专题七：排列、组合与二项式定理（7考点14考法）期末专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 该专项以计数原理为根基，通过7大考点14种考法系统整合排列组合与二项式定理，提炼捆绑法、插空法等解题策略，构建从原理到应用的递进逻辑，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |计数原理|2考法（4题）|分步乘法、分类加法综合应用|从基础原理出发，建立计数思维框架| |排列与组合|4考法（8题）|公式计算、有序无序区分|概念生成后，通过排队、选物等应用题巩固| |排列组合综合应用|3考法（7题）|捆绑法、插空法、排除法、先分组后分配|融合排列组合，形成复杂问题解决策略| |二项式定理|5考法（17题）|通项公式、赋值法、二项式系数性质|从定理到展开式，深化系数计算与性质应用|

专题七：排列、组合与二项式定理（解析卷） 考点1：分类加法与分步乘法计数原理 2 考法1：分步乘法计数原理的应用 2 考法2：两个计数原理的综合应用 3 考点2：排列与排列数公式 4 考法3：排列数公式的计算与化简 4 考法4：排列应用题（排队、排数、安排等） 4 考点3：组合与组合数公式 5 考法5：组合数公式的计算与化简 5 考法6：组合应用题（选人、选物等） 6 考点4：排列组合综合应用 7 考法7：分配问题（先分组后分配） 7 考法8：捆绑法与插空法 8 考法9：排除法（正难则反） 10 考点5：二项式定理及其通项公式 10 考法10：利用通项公式求指定项 10 考法11：求二项展开式中的常数项 12 考点6：二项式系数的性质 12 考法12：二项式系数和与各项系数和 12 考点7：展开式系数问题 13 考法13：赋值法求系数和 13 考法14：特定项系数的求法 15 1 2 3 4 5 C C 48 24 C 6 7 8 9 10 ABD C A 18 11 12 13 14 15 150 AC B 150 16 17 18 19 20 A B ABC 12 （1）90种 （2）30种 （3）540种 21 22 23 24 25 B ACD 2016 C 26 27 28 29 30 504 C ABD BCD 10 31 32 33 34 35 14 （1） （2）和 （3） A 20 D 36 37 38 39 40 ACD 5 32 B ABD 41 42 43 44 45 ACD 243 D 70 46 (1) (2)和 考点1：分类加法与分步乘法计数原理 考法1：分步乘法计数原理的应用 1.（单选） 【答案】C 【解析】甲、乙、丙三名同学分别从四个景点中选择一处游览，每个人都有4种选择，根据分步乘法计数原理，不同的选择方案有种. 【点拨】分步乘法计数原理的应用，明确每一步的选择种数，各步相乘即为总方案数. 2.（单选） 【答案】C 【解析】先涂秀英区，有4种方法；再涂龙华区，有3种方法；再涂琼山区，有2种方法；最后涂美兰区，只要和琼山区不同即可，有3种方法.所以共有种不同的着色方法. 【点拨】利用分步乘法计数原理，按顺序依次涂色，注意相邻区域颜色不同这一限制条件. 3.（填空） 【答案】48 【解析】解法一：从5个数字中任取3个排列，共有个，其中首位为0的有个，故满足条件的三位数为个. 解法二：首位不能为0，有种选法，其余两位从剩下的4个数字中选2个进行排列，有种选法，故共有个. 【点拨】排数问题优先考虑特殊位置（如首位不能为0），可采用直接法或间接法求解. 4.（填空） 【答案】24 【解析】从中心出发，参观三个叶片的顺序共有种.对于每个叶片，有顺时针和逆时针2种参观方式，故共有种不同的路线.若视顺时针与逆时针整体对称（即正反向视为同一种路线），则共有种. 【点拨】分步计数原理的应用，注意结合图形的实际意义与对称性进行分析. 考法2：两个计数原理的综合应用 5.（单选） 【答案】C 【解析】四棱锥有5个面，底面和4个侧面. 先涂底面，有4种颜色可选.剩下3种颜色涂4个侧面. 设4个侧面依次为A，B，C，D. 若A，C同色，有3种选法，此时B，D从剩下的2种颜色中选：若B，D同色，有2种；若B，D不同色，有种.所以A，C同色时有种. 若A，C不同色，有种选法，此时B，D只能选剩下的一种颜色，只有1种. 所以侧面涂色方案有种. 总共有种. 【点拨】分类加法与分步乘法计数原理的综合应用，对于环形染色问题，通常按相对面是否同色进行分类讨论. 考点2：排列与排列数公式 考法3：排列数公式的计算与化简 6.（多选） 【答案】ABD 【解析】对于A，根据组合数的性质，可得，A正确； 对于B，根据排列数与组合数的关系，可得，B正确； 对于C，因为，所以C错误； 对于D，因为，D正确. 【点拨】熟练掌握排列数与组合数的计算公式及其性质是解题关键. 7.（填空） 【答案】 【解析】. 【点拨】直接应用排列数与组合数公式进行计算即可. 考法4：排列应用题（排队、排数、安排等） 8.（单选） 【答案】C 【解析】从4条不同的旅游路线中任选2条，分别在7月和8月出游，相当于从4个元素中选出2个进行排列，共有种. 【点拨】区分排列与组合的关键在于是否有顺序要求，本题中7月和8月出游是有顺序的，属于排列问题. 9.（单选） 【答案】A 【解析】由题意，每个城门只调研一次，且每个周日只调研五大城门中的两大城门或三大城门， 共有种不同的调研方法， 其中恰好在同一个周日调研百盛门和建春门，可分为： ①其中一个周日只调研百盛门和建春门，另一个周日调研其他三门，有种方法； ②其中一个周日调研百盛门、建春门和其中另一个门，另一个周日调研剩余的两门，有种方法， 共有种不同的调研方法， 所以恰好在同一个周日调研百盛门和建春门的概率为. 【点拨】先求出总的基本事件数，再求出满足条件的基本事件数，利用古典概型概率公式求解. 10.（填空） 【答案】18 【解析】首位不能为0，有种选法，其余两位从剩下的3个数字中选2个进行排列，有种选法，故共有个. 【点拨】排数问题优先考虑特殊位置（如首位不能为0）. 11.（填空） 【答案】150 【解析】根据题意可知，值班的人数为2人或者3人， 若人数为2，则需要一个人值班首尾两天，一个人值中间的那一天，故方法数为； 若人数为3，则每人值一天班，故方法数为， 故总的方法有种. 【点拨】利用分类加法计数原理，按值班人数分类讨论是解题的关键. 考点3：组合与组合数公式 考法5：组合数公式的计算与化简 12.（多选） 【答案】AC 【解析】对于A，，，，， ，， ，故A正确； 对于B，由定义知，，故，B错误； 对于C，，， 所以，由组合数性质知C正确； 对于D，由上述，，代入D并不成立，故D错误. 【点拨】新定义问题，紧扣定义进行计算和推导，对于一般性结论可通过举反例排除. 考法6：组合应用题（选人、选物等） 13.（单选） 【答案】B 【解析】“至少有2名经理”包含三种情况：有2名经理，有3名经理，有4名经理， 情况一，选2名经理和4名员工，选法有：种； 情况二，选3名经理和3名员工，选法有：种； 情况三，选4名经理和2名员工，选法有：种； 所以不同的选择方案共有：种. 【点拨】对于“至少”“至多”问题，常采用直接分类法或间接排除法求解. 14.（填空） 【答案】150 【解析】从11个顶点中任取3个顶点，共有种取法. 其中三点共线的有： 水平方向：有2条线包含4个点（），1条线包含3个点（）； 竖直方向：有3条线包含3个点（）； 对角线方向：有3条线包含3个点（）. 所以三点共线的取法共有种. 可以构成的三角形个数为. 【点拨】构成三角形的条件是三点不共线，常用间接法，即总数减去三点共线的情况数. 15.（填空） 【答案】 【解析】这板胶囊有2行6列，共12粒. 总的选取方法有种. 3粒胶囊中有1粒与另外2粒都相邻，即这3粒胶囊呈“L”型或“一”字型. 将这板胶囊中的12粒胶囊标记号码，如下表所示： 1 3 5 7 9 11 2 4 6 8 10 12 当与其他2粒胶囊相邻的胶囊编号为1, 2, 11, 12时，分别对应胶囊组合{1,2,3}, {1,2,4}, {9,11,12}, {10,11,12}，这类组合共有4种. 当与其他2粒胶囊相邻的胶囊编号为3,4,...,10时，如编号为a(a=3,4,...,10)，则与a相邻的胶囊有3粒，因此对应胶囊a的组合有种，这类组合有种. 综上，3粒胶囊中有1粒与另外2粒都相邻的组合共有种， 因此概率为. 【点拨】分类列举满足条件的组合数，注意按中心胶囊的位置进行分类，避免遗漏或重复. 考点4：排列组合综合应用 考法7：分配问题（先分组后分配） 16.（单选） 【答案】A 【解析】根据题意，分2步进行分析： （1）在0, 2, 3, 4, 5五个数中任取3个数，来组成“凹数”，有种取法； （2）将取出的3个数中最小的数放在十位，其余2个数放在百位、个位，有种情况. 由于中最小的数放在十位，百位一定大于十位（即使最小的数是0，放在十位也不会导致百位为0，因为百位大于十位），所以百位不为0. 则“凹数”的个数为个. 【点拨】利用组合的思想，先选出数字，再根据大小关系确定位置，注意隐含条件“百位不能为0”在本题中自然满足. 17.（单选） 【答案】B 【解析】由题意，四个兴趣小组必有两个2人选、两个1人选，根据2人选的小组是同样的2个人还是3个人分两种情况： 当2人选的小组是同样的2个人时，有种； 当2人选的小组是由3个人构成时，有种； 所以不同的报名方式有种. 【点拨】将问题转化为分配问题，注意分析每个社团的人数分布情况，合理分类. 18.（多选） 【答案】ABC 【解析】本题考查滑块游戏的还原问题.将空格看作一个滑块，每次滑动相当于空格与相邻滑块交换位置.根据滑块游戏的性质，将图形展平为一维序列后，逆序对的奇偶性与空格滑动的总步数奇偶性存在固定关系.通过计算各选项状态与目标状态的逆序数及空格位置的曼哈顿距离，可判定A、B、C选项均可通过合法滑动达到目标状态，而D选项无法达到. 【点拨】滑块问题本质上是排列的奇偶性问题，每次滑动相当于一次相邻对换，改变排列的奇偶性. 19.（填空） 【答案】12 【解析】因为A,B,C,D共4名师范生需要去甲、乙、丙3所学校实习，要求每名同学只去一所学校实习，且每所学校都有学生去实习，所以有一所学校必然有2名师范生实习. 若甲学校有2名师范生实习，而A一定去甲学校实习， 则B,C,D共3名师范生平均分配到甲、乙、丙3所学校实习， 此时共有种不同的安排方法. 若甲学校只有1名师范生实习，而A一定去甲学校实习， 则B,C,D共3名师范生按照2:1分配到乙、丙2所学校实习， 此时共有种不同的安排方法. 综上，不同的安排方法有种. 【点拨】按甲学校接收的实习生人数进行分类，结合先分组后分配的原则求解. 20.（解答） 【答案】（1）90种 （2）30种 （3）540种 【解析】解：（1）若三科竞赛均有2人报名参加，则报名方法有种 ………………………… 4 分 （2）若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，则报名方法有种 ………………………… 8 分 （3）由题可得报名人数的分配方案可以是1,2,3或1,1,4或2,2,2 ………………………… 9 分 若三科竞赛的报名人数为1,2,3，则报名方法有种 ………………………… 11 分 若三科竞赛的报名人数为1,1,4，则报名方法有种 ………………………… 13 分 若三科竞赛的报名人数为2,2,2，则报名方法有种 ………………………… 14 分 故三科竞赛均有人报名参加，报名方法共有种 ………………………… 15 分 【点拨】分组分配问题要注意“均分”时需要除以全排列数，但若直接分配到具体对象则不需要. 考法8：捆绑法与插空法 21.（单选） 【答案】B 【解析】将2名女生捆绑在一起，与3名男生全排列，共有种排法.其中男生甲站排头的排法有种.故男生甲不站排头的排法种数为种. 【点拨】相邻问题用捆绑法，特殊位置限制问题常用排除法（正难则反）. 22.（多选） 【答案】ACD 【解析】对于A，五人值五天，每人值一天，相邻，用捆绑法，共有种，A正确； 对于B，将5人分成3组，有种，再全排列，有种，B错误； 对于C，A,B,C顺序固定，有种，C正确； 对于D，A,B,C各两天，每人都不连值，共有30种.具体排法：总排法为种.利用容斥原理，至少1人连值：；至少2人连值：；3人连值：.不连值的排法：种，D正确. 【点拨】相邻问题用捆绑法，顺序固定问题用除序法，不相邻问题用插空法或容斥原理. 23.（填空） 【答案】2016 【解析】先将4名高三学生全排列，有种. 若高一、高二学生不相邻，站法有种， 若高一学生与高二学生相邻，站法有种， 共有站法种. 【点拨】对于人数较多的不相邻问题，可以先排人数最多的组，再将其他组作为整体或分类插入空位中. 24.（解答） 【答案】 【解析】解：由题意得，，即，解得或（舍去），所以 ………………………… 5 分 展开式共有8项，通项公式为， ………………………… 8 分 当为整数时，即为偶数，时为有理项，共4项 ………………………… 11 分 由插空法得有理项不相邻的概率为 ………………………… 13 分 【点拨】先利用二项式系数的性质求出n，再写出通项公式找出有理项，最后用插空法求概率. 考法9：排除法（正难则反） 25.（单选） 【答案】C 【解析】从5个景点中选出3个依次游览，共有种路线. 其中骑楼老街、荣山寮被选出且连续游览的路线有： 将骑楼老街、荣山寮捆绑，有种； 从剩下3个景点中选1个，有种； 将捆绑的整体与选出的1个景点全排列，有种. 所以不符合条件的路线有种. 故满足条件的游览路线有种. 【点拨】正难则反，用总的排列数减去两个特定景点连续游览的排列数. 26.（填空） 【答案】504 【解析】总排法有种. 体育课排在第一节的排法有种； 数学课排在最后一节的排法有种； 体育课排在第一节且数学课排在最后一节的排法有种. 根据容斥原理，满足条件的排法共有种. 【点拨】对于含有多个限制条件的排列问题，常利用容斥原理（排除法）求解. 考点5：二项式定理及其通项公式 考法10：利用通项公式求指定项 27.（单选） 【答案】C 【解析】. 【点拨】将无理数化为的形式，提取出常数使得剩余部分符合且较小，再利用广义二项式定理近似计算. 28.（多选） 【答案】ABD 【解析】对于A，所有项的二项式系数和为，解得，A正确； 对于B，展开式的通项为，令，得，常数项为，B正确； 对于C，第3项的二项式系数为，第4项的二项式系数为，不相等，C错误； 对于D，令，各项系数之和为，D正确. 【点拨】二项式系数和为，各项系数和用赋值法（令）求解. 29.（多选） 【答案】BCD 【解析】对于A，展开式共有项，A错误； 对于B，通项为，令，得，项系数为，B正确； 对于C，令，所有项的系数之和为，C正确； 对于D，所有项的二项式系数之和为，D正确. 【点拨】展开式的项数为，求系数和常用赋值法，求特定项系数需写出通项公式. 30.（填空） 【答案】10 【解析】通项为，令，得. 所以的系数为. 【点拨】利用二项展开式的通项公式，令字母的指数等于指定值求出. 31.（填空） 【答案】14 【解析】通项为，令，得，. 所以的系数为. 【点拨】准确写出通项公式，分离出系数部分和字母部分，令指数等于2求解. 32.（解答） 【答案】（1） （2）和 （3） 【解析】解：由二项式系数之和是128，得，解得 ………………………… 2 分 展开式的通项为 （1）令，得，所以含的项的系数为 ………………………… 5 分 （2）展开式中二项式系数最大的项为第4项和第5项 ………………………… 7 分 ………………………… 8 分 ………………………… 9 分 （3）设第项的系数绝对值最大，则 ………………………… 11 分 解得，又，所以 所以系数绝对值最大的项为 ………………………… 13 分 【点拨】求系数绝对值最大的项，常通过列不等式组求解. 考法11：求二项展开式中的常数项 33.（单选） 【答案】A 【解析】通项为， 令，得. 常数项为. 【点拨】求常数项即令通项公式中未知数的指数为0. 34.（填空） 【答案】20 【解析】通项为， 令，得. 常数项为. 【点拨】熟练运用二项展开式的通项公式求特定项. 考点6：二项式系数的性质 考法12：二项式系数和与各项系数和 35.（单选） 【答案】D 【解析】由题意知，所以. 原式. 【点拨】利用二项式系数的对称性求出，再利用组合数恒等式化简求值. 36.（多选） 【答案】ACD 【解析】对于A，令，各项系数之和为，A正确； 对于B，第二项的二项式系数为，第四项的二项式系数为，不相等，B错误； 对于C，通项为，令，得，常数项为，C正确； 对于D，当为整数时，即为偶数，可取0, 2, 4, 6，共有4项，D正确. 【点拨】各项系数和用赋值法，二项式系数仅与和有关，有理项即指数为整数的项. 37.（填空） 【答案】5 【解析】二项式系数之和为， 令，系数之和为， 所以，解得. 通项为， 令，得. 所以项的系数为. 【点拨】二项式系数和恒为，各项系数和通过令变量为1求得. 38.（解答） 【答案】32 【解析】解：（1）由题意知 ………………………… 2 分 即，解得或（舍去） ………………………… 5 分 因此展开式中所有项的二项式系数和为 ………………………… 7 分 【点拨】先根据条件列出关于的方程求出，再利用二项式系数和公式求解. 考点7：展开式系数问题 考法13：赋值法求系数和 39.（单选） 【答案】B 【解析】令，即，得. 令，即，得. 所以. 【点拨】赋值法是求展开式系数和的常用方法，注意整体代换思想的运用. 40.（多选） 【答案】ABD 【解析】对于A，令，得，A正确； 对于B，令，得，B正确； 对于C，令，得，C错误； 对于D，将B、C两式相加得，即，D正确. 【点拨】通过对变量赋特殊值（如），并结合两式相加减，可求出奇数项或偶数项的系数和. 41.（多选） 【答案】ACD 【解析】令，即，则，解得，A正确； 此时， 令，则，， 所以，B错误； ， 所以除以6的余数为5，C正确； 对两边求导， 得， 令，得，D正确. 【点拨】构造赋值法求系数和，利用二项展开式结合同余性质求余数，利用导数求带系数的系数和. 42.（填空） 【答案】 【解析】令，得. 令，得. 两式相加得. 所以. 【点拨】分别令和，将两式相加除以2即可得到偶数项系数和. 43.（解答） 【答案】243 【解析】解：由题意：展开式的二项式系数和为 ………………………… 9 分 所以 ………………………… 11 分 令， 所以展开式的系数和为243 ………………………… 13 分 【点拨】二项式系数和为，求各项系数和只需令变量为1. 考法14：特定项系数的求法 44.（单选） 【答案】D 【解析】展开式的通项为， 令，解得. 所以的系数为，解得. 【点拨】写出通项公式，令字母的指数等于指定值求出，进而求出参数. 45.（填空） 【答案】70 【解析】. 展开式中的项由和组成. 所以的系数为. 【点拨】将多项式乘法转化为两个二项展开式中特定项的组合，分别求出系数后相加. 46.（解答） 【答案】(1) (Ⅱ)和 【解析】解：(1)由题意可知， ………………………… 1 分 即，得，又，所以 ………………………… 2 分 因为展开式的通项为， 且 ………………………… 3 分 当时，为整数 ………………………… 4 分 即，， 所以展开式的有理项为 ………………………… 7 分 (2)因为二项展开式的通项为，且 设展开式中第项的系数最大，则 ………………………… 8 分 得 ………………………… 10 分 故展开式的第4项和第5项的系数最大， ， ………………………… 12 分 故展开式系数最大的项为第4项和第5项， ， ………………………… 13 分 【点拨】求展开式中系数最大的项，通常设第项系数最大，列出不等式组求解的值. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题七：排列、组合与二项式定理 考点1：分类加法与分步乘法计数原理 1 考法1：分步乘法计数原理的应用 1 考法2：两个计数原理的综合应用 2 考点2：排列与排列数公式 2 考法3：排列数公式的计算与化简 2 考法4：排列应用题（排队、排数、安排等） 2 考点3：组合与组合数公式 3 考法5：组合数公式的计算与化简 3 考法6：组合应用题（选人、选物等） 3 考点4：排列组合综合应用 4 考法7：分配问题（先分组后分配） 4 考法8：捆绑法与插空法 5 考法9：排除法（正难则反） 6 考点5：二项式定理及其通项公式 6 考法10：利用通项公式求指定项 6 考法11：求二项展开式中的常数项 8 考点6：二项式系数的性质 8 考法12：二项式系数和与各项系数和 8 考点7：展开式系数问题 9 考法13：赋值法求系数和 9 考法14：特定项系数的求法 10 注意事项 1. 本试卷涵盖排列、组合与二项式定理的核心考点，重点考查分类加法与分步乘法计数原理、排列组合的综合应用以及二项式定理的展开式与系数性质. 2. 练习时请注意区分排列与组合的本质区别（是否有序），熟练掌握捆绑法、插空法、排除法等常用解题策略. 3. 对于二项式定理，需熟记通项公式，灵活运用赋值法求解系数和问题. 考点1：分类加法与分步乘法计数原理 考法1：分步乘法计数原理的应用 1.（单选）甲乙丙三名同学分别从四个景点中选择一处游览，则不同的选择方案有（ 　　） A. 24种 B. 36种 C. 64种 D. 81种 2.（单选）如图，现要用4种不同的颜色对海口市的4个区地图进行着色，要求有公共边的2个区不能用同一种颜色，则不同的着色方法的种数为（ 　　） A. 24 B. 48 C. 72 D. 120 3.（填空）用可以组成没有重复数字的三位数＿＿＿＿＿＿个. 4.（填空）如图，某植物园的参观路径形如三叶草，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有＿＿＿＿＿＿种. 考法2：两个计数原理的综合应用 5.（单选）现有红黄蓝绿四种颜料，给四棱锥五个不同的面染色，要求每个面染一种颜色，且有公共棱的面颜色不同，则不同的染色方案有（ 　　） A. 108种 B. 96种 C. 72种 D. 54种 考点2：排列与排列数公式 考法3：排列数公式的计算与化简 6.（多选）已知，且，则（ 　　） A. B. C. D. 7.（填空）计算：＿＿＿＿＿＿. 考法4：排列应用题（排队、排数、安排等） 8.（单选）某旅行社设计了4条不同的旅游路线，小夏要从中任选2条路线，分别在假期7月和8月出游，则不同的出游方法有（ 　　） A. 24种 B. 16种 C. 12种 D. 6种 9.（单选）古城赣州最早有五大城门，分别为镇南门、百盛门、涌金门、建春门和西津门，赣州某学校历史兴趣小组决定利用两个周日的时间对五大城门的地理位置及历史意义进行调研.若约定：每个城门只调研一次，且每个周日只调研五大城门中的两大城门或三大城门，则恰好在同一个周日调研百盛门和建春门的概率为（ 　　） A. B. C. D. 10.（填空）用这4个数字，可组成＿＿＿＿＿＿个没有重复数字的三位数（用数字作答） 11.（填空）在五一小长假期间，要从6人中选若干人在3天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，则可能的安排方法有＿＿＿＿＿＿种. 考点3：组合与组合数公式 考法5：组合数公式的计算与化简 12.（多选）设是非零实数，定义“数”：，“阶乘”：，规定，“组合数”：.则下列说法正确的是（ 　　） A. B. C. D. 考法6：组合应用题（选人、选物等） 13.（单选）某公司有12名员工，其中4名是经理，8名是普通员工.现在需要从12名员工中选出6人组成一个至少有2名经理的项目小组，则不同的选择方案共有（ 　　） A. 560种 B. 616种 C. 672种 D. 728种 14.（填空）如图是由5个正方形拼成的图案，从图中小正方形的11个顶点中任取3个顶点为一组，可以构成的三角形个数为＿＿＿＿＿＿. 15.（填空）如图，这是一板胶囊，若从这板胶囊中随机选取3粒胶囊，则这3粒胶囊中有1粒与另外2粒都相邻（左右相邻或上下相邻）的概率为＿＿＿＿＿＿. 考点4：排列组合综合应用 考法7：分配问题（先分组后分配） 16.（单选）一个三位自然数的百位，十位，个位上的数字依次为，，，当且仅当且时称为“凹数”；若，且，，互不相同，则“凹数”的个数为（ 　　） A. 20 B. 36 C. 24 D. 30 17.（单选）在西安高新第一中学与重庆市巴蜀中学校联合举办的“巴山渭水”学术文化交流周中，来自两校的“山城”、“火锅”、“秦俑”三位同学报名参加“麻辣算法社”、“雾都桥梁社”、“秦汉数字考古社”、“羊肉泡馍化学社”.已知每人参加两个社团，每个社团至少一人参加，三人不能同时参加一个社团，则符合条件的不同报名方式有（ 　　） A. 162种 B. 90种 C. 81种 D. 45种 18.（多选）如图，在一个正方形的框架中有三个滑块，滑块可以在框架中滑动到与其相邻的无滑块位置.在下列选项中，只通过滑动，即可变成下图所示图形的有（ 　　） A. B. C. D. 19.（填空）已知共4名师范生需要去甲、乙、丙3所学校实习，要求每名同学只去一所学校实习，且每所学校都有学生去实习，如果一定去甲学校实习，则不同的安排方法有＿＿＿＿＿＿种. 20.（解答）某校高二年级安排6名优秀学生按照以下要求报名参加数学、物理、化学竞赛，每名学生限报一科竞赛. （1）若三科竞赛均有2人报名参加，有多少种不同的报名方法？ （2）若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，有多少种不同的报名方法？ （3）若三科竞赛均有人报名参加，有多少种不同的报名方法？ 考法8：捆绑法与插空法 21.（单选）现有3名男生和2名女生并排站成一排，2名女生相邻，男生甲不站排头，则不同的排法种数为（ 　　） A. 24 B. 36 C. 48 D. 60 22.（多选）五名同学安排值日，下列说法正确的是（ 　　） A. 五人值五天，每人值一天，两名同学需相邻，满足条件的安排方法共有48种 B. 安排五人连续三天值日，每天需要有人值，每人只值一次，一共有540种安排方法 C. 五人值五天，每人值一天，要求三人值日的先后顺序固定，则一共有20种安排方法 D. 三人需要连续六天值日，每人两天，但每人都不连值两天，一共有30种安排方法 23.（填空）某校8名学生（高一1人，高二3人，高三4人）在数学竞赛中获奖.8人站成一排合影留念，同年级的同学不相邻的站法有＿＿＿＿＿＿种． 24.（解答）（已知在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率. 考法9：排除法（正难则反） 25.（单选）某旅游公司规划一日游路线，从骑楼老街、荣山寮、万绿园、电影公社、假日海滩5个景点中选出3个依次游览，其中骑楼老街、荣山寮这2个景点不能连续游览，则不同的游览路线的种数为（ 　　） A. 36 B. 42 C. 48 D. 60 26.（填空）某班级周一的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、体育共6节课，其中要求体育课不能排在第一节，且数学课不能排在最后一节，则共有＿＿＿＿＿＿种不同的排法.（用数字作答） 考点5：二项式定理及其通项公式 考法10：利用通项公式求指定项 27.（单选）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出.二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，，当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据.用这个方法计算的近似值，可以这样操作：.用这样的方法，估计的近似值约为（ 　　） A. 2.015 B. 2.023 C. 2.031 D. 2.083 28.（多选）在的展开式中，若所有项的二项式系数和为64，（ 　　） A. B. 展开式中的常数项为240 C. 展开式中的第3项和第4项的二项式系数相等 D. 展开式中的各项系数之和为1 29.（多选）的展开式中，下列结论正确的是（ 　　） A. 展开式共7项 B. 项系数为280 C. 所有项的系数之和为2187 D. 所有项的二项式系数之和为128 30.（填空）在的展开式中，的系数为＿＿＿＿＿＿（用数字作答）. 31.（填空）的展开式中的系数是＿＿＿＿＿＿.（结果用数字作答） 32.（解答）已知的二项式系数之和是128，求： （1）展开式中含的项的系数； （2）展开式中二项式系数最大的项； （3）展开式中系数绝对值最大的项. 考法11：求二项展开式中的常数项 33.（单选）展开式中的常数项为（ 　　） A. 112 B. 16 C. D. 34.（填空）在的展开式中，常数项为＿＿＿＿＿＿. 考点6：二项式系数的性质 考法12：二项式系数和与各项系数和 35.（单选）已知的展开式中第4项和第6项的二项式系数相等，则（ 　　） A. 12 B. 78 C. 220 D. 286 36.（多选）关于的展开式，下列说法中正确的是（ 　　） A. 各项系数之和为1 B. 第二项与第四项的二项式系数相等 C. 常数项为60 D. 有理项共有4项 37.（填空）若的展开式中,二项式系数之和与系数之和相等,则展开式中项的系数是＿＿＿＿＿＿（用数字作答） 38.（解答）在二项式的展开式中前3项的二项式系数和为16. （1）求展开式中所有项的二项式系数的和； 考点7：展开式系数问题 考法13：赋值法求系数和 39.（单选）若，则（ 　　） A. 1 B. C. 129 D. 40.（多选）若，则（ 　　） A. B. C. D. 41.（多选）已知，若，则正确的是（ 　　） A. B. C. 除以6所得余数5 D. 42.（填空）已知，则＿＿＿＿＿＿. 43.（解答）（已知在的展开式中）若展开式的二项式系数和为32，求展开式的系数和. 考法14：特定项系数的求法 44.（单选）已知的展开式中的系数为20，则实数的值为（ 　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 45.（填空）的展开式中的系数为＿＿＿＿＿＿.（用数字作答）. 46.（解答）若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为1:2. （1）求展开式中所有的有理项； （2）求展开式中系数最大的项. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $