11.1.6祖暅原理与几何体的体积课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

该高中数学课件聚焦祖暅原理及柱体、锥体、台体、球的体积公式，通过“摞书实验”导入，衔接小学长方体体积知识，构建从具体到抽象的学习支架，引导学生探究几何体体积求法。 其亮点在于融入祖暅原理历史背景，以直三棱柱分三棱锥等探究活动培养数学思维，结合铁制零件体积计算等实例发展数学眼光与应用意识。练习分层设计，助力学生巩固空间观念，教师可依托系统推导与实例提升教学效率。

第十一章 立体几何初步 11.1.6 祖暅原理与几何体的体积 《人教B版2019高中数学必修第四册》 探究新知 在小学时我们就已经学过，一个几何体所占空间的大小称为这个几何体的体积，长方体的体积、圆柱的体积都等于底面积乘以高.下面我们探讨其他几何体体积的求法. 早在南北朝时期，祖冲之与他的儿子祖暅就研究了几何体的体积，并在总结前人成果的基础上提出了如下的祖暅原理. 祖暅原理 幂(面积）势（高）既同，则积不容异. 这就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等，如图11-1-52所示． 棱柱与圆柱统称为柱体. 注意到柱体被平行于底面的平面所截时，得到的截面与底面全等，因此截面面积一定等于底面面积，从而由祖暅原理可知，等底面积、等高的两个柱体，体积相等. 又因为长方体的体积等于底面积乘以高，所以如果柱体的底面积为S，高为h，则柱体的体积计算公式为 棱锥与圆锥统称为锥体. 如图11-1-53所示，当锥体被平行于底面的平面所截时，得到的截面与底面相似，即ΔA′B′C′ΔABC，而且相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比，因此截面与底面的面积之比 =()2 一般地，如果锥体的底面积为S，高为h，则锥体的体积计算公式为 从而由祖暅原理可知，等底面积、等高的两个锥体、体积相等. 例1 如图11-1-55所示，在长方体ABCD−A′B′C′D′中，求棱锥D′−A′CD 的体积与长方体的体积之比. 解 已知的长方体可以看成直四棱柱ADD′A′−BCC′B′， 设它的底面ADD'A＇面积为S，高为h，则长方体的体积为 VADD′A′−BCC′B′=Sh 因为棱锥D′−A′CD可以看成棱锥C−A′DD′，且ΔA′DD′的面积为S，棱锥 C-A'DD＇的高是h，所以 VD′−A′CD=VC−A′DD′=×Sh=Sh 因此所求体积之比为1:6 棱台与圆台统称为台体. 因为台体可看成锥体截去一个小锥体得到，所以台体的体积可以通过计算锥体的体积之差来得到. 例2 已知四棱台上、下底面面积分别为S1,S2，而且高为h，求这个棱台的体积. 解 如图11-1-56所示，将四棱台看成从棱锥P-ABCD中截去棱锥P−A1B1C1D1所得到的，且设两个棱锥的高分别为PO与PO1 由已知有=再由PO−PO1=OO1=h，因此可得 PO1=h,PO=h. 从而可知棱台的体积为 V=×S2×PO−×S1×PO1=(S2+) 一般地，如果台体的上、下底面面积分别为S1,S2，高为h，则台体的体积计算公式为 一般地，如果球的半径为R，那么球的体积计算公式为 如下图所示，设半球的半径为R，截面半径为r，球心到截面的距离为l。取一个底面半径和高都等于R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，以下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体和半球放在同一个平面上。 半球中小圆截面面积S1=r2. 该平面截圆柱（已挖去圆锥）的截面面积 S2=R2-l2=(R2-l2)=r. 因此S1=S2，即平行于底面的平面截这两个几何体的截面面积相等。 根据祖暅原理，可知这两个几何体体积相等。所以 V球=R2·R -R2·R =R3 即V球=R3 例3 如图11-1-58所示，某铁制零件由一个正四棱柱和一个球组成，已知正四棱柱底面边长与球的直径均为1cm，正四棱柱的高为2cm．现有这种零件一盒共50kg，取铁的密度为7.8g/cm3π≈3.14. （1）估计有多少个这样的零件； （2）如果要给这盒零件的每个零件表面涂上一种特殊的材料，则需要能涂多少平方厘米的材料（球与棱柱接口处的面积不计，结果精确到1c㎡）？ 解（1）每个零件的体积为 1×1×2+()3=2+(cm3) 因此每个零件的质量为 (2+)×7.8=1.3(12+π)(g) 因此可估计出零件的个数为 ≈2541. （2）每个零件的表面积为 1×1×2+1×2×4+4π×()2 =10+π(cm2), 因此零件的表面积之和约为 2541×(10+π)≈33389(cm2) 即需要能涂33389c㎡的材料． 例3中的几何体，是由球和棱柱组合而成的，类似的几何体一般称为组合体.求组合体的体积（或表面积）时，只需要算出其中每个几何体的体积（或表面积），然后再处理即可. 练习A ①已知一个长方体的长、宽、高的比为4:2:1，它的体积为1000cm3，求这个长方体的长、宽、高. ②如果圆柱的底面半径不变，要使它的体积扩大到原来的5倍，那么需要把它的高扩大到原来的多少倍？如果圆柱的高不变，半径扩大到原来的多少倍才能使它的体积扩大到原来的5倍？ ③ 如图，将正四棱柱底面的边3等分，过3等分点用平行于侧棱的平面 截去4个三棱柱，得到一个八棱柱，求这个八棱柱与原四棱柱体积之比. ④在正方体ABCD-A'B'C'D＇中，三棱锥A′−BC′D的体积是正方体体积 的几分之几？ ⑤ 如果一个球的大圆的面积增加到原来的100倍，那么这个球的体积会怎样变化？ 长、宽、高分别为 20cm，10cm，5cm 高扩大到原来的 5 倍；半径扩大到原来的倍 7:9 增加到原来的 1000 倍 练习B ①已知长方体形的铜块长、宽、高分别是2,4,8，将它熔化后铸成一个正方体形的铜块（不计损耗），求铸成后的铜块的棱长. ② 已知正四棱锥底面边长为4cm，高与斜高的夹角为30°，求正四棱锥的表面积与体积. ③《九章算术》中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问积及为米几何.”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少．”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ) （A)14斛 （B)22斛 （C)36斛 （D)66斛 4 表面积为48cm2，体积为cm3。 B 练习B ④ 已知直三棱柱底面的一边长为2cm，另两边长都为3cm，侧棱长为4cm，求它的侧面积和体积. ⑤ 已知一个正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，而且这个正三棱锥的所有棱长都为2，求这个球的体积． ⑥如图所示，直角梯形ABCD分别以AB,BC,CD,DA所在直线为轴旋转，试说明所得几何体的形状. 侧面积为32cm2，体积为8cm3 以 AB 为轴旋转一周可以得到一个圆柱和圆锥的组合体； 以 BC 为轴旋转一周可以得到一个圆台，一底面挖出一个小圆锥，另一底面增加一个较大圆锥； 以 CD 为轴旋转一周可以得到一个圆柱，一底面挖去一个圆锥； 以 DA 为轴旋转一周可以得到一个圆台。 小结 祖暅原理的含义及应用 1.内容：幂势既同，则积不容异. 2.含义：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等. 3.应用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等. 4.柱、锥、台和球的表面积和体积 几何体　　 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 巩固提升 1.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为线段B1C上的一点,求三棱锥A-DED1的体积. 将求三棱锥A-DED1的体积转化为求三棱锥E-DD1A的体积. V三棱锥A-DED1=V三棱锥E-ADD1=××1×1×1= 【延伸探究】若本例题条件不变,求点A到平面A1BD的距离d. 在三棱锥A1-ABD中,AA1⊥平面ABD,AB=AD=AA1=1,A1B=BD=A1D=, 因为 V三棱锥A1-ABD=V三棱锥A-A1BD 所以 ××1×1×1= ××××d，所以d= 巩固提升 2.若一个球的直径为d，体积为V球，一个正方体的棱长为a，体积为V正，且它们的表面积相同，则有(　　) A.d＞a，V球＞V正 B.d＞a，V球＜V正 C.d＜a，V球＞V正 D.d＜a，V球＜V正 球直径为d，则表面积S＝πd2.正方体棱长为a，则表面积为6a2. 由πd2＝6a2，∴d2＞a2，即d＞a， 又V球＝π()3＝=a2·d，V正＝a3， ∴V球＞V正 A　 巩固提升 3.如图所示，在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中，过上底面的边A1B1作平行于CC1的平面A1B1EF，则这个平面分三棱台成两部分的体积之比为(　　) A.1∶2 B.2∶3 C.3∶4 D.4∶5 设棱台上底面面积为S，由上、下底面边的比为1∶2，可知下底面面积为4S. 设棱台的高为h， 则V台＝h(S＋＋4S)＝Sh. ∵棱柱A1B1C1－FEC的体积为V柱＝S·h， ∴＝＝. C 巩固提升 4.如图，有一个水平放置的无盖正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，若不计容器的厚度，则球的体积为(　　) A. B. C. D. 设球的半径为R cm，根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm，球心到截面圆的距离为(R－2)cm，所以由42＋(R－2)2＝R2，得R＝5， 所以球的体积为V＝πR3＝π·53＝(cm3). A 巩固提升 5.若正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5∶2∶8，体积为14 cm3，则棱台的高度为________cm. 由题意设正四棱台的斜高与上、下底面边长分别为5x，2x，8x， 则高h＝＝4x. 由棱台的体积公式，得×4x·(4x2＋16x2＋64x2)＝14， 解得x＝，故h＝2(cm). 2 巩固提升 6.现有一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态).将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面所在的平面EE1F1F与各棱的交点分别为其所在棱的中点，则图甲中水面的高度为________. 设正三棱柱的底面积为S. ∵E，F，F1，E1分别为其所在棱的中点， ∴＝，即S△AFE＝S， ∴S四边形BCFE＝S， ∴VBCFE－B1C1F1E1＝S×3＝S， ∴图甲中水面的高度为. 巩固提升 7.如图，半球内有一内接正四棱锥S−ABCD，该四棱锥的体积为423，则该半球的体积为（    ） A．π B．π C．π D．π 依题意，设半球的半径为R， 连接AC,BD交于点O，连接SO，如图所示： 则有AO=BO=SO=R，易得AB=R， 所以正四棱锥S−ABCD的体积为： VS−ABCD=×|AB|2×SO=×2R2×R=， 解得：R=2，所以半球的体积为：V=××πR3=π. C 巩固提升 8.早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球的体积时，就创造性的提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异”.如图，已知两个体积分别为V1，V2的几何体夹在两个平行平面之间，任意一个平行于这两个平面的平面截这两个几何体，截得的截面面积分别为S1，S2，则“V1=V2”是“S1=S2”的（     ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 根据祖暅原理可知，当S1=S2时，一定有V1=V2成立， 反之，当V1=V2成立时，不一定有S1=S2成立， 比如两个完全相同的三棱锥，正置和倒置时，S1，S2不一定相等， 故“V1=V2”是“S1=S2”的必要不充分条件. B 巩固提升 9.我国南北朝时期的数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”“势”即是高，“幂”即是面积，意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面面积相等，那么这两个几何体的体积相等.如图所示，扇形的半径为，圆心角为，若扇形绕直线旋转一周，图中阴影部分旋转后所得几何体与某不规则几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（       ） A. B.2 C. D. 因为扇形AOB绕直线OB旋转一周，图中阴影部分旋转后所得几何体是半球去掉一个圆锥体剩余部分，球的半径为2，圆锥的底面半径和高均为2， 则该几何体的体积为V=××23-×22×2= C $