专题九：成对数据的统计分析（5考点9考法）期末专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 聚焦成对数据统计分析全流程，以“相关性判断-回归建模-效果评估-独立性检验”为逻辑主线，系统整合散点图、相关系数、最小二乘法等核心方法，强化数学建模与数据分析素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |统计相关性|7题|散点图直观判断、相关系数r定量分析|从定性到定量刻画变量关联| |线性回归模型|9题|最小二乘法求方程、回归预测|模型构建与应用拓展| |残差分析|5题|残差计算、R²判断拟合效果|回归效果的科学评估| |列联表与独立性检验|12题|2×2列联表填写、χ²统计量计算与临界值判断|分类变量关联性推断|

专题九：成对数据的统计分析（解析卷） 考点1：成对数据的统计相关性2 考法1：绘制散点图判断相关性2 考法2：计算样本相关系数r并判断相关程度3 考点2：一元线性回归模型5 考法3：利用最小二乘法求经验回归方程5 考法4：利用回归方程进行预测8 考点3：残差分析与回归效果的刻画10 考法5：计算残差并分析回归效果10 考法6：利用R^2判断拟合效果11 考点4：分类变量与列联表12 考法7：填写2×2列联表12 考点5：独立性检验13 考法8：计算统计量13 考法9：根据临界值表判断独立性16 1 2 3 4 5 D A AD BCD 6 7 8 9 10 ，高度相关 （1） （2），线性相关程度较强 （3）， D C BCD 11 12 13 14 15 ACD （1） （2） 16 17 18 19 20 ，千万件 B A BC 21 22 23 24 25 同学甲物理成绩不会超过80分 A D 26 27 28 29 30 ACD AC ， ，， （1）列联表见解析，没有的把握 （2） 31 32 33 34 35 D C ABD 列联表见解析，有影响 列联表见解析，有关联 36 37 D ABC 考点1：成对数据的统计相关性 考法1：绘制散点图判断相关性 1.（单选） 【答案】D 【解析】由折线图可知，新能源汽车销量随月份增加而增加，呈现正相关，故A正确； 燃油车销量随月份增加而减少，可预测其销量仍呈下降趋势，故B正确； 新能源汽车销量逐月增长，且折线近似直线，说明逐月增长量大致相同，而基数不断增大，故逐月增长率逐渐减小，故C错误； 燃油车销量随月份增加而减少，呈负相关，其相关系数 应接近 ，故D错误. 本题C、D均有误，但D选项的错误更为明显（正负相关性错误），作为单选题，选D. 【点拨】散点图与相关系数的关系：正相关时 ，负相关时 .折线图近似直线说明增长量相同，而非增长率相同. 考法2：计算样本相关系数r并判断相关程度 2.（单选） 【答案】A 【解析】相关系数的绝对值越大，线性相关程度越强. 因为 最大，所以线性相关程度最强的是A. 【点拨】相关系数 的取值范围是 ， 越接近1，线性相关程度越强； 越接近0，线性相关程度越弱. 3.（多选） 【答案】AD 【解析】对于A：样本相关系数的绝对值越大，线性相关性越强，故A正确； 对于B：在回归分析中， 越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故B错误； 对于C：将 代入 ，则 ，则残差为 ，故C错误； 对于D：经验回归直线必过中心点，将 代入 则 ，故D正确. 故选AD. 【点拨】经验回归直线一定经过样本中心点 ，这是求解回归方程中未知参数的常用性质.残差等于观测值减去预测值. 4.（多选） 【答案】BCD 【解析】对于A：因为 ，所以B组数据的相关性较强，A错误； 对于B：在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，说明残差越小，其模型的拟合效果越好，B正确； 对于C：决定系数 越大，模型的拟合效果越好，C正确； 对于D：恰好抽到一件次品的概率为 ，D正确. 故选BCD. 【点拨】决定系数 和残差图都是刻画回归模型拟合效果的重要工具， 越大、残差带状区域越窄，拟合效果越好. 5.（填空） 【答案】 【解析】因为所有样本点都在直线 上，所以相关系数 满足 ， 又因为 ，所以 ，所以 . 【点拨】当所有样本点都在一条直线上时，说明两个变量具有完全的函数关系，此时相关系数 ，符号与直线斜率同号. 6.（解答） 【答案】相关系数 ，考试成绩 和错题订正整理情况得分 高度相关 【解析】解：（1）由题意可得相关系数 …………………… 2 分 代入数据得 …………………… 4 分 因为 接近1，所以考试成绩 和错题订正整理情况得分 高度相关 …………………… 5 分 【点拨】计算相关系数时，直接代入公式并准确化简即可，最后根据 的大小判断相关程度， 通常认为高度相关. 7.（解答） 【答案】（1）分布列见解析 （2） ，线性相关程度较强 （3） ，日均使用率为0.72 【解析】解：（1）由题意可知，3月份充电桩日均使用率为0.3，则一个充电桩一天内被使用的概率为0.3， ， 的可能取值为0，1，2，3 …………………… 1 分 ， ， ， …………………… 3 分 所以 的分布列为： 0 1 2 3 0.343 0.441 0.189 0.027 …………………… 4 分 （2） ， …………………… 6 分 …………………… 8 分 因为 接近于1，所以 与 的线性相关程度较强 …………………… 9 分 （3）由题意知 ，解得 …………………… 11 分 所以 关于 的经验回归方程为 . 将 代入经验回归方程，得 …………………… 13 分 又因为 ，所以当 时， …………………… 14 分 故预测当该市某月的新能源汽车保有量为36万辆时，充电桩的日均使用率为0.72 …………………… 15 分 【点拨】本题综合考查了二项分布、相关系数的计算以及回归方程的预测应用.注意利用样本中心点求回归方程参数的方法. 考点2：一元线性回归模型 考法3：利用最小二乘法求经验回归方程 8.（单选） 【答案】D 【解析】对于选项A，线性相关的回归方程对应的直线过点 ，即 ，解得 ，选项A正确； 对于选项B，根据正态分布的性质， ， ，则 ，选项B正确； 对于选项C，相关系数的绝对值 越接近1，则两个变量的线性相关程度越高，选项C正确； 对于选项D，共有10个按从小到大排列的数据， ，根据定义第80百分位数为第8项和第9项的平均数 ，选项D错误. 故选：D. 【点拨】经验回归直线必过样本中心点，这是求参数的重要依据.百分位数的计算要注意位置是否为整数. 9.（单选） 【答案】C 【解析】 ， ， 因为回归直线 过样本中心点 ， 所以 ， 解得 . 故选：C. 【点拨】利用经验回归直线恒过样本中心点 这一性质，可以建立关于未知数据的方程. 10.（多选） 【答案】BCD 【解析】对于A：经验回归直线一定经过样本中心点，但不一定经过任何一个样本点，A错误； 对于B： ，数据的第60百分位数为第5个数50，B正确； 对于C：残差的散点图中，残差分布的水平带状区域越窄，说明残差越小，其模型的拟合效果越好，C正确； 对于D： 说明是完全的函数关系，所有点都在经验回归直线上，D正确. 故选BCD. 【点拨】回归直线是对数据整体趋势的拟合，不一定穿过具体的样本点，但必然穿过样本中心点. 11.（多选） 【答案】ACD 【解析】由 可得： ， 同理由 可得： ， 根据公式 ，可得A正确，B错误； 由已知得 ， ，所以 ， 由 ，所以 关于 的回归方程必过原点， ， 又由于 ，代入可得： ，整理得： ，故C正确； 当 ，即表示2025年，此时 ，故D错误； 故选ACD. 【点拨】通过换元将原始数据中心化，可以简化最小二乘法的计算过程，中心化后的数据平均数均为0. 12.（填空） 【答案】 【解析】由题意得 ， ， 将 代入方程 ，得 ，解得 . 【点拨】直接利用经验回归直线必过样本中心点 建立关于未知数 的方程即可求解. 13.（填空） 【答案】 【解析】由 两边取自然对数得 ，即 ， 所以 ， 由表可知 ， ， 代入 得 ， 所以 ，即 ， 所以 . 【点拨】对于非线性回归模型，通常通过取对数等方式将其转化为线性回归模型，再利用线性回归的公式求解参数. 14.（解答） 【答案】 【解析】解：（1）由题意， ， …………………… 4 分 代入公式， …………………… 8 分 则 ， 故回归直线方程为 …………………… 10 分 【点拨】计算 时，先求出各数据点与平均数的差值，再进行乘积求和，可以有效减小计算量和避免出错. 15.（解答） 【答案】（1） （2） 43 【解析】解：（1）因为 ， …………………… 2 分 则 …………………… 4 分 …………………… 5 分 所以 …………………… 6 分 （2）该机器正常运转时，把 代入 ，得 ，估计这10000个零件中的次品数为25.4 …………………… 9 分 该机器非正常运转时，估计这10000个零件中的次品数为 …………………… 11 分 估计这10000个零件中的次品数为 …………………… 13 分 【点拨】利用全概率公式的思想，将正常运转与非正常运转两种情况下的次品数按概率加权平均，即可得到总的次品数估计值. 16.（解答） 【答案】 ，8.1千万件 【解析】解：（2）由 ， ， …………………… 3 分 所以 …………………… 5 分 所以 ，即 ， 所以 关于 的回归方程为 …………………… 6 分 当 时， ， 即年研发费用为27千万元时年销售量为8.1千万件 …………………… 8 分 【点拨】非线性回归模型转化为线性回归模型后，求出线性方程的参数，最后必须还原为原变量之间的函数关系. 考法4：利用回归方程进行预测 17.（单选） 【答案】B 【解析】因为 ， 所以当 时， . 故选B. 【点拨】将自变量的值代入经验回归方程，结合误差项的取值范围，即可求出预测值的范围. 18.（单选） 【答案】A 【解析】由 和 ，得 . 所以去掉数据 与 后得到的新数据的平均数 ， ， 由题意可设去掉两组数据后的经验回归方程为 ， 代入 ，求得 ， 故去掉这两组数据后求得的经验回归方程为 . 将 代入经验回归方程，得 . 故选A. 【点拨】去掉部分数据后，若剩余数据的平均数不变，则新的回归直线依然经过原来的样本中心点. 19.（多选） 【答案】BC 【解析】将销量从小到大排列：11.7, 12.4, 13.2, 13.8, 14.6, 15.3. 对于A：极差为 ，故A错误； 对于B： ，第60百分位数为第4个数，即13.8，故B正确； 对于C：平均数为 ，中位数为 ，两者相等，故C正确； 对于D： ， ，将 代入 ，得 ，解得 ，故D错误. 故选BC. 【点拨】计算百分位数时，若 不是整数，则向上取整作为位置索引；回归直线必过样本中心点. 20.（填空） 【答案】 【解析】 ， ， 将 代入 ，得 ，解得 ， 所以经验回归方程为 ， 当 时， . 【点拨】先求出样本中心点，代入不完整的回归方程求出未知参数，再将预测变量代入完整的回归方程进行预测. 21.（解答） 【答案】362 【解析】解：（2） ， …………………… 2 分 …………………… 4 分 …………………… 6 分 …………………… 8 分 …………………… 10 分 所以 关于 的经验回归方程是 …………………… 11 分 当 时， （百件） …………………… 13 分 所以估计当日广告费用为1000元时，日销售量为362件 …………………… 15 分 【点拨】注意题目中变量的单位，代入预测时需将实际数值转换为题目设定的单位数值，最后结果再还原为实际单位. 22.（解答） 【答案】同学甲物理成绩不会超过80分 【解析】解：（2） ， …………………… 4 分 由 ，得 …………………… 5 分 …………………… 10 分 …………………… 11 分 所以线性回归方程为 …………………… 12 分 当 时， ， 即同学甲物理成绩不会超过80分 …………………… 15 分 【点拨】本题考查了相关系数与回归直线斜率之间的关系式 ，灵活运用该公式可以简化计算. 考点3：残差分析与回归效果的刻画 考法5：计算残差并分析回归效果 23.（单选） 【答案】A 【解析】因为回归直线过样本点中心 即 ，将其代入 ，可得 ，解得 ， 当 时， ，所以残差为 . 故选：A. 【点拨】残差等于观测值减去预测值，即 . 24.（解答） 【答案】 【解析】解： …………………… 2 分 …………………… 4 分 …………………… 6 分 所以回归直线方程为 …………………… 7 分 由题知 ，可得 …………………… 10 分 又 ， …………………… 13 分 由 ，可得 …………………… 15 分 【点拨】根据残差的定义建立方程求出真实的截距 ，再利用回归直线过样本中心点求出缺失的数据 . 考法6：利用R^2判断拟合效果 25.（单选） 【答案】D 【解析】对于A：回归直线必过样本中心点，但不一定经过样本点，A错误； 对于B：决定系数 越大，模型的拟合效果越好，B错误； 对于C：残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，说明残差越小，回归方程的预报精确度越高，C错误； 对于D：当样本相关系数 时，成对样本数据正相关，D正确. 故选D. 【点拨】决定系数 越接近1，说明回归模型的拟合效果越好；残差图的带状区域越窄，说明预测精度越高. 26.（多选） 【答案】ACD 【解析】由散点图可知， 点较其他点偏离直线更远，去掉 点后，回归效果更好，残差平方和变小，决定系数 变大；自变量 与因变量 的相关性变强，又 与 正相关，所以相关系数 的值变大；当所有散点都在一条直线上时，残差平方和为0，决定系数 . 故ACD正确，B错误. 故选ACD. 【点拨】离群点会显著增加残差平方和，降低模型的拟合优度，剔除离群点后，相关系数的绝对值和决定系数都会变大. 27.（多选） 【答案】AC 【解析】对于A，B，由图可知 与 正相关，故 ，故A正确，B错误； 对于C，由 ， ，故回归直线 过 ，即点C，C正确； 对于D，由题意得去掉离群点B后，拟合效果更好，则 ，故D错误. 故选AC. 【点拨】剔除偏离整体趋势的离群点后，数据的线性相关性增强，决定系数 会变大. 28.（解答） 【答案】 ， 【解析】解：（III） ， …………………… 4 分 …………………… 8 分 ， …………………… 12 分 …………………… 14 分 响应变量 的差异有 由解释变量 引起 …………………… 15 分 【点拨】在一元线性回归模型中，决定系数 等于相关系数 的平方，它刻画了响应变量的方差中能被解释变量解释的比例. 考点4：分类变量与列联表 考法7：填写2×2列联表 29.（解答） 【答案】 ， ， 【解析】解：（1）由题意得 …………………… 2 分 …………………… 4 分 样品中，国产14纳米光刻机次品的频率为 ， 所以国产14纳米光刻机的次品率约为 …………………… 5 分 【点拨】列联表中的数据满足行和、列和的逻辑关系，利用这些关系即可补全列联表. 30.（解答） 【答案】（1）列联表见解析，没有 的把握 （2） 【解析】解：（1）每天线上销售时间不少于8小时的企业有100家，则每天线上销售时间不足8小时的企业有 家， 每天线上销售额不足50万元的企业有 家， 每天线上销售额不少于50万元的企业有 家， 列联表如下： 每天线上销售额不少于50万元 每天线上销售额不足50万元 合计 每天线上销售时间不少于8小时 70 30 100 每天线上销售时间不足8小时 60 40 100 合计 130 70 200 …………………… 2 分 因为 …………………… 5 分 所以没有 的把握认为企业的每天线上销售额与每天线上销售时间有关 …………………… 7 分 （2）在每天线上销售时间不足8小时的100家企业中，线上销售额不少于50万元的企业有60家，线上销售额不足50万元的企业有40家， 所以抽出的5家企业中线上销售额不少于50万元的企业有3家，线上销售额不足50万元的企业有2家 …………………… 9 分 设“抽取的3家企业中恰有1家企业每天线上销售额不足50万元”为事件 …………………… 10 分 则 …………………… 13 分 即抽取的3家企业中恰有1家企业每天线上销售额不足50万元的概率为 …………………… 15 分 【点拨】填写列联表时，根据题目给出的比例关系和总数，逐步推算出各个单元格的数据.分层抽样中，各层抽取的样本数与该层总体数成正比. 考点5：独立性检验 考法8：计算统计量 31.（单选） 【答案】D 【解析】 统计量越大，两个分类变量有关联的可能性越大. 计算四个列联表的 值： 成绩： 视力： 智商： 阅读量： 阅读量的 最大，所以与性别有关联的可能性最大. 故选D. 【点拨】 的值越大，说明两个分类变量有关联的证据越充分，有关联的可能性越大. 32.（单选） 【答案】C 【解析】种群一的 .种群二的数据是种群一的5倍，则种群二的 值是种群一的5倍，即 . 因为 ，所以当 时，种群二中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过1%. 故选C. 【点拨】若列联表中的每个数据都扩大为原来的 倍，则计算出的 值也会扩大为原来的 倍. 33.（多选） 【答案】ABD 【解析】设男生人数为 ，则女生人数也为 ，男生喜欢抖音的人数为 ，女生喜欢抖音的人数为 ， 列联表如下： 喜欢 不喜欢 合计 男生 女生 合计 ， 解得 ， 又因为 和 都是整数，所以 是5的倍数， 所以 可以是10, 15, 20, 25, 30, 35, 40... 调查人数中男生人数 可能是40，45，70，不可能是63. 故选ABD. 【点拨】根据比例关系设出未知数，列出列联表，代入 公式建立不等式，结合实际人数必须为整数进行求解. 34.（解答） 【答案】列联表见解析，有影响 【解析】解：（1）列联表如下： 因发烧请假 非发烧请假 合计 流感暴发前 15 25 40 流感暴发后 45 15 60 合计 60 40 100 …………………… 3 分 …………………… 6 分 依据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立；即认为流感暴发对请假的同学中发烧的人数有影响 …………………… 7 分 【点拨】计算 时，注意公式中分子是 乘以样本总数 ，分母是四个边缘合计的乘积. 35.（解答） 【答案】列联表见解析，有关联 【解析】解：（1）依题得，列联表如下 优等品 非优等品 总计 甲车间 40 10 50 乙车间 30 20 50 总计 70 30 100 …………………… 1 分 设 ：车间与优等品无关. …………………… 2 分 …………………… 4 分 根据小概率值 的独立性检验，能在犯错误的概率不超过0.05的情况下，认为车间与优等品有关联 …………………… 5 分 【点拨】独立性检验的规范步骤：提出零假设、计算 值、与临界值比较、得出结论.结论的表述要严谨，包含犯错误的概率. 考法9：根据临界值表判断独立性 36.（单选） 【答案】D 【解析】因为 ，依据小概率值 的独立性检验，所以婴儿性别与出生时间有关联，此推断犯错误的概率不大于0.1. 故选D. 【点拨】当 时，推断零假设不成立，即认为两变量有关联，此推断犯错误的概率不大于 . 37.（多选） 【答案】ABC 【解析】由题 ，所以根据小概率值 的独立性检验，认为“患肺癌与吸烟有关”，即有 的把握认为“患肺癌与吸烟有关”，故选项D正确，其余都是错误的. 故选ABC. 【点拨】独立性检验的结论是基于概率的统计推断，不能理解为确定性的因果关系或具体的比例数值. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题九：成对数据的统计分析 考点1：成对数据的统计相关性 1 考法1：绘制散点图判断相关性 1 考法2：计算样本相关系数r并判断相关程度 2 考点2：一元线性回归模型 4 考法3：利用最小二乘法求经验回归方程 4 考法4：利用回归方程进行预测 7 考点3：残差分析与回归效果的刻画 9 考法5：计算残差并分析回归效果 9 考法6：利用判断拟合效果 10 考点4：分类变量与列联表 11 考法7：填写2×2列联表 11 考点5：独立性检验 13 考法8：计算统计量 13 考法9：根据临界值表判断独立性 15 注意事项 1. 本试卷主要考查成对数据的统计相关性、一元线性回归模型、残差分析、分类变量与列联表以及独立性检验等内容. 2. 重点掌握散点图的绘制与分析、样本相关系数的计算与判断、最小二乘法求经验回归方程及其预测应用、统计量的计算与独立性检验. 3. 注意公式的准确应用及计算的规范性，解答题需写出详细的文字说明和演算步骤. 考点1：成对数据的统计相关性 考法1：绘制散点图判断相关性 1.（单选）如图是某调查小组收集的全国近十个月新能源汽车与燃油车销量的折线图，根据该折线图，下列说法错误的是（ 　　） A. 新能源汽车销量与月份呈现正相关 B. 可预测燃油车销量仍呈下降趋势 C. 新能源汽车销量逐月增长率大致相同 D. 燃油车销量与月份的相关系数接近1 考法2：计算样本相关系数r并判断相关程度 2.（单选）要判断成对数据的线性相关程度的强弱，可以通过比较它们的样本相关系数的大小，以下是四组数据的相关系数的值，线性相关程度最强的是（ 　　） A. B. C. D. 3.（多选）下列说法正确的是（ 　　） A. 若，两组成对样本数据的样本相关系数分别为，，则组数据比组数据的线性相关性更强 B. 决定系数越接近0拟合效果越好 C. 若关于的经验回归方程为，则样本数据相应的残差为 D. 若关于经验回归方程为的样本中心是，则 4.（多选）以下说法正确的是（ 　　） A. 若两组数据的样本相关系数分别为，则组数据比组数据的相关性较强 B. 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 C. 决定系数越大，模型的拟合效果越好 D. 有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率是 5.（填空）在一组样本数据不全相等的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为＿＿＿＿＿＿. 6.（解答）为调查某地区学生在高中学习中错题订正整理情况与考试成绩的关系．首先对该地区所有高中学生错题订正整理情况进行分值评价，给出得分；再组织考试．从这些学生中随机抽取20名学生的错题订正整理情况得分和对应的考试成绩作为样本，得到样本数据，其中和分别表示第个样本错题订正整理情况得分和对应的考试成绩，计算得，，． （1）求样本的相关系数（精确到0.01），并推断考试成绩和错题订正整理情况得分的相关程度； 附：相关系数，． 7.（解答）2025年4月，中国新能源汽车零售渗透率突破51%，进入“以电为主”的新阶段，充电桩的使用率也成为关注焦点.经调查，某市今年1—6月份的充电桩日均使用时长(时)与新能源汽车保有量(万辆)及充电桩日均使用率 (，为常数)的数据如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 6 新能源汽车保有量(万辆) 8 13 15 18 23 25 充电桩日均使用时长(时) 5 7 10 12 15 17 充电桩日均使用率 0.15 0.21 0.3 0.36 0.45 0.51 （1）若用充电桩日均使用率近似估计一个充电桩一天内被使用的概率，设该市某个充电桩在3月份的某3天中被使用的天数为，求的分布列； （2）求关于的样本相关系数，并说明线性相关程度的强弱；(精确到0.01) （3）若关于的经验回归方程为，求的值(精确到0.01)，并预测当该市某月的新能源汽车保有量为36万辆时，充电桩的日均使用率为多少. 参考数据：，. 参考公式：相关系数 考点2：一元线性回归模型 考法3：利用最小二乘法求经验回归方程 8.（单选）下列说法不正确的是（ 　　） A. 对具有线性相关关系的变量，，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 B. 若随机变量服从正态分布，且，则 C. 若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关程度越高 D. 一组数据10，10，11，12，12，14，16，19，21，21的第80百分位数为19 9.（单选）近年来，我国电动汽车产业发展迅猛，某品牌汽车市场也异常火爆，销售量逐年上升.现统计某汽车专卖店5月份前5天每天电动汽车的实际销量，结果如下表所示： 日期编号 1 2 3 4 5 销量/部 8 12 23 与有较强的线性相关关系，且线性回归方程为，则等于（ 　　） A. 28 B. 30 C. 33 D. 35 10.（多选）下列四个选项正确的有（ 　　） A. 如果由一组样本数据得到的经验回归方程是，那么经验回归直线至少经过点中的一个 B. 一组样本数据47，48，48，49，50，51，52，60，该组数据的第60百分位数为50 C. 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 D. 设两个变量之间的线性相关系数为，则的充要条件是成对数据构成的点都在经验回归直线上 11.（多选）假设变量与变量的对观测数据为，，，，两个变量满足一元线性回归模型要利用成对样本数据求参数的最小二乘估计，即求取最小值时的的值.若某汽车品牌从年的年销量为（万辆），其中年份对应的代码为，如表： 年份代码 1 2 3 4 5 销量（万辆） 4 9 14 18 25 根据散点图和相关系数判断，它们之间具有较强的线性相关关系，可以用线性回归模型描述，令变量，，且变量与变量满足一元线性回归模型则下列结论正确的有 参考公式：，.（ 　　） A. B. C. D. 2025年的年销售量约为34.4万辆 12.（填空）某工厂为研究某种产品的产量(吨)与所需某种原材料的重量(吨)的相关性，在生产过程中收集了6组对应数据，如下表所示.根据表中数据，得出关于的经验回归方程为，则＿＿＿＿＿＿. 2 3 4 5 6 7 1.5 2 3 4 5.5 13.（填空）已知某品牌的新能源汽车的使用年限（单位：年）与维护费用（单位：千元）之间可以用模型去拟合，收集了4组数据，设与的数据如表格所示： 2 4 6 8 1 3 4 5 利用最小二乘法得到与的线性回归方程，则＿＿＿＿＿＿. 14.（解答）某商店为调查某种商品销售单价对销售量的影响，统计了5天的销售单价(元/千克)和销售量(千克)之间的一组数据如下表所示： 第天 1 2 3 4 5 销售单价 18 19 20 21 22 销售量 22 18 16 14 10 （1）试根据这5天的销售数据，建立关于的回归直线方程； 参考公式：经验回归直线方程，其中. 15.（解答）某工厂的某台机器工作时，分为正常运转和非正常运转两种状态.已知该机器正常运转时每天生产的零件数量(单位：千个)与次品数(单位：个)之间存在一定的线性关系.为了研究这种关系，质量检测部门记录了该机器正常运转下某5天的生产数据，其数据如下： 生产零件数量/千个 3 4 5 6 7 次品数/个 10 12 15 16 19 （1）求次品数关于生产零件数量的经验回归方程. （2）根据经验，该机器正常运转的概率为0.9.该机器正常运转时，生产的零件中次品数满足第（1）问的经验回归方程；该机器非正常运转时，次品率会提高，每生产1000个零件会出现20个次品.若某天计划用该机器生产10000个零件，试估计这10000个零件中的次品数.(结果经四舍五入后取整数) 参考公式及数据：. 16.（解答）随着中美关税战的不断升级，某企业大大加强科技研发投入的力度，为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用，需了解该产品年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响.根据市场调研与模拟，对收集的数据进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如下： 30.5 15 15 465 表中，. （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程，并估计年研发费用为27千万元时年销售量的值； 附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. ②若随机变量，则，. ③. 考法4：利用回归方程进行预测 17.（单选）如果某地的财政收入与支出满足线性回归方程（单位：亿元），其中，.若今年该地区财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过（ 　　） A. 12亿元 B. 12.5亿元 C. 10亿元 D. 10.5亿元 18.（单选）已知由一组样本数据确定的经验回归方程为，且，发现有两组数据与误差较大，去掉这两组数据后，重新求得经验回归直线的斜率为1.4，那么当时，的值为（ 　　） A. 9.6 B. 10 C. 10.6 D. 9.4 19.（多选）已知某品牌汽车某年销量记录如下表所示，则下列说法正确的有（ 　　） 月份 1 2 3 4 5 6 销量(万辆) 12.4 11.7 13.8 13.2 14.6 15.3 A. 销量的极差为2.9 B. 销量的第60百分位数是13.8 C. 销量的平均数与中位数相等 D. 若销量关于月份的线性回归方程为，则 20.（填空）经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上处的直径）越大，树就越高.在研究树高与胸径之间的关系时，某同学收集了某树种的5组观测数据（如下表）： 胸径 8 9 10 11 12 树高 8.2 10 11 12 13.8 假设树高与胸径满足的经验回归方程为，则当胸径时，树高的预测值为＿＿＿＿＿＿. 21.（解答）某超市为推销一种商品，派人统计了去年该商品的每日广告费用（百元）与当日销售量（百件）的关系，以便对今年广告方案的制定提供相关的数据参考，得到的数据如下： 日广告费用（百元） 2 3 4 5 6 日销售量（百件） 1.5 1.7 2.0 2.2 2.6 已知与线性相关. （2）利用（1）中的经验回归方程，估计当日广告费用为1000元时，日销售量为多少件？ 附：参考公式：经验回归方程斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，. 22.（解答）某学校高一年级学生某次考试成绩进行统计，从全体高一学生中抽出32名学生的数学成绩和物理成绩，数据经过处理后，得到一些统计数据和数据关系：，，，其中分别表示学生的数学成绩和物理成绩，其中.通过计算得到与的相关系数. （2）已知同学甲的此次数学成绩为125分，根据回归方程估计其物理成绩是否会超过80分？ 参考公式：，；相关系数 考点3：残差分析与回归效果的刻画 考法5：计算残差并分析回归效果 23.（单选）为维护市场秩序，保护消费者权益，在“五一”假期来临之际，我市物价部门对某商品在5家商场的售价（元）及其一天的销售量（件）进行调查，得到五对数据，经过分析、计算，得，，关于的经验回归方程为，则相应于点的残差为（ 　　） A. B. C. D. 24.（解答）某田径协会组织开展竞走的步长和步频之间关系的课题研究，得到相应的试验数据： 步频(单位：步/) 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 步长(单位：) 90 95 99 115 （2）记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差，根据表中数据，若得出关于的经验回归方程为，且计算出在样本点处的残差为，求实数的值. 考法6：利用判断拟合效果 25.（单选）下列说法中正确的是（ 　　） A. 回归直线至少经过一个样本点 B. 在回归分析模型中，决定系数越小，模型的拟合效果越好 C. 残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越低 D. 当样本相关系数时，成对样本数据正相关 26.（多选）小张同学收集了某商品销售收入（单位：万元）与相应的广告支出（单位：万元）共10组数据，绘制出散点图，如下图所示，并利用线性回归模型进行拟合.她将图中10个点中的点去掉后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（ 　　） A. 决定系数变大 B. 残差平方和变大 C. 相关系数的值变大 D. 去掉点后，若所有散点都在一条直线上，则决定系数 27.（多选）某同学用收集到的6组数据对制作成如图所示的散点图（点旁的数据为该点坐标），并计算得到经验回归直线的方程为，样本相关系数为，决定系数为，经过残差分析确定为离群点，把它去掉后，再用剩下的5组数据计算得到经验回归直线的方程为，样本相关系数为，决定系数为，（其中决定系数是样本相关系数的平方，即，去掉离群点后，拟合效果更好），则以下结论正确的是（ 　　） A. B. C. 直线恰好过点 D. 28.（解答）一组实验数据如下： 2 5 8 9 11 12 10 8 8 7 （III） 由数据用最小二乘法可得线性回归方程为，统计学中常用决定系数刻画回归效果，例如假设，就说明响应变量的差异有由解释变量引起.请计算本题的（保留两位小数），并指出本题中响应变量的差异在多大程度上由解释变量引起. 附：，，， 考点4：分类变量与列联表 考法7：填写2×2列联表 29.（解答）为考察国产14纳米光刻机和进口14纳米光刻机的光刻效果，随机抽取了500台14纳米光刻机，对两种光刻机的良品、次品进行对比，得到如下列联表： 良品 次品 合计 国产14纳米光刻机 170 80 进口14纳米光刻机 150 100 250 合计 180 500 （1）求，的值，并以频率估计概率，估计国产14纳米光刻机的次品率； 30.（解答）某平台为了了解企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，对200家企业进行跟踪调查，发现其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有100家，余下的企业中，每天线上销售额不足50万元的企业占. 每天线上销售额不少于50万元 每天线上销售额不足50万元 合计 每天线上销售时间不少于8小时 70 每天线上销售时间不足8小时 合计 （1）请完成上面的列联表，并判断是否有的把握认为企业的每天线上销售额与每天线上销售时间有关； （2）在上述线上销售时间不足8小时的企业中，按线上销售额进行分层抽样，抽取5家企业，再从这5家企业中抽取3家企业，求抽取的3家企业中恰有1家企业线上销售额不足50万元的概率. 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中. 考点5：独立性检验 考法8：计算统计量 31.（单选）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这四个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到如下4个列联表，则与性别有关联的可能性最大的变量是（ 　　） 性别 成绩及格 成绩不及格 合计 男 14 6 20 女 22 10 32 合计 36 16 52 性别 视力好 视力差 合计 男 4 16 20 女 12 20 32 合计 16 36 52 性别 智商偏高 智商正常 合计 男 8 12 20 女 8 24 32 合计 16 36 52 性别 阅读量丰富 阅读量不丰富 合计 男 14 6 20 女 2 30 32 合计 16 36 52 A. 成绩 B. 视力 C. 智商 D. 阅读量 32.（单选）为考察药物对预防疾病的效果，在两个不同规模的动物种群中分别进行了试验.根据种群一的试验结果得到如下列联表： 药物 疾病未患病 疾病患病 合计 未服用 28 22 50 服用 34 16 50 合计 62 38 100 计算得到.假设种群二试验结果对应的列联表中，每个单元格的数据都为上表对应单元格数据的5倍，则根据小概率值的独立性检验，（ 　　） A. 当时，种群一中药物对预防疾病有效，该推断犯错误的概率不超过 B. 当时，种群二中药物对预防疾病有效，该推断犯错误的概率不超过 C. 当时，种群二中药物对预防疾病有效，该推断犯错误的概率不超过 D. 当时，种群二中药物对预防疾病有效，该推断犯错误的概率不超过 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 33.（多选）针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有（ 　　）人 附表： 0.050 0.010 3.841 6.635 附：，.（ 　　） A. 40 B. 45 C. 63 D. 70 34.（解答）春夏之交因昼夜温差大，细菌、病毒等活跃，是流感高发季节．某校高二年级某组团统计了流感暴发前的半个月与流感暴发后的半个月的学生请假情况，得到如下数据： 因发烧请假 非发烧请假 合计 流感暴发前 15 40 流感暴发后 15 合计 100 （1）完成列联表，并依据的独立性检验，判断能否认为流感暴发对请假的同学中发烧的人数有影响． 附：． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 35.（解答）某工厂进行生产线智能化升级改造，对甲、乙两个车间升级改造后． （1）从该工厂甲、乙两个车间的产品中各随机抽取50件进行检验，其中甲车间优等品占，乙车间优等品占，请填写下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析车间是否与优等品有关联？（结果精确到0.001） 优等品 非优等品 总计 甲车间 乙车间 总计 （附，其中，） 考法9：根据临界值表判断独立性 36.（单选）调查某医院一段时间内婴儿出生的时间（白天与晚上）和性别（男与女）的关联性，对样本数据分析统计，计算得到，依据小概率值的独立性检验，下列说法正确的是（ 　　）（附：）（ 　　） A. 婴儿90%在白天出生 B. 婴儿性别与出生时间无关联 C. 有0.1的把握认为婴儿性别与出生时间有关联 D. 婴儿性别与出生时间有关联，此推断犯错误的概率不大于0.1 37.（多选）某医疗机构通过抽样调查（样本容量），利用列联表和统计量研究患肺癌是否与吸烟有关计算得，由小概率临界值表知，现给出四个结论，其中错误的是（ 　　） A. 根据小概率值的独立性检验，认为“患肺癌与吸烟无关” B. 在100个吸烟的人中约有99个人患肺癌 C. 若老张吸烟，那么他有99%的可能性患肺癌 D. 有99%的把握认为“患肺癌与吸烟有关” 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $