2025-2026学年高二下学期期末数学模拟卷（范围：人教A版选择性必修第二册第五章+选择性必修第三册全册）

**基本信息** 覆盖导数应用与概率统计核心内容，以卫星导航测试等科技情境为载体，通过基础题（如排列组合）、能力题（如导数不等式恒成立）、创新题（如多问概率模型）的梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与模型构建能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|排列组合、正态分布、导数单调性|第1题基础排列，第4题导数单调区间，梯度分明| |多选|3/18|回归分析、函数极值、导数应用|第9题综合回归分析与残差，考查数据分析能力| |填空|3/15|线性回归方程、区域种花计数、导数恒成立|第13题区域种花计数，结合实际情境考查计数原理| |解答|5/77|独立性检验、二项式定理、随机变量分布列、导数证明、卫星导航概率模型|第22题卫星导航干扰源概率模型，多问设计考查数学建模与逻辑推理|

2025-2026学年高二下学期期末模拟卷 数学 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C D C D D B A BC ACD BD 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 3个相同的书签，放入7个不同的书架中，每个书架里至多放一个书签，则不同的放法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【解析】D 由于书签都相同，书架不同，每个书架至多放一个书签， 所以只要选出3个不同的书架即可． 故共有种不同的放法. 2. 已知正态分布，若，则（ ） A. 0.6 B. 0.4 C. 0.2 D. 0.1 【解析】C 得，所以， 所以，所以. 3. 已知随机变量的分布列为 1 2 3 4 0.2 0.3 0.4 0.1 则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【解析】D对于A， ，故A错误； 对于B， ，故B错误； 对于C， ，故C错误； 对于D， ，故D正确. 4. 已知函数.若函数在上单调递减，则实数的最小值为（ ） A. 0 B. 3 C. D. 【解析】C ，令，得， 令， 若函数在上单调递减，则， 当时，， 所以函数在上单调递增，则， 所以. 5. 将一枚均匀的骰子掷两次，记事件为“第一次出现偶数点”，事件为“两次出现的点数和为”，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 与相互独立 【解析】D 对于A：将一枚均匀的骰子掷两次基本事件共有个， 事件包括，2个基本事件，所以，故A错误； 对于B：因为不互斥，，， 所以，故B错误； 对于C：事件包括4个基本事件，所以， ，故C错误； 对于D：事件为“第一次出现偶数点”， ，， ，与相互独立，故D正确. 6. 展开式中项系数为（ ） A. 32 B. 64 C. 96 D. 128 【解析】D 的展开式通项为， 的展开式通项为， 所以的展开式通项为 ， 由，可得或， 因此，展开式中项的系数为. 7. 某学校有两家餐厅，张同学连续三天午餐均在学校用餐．如果某天去餐厅，那么第2天还去餐厅的概率为；如果某天去餐厅，那么第2天还去餐厅的概率为．若张同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐，则张同学第3天去餐厅用餐的概率为（ ） A. B. C. D. 【解析】B 设表示事件：第i天去A餐厅，表示事件：第i天去B餐厅， 则,， 则, 故 , , 则 ， 8. 已知函数，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【解析】A 由恒成立，则恒成立， 即恒成立， 即恒成立， 令，则， 由在上单调递增，故，则恒成立， 令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故，故，则， 即实数a的取值范围为. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（     ） A. 两个变量的相关性越弱，相关系数越小 B. 经验回归直线一定经过点 C. 在线性回归方程中，当变量每增加一个单位时，平均减少0.5个单位 D. 在做回归分析时，残差点均匀分布在横轴两侧，且分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 【解析】BC 对于A，两个变量的相关性越弱，相关系数越小，故A错误； 对于B，回归直线一定经过样本中心，故B正确； 对于C，在线性回归方程中，当变量每增加一个单位时，平均减少0.5个单位，故C正确； 对于D，在做回归分析时，残差图中残差点均匀分布在横轴两侧，且分布的带状区域的宽度越窄，说明选用的模型拟合精度越高，表示回归效果越好，故D错误． 10. 已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【解析】ACD 令，则，所以， 所以展开式的通项公式为，其中． 所以，故A正确； 令，则，故B错误； 令，则，故C正确； 两边对求导得 ， 令得，故D正确． 11. 已知函数，下列结论正确的是（    ） A．当时，有极值 B．当时，只有一个零点 C．当时，， D．若对任意的，都有，则实数的取值范围为 【解析】BD 对于A，当时，，则， 所以在上单调递减，所以函数无极值，A错误； 对于B，由选项A可知，在上单调递减，又因为， 所以只有一个零点，所以B正确； 对于C，当时，，令， 则，可知在上单调递减，在上单调递增，， 所以，所以， ，故C错误； 对于D，，即， 设，则问题可转化为， 因为是上的增函数，所以，即恒成立， 设，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，于是，故D正确. 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某产品的广告投入（万元）与销售额（万元）的统计数据如下图所示：若关于的线性回归方程为，则__________． 2 3 5 6 20 35 50 55 【解析】由题意得，， 代入回归直线方程得，解得. 13. 给如图所示的花圃中四块区域种花，中间圆形区域不种花.现有6种不同的花可供选择，每块区域种1种花，且相邻区域种不同的花．则不同的种法总数为___________． 【解析】分两种情况： 第一种情况，区域的花同色. 区域的花有6种选择，区域相邻，所以区域的花有5种选择， 区域虽然相邻，但是此时区域的花同色，所以区域的花有1种选择， 区域虽然与区域相邻，但是由于区域的花同色， 所以区域的花有5种选择，所以不同的种法有种； 第二种情况，区域的花不同色. 区域的花有6种选择，区域相邻，所以区域的花有5种选择， 区域相邻，且此时区域的花不同色，所以区域的花有4种选择， 区域与区域相邻， 所以区域的花有4种选择， 所以不同的种法有种. 综上两种情况，花圃不同的种法总数为种. 14. 已知函数，若存在，，使得在上恒成立，则的最小值为__________． 【解析】若，那么. 设，. 若，，则单调递增，且趋近于，趋近于，不满足恒成立. 时，令，解得，且，. 所以最大值为. 要使恒成立，满足即可，解得. 那么最小值为. ，令，解得. 那么时，，单调递减，时， ，单调递增. 所以最小值为. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床生产了件产品，产品的质量情况统计如下表： 一级品 二级品 合计 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计 270 130 400 （1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？ （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？ 附： 0.05 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【解析】（1）甲机床生产的产品中一级品的频率为：. 乙机床生产的产品中一级品的频率为：. （2）由题意：. 因为，所以依据小概率值的独立性检验，可认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异. 16. 已知的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是． （1）求二项展开式中各项二项式系数和； （2）求二项展开式中系数最大的项． 【解析】（1）由题意得，即，解得或0（舍去）； 故二项展开式中各项二项式系数和为， （2）展开式的通项公式为， 设展开式中系数的绝对值最大的项为， 则，解得， 又，∴， ∴展开式中系数的最大的项为． 17. 一个小组九人，其中，编号分别为1，2，3，4，5的男生五人；编号分别为1，2，3，4的女生四人，现从该小组中任意选取3人． （1）求选出的3个人中有相同编号的情况有多少种； （2）若选出的3个人中编号的最大值为，求出的分布列和数学期望． 【解析】（1）选出的3个人中有相同编号，则其中两人的编号相同， 首先从，，，这四组双编号组中选出一组，有种选法， 再从选过后的人中选个人，有种选法， 所以选出的3个人中有相同编号的情况有种； （2）依题意的可能取值为，，，， 所以，， ，. 所以的分布列为 2 3 4 5 所以的数学期望. 18. 已知函数． （1）若，判断的单调性； （2）若，证明：． 【解析】（1）当时，函数的定义域为，且， 因为，在上单调递增，， 则在上单调递增，且， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． （2）因为的定义域为， 且，， 可知在上单调递增，且，， 可知存在，使得，即， 当时，，当时，， 可知在上单调递减，在上单调递增， 则， 设，则， 可知在上单调递减， 则， 所以． 19. 为评估卫星导航系统在复杂电磁环境下的定位稳定性，科研团队进行了一项模拟测试．测试中一颗卫星向地面特定区域持续发送信号．已知该区域有个相互独立的瞬时强干扰源，每个干扰源在任意一个单位测试时段内被激活的概率均为．当个干扰源被激活时会导致卫星信号在该时段内发生次随机误差，反之亦然．设为该时段内被激活的干扰源数量． （1）若，且某个时段至少发生了2次信号误差，求该时段内恰好发生2次信号误差的概率； （2）若，连续进行多个时段的测试，直到出现下列两种情况之一停止测试：①某个时段内被激活的干扰源为3个；②连续3个时段内被激活的干扰源数量都是2个，求连续测试3个时段后停止测试的概率； （3）在测试中每次信号误差会产生一个误差值．记为单个干扰源激活时所产生的信号误差值，且的分布列为，定义该时段内信号误差值为所有单个干扰源激活时所产生的信号误差值的和．若，求的分布列与期望． 【解析】（1）记“该时段内恰好发生2次信号误差”为事件， “该时段至少发生了2次信号误差”为事件， 由题知，，， ， ， ， 故所求概率为． （2）每个时段内干扰源仅有2个被激活的概率为， 3个全被激活的概率为． 连续测试3个时段后停止测试有2种情况： ①前3个测试时段中每个时段被激活的干扰源数量都是2个，概率为， ②第3个时段测试被激活的干扰源数量为3个， 第1个测试时段与第2个测试时段中每个时段被激活的干扰源数量均不为3个， 概率为， 故所求概率为． （3）因为的分布列为， ，，，的所有可能取值为2，4，8. 所以，所以， 所以，，， 的所有可能取值为4，6，8，10，12，16． ， ， ， ， ， ， 所以的分布列为 4 6 8 10 12 16 所以． 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下学期期末模拟卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第五章《一元函数的导数及其应用》+选择性必修第三册全册 第I卷（选择题58分） 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 3个相同的书签，放入7个不同的书架中，每个书架里至多放一个书签，则不同的放法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 2. 已知正态分布，若，则（ ） A. 0.6 B. 0.4 C. 0.2 D. 0.1 3. 已知随机变量的分布列为 1 2 3 4 0.2 0.3 0.4 0.1 则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数.若函数在上单调递减，则实数的最小值为（ ） A. 0 B. 3 C. D. 5. 将一枚均匀的骰子掷两次，记事件为“第一次出现偶数点”，事件为“两次出现的点数和为”，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 与相互独立 6. 展开式中项系数为（ ） A. 32 B. 64 C. 96 D. 128 7. 某学校有两家餐厅，张同学连续三天午餐均在学校用餐．如果某天去餐厅，那么第2天还去餐厅的概率为；如果某天去餐厅，那么第2天还去餐厅的概率为．若张同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐，则张同学第3天去餐厅用餐的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（     ） A. 两个变量的相关性越弱，相关系数越小 B. 经验回归直线一定经过点 C. 在线性回归方程中，当变量每增加一个单位时，平均减少0.5个单位 D. 在做回归分析时，残差点均匀分布在横轴两侧，且分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 10. 已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11. 已知函数，下列结论正确的是（    ） A．当时，有极值 B．当时，只有一个零点 C．当时，， D．若对任意的，都有，则实数的取值范围为 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某产品的广告投入（万元）与销售额（万元）的统计数据如下图所示：若关于的线性回归方程为，则__________． 2 3 5 6 20 35 50 55 13. 给如图所示的花圃中四块区域种花，中间圆形区域不种花.现有6种不同的花可供选择，每块区域种1种花，且相邻区域种不同的花．则不同的种法总数为___________． 14. 已知函数，若存在，，使得在上恒成立，则的最小值为__________． 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床生产了件产品，产品的质量情况统计如下表： 一级品 二级品 合计 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计 270 130 400 （1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？ （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？ 附： 0.05 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 已知的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是． （1）求二项展开式中各项二项式系数和； （2）求二项展开式中系数最大的项． 17. 一个小组九人，其中，编号分别为1，2，3，4，5的男生五人；编号分别为1，2，3，4的女生四人，现从该小组中任意选取3人． （1）求选出的3个人中有相同编号的情况有多少种； （2）若选出的3个人中编号的最大值为，求出的分布列和数学期望． 18. 已知函数． （1）若，判断的单调性； （2）若，证明：． 19. 为评估卫星导航系统在复杂电磁环境下的定位稳定性，科研团队进行了一项模拟测试．测试中一颗卫星向地面特定区域持续发送信号．已知该区域有个相互独立的瞬时强干扰源，每个干扰源在任意一个单位测试时段内被激活的概率均为．当个干扰源被激活时会导致卫星信号在该时段内发生次随机误差，反之亦然．设为该时段内被激活的干扰源数量． （1）若，且某个时段至少发生了2次信号误差，求该时段内恰好发生2次信号误差的概率； （2）若，连续进行多个时段的测试，直到出现下列两种情况之一停止测试：①某个时段内被激活的干扰源为3个；②连续3个时段内被激活的干扰源数量都是2个，求连续测试3个时段后停止测试的概率； （3）在测试中每次信号误差会产生一个误差值．记为单个干扰源激活时所产生的信号误差值，且的分布列为，定义该时段内信号误差值为所有单个干扰源激活时所产生的信号误差值的和．若，求的分布列与期望． ( 第 1 页 共 14 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $