精品解析：2026年江苏无锡市梁溪区九年级下学期第二次模拟考试数学试题

2026年九年级第二次模拟考试 九年级数学 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为120分钟．试卷满分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号是否与本人的相符合． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 比赛用的乒乓球有一定的标准质量，但实际生产的乒乓球的质量可能会有一些偏差，检测记录中“”表示超出标准质量，“”表示不足标准质量，现随机抽取4个乒乓球进行质量检测，那么最接近标准质量的是（ ） A. B. C. D. 2. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一次函数的图像经过点A，则点A的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知一个多边形的每个外角都等于，则这个多边形的边数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 某中学足球队的18名队员的年龄情况如下表： 年龄（单位：岁） 14 15 16 17 18 人数 3 6 4 4 1 则这些队员年龄的众数和中位数分别是（　　） A. 15，15 B. 15，15.5 C. 15，16 D. 16，15 7. 如图，在三角形测平架中，，在的中点D处挂一重锤，让它自然下垂，如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认处于水平位置，这一判断过程体现的数学依据是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合 D. 三角形具有稳定性 8. 我市为进一步加密城市轨道交通线网，提升城市交通的便捷性和覆盖范围，地铁5号线、6号线一期工程正在建设中，计划于2028-2029年陆续开通．为使工程提前半年完成，需将工作效率提高．若设原计划完成这项工程需要x个月，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 我们知道，函数的图象可以由函数的图象向下平移一个单位长度得到．函数的图象可以由函数的图象经过下列哪个平移得到（ ） A. 向右平移一个单位长度 B. 向左平移一个单位长度 C. 向上平移一个单位长度 D. 向下平移一个单位长度 10. 如图，点P是的边上一动点（不与点B、C重合）过点P作交于点D、作交于点E，点M、N分别为线段、上的两个点，且，，则与的面积相等的是（ ） A. 的面积 B. 的面积 C. 的面积 D. 的面积 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，其中第17、18题第一空1分，第二空2分，不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 分解因式：m2-6m+9=_______． 12. 根据无锡文旅局数据统计显示，今年“五一”小长假，鼋头渚、灵山胜境、三国水浒城三大5A景区共接待旅游总人数254000人，数据254000用科学记数法可表示为______． 13. 若代数式的值为，则实数的值是______． 14. 已知扇形的面积为6π，半径为4，则该扇形的弧长为_______ ． 15. 小丽计算数据方差时，使用公式，则公式中______. 16. 如图，BD为⊙O的直径，点A为弧BDC的中点，∠ABD＝35º，则∠DBC=__________． 17. 如图，的对角线、交于点O，且，过点A作，连接，若，，则的长为______． 18. 已知一次函数（为常数且）的图像经过定点，与轴交于点，与一次函数的图像交于点．①点坐标为______；②若为等腰三角形，则的值为______． 三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算与解不等式组： （1）计算：； （2）解不等式组：． 20. 先化简：，再从、、0、1中选择一个合适的数作为a的值代入求值． 21. 如图，在中，是边上的中线，E是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）判断四边形的形状，并证明你的结论． 22. 某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每周的课外阅读时间x（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图： 根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）请估计该校3000名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数． （3）现有甲、乙、丙三位学生被邀请参加“课外阅读分享”沙龙活动，他们将通过抽签来决定出场顺序． ①甲第一个出场的概率为 ； ②求甲比乙先出场的概率．（用画树状图或列表的方法） 23. 如图，已知中，． （1）尺规作图：在上分别确定点D和点E，使得，；（提示：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，请用等式表示和的数量关系为 ； （提示：（2）可在备用图中画草图分析） 24. 如图为某年10月的月历表，小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3个数． （1）当小明与小亮的框有一个数相同时，他俩框出数的总和的最大值为 ； （2）小明对小亮说：“当我俩框的三个数的中间数相同时，你三数中的最小数与我三数中最小数的积可以为112．”小亮反驳道：“这种情况是不存在的．”请你判断他们俩谁的说法正确，并说明理由． 25. 如图，中，在边上取一点O，以点O为圆心，为半径画圆，若与边相切于点D，与边相交于点E，连接． （1）求证：； （2）若的半径为2，长为，求图中阴影部分面积． 26. 根据背景素材，探索解决问题： 测量土地面积 背景素材 现有一块五边形土地需要测量面积兴趣小组的装备： ①直角校验工具， ②面积测量仪：找两个固定点，可测出仪器所在点与两个固定点所形成的三角形面积 实验步骤 步骤一：用直角校验工具校验五边形的五个角 结果：、、三个角均为直角 步骤二：选定点D、点O为固定点，测量人员手持面积测量仪从点D出发，以的步速沿五边形 的边匀速行走一周，测量仪记录下测量人员所在点与O、D所围成三角形的面积．从面积测量仪中导出数据绘制成S与行走时间t的函数关系如图所示： 请根据以上信息解决问题： （1）求五边形 的面积； （2）在上确定一点P，过点D、P造一条笔直的马路（马路面积忽略不算）可以将此五边形土地分成面积相等的两块区域，求出此时的值． 27. 如图，等边的边长为12，点D为边的中点，E为射线上一动点，连接，将沿翻折，得到． （1）当点恰好落在边上（不与端点B、C重合）时，求线段的长； （2）当与的边垂直时，求线段的长． 28. 已知二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点． （1）求该二次函数表达式； （2）过二次函数位于第一象限内的图像上一动点P作直线轴于点E，交直线于点F．取线段上一点Q使得．当点P运动到何处时，的长最大？求出此时点P的坐标及长的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级第二次模拟考试 九年级数学 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为120分钟．试卷满分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号是否与本人的相符合． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 比赛用的乒乓球有一定的标准质量，但实际生产的乒乓球的质量可能会有一些偏差，检测记录中“”表示超出标准质量，“”表示不足标准质量，现随机抽取4个乒乓球进行质量检测，那么最接近标准质量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据偏差的绝对值越小，乒乓球质量越接近标准质量，则只需比较各选项偏差的绝对值大小即可得到结果． 【详解】∵ 越接近标准质量，乒乓球质量偏差的绝对值越小， 分别计算各选项偏差的绝对值： ， ， ， ， ∵ ， ∴ 选项A的偏差绝对值最小，最接近标准质量． 2. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，， 解得：． 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：对于A选项，，A错误． 对于B选项，，B错误． 对于C选项，和不是同类项，不能合并，C错误． 对于D选项，，D正确． 4. 一次函数的图像经过点A，则点A的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将各选项点的横坐标代入解析式，计算得到对应值后，和点的纵坐标对比即可判断． 【详解】∵若点在一次函数的图象上，则点的坐标满足该解析式， 对选项A，当时， ，∴A错误； 对选项B，当时， ，与点的纵坐标相等，符合要求，∴B正确； 对选项C，当时， ，∴C错误； 对选项D，当时， ，∴D错误． 5. 已知一个多边形的每个外角都等于，则这个多边形的边数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵任意多边形的外角和恒等于，该多边形的每个外角都等于， ∴这个多边形的边数为． 6. 某中学足球队的18名队员的年龄情况如下表： 年龄（单位：岁） 14 15 16 17 18 人数 3 6 4 4 1 则这些队员年龄的众数和中位数分别是（　　） A. 15，15 B. 15，15.5 C. 15，16 D. 16，15 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数和中位数的定义求解即可． 【详解】解：这组数据按从小到大顺序排列为：14，14，14，15，15，15，15，15，15，16，16，16，16，17，17，17，17，18， 则众数为：15， 中位数为：（15+16）÷2=15.5． 故选B． 【点睛】本题考查了众数和中位数的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握众数和中位数的定义． 7. 如图，在三角形测平架中，，在的中点D处挂一重锤，让它自然下垂，如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认处于水平位置，这一判断过程体现的数学依据是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合 D. 三角形具有稳定性 【答案】C 【解析】 【分析】利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可． 【详解】解：这种做法依据的数学原理是：等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合． 理由：∵，， ∴． ∵是重锤所在的直线， ∴是水平的． 8. 我市为进一步加密城市轨道交通线网，提升城市交通的便捷性和覆盖范围，地铁5号线、6号线一期工程正在建设中，计划于2028-2029年陆续开通．为使工程提前半年完成，需将工作效率提高．若设原计划完成这项工程需要x个月，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将总工作量看作单位1，，分别表示原效率和实际效率，根据实际效率比原效率提高的关系列方程即可. 【详解】解：设原计划完成这项工程需要个月，将总工作量看作单位. ∵ ， ∴ 原工作效率为 ， ∵ 工程提前半年，即提前6个月完成， ∴ 实际工作时间为 个月，实际工作效率为 . ∵ 工作效率提高，即实际工作效率是原工作效率的倍 ∴可列方程： . 9. 我们知道，函数的图象可以由函数的图象向下平移一个单位长度得到．函数的图象可以由函数的图象经过下列哪个平移得到（ ） A. 向右平移一个单位长度 B. 向左平移一个单位长度 C. 向上平移一个单位长度 D. 向下平移一个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】函数图象的平移规律，x轴方向平移遵循“左加右减”的规律，即对自变量进行变换，左移加，右移减，对比原函数和平移后函数的形式即可得出结论． 【详解】解：函数平移后为 ，符合向左平移1个单位长度的结果． 10. 如图，点P是的边上一动点（不与点B、C重合）过点P作交于点D、作交于点E，点M、N分别为线段、上的两个点，且，，则与的面积相等的是（ ） A. 的面积 B. 的面积 C. 的面积 D. 的面积 【答案】C 【解析】 【分析】连接，证明，得出，由已知得出，则，又，则，进而得出，可得，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴，， ，． ∴ ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴ ． ∵， ∴． ∴． ∴，故选项C符合题意； 无法得出的面积、的面积、的面积与的面积相等，故A、B、D不符合题意． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，其中第17、18题第一空1分，第二空2分，不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 分解因式：m2-6m+9=_______． 【答案】 【解析】 【分析】直接应用完全平方公式即可． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解题的关键． 12. 根据无锡文旅局数据统计显示，今年“五一”小长假，鼋头渚、灵山胜境、三国水浒城三大5A景区共接待旅游总人数254000人，数据254000用科学记数法可表示为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴数据254000用科学记数法可表示为． 13. 若代数式的值为，则实数的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的值为的条件：分子为，且分母不为，列式解答即可求解． 【详解】解：∵代数式的值为 ∴且， 解得． 14. 已知扇形的面积为6π，半径为4，则该扇形的弧长为_______ ． 【答案】3π 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式即可求得扇形的弧长． 【详解】 ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形的面积与弧长的关系，熟记扇形的面积是解题的关键． 15. 小丽计算数据方差时，使用公式，则公式中______. 【答案】9 【解析】 【分析】根据方差的定义即可求解．方差等于各个数据与平均数差的平方的平均数． 【详解】∵， ∴这组数据为：5、8、13、14、5， ∴， 故答案为：9 【点睛】本题主要考查了方差的定义，熟练地掌握“方差等于各个数据与平均数差的平方的平均数”是解题的关键． 16. 如图，BD为⊙O的直径，点A为弧BDC的中点，∠ABD＝35º，则∠DBC=__________． 【答案】20°. 【解析】 【分析】连接AD，根据圆周角定理可得∠BAD=90°，∠ACB=∠ADB，再由三角形的内角和定理得出∠ADB=55°，再根据等腰三角形的性质求出∠ABC=∠ACB=55°，进而可求出∠DBC. 【详解】解：如图所示： 连接AD， ∵BD是直径， ∴∠BAD=90°， ∵∠ABD=35°， ∴∠ADB=55°， ∴∠ACB=∠ADB=55°， ∵A为弧BDC的中点， ∴AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=55°， ∵∠ABD=35°， ∴∠DBC=55°-35°=20°， 故答案为20°． 【点睛】等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理是本题的考点，题目不难，主要考查学生的推理能力． 17. 如图，的对角线、交于点O，且，过点A作，连接，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，利用直角三角形的性质，求出，， ，证明，得出，，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ，，，， ，，，，，， ，，，， ，，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ，， ， ． 18. 已知一次函数（为常数且）的图像经过定点，与轴交于点，与一次函数的图像交于点．①点坐标为______；②若为等腰三角形，则的值为______． 【答案】 ①. ； ②. 或或或 【解析】 【分析】①求一次函数定点，将函数整理为关于的形式，令的系数为，即可得到定点坐标；②先求出点和点的坐标，再根据等腰三角形的定义，分、、三种情况分类讨论，计算得到符合条件的的值． 【详解】①整理一次函数，得， ， 当，即时，，与的取值无关， 定点的坐标为； ②求点坐标：一次函数与轴相交时，代入得， ，原点， 联立两个一次函数解析式求点坐标： ， ， 解得，将代入，得， ； 因为为等腰三角形，所以分三种情况讨论： 情况1：，的长度为，的长度为， ， 等式两边分别平方得：， ，两边除以得，即 或，解得或，均符合条件； 情况2：，的长度为， ，化简，两边平方除以得，， 整理得：， 解得，解得，符合条件； 情况3：， 则，即， 化简得：， ，，代入得：， ， 解得 ，即，符合条件； 综上，的值为或或或． 三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算与解不等式组： （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据特殊角的三角函数值，二次根式的性质，负整数指数幂进行计算，再求出即可； （2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 解不等式①得， 解不等式②得， 所以，不等式组的解集为． 20. 先化简：，再从、、0、1中选择一个合适的数作为a的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】先将括号内式子通分，再将分式除法转换为乘法，约分化简，根据分式的分母不能为0、除数不能为0，求出a的取值范围，从给出的4个数中找出合适的数代入求解即可． 【详解】解： ， ∵，且 ∴且， ∴只能 ∴当时，原式． 21. 如图，在中，是边上的中线，E是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析 （2）四边形是平行四边形，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据中点的定义和平行线的性质得到条件，证明即可； （2）证明，又由已知即可证明四边形是平行四边形． 【小问1详解】 证明：是的中点， ． ， ， 【小问2详解】 四边形是平行四边形 证明：， 又是的中线， ， ∴ 又， ∴四边形是平行四边形． 22. 某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每周的课外阅读时间x（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图： 根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）请估计该校3000名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数． （3）现有甲、乙、丙三位学生被邀请参加“课外阅读分享”沙龙活动，他们将通过抽签来决定出场顺序． ①甲第一个出场的概率为 ； ②求甲比乙先出场的概率．（用画树状图或列表的方法） 【答案】（1）见解析 （2）名． （3）①；② 【解析】 【分析】（1）先根据组求出总人数，即可得到的值，求出组所占百分比即可得到圆心角的度数； （2）根据题意得到每周的课外阅读时间不小于6小时的人数为 ，用样本估计总体即可． （3）①根据概率公式进行解答即可；②画出树状图，找到符合题意的情况数，利用概率公式进行解答即可． 【小问1详解】 解：本次调查的总人数：（人）， ∴D组的人数为（人）， 补全频数分布直方图如下： 【小问2详解】 解：（名）， 答：该校3000名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时有名． 【小问3详解】 解：①甲第一个出场的概率为； ②画出树状图如下： 共有6种等可能的情况数，其中甲比乙先出场的情况有3种，故甲比乙先出场的概率为． 23. 如图，已知中，． （1）尺规作图：在上分别确定点D和点E，使得，；（提示：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，请用等式表示和的数量关系为 ； （提示：（2）可在备用图中画草图分析） 【答案】（1）作图见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）以为圆心，为半径画圆，交于点，即可确定；作线段的垂直平分线交于点，即可确定； （2）根据角之间的关系求解即可； 【小问1详解】 点、点位置作图如下： 【小问2详解】 由图可知：，， ， ， 得：， ， ， ， ． 24. 如图为某年10月的月历表，小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3个数． （1）当小明与小亮的框有一个数相同时，他俩框出数的总和的最大值为 ； （2）小明对小亮说：“当我俩框的三个数的中间数相同时，你三数中的最小数与我三数中最小数的积可以为112．”小亮反驳道：“这种情况是不存在的．”请你判断他们俩谁的说法正确，并说明理由． 【答案】（1）123 （2）小亮说法正确，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据月历表找到符合题意的小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3个数，求和即可； （2）设两人框的中间相同的数为x，根据题意列方程并解方程即可． 【小问1详解】 解：当小明框出3个数为，小亮框出3个数为，此时他俩框出数的总和最大， ∴最大值为； 【小问2详解】 解：小亮的说法是正确的． 理由：设两人框的中间相同的数为x， 则可得方程 ， 即 ， 解得（负数舍去），， 但是15在日历的最右侧，不可能成为横框的中间数，所以不符合题意舍去， 因此小亮说法正确． 25. 如图，中，在边上取一点O，以点O为圆心，为半径画圆，若与边相切于点D，与边相交于点E，连接． （1）求证：； （2）若的半径为2，长为，求图中阴影部分面积． 【答案】（1）证明：连接， ∵与边相切于点D， ∴，即， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，得，得出，证明，再证明即可； （2）连接，证明是的切线，求出，由切线长定理得，根据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵，且为半径， ∴是的切线， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴ 26. 根据背景素材，探索解决问题： 测量土地面积 背景素材 现有一块五边形土地需要测量面积兴趣小组的装备： ①直角校验工具， ②面积测量仪：找两个固定点，可测出仪器所在点与两个固定点所形成的三角形面积 实验步骤 步骤一：用直角校验工具校验五边形的五个角 结果：、、三个角均为直角 步骤二：选定点D、点O为固定点，测量人员手持面积测量仪从点D出发，以的步速沿五边形 的边匀速行走一周，测量仪记录下测量人员所在点与O、D所围成三角形的面积．从面积测量仪中导出数据绘制成S与行走时间t的函数关系如图所示： 请根据以上信息解决问题： （1）求五边形 的面积； （2）在上确定一点P，过点D、P造一条笔直的马路（马路面积忽略不算）可以将此五边形土地分成面积相等的两块区域，求出此时的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接作于点作于点根据五边形 的面积进行解答即可； （2）连接，作于点连接，求出，根据即可求出答案． 【小问1详解】 解：如图，连接作于点作于点 由图象可知，， 解得，， 由图象可知，，， ∵，， ∴四边形是矩形， 四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴ ； 即五边形 的面积为； 【小问2详解】 解：连接，作于点连接， 由题意可知，， ∴， ∴ 27. 如图，等边的边长为12，点D为边的中点，E为射线上一动点，连接，将沿翻折，得到． （1）当点恰好落在边上（不与端点B、C重合）时，求线段的长； （2）当与的边垂直时，求线段的长． 【答案】（1）长为6 （2）或或或 【解析】 【分析】（1）证明是等边三角形，根据折叠的性质可得是等边三角形，即可得出结论； （2）分四种情况讨论，结合图形解答即可， 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴ ，， ∵点D为边的中点， ∴， 由翻折的性质得：， 如图： ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由折叠得， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 【小问2详解】 解：分四种情况讨论： 情形一：，如图，延长交于点，如图： 则， ∵， ∴， 设，则， ∴， 由翻折得，， 在中，，， 则，，， ∵，即， 解得：， 即； 情形二：，此时，如图， 由折叠得， 过点作于点， 在等边三角形中，，，则， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴，即， 解得：，即． 情形三：，如图， ∴， ∴， ∴， 由折叠得， 过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即； 情形四：当点在的延长线上时，，如图， 则， 由折叠得：，，， ∴ ， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 综上，的长为或或或． 28. 已知二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点． （1）求该二次函数表达式； （2）过二次函数位于第一象限内的图像上一动点P作直线轴于点E，交直线于点F．取线段上一点Q使得．当点P运动到何处时，的长最大？求出此时点P的坐标及长的最大值． 【答案】（1） （2）当时，长最大，最大值为． 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）运用待定系数法求出直线的解析式，设，分当Q在直线左侧，当Q在直线右侧两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点， ∴把，代入得：， 解得， ∴二次函数表达式． 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得：， ∴直线， 设， ①当Q在直线左侧，过Q作，垂足为H． ∵直线轴于点E，交直线于点F． ∴， ∴． ∵， ∴， 设， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴， ∴， 又, ∴， ∵， ∴， 因为点Q在线段上，点Q在点的上方，点P在第一象限图像上，， ∵, ∴,且， 又 ， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 因此，当时，的长最大为，点． ②当Q在直线右侧，过Q作，垂足为点H． 同理可得：， 因为点Q在线段上，点Q在点的下方，点P在第一象限图像上，， ∵, ∴,且， 又 ， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵ ， ∴． 因此，当时，的长最大为，点． 综上所述，当时，长最大，最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $