11.1.5旋转体课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

该高中数学课件聚焦旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）的定义、结构特征及表面积计算，从生活物体抽象引入，通过“尝试与发现”问题（如圆台与圆锥关系、球面刻画）搭建支架，连接生活与数学抽象，引导学生逐步深入。 其亮点在于以数学眼光观察现实（如地球经纬度解释球的截面），用数学思维推理（推导截面圆半径、圆台侧面积公式），借数学语言表达（表格对比结构特征与公式）。例2计算北纬40°纬线长度体现应用，分层练习助学生深化理解，教师可利用系统框架提升教学效率。

第十一章 立体几何初步 11.1.5 旋转体 《人教B版2019高中数学必修第四册》 圆柱可看成以矩形的一边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的几何体，如图11-1-41(1）所示；圆锥可看成以直角三角形一直角边所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的几何体，如图11-1-41(2）所示；圆台可看成以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的几何体，如图11-1-41(3）所示． 用类似上述圆柱、圆锥、圆台的形成方式构成的几何体都是旋转体，其中，旋转轴称为旋转体的轴，在轴上的边（或它的长度）称为旋转体的高，垂直于轴的边旋转而成的圆面称为旋转体的底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面称为旋转体的侧面.而且，无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都称为母线．图11-1-41中，直线OO＇与SO是轴，线段OO＇与SO是高，线段A'A与SA是母线. 在旋转体中，通过轴的平面所得到的截面通常简称为轴截面.由圆柱、圆锥、圆台的形成方式可以看出，三者的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形. 显然，圆台可以看成平行于圆锥底面的平面截圆锥所得到的几何体. 例1 写出圆台中任意两条母线的位置关系，任意一条母线与底面的位置关系，以及两个底面的位置关系. 解 圆台中任意两条母线都相交，任意一条母线与底面都相交，两个底面相互平行. 旋转体侧面的面积称为旋转体的侧面积，侧面积与底面积之和称为旋转体的表面积（或全面积）. 因为圆柱的侧面展开图是一个矩形，圆锥的侧面展开图是一个扇形，所以，如果知道它们的底面半径以及母线长，就可以算出它们的侧面积与表面积. 对于圆台来说，侧面展开图如图11-1-42所示，其面积可看成两个扇形的面积之差.因此如果知道圆台上、下底面半径以及母线长，也可以图11-1-42算出其侧面积与表面积.S圆台侧=r下）l 通过观察可以发现，球面可以看成一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面；球面围成的几何体，称为球.球也是一个旋转体. 形成球面的半圆的圆心称为球的球心，连接球面上一点和球心的线段称为球的半径，连接球面上两点且通过球心的线段称为球的直径. 如图11-1-44所示的球中，点O为球心，OA,OB,OC都是球的半径，AB为球的直径.如果OC=R，则 OA=R,OB=R,AB=2R 一个球可以用表示它的球心的字母来表示，例如图11-1-44中的球可表示为球O. 由球面的形成过程可看出，球面可以看成空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合. 用一个平面α去截半径为R的球O，如图11-1-46所示，不妨设平面α水平放置且不过球心，OO＇为平面a的垂线，并与平面α交于点O'，OO′=d，则对平面α与球面的交线上任意一点P，都有O′P=这是一个定值.这说明截面与球面的交线是在平面α内到定点O＇的距离等于定长的点的集合，因此平面α截球面所得到的交线是以O＇为圆心，以为半径的一个圆. 如果平面α过球心，则d=0,=R，此时截面是半径等于球的半径的一个圆面. 也就是说，球的截面是一个圆面（圆及其内部）. 球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆. 当我们把地球看成一个球时，经线就是球面上从北极到南极的半个大圆；赤道是一个大圆，其余的纬线都是小圆.经度（取值范围为0∘∼180∘)与纬度（取值范围为0∘∼90∘)如图11-1-47所示． 纬线：平行圆圈，东西走向，赤道 0°，分南北纬； 纬度：纬线的度数，0°～90°(与赤道的夹角），分南北纬； 经线：连接两极的半圆，南北走向，本初子午线 0°，分东西经； 经度：经线的度数，0°～180°(与本初子午线的夹角），分东西经。 例2 把地球看成一个半径为6370km的球，已知我国首都北京靠近北纬40°，求北纬40°纬线的长度(π≈3.1416, cos40∘≈0..7660，结果精确到1km)． 解 作出截面图，如图11-1-48所示．设A是北纬40°圈上的一点，AK是北纬40°圈的半径，O为球心，所以OK⊥AK．设北纬40°的纬线长为ckm，因为∠AOB=∠OAK=40∘，所以 c=2π⋅AK =2π⋅OA⋅cos∠OAK =2π⋅OA⋅cos40∘ ≈2×3.1416×6370×0.7660 ≈30658. 即北纬40°的纬线长约为30658 km． 可以证明，如果球的半径为R，那么求得表面积为 例3 已知一个长方体的8个顶点都在一个球面上，且长方体的棱长为3,4,5，求球的表面积． 由题设可知，长方体的体对角线的中点就是球心，又因为 AC′==5 所以所求球的表面积为 S=4)2=50 （1）相离、相切、相交. （2）柱、锥、台的表面两点距离可以转化为平面展开图内两点间的线段长求得，那么球面内两点间的球面距离如何求解？在球面上，两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，把这个弧长叫作两点的球面距离。 这就是为什么飞机、轮船都尽可能地以大圆（劣弧）航行的原因，体现数学的科学价值和应用价值. 练习A ①写出圆柱中任意两条母线的位置关系，任意一条母线与底面的位置关系，以及两个底面的位置关系. ②写出圆锥中任意两条母线的位置关系，以及任意一条母线与底面的位置关系. ③ 已知一个球的半径为3，求这个球的表面积． ④一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，求圆柱轴截面的面积． ⑤分别求出底面半径为1cm、高为3cm的圆柱和圆锥的表面积． 圆柱的任意两条母线相互平行；任意一条母线与底面垂直；两个底面平行 圆锥的任意两条母线相交；任意一条母线与底面相交 4=36 2×2×5=20 圆柱的表面积为8cm2；圆锥的表面积为(1+cm2。 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式可参考下表 圆柱 圆锥 圆台 侧面 展开 图 侧面 积 表面 积 说明 其中为圆柱、圆锥底面半径，，分别为圆台的上、下底面半径， 为母 线长,为圆柱、圆锥的底面周长，, 分别为圆台的上、下底面周长. 练习B ①一个圆锥的母线长为20，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的高． ②已知A,B都是球O对应的球面上的点，过A,B两点可以作几个大圆？ ③一条直线被一个半径为5的球截得的线段长为8，求球心到直线的距离． ④ 判断下列命题的真假. （1）球面上任意一点与球心的连线都是球的半径； （2）球面上任意两点连成的线段都是球的直径； （3）用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面 ⑤一个圆台的母线长为5，两底面直径分别为2和8，求圆台的高． 10 如果A，B，O共线，可以作无数个大圆；如果A，B，O不共线，只能作一个大圆 3 (1) 真命题； (2) 假命题；（任意两点不一定都是大圆上的点） (3) 真命题。 4 小结 1.圆柱、圆锥、圆台的有关概念 圆柱 圆锥 圆台 定义 圆柱可看成以矩形的一边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的几何体. 圆锥可看成以直角三角形一直角边所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的几何体. 圆台可看成以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的几何体. 旋转体 用类似圆柱、圆锥、圆台的形成方式构成的几何体都是旋转体. 轴 旋转轴称为旋转体的轴. 高 在轴上的边（或它的长度）称为旋转体的高. 底面 垂直于轴的边旋转而成的圆面称为旋转体的底面. 侧面 不垂直于轴的边旋转而成的曲面称为旋转体的侧面. 母线 无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都称为母线. 轴截面 在旋转体中，通过轴的平面所得到的截面通常简称为轴截面. 小结 圆柱 圆锥 圆台 图形表示 关系 圆柱 圆锥 圆台 1.圆柱、圆锥、圆台的有关概念 小结 2.圆柱、圆锥、圆台的特征性质#1.1.1 圆柱 圆锥 圆台 底面 两个相同的圆面，两圆 所在的平面互相平行. 圆面. 两个半径不等的圆面，两圆所在的平面互相平行. 平行于底 面的截面 与底面相同的圆面，且 与轴垂直. 圆面，且与轴垂直. 圆面，且与轴垂直. 过轴的截 面（简称轴截面） 有无数个，且都是全等 的矩形，一边长是底面 圆的直径，另一边长等 于母线长. 有无数个，且都是全 等的等腰三角形，腰 是母线，底边是底面 圆的直径. 有无数个，且都是全等 的等腰梯形，腰是母 线，上、下底边分别是 两底面圆的直径. 母线 有无数条，它们相互平 行且均等于高. 有无数条，相交于顶 点且等长. 有无数条，延长后相交 于一点，等长. 小结 3. 球的有关概念 球面 球面可以看成一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的 曲面.（球的表面） 球 球面围成的几何体，称为球.球也是一个旋转体.（由球面及其围成的 空间组成的几何体） 球心 形成球面的半圆的圆心称为球的球心. 球的半径 连接球面上一点和球心的线段称为球的半径. 球的直径 连接球面上两点且通过球心的线段称为球的直径. 球的大圆 球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆. 球的小圆 球面被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆. 球面距离 在球面上，两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点 间的一段劣弧的长度，把这个弧长称为两点的球面距离. 小结 球的表示：用表示球心的字母来表示球，如图11.1.5-1所示的球，可表示为球 . 球的截面的性质: （1）球的截面是圆面,不是圆. （2）球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面. （3）球心到截面 的距离与球的半径及截面圆的半径 之间满足关系式 ,如图11.1.5-2所示. 球的表面积：如果球的半径为，那么球的表面积为 ,即球的表面积等于它的大圆面积的4倍. 巩固提升 1.下列说法中错误的是(　　) A.棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形 B.用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥可得到圆台 C.直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥 D.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线不一定是圆柱的母线 由棱台的结构特征可知,A中说法正确; 由圆台的结构特征可知,B中说法正确; 直角三角形绕斜边所在直线旋转一周所形成的几何体是由两个同底圆锥组成的几何体,C中说法错误; 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,这两点的连线不一定是圆柱的母线,只有当这两点的连线平行于轴时才是母线,D中说法正确. C　 巩固提升 2.(多选题)下列命题中为真命题的是(　　) A.球的任意两个大圆所在平面的交线是球的直径 B.一个圆以其直径所在的直线为轴旋转一周所形成的曲面是球面 C.球面上四个不同的点一定不在同一平面内 D.球的两个平行截面的面积不可能相等 球的大圆所在平面都是球的过直径的截面,所以任意两个大圆所在平面的交线是球的直径,故A中命题为真命题;显然B中命题为真命题;球面上四个不同的点可能在同一平面内,例如:四个点都在球的一个大圆的圆周上,故C中命题为假命题;球的两个平行截面的面积可能相等,当且仅当球心到两个截面的距离相等时成立,故D中命题为假命题. AB 巩固提升 3.下列命题中正确的是( ) A.任意三角形绕其任意边上的高所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥 B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 D.通过圆台侧面上一点，有无数条母线 A错误，钝角三角形绕其两条较短边对应的高所在直线旋转一周所形成的 几何体都不是圆锥；B错误，只有当这两个平行截面与底面平行时，两个平行截面间 的几何体才是旋转体；D错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线. C 巩固提升 4.如图,在一密闭的圆柱形容器中装一半的水,水平放置时,水面的形状是(　　) A.圆　　　　B.矩形　　　　C.椭圆　　　　D.梯形 5.给出下列说法: (1)圆柱的底面是圆面; (2)经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形; (3)圆台的任意两条母线的延长线可能相交,也可能不相交; (4)夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体. 其中说法正确的是　　　　.(填序号)  (1)正确,圆柱的底面是圆面; (2)正确,如图所示,经过圆柱任意两条母线的截面是矩形; (3)不正确,圆台的任意两条母线延长后都交于一点; (4)不正确,夹在圆柱的两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体. (1)(2) B 巩固提升 6．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积是(　　) A．2π B． C．6π D．9π 7．圆台OO′的母线长为6，两底面半径分别为2，7，则圆台OO′的侧面积是(　　) A．54π B．8π C．4π D．16π 由题意，母线长l＝2，底面半径r＝1，所以侧面积S＝πrl＝π×2×1＝2π． A S圆台侧＝π(r＋r′)l＝π(7＋2)×6＝54π． A 巩固提升 8.如果三个球的半径之比为1∶2∶3,那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的(　　) A.1倍　　　　B.2倍　　　　C.倍　　　　D.倍 设最小球的半径为r,则另外两个球的半径分别为2r,3r, 所以各球的表面积分别为4πr2,16πr2,36πr2, 所以所求结果为=. C　 巩固提升 9.如图,圆锥OP的高h=1,侧面积S=23π,M,N是底面圆O上的两个动点,则△PMN面积的最大值为(　　) A.3　　　　B.2　　　　C.1　　　　D.12 B 设圆锥的母线长为l,底面圆O的半径为r,则 r2+h2=l2, 所以 r=, S=πrl=2π, l=2. 作出圆锥的轴截面,如图所示,则PC=PD=2,OC=OD=,∠CPD=120°,所以S△PMN=·PM·PN·sin∠MPN=2sin∠MPN,0°<∠MPN<120°,所以当∠MPN=90°时,△PMN的面积最大,为2. 巩固提升 10.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形,则它们的表面积之比为　　　　.  11.湖面上漂浮着一个球(水下部分不超过一半),湖水结冰后,将球取出,冰上留下一个直径为24 cm,深为8 cm的空穴,则球的半径为　　　　cm,球的表面积为　　　　cm2.  S圆柱=πa22×2+πa×a=32πa2, S圆锥=πa22+π×a2×a=34πa2, 所以S圆柱∶S圆锥=2∶1. 2∶1 13 676π 设球的半径为R cm. 由题意知,截面圆的半径r=12 cm,球心到截面的距离d=(R-8)cm. 由R2=r2+d2,得R2=144+(R-8)2,解得R=13, 故S球=4πR2=676πcm2. $