专题五：利用导数研究函数的单调性与极值（7考点12考法）期末专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 专题五“利用导数研究函数的单调性与极值”以导数应用为主线，构建从基础概念到综合应用的递进训练体系，强化逻辑推理与数学建模素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |判断单调性|考法1-3（1-11题）|选择/填空/解答，含参数讨论与单调性应用|从导数与单调性关系（基础）到含参数讨论（深化）再到比较大小/解不等式（应用）| |极值与最值|考点3-4（17-32题）|选择/多选/解答，极值点存在性与开闭区间最值|从极值定义（概念）到存在性讨论（推理）再到最值求解（应用）| |综合应用|考点5-7（33-39题）|含参数极值/零点问题，解答题为主|从已知极值/最值求参数（逆向思维）到导数几何意义（工具）再到零点问题（综合）|

专题五：利用导数研究函数的单调性与极值（解析卷） 考点1：利用导数判断函数的单调性 2 考法1：利用导数求函数的单调区间 2 考法2：判断含参数函数的单调性 5 考法3：利用函数的单调性比较大小或解不等式 6 考点2：已知单调性求参数取值范围 7 考法4：已知单调区间求参数取值范围 7 考法5：已知函数在区间上单调求参数范围 8 考点3：利用导数求函数的极值 9 考法6：求函数的极值点和极值 9 考法7：极值点存在性讨论 12 考点4：利用导数求函数的最值 13 考法8：求函数在闭区间上的最值 13 考法9：求函数在开区间上的最值 15 考点5：已知极值或最值求参数 18 考法10：已知极值点求参数值 18 考点6：导数的几何意义 19 考法11：求曲线在某点处的切线方程 19 考点7：利用导数研究函数的零点 20 考法12：已知函数零点个数求参数范围 20 1 2 3 4 5 D C AD 6 7 8 9 10 见解析 当 时，在 上单调递减；当 时，在 上单调递减，在 上单调递增 当 时，在 上单调递减；当 时，在 上单调递减，在 上单调递增 A C 11 12 13 14 15 C B 16 17 18 19 20 D C BCD BCD 21 22 23 24 25 A 存在极小值点 ，无极大值点 D 26 27 28 29 30 见详解 D AD 31 32 33 34 35 （1），证明见解析 （2） （3）， A ACD 36 37 38 39 A 考点1：利用导数判断函数的单调性 考法1：利用导数求函数的单调区间 1.（单选） 【答案】D 【解析】由题得 ， 对于A，当 时 ，，当 时 ，，所以函数在 上单调递减，在 上单调递增，故A不符合； 对于B，当 时 ，，当 时 ，，所以函数在 上单调递增，在 上单调递减，故B不符合； 对于C，当 时 ，，所以函数在 上单调递减，故C不符合； 对于D，当 时 ，，所以函数在 上单调递增，故D符合. 【点拨】判断三角函数的单调性时，求导后需结合三角函数在各象限的符号准确判断导数的正负，注意区间的划分. 2.（单选） 【答案】C 【解析】函数 的定义域为 ， ， 令 ，解得 或 （舍去）， 当 时，，当 时，， 所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以函数 的极小值点为 ，无极大值点. 由题意，极值点在区间 内，且该区间必须在定义域 内， 所以 ，解得 . 故实数 的取值范围是 . 【点拨】已知极值点所在区间求参数范围时，首先要通过导数求出确切的极值点，然后将极值点代入区间不等式中求解，同时务必注意区间必须在函数的定义域内，这是易错点. 3.（多选） 【答案】AD 【解析】对于A，当 时，，，由于 是奇函数，所以 ，故A正确； 对于B，当 时，，当 时，，所以B错误； 对于C，当 时，令 得 .因为 是奇函数，所以 ，且 ，所以函数有3个零点：，故C错误； 对于D，当 时，，在 上 ， 单调递减.因为 是奇函数，其单调性在对称区间上相同，所以在 上也单调递减，故D正确. 【点拨】处理分段函数或奇偶函数的单调性与零点问题时，通常先研究已知解析式的一侧（如 ），再利用奇偶性的对称特征（奇函数关于原点对称，单调性一致）推广到另一侧. 4.（填空） 【答案】 【解析】由题意知，函数 的定义域为 ， ， 令 ，即 ，解得 ， 所以函数 的单调递增区间是 . 【点拨】求对数型函数的单调区间时，第一步必须先确定函数的定义域，然后在定义域内解导数不等式. 5.（填空） 【答案】 【解析】由图象可知， 当 时，，且 单调递增，，此时 ； 当 时，，且 单调递增，，此时 ； 当 时，，且 单调递减，，此时 ； 当 时，，且 单调递减，，此时 . 综上所述， 的解集为 . 【点拨】分式不等式 等价于 与 同号.结合图象，分别在原函数值为正和为负的区间内观察其增减性即可快速求解. 6.（解答） 【答案】见解析 【解析】证明：由题意得 …………………………………… 1 分 则 ……………………………………………………………… 3 分 令 ，则 ……………………………… 5 分 令 ，解得 ……………………………………………………… 6 分 当 时，， 单调递减； 当 时，， 单调递增 …………………………… 8 分 所以 ………………………… 10 分 即 在 上恒成立 ……………………………………………………… 11 分 所以 在 上单调递增 ……………………………………………………… 13 分 【点拨】当一次求导后导函数的符号仍不易判断时，可构造新函数（即求二阶导数），通过求导函数的最小值来证明导函数恒大于0，从而得出原函数的单调性. 7.（解答） 【答案】当 时，在 上单调递减；当 时，在 上单调递减，在 上单调递增 【解析】解：（2） 函数的定义域为 ………………………………………… 1 分 ………… 4 分 当 时，，又 ，所以 ………………………… 6 分 此时函数 在 上单调递减 ………………………………………… 8 分 当 时，令 ，解得 ………………………………………… 10 分 当 时，，函数 单调递减； 当 时，，函数 单调递增 ……………………… 12 分 综上所述，当 时，函数 在 上单调递减； 当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增 …… 15 分 【点拨】含参函数的单调性讨论，关键在于对导函数分子因式分解后，根据参数的符号分类讨论零点的存在性及大小关系. 考法2：判断含参数函数的单调性 8.（解答） 【答案】当 时，在 上单调递减；当 时，在 上单调递减，在 上单调递增 【解析】解：（2） 依题意， 的定义域为 ……………………………… 1 分 …………………………………………………… 2 分 …… 5 分 因为 ，所以 ……………………………………………………… 6 分 当 时，， ………………………………………… 8 分 所以 在 上单调递减 ……………………………………………… 10 分 当 时，令 ，解得 ……………………………………… 12 分 当 时，， 单调递减； 当 时，， 单调递增 ………………………… 14 分 综上所述，当 时， 在 上单调递减； 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增 …… 15 分 【点拨】对数与多项式组合的函数求导后，通分并进行十字相乘因式分解是标准动作.讨论时以导数零点是否在定义域内为分类标准. 考法3：利用函数的单调性比较大小或解不等式 9.（单选） 【答案】A 【解析】因为 ，所以 . 令函数 ，则 . 因为 ，所以 是定义在 上的增函数， 所以 ，即 ， 从而 . 故选： A. 【点拨】遇到结构对称的不等式，优先考虑同构法.将不等式转化为 的形式，再利用导数判断 的单调性，从而脱去函数符号比较自变量的大小. 10.（单选） 【答案】C 【解析】由 ，显然 ， 变形得 ，即 ， 令 ，则 在 上单调递增， 所以 ，即 ，所以 . 由 ，显然 ，即 ， 变形得 ，即 ， 即 ， 所以 ，即 ， 所以 . 令 ，则 在 上单调递增， 因为 ，，所以 ，即 . 因为 ，， 所以 . 对于A，，故A错误； 对于B，，因为 ，所以 ，所以 ，故B错误； 对于C，， 因为 ，所以 ，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选： C. 【点拨】处理复杂的超越方程，核心在于“同构”.通过代数变形凑出 的形式，结合单调性得出 ，再利用隐零点定理估算根的范围. 11.（解答） 【答案】 【解析】解：（2） 易知 ，所以 在 上单调递增 …… 8 分 又 ，所以 为奇函数 …………………………… 9 分 不等式 可化为 … 10 分 因为 在 上单调递增， 所以 ，即 对任意的 恒成立 ……… 11 分 ①当 时， 恒成立，符合题意；……………………………………… 12 分 ②当 时，需满足 ………………… 14 分 解得 …………………………………………………………………… 15 分 综上所述，实数 的取值范围为 ………………………………………… 16 分 【点拨】利用函数的奇偶性与单调性解抽象不等式，关键是将不等式转化为 的形式，再利用单调性脱去函数符号，转化为代数不等式恒成立问题. 考点2：已知单调性求参数取值范围 考法4：已知单调区间求参数取值范围 12.（单选） 【答案】C 【解析】由题意知， 的定义域为 ， ， 因为 在 内存在单调递减区间， 所以 在 内有解， 即 在 内有解， 所以 ， 令 ， 当 时，， 要使 有解，只需 即可，所以 . 故选：C. 【点拨】“存在单调递减区间”等价于“导数小于0有解”，利用分离参数法转化为求函数的最值问题，即 . 13.（解答） 【答案】 【解析】解：（1） 因为 ，则 …………………… 1 分 由题意知 在区间 内恒成立， 所以 在区间 内恒成立 …………………………………… 2 分 令 ，，因为 在区间 内单调递减 …… 4 分 所以 ，所以 ………………………………………… 6 分 即实数 的取值范围为 ……………………………………………… 7 分 【点拨】已知函数在某区间单调递增，等价于导函数在该区间上恒大于等于0.采用分离参数法，转化为求新函数的最大值是通性通法. 考法5：已知函数在区间上单调求参数范围 14.（单选） 【答案】B 【解析】因为函数 在 上单调递增， 所以必须满足各分段部分单调递增，且在分界点处左侧的极限值小于等于右侧的函数值， 即 ， 解得 . 故选：B. 【点拨】分段函数在整个定义域上单调，除了要求各段自身单调外，还必须保证在分界点处满足单调性的衔接条件（即左端点值小于等于右端点值）. 15.（填空） 【答案】 【解析】由 ， 得 ， 因为函数 在区间 上单调递增， 所以 在区间 上恒成立， 即 在区间 上恒成立， 又 ，所以 ，即 ， 因为 在区间 上单调递减， 所以当 时，， 所以 ，即实数 的取值范围是 . 【点拨】指数型函数求导后提取 ，由于 ，单调性完全由剩余多项式的符号决定.结合区间特点分离参数求最值即可. 16.（解答） 【答案】 【解析】解：（2） 由题意知， ……………………………… 8 分 因为 在区间 上存在单调递减区间， 所以 在 上有解 ……………………………………………… 10 分 即 在 上有解 ………………………………………… 12 分 设 ，， 则 …………………………………………………………… 14 分 所以 在 上单调递增， 所以 ， 所以 ……………………………………………………………………… 16 分 即实数 的取值范围为 …………………………………………… 17 分 【点拨】“存在单调递减区间”转化为“导数小于0有解”，分离参数后求新函数的值域，注意开区间无最小值时利用极限或单调性求边界. 考点3：利用导数求函数的极值 考法6：求函数的极值点和极值 17.（单选） 【答案】D 【解析】由 ， 则 ， 令 ，得 或 . 结合 的图象可知，函数 在 上的极值点共有8个. 则 ; ; ; 互为相反数，因 ， 则 ，，又注意到 ， 则 . 故选：D. 【点拨】对于含有三角函数的极值点求和问题，不必求出具体的极值点，利用三角函数的对称性将极值点配对相加，可使奇函数部分抵消为0. 18.（单选） 【答案】C 【解析】因为 ， 所以 ， 所以 ， 令 ，则 ， 因为0是 的极小值点， 所以在 的左侧，，在 的右侧，， 所以 ，解得 ，即 取值范围是 . 故选：C. 【点拨】已知某点为极小值点，则该点处导数为0，且导函数在该点附近“左负右正”.通过对导函数再次求导判断导函数的单调性是破题关键. 19.（多选） 【答案】BCD 【解析】对于A：当 时，，，，令 得 ，，所以对称中心为 ，故A错误. 对于B：，若 在 上递增，则 恒成立，即 ，解得 ，故B正确. 对于C：，令 得 ，当 时，；当 时，，所以函数图像过定点 和 ，故C正确. 对于D：，令 得 或 . 因为 有极大值和极小值，所以 . 极大值与极小值互为相反数，即 ， ， 化简得 ，即 . 设 ，因为 ， ，，，所以 ，故D正确. 故选：BCD. 【点拨】三次函数的对称中心横坐标为二阶导数的零点；极值互为相反数即极值之和为0，代入极值点化简求解即可. 20.（多选） 【答案】BCD 【解析】对于A，，它是二次函数，没有拐点，故A错误. 对于B，. 又 . 若 ，则 ，解得 ，故B正确. 对于C，若 且有极值，则 . 又 ，故C正确. 对于D，若 ，则 ，. 极值点为0和2，极大值为 ，极小值为 . 有三个零点，则 且 ，即 且 . 又 ，代入得 ，故D正确. 故选：BCD. 【点拨】理解新定义“拐点”的本质是二阶导数为0的点，结合三次函数极值点与零点的关系，利用韦达定理和判别式进行转化. 21.（填空） 【答案】 【解析】易得 ，设 ， 令 ，得 或 ， 由 ，得 ，则在同一坐标系中函数 的图象和直线 有两个不同的公共点. （1） 当 时，注意到，当 时，直线 是曲线 的一条切线，故 ， 此时 ， 由图可知 ，且在 附近 左正右负， 左正右负， 是极大值点，不符合题意； （2） 当 时，注意到，当 时，直线 是曲线 的一条切线，故 ， 此时 ，，从而在0附近， 左正右负，0是极大值点； 由图可知，，且在 附近 左负右正， 左正右负， 是极大值点； ，且在 附近 左正右负， 左负右正， 是极小值点；符合题意； 所以实数 的取值范围是 . 【点拨】处理导数方程的超越根，可转化为两函数图象的交点问题.通过数形结合判断交点附近的符号变化，进而确定极值点的性质. 22.（解答） 【答案】 【解析】解：（1） 的定义域为 ， …………………… 1 分 若 ，恒有 ， 单调递增，没有最小值，不符合题意 …………… 2 分 若 ，令 ，解得 . 当 时，， 单调递减； 当 时，， 单调递增 ……………………………………… 3 分 故 在 处取得极小值，也是最小值 ……………………………………… 5 分 所以 ，解得 ………………………………………………… 7 分 【点拨】已知函数的最值求参数，先通过求导确定函数的单调性及最值点（通常含参），再将最值点代入原函数建立关于参数的方程. 考法7：极值点存在性讨论 23.（单选） 【答案】A 【解析】函数的定义域为 ， ， 因为函数 有两个极值点， 所以 在 上有两个变号零点， 即 在 上有两个不相等的实数根. 当 时，抛物线开口向下，，所以一根小于-1，一根大于-1.在 内只有一个根，不能有两个极值点. 当 时，抛物线开口向上，，对称轴 ，所以两根都在 内. 此时只需 或 . 所以 . 故选：A. 【点拨】函数有两个极值点等价于导函数有两个变号零点.转化为二次方程根的分布问题，结合开口方向、对称轴、端点函数值及判别式综合求解. 24.（解答） 【答案】存在极小值点 ，无极大值点 【解析】解：（2） ， …………………………… 5 分 当 时，，， 单调递增，无极值 …………… 6 分 当 时，，令 得 . 当 时，， 单调递增； 当 时，， 单调递减； 当 时，， 单调递增 ……………………… 7 分 所以 存在极大值点 ，极小值点 ……… 8 分 【点拨】判断极值点的存在性，本质是讨论导函数的变号零点.对二次型导函数，依据判别式 的符号分类讨论即可. 考点4：利用导数求函数的最值 考法8：求函数在闭区间上的最值 25.（单选） 【答案】D 【解析】根据题意可知 ，则 （ 为常数）， ① ，根据二次函数的最值可知当销量 件时，总收益最大，①正确； ②若销量为800件时，总收益为 ， 所以 ，解得 ， 则当销量增加400件，即 件，总收益 ，②正确； ③当销量从500件增加到501件时， ， 总收益改变量的近似值为500．③正确. 故选：D. 【点拨】边际收益是收益函数的导数，通过积分（或逆向求导）可恢复原函数，再利用二次函数的性质判断最值及对称性. 26.（填空） 【答案】 【解析】由题意应为 ， . 令 ，得 或 . 当 时，. . 当 时， 取得最小值， . 【点拨】三角函数求最值，通常先求导，利用二倍角公式化简为同名三角函数，解出驻点后代入原函数比较大小. 27.（解答） 【答案】 【解析】解：（2） 依题意 ………… 11 分 又 ， …………………… 13 分 在 上单调递增， ……………………………… 15 分 【点拨】先根据独立重复试验概率公式列出函数解析式，再利用导数求出函数在指定闭区间上的单调性，进而求得最值. 28.（解答） 【答案】（1）当 时，；（2）当 时，；（3）当 时，；（4）当 时，；（5）当 时， 【解析】解：（3） ， 当 时，， 故 ……………………… 8 分 同理，当 时，， （i） ， （ii） …………………… 12 分 当 时，， （i） ， （ii） ……………… 16 分 综上所述： （1） 当 时，； （2） 当 时，； （3） 当 时，； （4） 当 时，； （5） 当 时， ……………………… 17 分 【点拨】含绝对值的二次函数在闭区间上的最值问题，需根据对称轴、区间端点以及绝对值零点的位置关系进行详细的分类讨论. 考法9：求函数在开区间上的最值 29.（单选） 【答案】D 【解析】因为 ，且 则 ， 即命题 ：， 为假命题， 所以 ：，，且 为真命题. 故选：D. 【点拨】处理新定义运算，先严格代入定义化简函数解析式，再利用指数函数的性质求出函数的值域，最后根据全称命题与特称命题的否定关系进行判断. 30.（多选） 【答案】AD 【解析】对于A，若 ，则 ，，， 为奇函数，故A正确； 对于B，若 ，，， 当且仅当 时等号成立，即最小值为4，无最大值，故B错误； 对于C，若 ，则 ，， 当 时，，当且仅当 ，即 时等号成立， 所以 无最小值，故C错误； 对于D，若 为奇函数，则 ，所以 ， 若 ，使得 成立， 则 ， 若 ，则 ， 则 ，即 能成立， 因为 ， 当且仅当 ，即 时等号成立， 所以 ，即 的最小值为 ，故D正确. 故选：AD. 【点拨】处理存在性问题，分离参数后转化为求新函数的最小值.利用基本不等式求最值时，务必注意验证等号成立的条件. 31.（解答） 【答案】 【解析】解：（2） 对 求导得 …… 6 分 设 ，在 单调递增. 因为函数 存在极小值点 ，所以 在 存在零点 ，即 ， ………………………………………… 8 分 此时 ，即 ……………………………………………………… 10 分 设 ，对其求导得 . 令 ，即 ，解得 . 当 ， 单调递增；当 ， 单调递减 …… 12 分 又 ，当 ，；当 ，. 所以 ……………………………………………………………… 14 分 又 在 上单调递增，所以 ……………………… 15 分 【点拨】极值点通常是导函数的零点，将极值点代入原函数，利用极值点满足的方程消去参数，转化为关于极值点的单变量函数求最值. 32.（解答） 【答案】（1），证明见解析 （2） （3）， 【解析】解：（1） 由题意，， …… 2 分 证明：要证 只需证 由于 ① ② ①+②得 即 得证 ………………………………………… 5 分 （2） 存在 ，使得 成立，即 …… 6 分 由题知， …… 7 分 令 ，， ………… 8 分 即 ，解得 （舍去）， …………………… 9 分 ，， 单调递增，，， 单调递减 的最大值为 ，即 ……………………………… 11 分 （3） ，，令 ， …… 12 分 ，，，， … 13 分 当 时，， 当 ，， 当 ， ………………………………………… 15 分 又 最多只有三个解且 ，由三次函数图象，…… 16 分 ，，， 的单调增区间是 ， ……………… 17 分 【点拨】利用三角换元处理三次方程的根是高等数学背景下的常见技巧.将代数多项式转化为切比雪夫多项式，再利用三角函数的有界性和周期性求解. 考点5：已知极值或最值求参数 考法10：已知极值点求参数值 33.（单选） 【答案】A 【解析】由 ，得 ， 因为函数 在 处取得极值， 所以 ，解得 . 所以 ，. 当 时，， 单调递增； 当 时，， 单调递减. 又 ，， 所以 在 内的最小值为2. 故选：A. 【点拨】已知极值点求参数，直接将极值点代入导函数令其为0即可求出参数，但求出后必须代回检验该点是否确为极值点. 34.（多选） 【答案】ACD 【解析】由题意应为 在 处取得极小值， . 因为 在 处取得极小值， 所以 ，解得 ，故A正确； 当 时，， 单调递增， 所以 ，故B错误； ， ， 所以 ，故C正确； 当 且 时， . 因为 ，故D正确. 故选：ACD. 【点拨】极值点处的导数值为0，求出参数后需验证导数在极值点两侧的符号.判断两点函数值之差的最值，通常转化为单调性求区间端点值. 35.（填空） 【答案】 【解析】 的定义域为 ， . 因为 存在极值点，所以 在 上有变号零点， 即 在 上有解. 设 ，则 . 设 ，则 . 当 时，， 单调递增； 当 时，， 单调递减. 所以 ， 所以 在 上恒成立， 所以 在 上单调递减. 当 时，；当 时，. 所以 的值域为 . 要使 有解，必须 ，解得 . 故实数 的取值范围为 . 【点拨】函数存在极值点等价于导函数存在变号零点.通过分离参数转化为求新函数的值域，注意利用极限思想判断开区间端点处的取值趋势. 考点6：导数的几何意义 考法11：求曲线在某点处的切线方程 36.（填空） 【答案】 【解析】由 ，得 . 所以 . 又 ， 所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 . 【点拨】求在某点处的切线方程，直接求导得到斜率，再利用点斜式写出直线方程即可.注意区分“在某点”与“过某点”的区别. 37.（解答） 【答案】 【解析】解：（1） 当 时，， 则 …………………………………………………… 2 分 所以 ………………………………………………… 3 分 因为 …………………………………………………………… 4 分 所以 在 处的切线方程为 ， 即 ……………………………………………………… 5 分 【点拨】求切线方程的标准步骤：一求切点纵坐标，二求导数得斜率，三代入点斜式化简. 考点7：利用导数研究函数的零点 考法12：已知函数零点个数求参数范围 38.（单选） 【答案】A 【解析】设 是 上一点，则 ， 且 关于 轴对称点坐标为 在 上， 由题意得， 有两个不同的实数解， 即 有两个不同的实数解. 令 ，则 ， 当 时，， 单调递减； 当 时，， 单调递增； 所以 ，，. 有两个不同的实数解等价于 与 有两个交点， 所以 ，所以 . 故选：A. 【点拨】将图像的对称关系转化为方程的根的问题，再利用分离参数法，将方程有解转化为两函数图象的交点问题，通过求导画出函数草图即可直观求解. 39.（解答） 【答案】 【解析】解：（2） 由 ，，则 …… 5 分 当 时，，则 在 单调递增，此时至多有一个零点，不符合题意； 当 时，令 ，解得 ；令 ，解得 ， 故 在 上单调递减，在 上单调递增 ………… 7 分 要使 有两个零点，需 ， 则 ，解得 ………………………………………… 9 分 而 ，， 当 时，令 ， 则 ，所以函数 在 上单调递增， 故 ，则 ……… 11 分 所以 ，， 由零点存在性定理可知， 在 与 上分别存在唯一零点. 综上所述，实数 的取值范围为 ……………………………… 12 分 【点拨】函数有两个零点，通常要求其极小值小于0，且在极小值点两侧各能找到一个函数值为正的点，从而利用零点存在性定理加以证明. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题五：利用导数研究函数的单调性与极值 考点1：利用导数判断函数的单调性 1 考法1：利用导数求函数的单调区间 1 考法2：判断含参数函数的单调性 3 考法3：利用函数的单调性比较大小或解不等式 3 考点2：已知单调性求参数取值范围 3 考法4：已知单调区间求参数取值范围 3 考法5：已知函数在区间上单调求参数范围 4 考点3：利用导数求函数的极值 4 考法6：求函数的极值点和极值 4 考法7：极值点存在性讨论 6 考点4：利用导数求函数的最值 6 考法8：求函数在闭区间上的最值 6 考法9：求函数在开区间上的最值 7 考点5：已知极值或最值求参数 9 考法10：已知极值点求参数值 9 考点6：导数的几何意义 9 考法11：求曲线在某点处的切线方程 9 考点7：利用导数研究函数的零点 10 考法12：已知函数零点个数求参数范围 10 注意事项 1. 请认真审题，注意计算过程的严谨性和规范性. 2. 选择题请注意选项的布局，解答题请在规定区域内作答. 3. 考试过程中请保持卷面整洁. 考点1：利用导数判断函数的单调性 考法1：利用导数求函数的单调区间 1.（单选）函数在下面哪个区间上单调递增（ 　　） A. B. C. D. 2.（单选）若函数在其定义域内的区间内有极值点，则实数的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 3.（多选）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ 　　） A. 当时， B. ，都有 C. 函数有两个零点 D. 函数在区间上单调递减 4.（填空）函数的单调递增区间是＿＿＿＿＿＿. 5.（填空）函数，图像如图所示，设的导函数为，则的解集为＿＿＿＿＿＿. 6.（解答）已知函数. （1） 若，求证：在上单调递增； 7.（解答）设函数. （2） 讨论函数的单调性. 考法2：判断含参数函数的单调性 8.（解答）已知函数，. （2） 讨论函数单调性. 考法3：利用函数的单调性比较大小或解不等式 9.（单选）若，则（ 　　） A. B. C. D. 10.（单选）若，，其中是自然对数的底数，则（附：）（ 　　） A. B. C. D. 11.（解答）设函数. （2） 若不等式恒成立，求实数的取值范围. 考点2：已知单调性求参数取值范围 考法4：已知单调区间求参数取值范围 12.（单选）已知函数在定义域内存在单调递减区间，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 13.（解答）已知函数，. （1） 若函数在区间内单调递增，求实数的取值范围. 考法5：已知函数在区间上单调求参数范围 14.（单选）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 15.（填空）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 16.（解答）已知函数，. （2） 若在区间上存在单调递减区间，求的取值范围. 考点3：利用导数求函数的极值 考法6：求函数的极值点和极值 17.（单选）已知函数在上的所有极值点从小到大依次记为，，，，则（ 　　） A. 12 B. 15 C. 18 D. 24 18.（单选）已知函数，若0是极小值点，则取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 19.（多选）已知函数，则（ 　　） A. 当时，的对称中心为 B. 若函数在上递增，则 C. 函数的图像过定点 D. 若的极大值与极小值互为相反数，且，则 20.（多选）定义：设是的导函数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知三次函数的对称中心为，则（ 　　） A. 存在拐点 B. 若，则 C. 当，且有极值时， D. 当，且函数有三个零点时， 21.（填空）已知函数（且）存在三个极值点，若是极小值点，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 22.（解答）已知函数，且的最小值为1. （1） 求的值. 考法7：极值点存在性讨论 23.（单选）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 24.（解答）已知函数，. （2） 若，试判断函数是否存在极值，若存在，请确定极值点；若不存在，请说明理由. 考点4：利用导数求函数的最值 考法8：求函数在闭区间上的最值 25.（单选）在经济学中，将产品销量为件时的总收益称为收益函数，记为，相应地把称为边际收益函数，它可以帮助企业决定最优的生产或销售水平．假设一个企业的边际收益函数 (注:经济学中涉及的函数有时是离散型函数，但仍将其看成连续函数来分析)．给出下列三个结论: ①当销量为1000件时，总收益最大； ②若销量为800件时，总收益为，则当销量增加400件时，总收益仍为； ③当销量从500件增加到501件时，总收益改变量的近似值为500． 其中正确结论的个数为（ 　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 26.（填空）已知函数，则的最小值为＿＿＿＿＿＿. 27.（解答）某4名射击手进行射击训练，他们互不影响地同时对同一目标进行射击，每人击中的概率均为. （2） 若目标被一人击中不会被摧毁，被2人击中而被摧毁的概率为，被3人击中而被摧毁的概率为，被4人击中则肯定被摧毁.设目标被摧毁的概率为，当时，求的最大值. 28.（解答）已知. （3） 当时，求的最大值，最小值. 考法9：求函数在开区间上的最值 29.（单选）定义新运算：，设，命题：，，则（ 　　） A. ：，，且为假 B. ：，，且为假 C. ：，，且为真 D. ：，，且为真 30.（多选）空旷的田野上两根电线杆之间的电线有相似的曲线形态．这些曲线在数学上称为悬链线，悬链线在工程上有广泛的应用．在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以表示为（其中，为非零常数），则对于函数以下结论正确的是（ 　　） A. 若，则为奇函数 B. 若，，则函数的最大值为4 C. 若，则函数的最小值为2 D. 为奇函数，且，使得成立，则的最小值为 31.（解答）已知函数，其中，为自然对数的底数. （2） 若函数存在极小值点，且，求实数的取值范围. 32.（解答）记 ，，. （1） 求 ，并证明：； （2） 若 ，使得 成立，求 取值范围； （3） 求函数 的单调增区间. 考点5：已知极值或最值求参数 考法10：已知极值点求参数值 33.（单选）若函数在处取得极值，则在内的最小值为（ 　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 34.（多选）已知函数在处取得极大值，的导函数为，则（ 　　） A. B. 当时， C. D. 当且时， 35.（填空）已知函数存在极值点，则实数的取值范围＿＿＿＿＿＿. 考点6：导数的几何意义 考法11：求曲线在某点处的切线方程 36.（填空）已知函数，则曲线在点处的切线方程为＿＿＿＿＿＿. 37.（解答）已知函数. （1） 当时，求曲线在点处的切线方程. 考点7：利用导数研究函数的零点 考法12：已知函数零点个数求参数范围 38.（单选）已知函数（，为自然对数的底数）的图像上存在2个点、分别与的图像上2个点、关于轴对称，则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 39.（解答）已知函数，. （2） 若有两个零点，求实数的取值范围. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $