11.1.5 旋转体课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

11.1.5 旋转体 32999 1.了解圆柱、圆锥、圆台和球的有关概念.（重点） 2.理解圆柱、圆锥、圆台和球及其简单组合体的结构特征. 3.掌握圆柱、圆锥、圆台和球的相关性质,以及解决计算长度和面积问题.（难点） 学 习 目 标 32999 生活中有大量物体是旋转体，如图，分析这些图形由什么旋转而成. 一、旋转体 问 题 探 究 32999 1.旋转体的概念 用类似上述圆柱、圆锥、圆台的形成方式构成的几何体称为旋转体 知 识 梳 理 32999 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱． 一个矩形绕着一条边所在直线旋转一周，可得什么图形？ A A′ O 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面； 旋转轴叫做圆柱的轴； 无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线. 平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面； B B′ 侧面 轴 底面 母线 圆柱的表示：用表示它的轴的字母表示，如圆柱O'O. 圆柱O'O O′ 二、圆柱、圆锥、圆台 1.圆柱 知 识 梳 理 32999 2.圆锥 辨析：直角三角形绕其一边旋转一周所形成的几何体是否一定是圆锥? 不一定,当绕其直角边旋转时形成圆锥,当绕其斜边旋转时形成同底的两个圆锥. A 一个直角三角形绕着一条直角边所在直线旋转一周，可得什么图形？ B S O 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆锥． 轴 母线 底面 顶点 侧面 圆锥的表示：用表示它的轴的字母表示. 棱锥和圆锥统称锥体 知 识 梳 理 32999 3.圆台 轴 上底面 下底面 侧面 母线 O′ O 圆台OO′ 以直角梯形垂直于底面的腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆台. 圆台的表示法：用表示它的轴的字母表示，如圆台OO′ 棱台和圆台统称台体. 拓展：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分就是圆台 知 识 梳 理 32999 例1：下列命题中正确的有(　　) ①圆台的所有平行于底面的截面都是圆;②圆台是直角梯形绕其一边旋转一周而成的;③在圆台的上、下底面圆周上各取一点,则这两点的连线一定是圆台的母线;④圆台可看成是平行于底面的平面截圆锥得到的 A.1个　　 B.2个　　 C.3个　　 D.4个 解析：1.由圆台特点知①④正确;对于②,当这一边是梯形中的一条底边和斜腰时,形成的不是圆台;由圆台的母线延长后交于一点知③错.故B正确. 典 型 例 题 32999 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πr2＋2πrl 4.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图 圆柱的侧面展开图是矩形 2r 知 识 梳 理 32999 上底面积：πr'2 下底面积：πr2 底面积：πr2 圆锥的侧面展开图是扇形 圆台的侧面展开图是圆环的一部分 侧面积：S侧＝πrl 表面积：S＝πr2＋πrl 侧面积：S侧＝πlr+πlr' 表面积：S＝π（r2＋r'2+rl+r'l） 知 识 梳 理 32999 三、球 生活中有很多物品可以抽象成球面，如图所示.球面可以通过什么图形旋转得来？ 问 题 探 究 32999 1.球的定义与结构 O 半径 球心 直径 球O 一个半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面围成的旋转体叫做球体，简称球． 半圆的圆心叫做球的球心； 连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径； 连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径， 球用表示球心的字母表示（如图，可表示为球O）； 由球面的形成过程可看出，球面可以看成空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合. 知 识 梳 理 32999 2.球的截面性质： （1）用任意平面截球所得的截面是一个圆面，球心和截面圆圆心的连线与这个截面垂直. （3）若球的半径为R， r：截面圆的半径，d：球心到截面的距离，则 （球的半径、截面圆的半径和球心到截面的距离组成一个直角三角形） R2 = r2 + d2 （2）球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆，被不经过的球心的平面截得的圆称为球的小圆. 知 识 梳 理 32999 如图，用一个平面α去截半径为R的球O，截得的圆面的圆心为O′. 解析：（1）球心 O 与截面圆圆心 O′ 的连线必垂直于截面α . 因为OO'⊥α，所以在直角三角形OO'P中， O′P=. （2）当用任意平面去截球，还会有这种情况吗？ （1）OO′与平面α有什么位置关系？若OO′＝d，O′P的长等于多少？ （2）都有这种情况 问 题 探 究 32999 例2：把地球看成一个半径为6370 km的球，已知我国首都北京靠近北纬40°，求北纬40°纬线的长度.( π≈3.1416，cos 40°≈ 0.7660，结果精确到1 km) 解析：作出截面图，如图所示， 设A是北纬40°圈上的一点，AK是北纬40°圈的半径，O为球心， 所以OK⊥AK. 设北纬40°的纬线长为 c km，因为∠AOB=∠OAK=40°， 所以 即北纬40°的纬线长约为30658 km. 典 型 例 题 32999 经线：当我们把地球看成一个球时，经线就是球面上从北极到南极的半个大圆，经度取值区间为 [0°，180°]； 纬线：赤道是一个大圆，其余的纬线都是小圆，纬度取值区间为 [0°，90°]. 地球仪上的经纬线 知 识 梳 理 32999 长方体、正方体与球切、接的常用结论： ①长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则 ②正方体的棱长为a，则正方体的外接球的半径 ，正方体的内切球的半径为 ，球与正方体的各棱相切，则球的半径为 知 识 梳 理 32999 已知一个圆的半径为r，那么它的周长为 2r，它的面积为 r2. 类比圆的面积公式，说说如果球的半径为R，那么球的表面积与 R，R2 ，R3 中的哪一个成正比吗？ 球的表面积公式为 S球= 4R2，R 为半径. O R 球的表面积与 R2 成正比 问 题 探 究 32999 例3：已知一个长方体的8个顶点都在一个球面上，且长方体的棱长为3，4， 5，求球的表面积. 注意：确定满足到长方体的8个顶点都相等的点即为球心. 解析：由题设可知，长方体的体对角线的中点的就是球心， 又因为.所以所求的球的表面积为. 典 型 例 题 32999 课 堂 总 结 32999 $