精品解析：2025年江苏省无锡市梁溪区九年级第二次模拟考试数学试题

2025年九年级第二次模拟考试 数学试题 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上． 考试时间为120分钟．试卷满分150分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．） 1. 数轴上表示的点与原点的距离是（ ） A. 0 B. 3 C. D. 2. 惠山古镇映月里街区于今年4月30日正式开街，当天就吸引了近名游客前来游玩，数据用科学记数法表示（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法：“铁在潮湿的空气中会生锈”是必然事件；“物体不受外力时保持静止或匀速直线运动状态”是确定事件；“没有水分，种子发芽”是随机事件；“买一张电影票，座位号是奇数号”是不可能事件．其中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知一组数据：13，11，8，10，10，这组数据众数和中位数分别是（ ） A. 10，9 B. 10，10．4 C. 10，8 D. 10，10 6. 已知是方程，那么m的值是（ ） A. B. C. D. 3 7. 下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直且相等 8. 如图，为上的三个点，连接．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数与一次函数的图象交于两点，这两点的横坐标分别为和，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 或 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在以为圆心，为半径的圆上，关于的对称点为，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最小值是（ ） A. 14 B. 15 C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，其中18题第一空1分，第二空2分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置．） 11. 因式分解：__________； 12. 函数中，自变量x的取值范围是__________． 13. 正六边形的一个外角的度数为______． 14. 用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径等于_____cm． 15. 在平面直角坐标系中，某函数的图象经过点，且函数y随自变量x的增大而减小，请写出一个符合要求的函数表达式：__________． 16. 写出命题“若，则．”的逆命题：__________． 17 如图，中，．将绕点A顺时针旋转得，与交于D．则__________． 18. 如图，在中，，，，是中位线，角平分线交于点为上一动点（不与重合），作，垂足为，作，交于，在下方作，且．设，，则关于的函数表达式是__________，的最小值是__________． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等） 19. 计算：． 20. 解分式方程：． 21. 在中，，为的中点，点为上一点，连接并延长至点，使得，连接．求证：． 22. 某中学环保社团为了解本校学生对垃圾分类的认知与实践情况，随机调查了部分学生，调查类别为：不参与、偶尔参与、经常参与、主动参与，共四类．以下是对调查结果所做的条形统计图和扇形统计图，请根据统计图表回答下列问题： （1）此次调查中接受调查的学生的人数为________人； （2）补全条形统计图； （3）该校共有学生2000人，根据调查结果估计该校“偶尔参与”，“经常参与”及“主动参与”的学生人数共有多少人？ 23. 在，1，3，4，6这五个数中，先任意取出一个数a，然后在余下的数中任意取出一个数b，组成一个点的坐标，求这个点的横坐标恰好为偶数且纵坐标恰好为奇数的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 24. 如图，在中，．请按照要求完成尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： （1）请在图1中的上确定点P，使得． （2）若，，请在图2中的上确定点Q，使得． 25. 如图，是半圆O的直径，点C是半圆O上一动点（不与A、B重合），的平分线与和半圆O分别交于点D、E，与过点A的切线交于点F． （1）判断形状，并说明理由； （2）若，，求的值． 26. 某校要组建无人机社团，今年计划采购A、B两种型号的无人机共40架．其中A型无人机的抗损耐用率为．B型无人机的抗损耐用率为．已知若采购10架A型号、30架B型号无人机需要11000元；若采购20架A型号、20架B型号无人机需要10000元．（注：无人机的抗损耐用率指无人机在遭受碰撞或摔落等意外情况后仍能正常使用的比例．） （1）采购每架A型无人机和每架B型无人机各需要多少元？ （2）社团要求这两种无人机的总抗损耐用率不低于，请问如何购买可以使得采购费用最低？ 27. 如图，在矩形中，，，动点在上，从向以每秒个单位长度的速度运动，设运动时间为（）（）．将四边形沿直线翻折得到四边形，连接，． （1）当时，请判断此时的形状并说明理由． （2）当为何值时，正好落在矩形边所在的直线上，请判断此时的形状并说明理由． 28. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于、（点在点左侧），与轴交于．一次函数的图像经过、两点，点． （1）求，的值； （2）点在直线上，直线交轴于点，将点绕点逆时针旋转得到点，连接、，当和相似时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年九年级第二次模拟考试 数学试题 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上． 考试时间为120分钟．试卷满分150分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．） 1. 数轴上表示的点与原点的距离是（ ） A. 0 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据绝对值的意义，即可求解． 【详解】解：数轴上表示的点与原点的距离是, 故选：B． 2. 惠山古镇映月里街区于今年4月30日正式开街，当天就吸引了近名游客前来游玩，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，合并同类项，平方差公式，掌握运算法则是解题的关键． 分别根据幂的、积的乘方运算，同底数幂的除法运算，合并同类项运算法则以及平方差公式进行判定即可． 【详解】解：A、，原写法错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原写法错误，不符合题意； D、，原写法错误，不符合题意； 故选：B． 4. 下列说法：“铁在潮湿的空气中会生锈”是必然事件；“物体不受外力时保持静止或匀速直线运动状态”是确定事件；“没有水分，种子发芽”是随机事件；“买一张电影票，座位号是奇数号”是不可能事件．其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，根据事件发生的可能性大小判断即可，解题的关键是理解必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：“铁在潮湿的空气中会生锈”是必然事件，说法正确，符合题意； “物体不受外力时保持静止或匀速直线运动状态”是确定事件，说法正确，符合题意； “没有水分，种子发芽”是不可能事件，说法错误，不符合题意； “买一张电影票，座位号是奇数号”是随机事件，说法错误，不符合题意； 综上可知：正确， 故选：． 5. 已知一组数据：13，11，8，10，10，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 10，9 B. 10，10．4 C. 10，8 D. 10，10 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了众数和中位数，根据众数和中位数的定义解题即可． 【详解】解：从小到大排列为：8，10，10，11，13， 其中出现最多次数的为：10， ∴众数为10， 一共5个数，中位数为第3个数， ∴中位数为：10， 故选：D． 6. 已知是方程，那么m的值是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查方程的解，解一元一次方程，掌握方程的解的定义，解一元一次方程的方法是解题关键．根据方程的解得定义把代入方程转化为关于m的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：∵是方程， ∴， 解得：， 故选：D． 7. 下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直且相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形、矩形的性质，掌握其性质是关键． 根据矩形，菱形的性质判定即可求解． 【详解】解：矩形的对角线相互平分，对角线相等， 菱形的对角线相互平分，互相垂直，平分对角， ∴菱形具有而矩形不一定具有的性质是对角线互相垂直， 故选：B ． 8. 如图，为上的三个点，连接．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理，对顶角的性质，由圆周角定理和三角形内角和定理可得，，进而得，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 9. 已知二次函数与一次函数的图象交于两点，这两点的横坐标分别为和，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到二次函数图象在一次函数图象上方，二者交点处时自变量的取值范围即可得到答案，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由二次函数与一次函数， 可得图象如图， 根据图象可知：当时，，即， 故选：． 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在以为圆心，为半径圆上，关于的对称点为，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最小值是（ ） A. 14 B. 15 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的运用规律，掌握点的运动，建立合理的数量关系，数形结合分析是关键． 根据题意，轴对称，旋转的性质得到点关于点的对称点的横坐标为，纵坐标为，即，点在以点为圆心，为半径的圆上，点在以点为圆心，为半径的圆上，由此得到的最小值是的值减去的最大值，数形结合分析即可求解． 【详解】解：∵点， ∴点关于点的对称点的横坐标为，纵坐标为，即， ∵点在以为圆心，为半径的圆上，关于的对称点为， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， 如图所示，连接， ∵， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴， 将绕点逆时针旋转度得，则， ∴与轴的负半轴的夹角为， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， ∴当点在上顺时针运动时，根据轴对称的性质得到点在上逆时针运动，点在上顺时针运用， 连接， ∴， ∵点的运动方向不同， ∴线段与线段的关系是：相交与平行，如图所示， ∴如图3所述，当时，延长交于点，过点作于点， 当时，， ∴最大时，的值最小， ∴当时，的值在四边形是平行四边形时最大， ∴， ∴， 故选： D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，其中18题第一空1分，第二空2分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置．） 11. 因式分解：__________； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了公式法因式分解，掌握公式法的运用是关键． 运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 12. 函数中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件求解即可． 【详解】解：根据题意：， 解得：， 故答案为： 13. 正六边形的一个外角的度数为______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角和的知识，解题的关键是根据正多边形的每一个外角都相等和多边形的外角和等于360度解答即可． 【详解】解：∵正六边形的外角和是， ∴正六边形的一个外角的度数为：， 故答案为：． 14. 用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径等于_____cm． 【答案】1． 【解析】 【分析】把扇形的弧长和圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解． 【详解】设此圆锥的底面半径为r． 根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得： 　2πr， 解得：r=1． 故答案为1． 【点睛】本题考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 15. 在平面直角坐标系中，某函数的图象经过点，且函数y随自变量x的增大而减小，请写出一个符合要求的函数表达式：__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数的图象和性质．首先根据函数的性质确定的取值范围，然后根据经过点，即可解决问题． 【详解】解：函数值随自变量的增大而减小， ， 则可取， 则函数解析式为， 又图象经过点， ， 解得， （答案不唯一）， 故答案为：． 16. 写出命题“若，则．”的逆命题：__________． 【答案】若，则 【解析】 【分析】本题主要考查了命题和逆命题的知识，正确写出逆命题是解题关键．对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．根据题目中给出的命题，结合逆命题的定义解答即可． 【详解】解：命题“若，则．”的逆命题：若，则． 故答案为：若，则．． 17. 如图，中，．将绕点A顺时针旋转得，与交于D．则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形外角的性质，根据旋转的性质可得，再由三角形外角的性质即可求出答案． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∵， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在中，，，，是中位线，角平分线交于点为上一动点（不与重合），作，垂足为，作，交于，在下方作，且．设，，则关于的函数表达式是__________，的最小值是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】解直角三角形，求出，，根据三角形中位线定理求出，，则，，根据角平分线的定义、平行线的性质可求出，根据含的直角三角形的性质求出，，然后把，，代入，可求出关于的函数表达式；由，，，可得出，然后证明，得出，可证得，则K在以为直径的圆上，取中点O，连接，，则，，故当C、K、O共线时，取最小值，最小值为，在中，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∵是中位线， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ 即， 连接、， ∵，，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴K在以为直径的圆上， 取中点O，连接，， 则，， 当C、K、O共线时，取最小值，最小值为， 在中，，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为： ，． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，含的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，圆的概念，点与圆上一点的最值问题等知识，掌握相关性质定理进行推理论证是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先算乘方和零指数幂，并化简绝对值，最后算加减法即可． 【详解】解： ． 20. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程， 把分式方程化成整式方程，解整式方程后再检验即可得出答案． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项：， 经检验，时，， 故是分式方程的解． 21. 在中，，为的中点，点为上一点，连接并延长至点，使得，连接．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟记判定方法是解本题的关键．先证明，再按照证明两个三角形全等，得出，可得，进而即可得证． 【详解】证明：∵为的中点， ∴， 在中 ∴， ∴， ∴， ∵，即 ∴． 22. 某中学环保社团为了解本校学生对垃圾分类的认知与实践情况，随机调查了部分学生，调查类别为：不参与、偶尔参与、经常参与、主动参与，共四类．以下是对调查结果所做的条形统计图和扇形统计图，请根据统计图表回答下列问题： （1）此次调查中接受调查的学生的人数为________人； （2）补全条形统计图； （3）该校共有学生2000人，根据调查结果估计该校“偶尔参与”，“经常参与”及“主动参与”学生人数共有多少人？ 【答案】（1） （2）见解析 （3）估计该校“偶尔参与”，“经常参与”及“主动参与”的学生人数共有人 【解析】 【分析】本题考查调查统计相关知识，涉及条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体等，找出条形统计图与扇形统计图的关联信息是解题的关键. （1）用“经常参与”人数除以所占百分比即可求出接受调查的学生总人数； （2）用接受调查的学生总人数减去“不参与”“偶尔参与”“经常参与”的人数，求出 “主动参与”的人数，即可补全条形统计图； （3）利用样本估计总体，用接受调查的学生中对“偶尔参与”，“经常参与”及“主动参与”的学生人数所占比例乘以该校学生总人数，即可得出答案. 【小问1详解】 解：（人） 则此次调查中接受调查的学生的人数为人； 【小问2详解】 解：“主动参与”的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：（人） 答：估计该校“偶尔参与”，“经常参与”及“主动参与”的学生人数共有人. 23. 在，1，3，4，6这五个数中，先任意取出一个数a，然后在余下的数中任意取出一个数b，组成一个点的坐标，求这个点的横坐标恰好为偶数且纵坐标恰好为奇数的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法或树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．首先根据题意列出表格，然后根据表格求得所有等可能的情况与组成的点恰好横坐标为偶数且纵坐标为奇数的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：列表得： 1 3 4 6 — 1 — 3 — 4 — 6 — ∵组成的点共有20个，其中横坐标为偶数、纵坐标为奇数的点有6个， ∴组成的点横坐标为偶数、纵坐标为奇数的概率为：． 24. 如图，在中，．请按照要求完成尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： （1）请在图1中的上确定点P，使得． （2）若，，请在图2中的上确定点Q，使得． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 【解析】 【分析】本题考查的是垂直平分线的作图及性质、角平分线的作图及性质及勾股定理， （1）作线段的垂直平分线与边的交点即为所求作； （2）作的平分线交边点Q，即为所求作点；根据勾股定理先求出长，作于点H，证明，设未知数列方程求出，进而求出验证结论． 【小问1详解】 解：如下图点P即为所求作： 【小问2详解】 解：如下图点Q即为所求作： 理由如下：作于点H， 在中，，，， ， 平分， ， ， ， ， ， 设， 在中，， 解得：， ， ． 25. 如图，是半圆O的直径，点C是半圆O上一动点（不与A、B重合），的平分线与和半圆O分别交于点D、E，与过点A的切线交于点F． （1）判断的形状，并说明理由； （2）若，，求的值． 【答案】（1）是等腰三角形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，切线的性质，直径所对圆周角是直角； （1）由角平分线得到，再根据是半圆O的直径，为半圆O的切线，得到，即可得到，推出，即是等腰三角形； （2）连接，则，，先根据勾股定理求出，再根据面积法求出，接着利用勾股定理求，得到，最后根据，得到，解方程即可． 【小问1详解】 证明：是等腰三角形，理由如下： ∵的平分线， ∴， ∵是半圆O的直径，为半圆O的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 解：连接，则， ∵， ∴， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 26. 某校要组建无人机社团，今年计划采购A、B两种型号的无人机共40架．其中A型无人机的抗损耐用率为．B型无人机的抗损耐用率为．已知若采购10架A型号、30架B型号无人机需要11000元；若采购20架A型号、20架B型号无人机需要10000元．（注：无人机的抗损耐用率指无人机在遭受碰撞或摔落等意外情况后仍能正常使用的比例．） （1）采购每架A型无人机和每架B型无人机各需要多少元？ （2）社团要求这两种无人机的总抗损耐用率不低于，请问如何购买可以使得采购费用最低？ 【答案】（1）采购A型无人机每架需要200元，采购B型无人机每架需要300元； （2）当采购A型无人机架，采购B型无人机架，可以使得采购费用最低． 【解析】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函数应用． （1）设采购每架A型无人机需要元，采购每架B型无人机需要元，根据“若采购10架A型号、30架B型号无人机需要11000元；若采购20架A型号、20架B型号无人机需要10000元”列二元一次方程组求解即可； （2）设采购A型无人机架，采购B型无人机架，总费用为元，先根据总抗损耐用率不低于求得，再列得关于的一次函数，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设采购A型无人机每架需要元，采购B型无人机每架需要元， 根据题意得， 解得， 答：采购A型无人机每架需要200元，采购B型无人机每架需要300元； 【小问2详解】 解：设采购A型无人机架，采购B型无人机架，总费用为元， ∵这两种无人机的总抗损耐用率不低于， ∴， 解得， ∵为整数， ∴， 由题意得， ∵， ∴随的增大而减少， ∴当时，有最大值，最大值9400元， 此时， 答：当采购A型无人机架，采购B型无人机架，可以使得采购费用最低． 27. 如图，在矩形中，，，动点在上，从向以每秒个单位长度的速度运动，设运动时间为（）（）．将四边形沿直线翻折得到四边形，连接，． （1）当时，请判断此时的形状并说明理由． （2）当为何值时，正好落在矩形的边所在的直线上，请判断此时的形状并说明理由． 【答案】（1）是等腰三角形，理由见解析 （2）当是，是等腰三角形；当时，直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质和平行线的性质得：，则；先根据勾股定理计算的长，解，得出则是等边三角形，最后根据平行线分线段成比例定理，由，得，从而得结论； （2）分两种情况讨论，点在直线和上，分别画出图形，根据折叠的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：是等腰三角形 如图，延长交于点， 由折叠得：， 四边形是矩形， ， ， ， ； 在中， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， 过作， ， '， ， ， ， ， 是等腰三角形； 小问2详解】 解：当在直线上时，如图， ∵，， ∴ 由折叠得：， 四边形是矩形， ， ， ； ∴ ∴ 又∵， ∴当时，是等腰直角三角形 如图，当在直线上时，如图， 由折叠得：，， ∴是等腰直角三角形，是直角三角形 ∴, ∴， 此时是直角三角形 综上所述，当时，等腰三角形；当时，是直角三角形． 【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、平行线分线段成比例定理、等边三角形的判定及性质以及解直角三角形，根据图形的翻折找出相等的边角关系是解题的关键． 28. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于、（点在点左侧），与轴交于．一次函数的图像经过、两点，点． （1）求，的值； （2）点在直线上，直线交轴于点，将点绕点逆时针旋转得到点，连接、，当和相似时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据一次函数求得，，代入待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据解析式求得点的坐标，进而得出，，得出，分情况讨论，①当时，，根据相似三角形的性质得出，进而根据旋转的性质，全等三角形的性质，求得点的坐标；②当时，，同法求得，进而求得的坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数和一次函数的图像经过、两点， 当时，，当时， ∴， 将，代入， 解得： ∴解析式为 【小问2详解】 解：由， 当时，， 解得： ∵， ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ 如图所示，过点作于点，连接， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ 设 ∵将点绕点逆时针旋转得到点， ∴， ∴是等腰直角三角形，则 ∴， ①当时， ∴， 又∵ ∴， ∴ 如图，过点作轴于点 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， 设，则 ∴ 解得： ∴ 如图，过点作轴交轴于点，过点作轴交的延长线于点 ∴， 又∵ ∴， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴即 ∴ ②当时，， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴，即 ∴， 如图，过点作轴于点 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， 设，则 ∴ 解得： ∴ 当，如图， 同理可得， 综上所述，当和相似时，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$