 又，向量，的夹角为，所以，所以， 所以. 【例6.5.】 已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则（    ） A． B．2 C． D．8 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】已知数量积求模、求投影向量 【分析】由投影向量公式化简可得，结合化简即可求解. 【详解】由于向量在向量上的投影向量为，所以，则, 由于, 则. 【例6.6.】 若为所在平面内一点，且满足，则的形状为（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】B 【难度】0.72 【知识点】向量的线性运算的几何应用、垂直关系的向量表示 【详解】由，可得， 即，所以， 等式两边平方得，所以， 因此，所以是直角三角形. 【例6.7.】 在平面直角坐标系中，，设. (1)若，求的值； (2)若与的夹角是钝角，求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【难度】0.76 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示、向量垂直的坐标表示、已知向量垂直求参数 【分析】（1）求出的坐标，再根据两向量的数量积为，计算即得答案； （2）由两向量夹角为钝角，可得两向量数量积小于0，且它们不能共线，列出不等式组求解即得的取值范围. 【详解】（1）由题意得，， 则， 又，所以，解得； （2）， 由与的夹角是钝角，可知且与不共线， 由得，解得； 又由与共线可得，得， 故的取值范围为. 【例6.8.】 如图，在中，，，，M是的中点，N是边上一点，且，与交于点P. (1)若，求x，y的值； (2)求的值； (3)求的余弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.66 【知识点】用基底表示向量、平面向量基本定理的应用、数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】（1）将通过向量线性运算分解为和的线性组合，对比系数直接得到的值； （2）利用中点性质把用、表示，代入数量积公式结合已知边长和夹角计算结果； （3）利用共线定理得到点对应的向量系数，再用向量夹角公式计算的余弦值. 【详解】（1）由，得，因此：， 对比，得：. （2）因为是中点，所以，因为， 所以， 所以. （3）∠MPN是向量与的夹角，也即的夹角， 由（2）， 所以，， 由（1）， 所以，， 由夹角公式： ， 即 的余弦值为. 题型7：奔驰定理与四心问题 【例7.1.】 已知为所在的平面内一点，则下列命题错误的是（    ） A．若为的垂心，，则 B．若为平面内任意一点，，则点为的重心 C．若，，则动点的轨迹经过的内心 D．若为锐角的外心，且，则 【答案】C 【难度】0.51 【知识点】数量积的运算律、用定义求向量的数量积、三角形的心的向量表示、向量加法法则的几何应用 【分析】对A，利用垂心的性质，得求解判断；对B，对作线性变形整理得到判断；对C：由可知动点的轨迹是边的中线，仅过重心，不必然经过内心；对D：结合对变形，推得在的中线上，结合外心性质可得. 【详解】对于选项A：若是的垂心，所以，故， 因此，又，所以，A命题正确； 对于选项B：由， 移项得，即， 说明在边的中线上，且分中线为，符合三角形重心的性质，B命题正确； 对于选项C：， 说明的轨迹是中边的中线（从出发的射线）. 而内心是角平分线的交点，仅当时内心才在中线上， 任意三角形的内心不一定在中线上，因此动点的轨迹不一定经过内心，C命题错误； 对于选项D：由，取中点，则， 又，所以，整理得，所以三点共线， 又为锐角外心，可得，因为为中点，所以， 所以，所以，D命题正确. 【例7.2.】 点为所在平面内一点，若，则点为的（    ） A．内心 B．重心 C．垂心 D．外心 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】垂直关系的向量表示、根据向量关系判断三角形的心 【分析】分别在边上取同方向的单位向量和，由条件推得，进而得到平分，同理平分，即得结论. 【详解】如图，向量，分别表示在边和上取同方向的单位向量和， 则， 由可得， 因，则平分， 同理由，可知平分， 故为的内心. 【例7.3.】 已知O为锐角内一点满足，且，则为（ ） A．底边和腰不相等的等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【难度】0.62 【知识点】三角形的心的向量表示、向量夹角的计算 【分析】分析可知O为三角形外心，根据数量积可得，进而可得结果. 【详解】因为，可得O为三角形外心， 又因为，即， 又角为锐角，可得， 所以，故为等边三角形. 【例7.4.】 设是的外心，点满足，则是的（　　） A．内心 B．任意一点 C．垂心 D．重心 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】三角形的心的向量表示、向量在几何中的其他应用、根据向量关系判断三角形的心 【详解】由题可得， 由于是的外心，设为线段的中点， 故且，即， 所以，同理，，故是的垂心． 故选：C. 【例7.5.】 （多选）已知点是所在平面内任意一点，下列说法中正确的是（ ） A．若，则为的垂心 B．若，则为的外心 C．若为的重心，是边上的中线，则 D．若，则 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】向量加法法则的几何应用、三角形的心的向量表示、数量积的运算律、垂直关系的向量表示 【分析】根据平面向量的加法运算与三角形三心的性质及判定条件依次判断即可. 【详解】对于A，，则，所以， 同理可得，，由此可知，是的垂心，故A正确； 对于B，由于，所以为的外心，故B正确； 对于C，如图所示： 为的重心，是边上的中线，则，即，故C错误； 对于D，，即， 设的中点为，根据向量加法的平行四边形法则，有， 因，则得，说明在的中线上， 同理可得，在的中线上，因此是的重心， 根据重心的性质，有，故D正确. 【例7.6.】 （多选）三角形中的奔驰定理是指：是内一点，，，的面积分别为，，，则．若，则以下命题正确的有（   ） A． B．有可能是的重心 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则为直角三角形 【答案】ACD 【难度】0.39 【知识点】三角形的心的向量表示、向量的线性运算的几何应用、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用 【详解】根据奔驰定理：的系数之比等于对应三角形的面积之比，即. 若是的重心，则，与，所以不是的重心. 当为的外心时，， 所以，即. 当为的内心时，，其中为内切圆半径，所以，因此，所以为直角三角形. 题型8：平面向量中的范围与最值问题 【例8.1.】 若点是所在平面上一点，且，是直线上一动点，满足，则的最小值是（    ） A． B． C．8 D．9 【答案】A 【难度】0.62 【知识点】平面向量基本定理的应用、平面向量共线定理的推论、根据向量关系判断三角形的心、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】分析可知点是的重心，根据三点共线结合向量运算可得，，结合题意可得，再利用乘“1”法结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，即，可知点是的重心， 则， 因为三点共线，则，且， 可得， 又因为，则，可得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 【例8.2.】 （多选）已知扇形AOB的半径为1，，点C在弧AB上运动（包含边界），，下列说法正确的有（   ） A．的取值范围是 B．的最大值是2 C．的取值范围是 D．的最大值是 【答案】ABC 【难度】0.42 【知识点】由向量线性运算解决最值和范围问题、向量与几何最值、数量积的坐标表示 【分析】建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，化已知问题为三角函数的最值可判断结合选项逐一求解． 【详解】如图，建立符合题意的图形，    以为原点，以为轴，建立如图所示的直角坐标系. 设，则，. 进而，， . 因为，则，即， 选项A，. 因为，所以，进而， 所以，正确. 选项B，因为，， 所以最大值为1，进而的最大值为2，正确. 选项C，. 因为，所以，进而，正确. 选项D，，最大值为，错误. 【例8.3.】 已知向量，若t是实数，且，则的最小值为（ ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由向量线性运算解决最值和范围问题、坐标计算向量的模、数量积的坐标表示、已知数量积求模 【分析】首先根据向量的坐标运算求出，再根据数量积的性质求得，进而可得最小值. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以当时，取得最小值. 【例8.4.】 在 中， ． 点 为 所在平面上一动点，满足 ． 若 ，则 的最大值为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】辅助角公式、用坐标表示平面向量、向量模的坐标表示 【分析】分别以为轴建立平面直角坐标系，可得，由得，设，，代入，然后根据三角函数的辅助角公式直接得最大值. 【详解】分别以为轴建立平面直角坐标系，如图， 则， 则， 又，所以， 设，， 则， 所以的最大值是. 【例8.5.】 如图，与的面积之比为2，点是内任意一点(含边界)，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】平面向量基本定理的应用、利用平面向量基本定理求参数、由向量线性运算解决最值和范围问题 【分析】分析可得当P在线段BC上运动时，B、P、C三点共线，此时有最小值，分别延长AB、AC至，使，连接，根据三角形相似，分析可得当P位于D点时，有最大值，即可得答案. 【详解】当点P在线段BC上运动时，此时B、P、C三点共线， 因为，所以，此时为的最小值； 分别延长AB、AC至，使，连接，如图所示， 因为， 所以与相似，且相似比为， 因为与的面积之比为2，且， 所以与的高之比为， 即与高之比为， 所以三点共线， 当P位于D点时，， 此时，即，此时为的最大值， 所以当点在内（含边界）运动时，的取值范围为 故选：A 【例8.6.】 已知平面向量，且向量满足，则的最大值是（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】设，由向量垂直的坐标表示求得，结合基本不等式及一元二次不等式求解可得． 【详解】由已知， 设， 因为， 所以， 即， ， 由得，即， 所以， 解得，时，， 所以的最大值是2. 【例8.7.】 已知等边三角形的边长为2，，则的最小值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示、平面向量共线定理证明点共线问题 【分析】由条件结合向量共线定理证明三点共线，建立平面直角坐标系，求表达式，再求其最小值即可. 【详解】因为， 所以，即， 根据向量共线定理，三点共线， 设的中点为，以为坐标原点，为轴正方向，建立平面直角坐标系， 则，，， 设，则，， 所以， 所以当时，取最小值，最小值为， 因此的最小值为. 【例8.8.】 《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，点P是正八边形ABCDEFGH边上的一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.45 【知识点】平面向量数量积的几何意义、平面向量数量积的定义及辨析 【分析】过点作直线的垂线，垂足为点，计算出，分析可知当点在线段上时，在方向上的投影取最小值，结合平面向量数量积的几何意义求得结果. 【详解】过点作直线的垂线，垂足为点，， 如图，由平面向量数量积的几何意义可知，等于与在方向上的投影的乘积， 当点在线段上时，在方向上的投影取最小值， 此时，，，， 故的最小值为. 【例8.9.】 如图，在中，为直线上一点，且满足. (1)求的值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.64 【知识点】平面向量基本定理的应用、已知数量积求模、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）利用向量共线的推论求解； （2）利用平面向量数量积的运算性质结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】（1）由题意可知，所以， 因为三点共线，所以，即. （2）由（1）可知，， 所以， 因为，所以， 所以 ， 又， 当且仅当时取等号， 所以， 即，所以的最小值为 【例8.10.】 如图，在中，是BC的中点，是的重心，过点的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q.设. (1)若，求的值； (2)求的最小值； (3)若是边长为1的等边三角形，求的最小值. 【答案】(1) (2)3 (3) 【难度】0.55 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、平面向量共线定理的推论、用向量解决线段的长度问题、用基底表示向量 【分析】（1）根据向量线性运算直接求得和，代入即可求得结果； （2）根据三点共线可求得，利用“1”的代换和基本不等式可求得结果； （3）以，为基底可表示出，，平方后可整理得到关于的二次函数，利用基本不等式可求得的范围，进而得到结果. 【详解】（1）为BC中点， 又为的重心，， . （2）由（1）得， 三点共线， 又 （当且仅当，即时取等号） 的最小值为3. （3） ， 由（2）知，，即. 又， （当且仅当时取等号） 当时，取得最小值： 即的最小值为. 题型9：正弦、余弦定理的简单应用 【例9.1.】 在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理逐项判断即可. 【详解】对于ABD选项，给定的都是两边及其夹角，可以利用余弦定理求出（唯一确定）， 此时只有一解； 对于C选项，由余弦定理可得， 即，即，解得或， 此时有两解，C符合要求. 【例9.2.】 在不等边中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.72 【知识点】正弦定理边角互化的应用、正弦定理解三角形 【分析】由正弦定理把换为，代入式子约分得到，再结合求出外接圆直径，即可算出原式结果. 【详解】在中，由正弦定理得（为外接圆半径）. 由此可得，. 将其代入，得：. 因为是不等边三角形，所以，即，. 化简得，又由正弦定理. 已知，，则，故. 综上，. 【例9.3.】 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】余弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、正弦定理解三角形 【分析】先利用正弦定理将角的关系转化为边的关系，再通过余弦定理求出角，接着结合正弦定理得到边 与的关系，最后代入余弦定理公式整理得出的值. 【详解】已知，由正弦定理可得 ， 整理得， 由余弦定理， 因为，所以. 由，且，可得，由正弦定理可得， 由余弦定理可得，即， 整理得.选C. 【例9.4.】 记的面积为，的外接圆半径为，且，则为____． 【答案】/0.5 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】由正弦定理把已知等式中的角用边表示，再结合余弦定理和三角形面积公式求解. 【详解】， 由正弦定理，，代入上式得： ，所以， 又，，所以，所以. 【例9.5.】 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为．若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理边角互化的应用 【分析】利用余弦定理、三角形面积公式及正弦定理边化角求解． 【详解】在△ABC中，，而， 由，得，又，，则， 由正弦定理得，解得，由，得， 所以． 【例9.6.】 （多选）已知是锐角三角形，角，，的对边分别是，，，且，，则的值可能是（    ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】应用余弦定理及锐角三角形列式计算求解. 【详解】因为，，所以是锐角， 所以由题意可得， 即， 解得， 所以符合题意. 题型10：判断三角形的形状 【例10.1.】 在中，（，，分别为角，，的对边），则是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】二倍角的余弦公式、射影公式 【分析】根据给定条件，利用二倍角公式及三角形射影定理判断得解. 【详解】由，得，整理得， 在中，由射影定义得，则， 而，因此，又，则， 所以是直角三角形. 故选：B 【例10.2.】 在中，内角的对边分别为，且，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．非特殊三角形 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】余弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】直接根据余弦定理判断可得两边相等，进而可判断三角形的形状. 【详解】在中，，根据余弦定理得：， 化简整理，即,得，故. 因为有两条边相等，因此是等腰三角形，无法推出一定是直角三角形. 所以只有A正确. 【例10.3.】 在中，角､､所对的边分别为.若，则为（    ） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】D 【难度】0.77 【知识点】利用三角恒等变换判断三角形的形状、正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】利用正弦定理及三角形内角和关系、正弦和角公式计算即可. 【详解】易知，由正弦定理可知， 即，所以， 则，即，该三角形为钝角三角形，选D. 【例10.4.】 在中，已知，则的形状为________． 【答案】直角三角形或等腰三角形 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】利用余弦定理、正弦定理角化边化简给定等式即可. 【详解】在中，， 由正弦定理和余弦定理得 ， 整理得，则或， 所以是直角三角形或等腰三角形. 【例10.5.】 在中，角所对边分别为，已知向量， 且，同时满足，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【难度】0.72 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、由坐标判断向量是否共线 【分析】由向量平行的坐标表示，结合余弦定理得到，再由，边化角得到，即可求解. 【详解】由，得： ， 展开整理得： ， 由余弦定理​，代入得， 因为，所以， 又， 将边化为角： ， 又，所以 ， 代入展开得： ， 整理得： ，又， 所以，即 所以， 因此是等边三角形. 题型11：多三角形问题中的计算 【例11.1.】 已知的内角的对边为，且. (1)求角； (2)若的面积为，为的中点，且，，求中线的长及内角的角平分线的长. 【答案】(1) (2)； 【难度】0.65 【知识点】已知数量积求模、几何图形中的计算、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用 【详解】（1）由正弦定理得：，， ，又，. （2）由（1）知：，，解得：； 为的中线，， ， ，即中线的长为； 为内角的平分线，， ，， . 【例11.2.】 在△ABC中，，则=（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】几何图形中的计算、正弦定理解三角形 【分析】根据正弦定理得得，，两式相除代入条件求得结论. 【详解】由正弦定理得，， 因为，所以， 所以，所以 故选：C 【例11.3.】 已知满足，，点在线段上，且，则______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】几何图形中的计算 【分析】利用几何法，作对称全等三角形，再结合等腰三角形性质，即可求解. 【详解】 取中点，连接，作三角形关于直线对称三角形， 然后再过点作，垂足为， 因为，， 所以， 又由，所以四边形是矩形， 即， 因为，所以， 即， 又因为，所以， 故答案为： 【例11.4.】 如图，在平面四边形中，，，，，则______，四边形的面积为______. 【答案】 【难度】0.64 【知识点】几何图形中的计算、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】在中，利用余弦定理，求得和，得到，再由两角差的正弦公式，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】在中，，，且， 由余弦定理得， 可得, 又由， 可得 因为， 则， 所以, ， 所以四边形的面积为. 【例11.5.】 在平面四边形中，，，，对角线与交于点，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.66 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、几何图形中的计算 【分析】根据余弦定理，可得长，根据面积公式，可得的面积S，又的面积，结合面积公式，代入求解，可得BO的长，根据条件，即可得答案. 【详解】如图： 由余弦定理 ，所以， 的面积， 又 ， 所以，解得， 又，所以. 【例11.6.】 如图， 在△ABC中，．取BC边中点D， 连接AD，设E为AD中点，连接BE 并延长与△ABC交于点F，则EF 的长为______． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】几何图形中的计算、余弦定理解三角形 【分析】作交于点，利用几何知识可证得，再由余弦定理求得，再结合，从而可求解. 【详解】作交于点， 因为点为中点，所以点为中点，即， 又因为为中点，即， 又因为，所以，即， 在，由余弦定理可得， 在中，， 则 ， 所以，则. 故答案为：. 【例11.7.】 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且AB边上一点P满足. (1)求角A的大小； (2)若，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【难度】0.48 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理边化角，结合三角恒等变换可求得，进而可求得角A的大小； （2）由已知可得是等边三角形，进而可得，在中，利用正弦定理可求得，由余弦定理求得，进而可求得的面积. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 即， 所以， 所以，因为，所以， 所以，又因为，所以； （2）由（1）知，又，所以是等边三角形，所以， 又，所以， 在中，由正弦定理可得，即， 所以，由余弦定理可得， 所以，解得，故， 所以. 题型12：三角形中的范围与最值问题 【例12.1.】 已知的三个内角所对的边分别是，且满足，，点是边上一点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.42 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】由正弦定理边化角可得的值，再结合可得角B的大小.又根据和爪型定理，可得，两边平方后可将BD用表示，又有，消元可得关于的二次函数，进而求出BD的最小值 【详解】由题结合正弦定理可得：， 因为，所以， ，为钝角，. ，，由爪型定理可得 两边平方可得： ， ，， 当时，取得最小值，即最小值为. 【例12.2.】 在中，角，，的对边分别是，，，且满足． (1)求； (2)若，是边上的高，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围 【分析】（1）将两边同乘，再由正弦定理将边化角，最后由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得； （2）利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可求出面积的最大值，再根据求出的最大值. 【详解】（1）解：因为， 所以， 由正弦定理可得， 即， 因为，所以， 所以，则. （2）解：因为，， 由余弦定理，即， 所以当且仅当时取等号， 所以，则，当且仅当时取等号， 所以，又， 所以， 故的最大值为. 【例12.3.】 在中，角的对边分别为，已知． (1)求的值； (2)若，解答下列问题： ①当的面积为时，求AC边上的中线长； ②若点D在边上，且平分，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【难度】0.43 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式即可求解； （2）①由三角形面积公式及余弦定理得出和，再根据平面向量数量积的运算律即可求解；②由角平分线得出，，由余弦定理得，再由基本不等式即可求解． 【详解】（1）根据已知，由正弦定理得， 因为， 所以， 由得，故． （2）①由（1）知，则， 由面积得，即， 又由余弦定理， 代入，得， 设的中点为，则， ， 故中线长为． ②由角平分线得， 又，得，， 则， 由余弦定理，即， 所以，， 由（当且仅当时取等号），得： 所以， 又为三角形边长，则，故 综上所述，的取值范围为． 【例12.4.】 如图，在四边形中，，为等边三角形，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【难度】0.55 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】先在中用三角形面积公式表示出面积、由余弦定理求出，再代入等边的面积公式得其面积，利用与全等的性质，推出面积为与面积和的一半，将表达式化简为正弦型函数，最后根据三角函数最值条件求出面积的最大值. 【详解】在中，设，则. 由余弦定理知. 中，. 又，为等边三角形. 所以,即 所以可通过判断和全等. 故. 所以当，即时，. 【例12.5.】 在中，角所对的边分别为，若，为边的中点，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】正余弦定理与三角函数性质的结合应用、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】根据题意，，由正弦定理得到，再由余弦定理，求得，求得，取的中点，连接，得到，设的外接圆的半径为，求得，设，得到，化简得到，结合，利用三角函数的性质，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 整理得到，即， 由于余弦定理，得， 又因为，可得， 如图所示，取的中点，连接，可得，所以， 设的外接圆的半径为，可得， 由正弦定理可得， 所以且， 设，则 则 ， 因为，可得，所以， 可得，所以， 所以的取值范围是. 故选：C. 【例12.6.】 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，． (1)求； (2)当为锐角三角形时，求周长的取值范围； (3)若为边上一点，，，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【难度】0.5 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）先根据正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式即可求解； （2）先结合（1）及正弦定理得到，，从而得到的表达式，进而利用两角和的正弦公式、辅助角公式及正弦函数的性质求解即可； （3）依题意有，再根据三角形面积公式得到，再结合余弦定理即可求出，的值，进而即可证明． 【详解】（1）在中，有，则， 由， 则由正弦定理及得， 即， 化简得， 又，，则，解得． （2）结合（1），由正弦定理有， 则，， 所以 ， 又为锐角三角形，且， 则且，解得， 则，则， 所以， 故周长的取值范围为． （3）由（1）知，又，所以， 又，且， 则， 即，即， 由余弦定理，得，即， 所以， 解得（舍去），或， 所以，解得， 又，所以为等边三角形， 又，所以． 【例12.7.】 记的内角所对的边分别为，． (1)若，求； (2)若为边上的点，且，求的最小值． 【答案】(1)3 (2) 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值、几何图形中的计算、余弦定理解三角形、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）根据题意结合两角和差公式整理可得，分析可得，即可得结果； （2）设，，可得，，进而求，结合基本不等式运算求解. 【详解】（1）因为， 则， 整理可得， 且，则，可得， 又因为，则， 可得，即， 若，所以. （2）设，， 则，，， 在中，由正弦定理可得， 在中，由余弦定理可得： ， 即， 则， 令，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 【例12.8.】 在锐角中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，为的面积，且，则的取值范围是__________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】基本（均值）不等式的应用、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】利用三角形面积公式和余弦定理转化为关于角的三角函数方程，进而利用三角形内角和关系把原式转化为仅含角的表达式，再结合基本不等式求解范围. 【详解】由已知，由余弦定理得， 整理得，结合 ， 解得（为锐角，舍去），故. 为锐角三角形，故，且 ， 得，因此. 化简 ， 令，由，可得， 则随增大而增大，当时：， 当时：，故， 所以，代入原式得 由基本不等式可得， 当且仅当即时取最小值. 验证端点值：，，故. 综上，取值范围是. 题型13：测量问题 【例13.1.】 如图，为测量一建筑物的高度，在地面上选取两点，从两点测得建筑物顶端的仰角分别为，且两点间的距离为，则该建筑物的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】高度测量问题、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【详解】在中，， ， 由正弦定理，得， 所以建筑物的高度为. 【例13.2.】 如图，两座山峰的高度米，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点（三点在同一水平面上）测得点的仰角为点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】高度测量问题、余弦定理解三角形 【详解】在中，， 在中，， 在中， 米. 【例13.3.】 如图，小明为了测量一棵榕树的高度，他选取与树根部在同一水平面的、两点，在点测得树根部在西偏北的方向上，沿正西方向步行10米到处测得树根部在西偏北的方向上，树梢的仰角为，则树的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】高度测量问题 【分析】根据图形，在中利用正弦定理求得的值，在中求出的值． 【详解】依题意可得如下图形， 在中，，，， 由正弦定理得，，解得，， 在中，， 所以，． 所以树的高度为米 【例13.4.】 太行山在河南的最高峰——济源斗顶，远近闻名.如图，某校高一年级数学实践小组为了测其高度.在山脚A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走a m到达B处，在B处测得山顶P的仰角为，若，，，，则山高为（   ）（图中的点A，B，P，C，Q均在同一个铅直平面内） A．2000m B．m C．1000m D．m 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】高度测量问题、正弦定理解三角形 【分析】由题可得，，，然后由正弦定理可得，最后在中，由三角函数知识可得答案. 【详解】因为，，又因为， 所以，，所以. 在中，，，，， 由正弦定理得：，即，解得. 在中，，，， 所以. 【例13.5.】 海军某登陆舰队在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东50°方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东70°方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给．若舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则______． 【答案】/ 【难度】0.84 【知识点】角度测量问题、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【详解】 如图，设舰艇经过小时后在处与舰艇汇合，则. 根据余弦定理得， 解得或（舍去）， 故.由正弦定理得， 解得 【例13.6.】 某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速度为海里/小时. (1)求点到点的距离； (2)若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间. 【答案】(1) (2)2小时 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、距离测量问题、正、余弦定理的其他应用 【分析】（1）在中利用正弦定理，求出； （2）在中，利用余弦定理求出，根据速度求出时间． 【详解】（1）由题意知海里， ， ， 在中，由正弦定理得， ， （海里）. （2）在中，， （海里），由余弦定理得 ， （海里），则需要的时间（小时）． 答：救援船到达点需要2小时． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $