精品解析：2026年广东省茂名市中考二模数学试题

2025—2026学年度第二学期质量监测（二） 初三数学试卷 满分120分，答题时间为120分钟 注意事项：请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家．如果规定收入为正，那么支出为负，收入元记作元，支出元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 2026年春节假期，茂名市共接待游客约3500000人次．数据3500000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 某校学生诗词争霸赛中，7位评委对其中一位选手的打分为：96，92，96，94，95，88，96．这组数据的众数是（ ） A. 92 B. 94 C. 95 D. 96 4. 2025年9月3日，东风液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式．如图为东风洲际导弹的部分图片及其示意图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都不相同 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在“溯源经典，致敬先贤”数学文化节中，小明从我国古代5位著名数学家：祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶中，随机选取一位介绍其生平事迹，赵爽被选中的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 2026年4月，北京举办了全球首场大规模人形机器人半程马拉松赛事．机器人“闪电”完成比赛，最终用时50分26秒，打破了人类男子半程马拉松世界纪录．已知机器人初始速度为，经过两次速度调整后，速度提升至．设这两次调整中，速度的平均增长率为．根据题意列出方程，正确的是（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 一把大遮阳伞，伞面撑开时可近似地看成是圆锥形，如图，它的母线长是2.5米，底面半径为2米，则做成这把遮阳伞需要布料的面积是（　　）平方米（接缝不计）． A. π B. 5π C. 4π D. 3π 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴、轴的正半轴上，顶点在反比例函数的图象上，是矩形内的一点，连接，若图中阴影部分的面积为10，则为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：_____． 12. 设是关于的方程的一个根，则a的值为___________． 13. 如图，正六边形常被用于古建筑窗棂图案，其在中国传统文化中有重要意义，“六合”代表天地四方，象征吉祥如意．正六边形的每个内角是__________度． 14. 在平面直角坐标系中，与是位似图形，以原点O为位似中心，若，点B的坐标为，则点B的对应点D的坐标为__________． 15. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以为直径的圆经过点C，D，则的值为__________． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 先化简：，再从的范围中选择一个合适的整数代入求值． 18. 2025年2月，广东省教育厅发布《关于保障中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时的通知》，促进青少年健康成长是实施“健康中国”战略的重要内容．为了解某区8500名学生感兴趣的运动项目情况，调研组在某校随机抽取了50名学生进行调查，调查情况如图． （1）以上调查是采取哪种调查方式__________（填写序号）． ①普查 ②抽样调查 （2）【数据收集与整理】 根据扇形统计图，足球所对应的圆心角度数为__________度，估计该区对篮球感兴趣的学生的总人数为__________； （3）学校计划选拔一人参加投篮比赛．现对甲、乙两名学生开展投篮测试：两人各完成5组投篮，每组投篮10次，分别记录两人每组的投中个数，具体数据如表． 甲：10，5，6，9，5；乙：7，8，7，6，7． 学生 甲 乙 平均数 7 中位数 6 方差 4.4 0.4 ①根据表格信息可得__________，__________； ②以上两名学生你认为选择哪一名更合适？请选取至少两个统计量说明理由． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 2026年，广东省第十七届运动会将在茂名市举办，运动会吉祥物的名字叫“荔荔”．为助力传递省运热情与宣传茂名本土文化，某商家近日购进了一批“荔荔”玩偶和“好心茂名”徽章进行销售． 信息一：每个“好心茂名”徽章的进价比每个“荔荔”玩偶的进价贵15元．该商店用600元购进“荔荔”玩偶的数量，与用750元购进“好心茂名”徽章的数量相同． 信息二：该商店计划购进“荔荔”和“好心茂名”徽章共180个，总进价费用不超过12000元，每个“荔荔”玩偶售价为65元，每个“好心茂名”徽章售价为85元，全部售完． 问题： （1）求每个“荔荔”玩偶和“好心茂名”徽章的进价各是多少元． （2）设该商店购进“荔荔”玩偶个，总获利为元．写出与的函数关系式； （3）在进货数量符合要求的条件下，求的最大值． 20. 综合与实践：在老师的指导下，同学们利用课余时间进行测量活动． 【活动主题】篮球架的结构； 【测量工具】皮尺、测角仪、计算器等； 篮球架（如实物图所示）的结构示意图如下：立柱垂直地面，横梁平行地面，篮筐与横梁在同一直线上，点B、C、D在同一条垂直于地面的直线上． 【测绘过程与数据信息】 ①用测角仪在处测得后拉杆与水平面的夹角，在处测得伸臂与水平面的夹角； ②用皮尺测得后拉杆的长为，伸臂的长为，底部箱体的高度（）为； ③用计算器计算得到：，，，，，． 【解决问题】请根据提供的信息，解决下列问题（结果精确到） （1）求立柱的高度； （2）已知小强站立时手臂向上伸直，指尖距地面高度为2.5米，若他想摸到篮筐（），则他至少需要跳起多高？ 21. 操作与推理 （1）如图，已知及其外接圆，利用圆规和无刻度直尺，作的角平分线交弧于点（保留作图痕迹，标明字母，不用写出作法和理由）． （2）在（1）的条件下，交于点，若，，连接，求的长． 五、解答题（三）（本大题2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 【背景介绍】某公园准备在一个圆形水池内建一个“音乐喷泉”，圆形水池中心点设为点，其正上方米处安装一个音乐喷泉的喷头（如图）．在忽略空气阻力的情况下，假设喷头喷出的水流运动轨迹呈抛物线型，且水流始终在同一竖直平面内． 【数学建模】以水池中心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系（轴在水面水平方向，轴竖直向上），其中为喷泉的喷头位置．在某一固定音乐节奏下，测得喷出的水流到达最高点时的坐标为，随后水流落回水面上的点． （1）【建立模型】求该抛物线的函数表达式； （2）【数据计算】求音乐喷泉水洒落的半径的长（结果保留根号）； （3）【优化设计】公园设计师认为，当水流落点距离中心恰好为5米时，视觉效果最好．在不改变抛物线形状和对称轴情况下，为达到设计师的要求，要把喷泉喷头升高多少米？ 23. 【问题情境】 两张透明的菱形纸片，按如图1的方式摆放，点与点重合，点，分别落在边，上，对角线和重合，点是对角线的中点，，，，． 【操作探究】 （1）如图2将菱形纸片沿着的方向平移至点与点重合，此时，与相交于点，与相交于点． ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②请直接写出四边形的面积． 【拓展提升】 （2）在（1）的情况下，将菱形纸片绕点逆时针旋转（旋转角小于），和分别与相交于点、． ①如图3，当点落在线段的延长线上时，求的长； ②如图4，当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期质量监测（二） 初三数学试卷 满分120分，答题时间为120分钟 注意事项：请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家．如果规定收入为正，那么支出为负，收入元记作元，支出元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正负数表示相反意义的量，根据题目规定的正负对应关系即可求解． 【详解】解：∵规定收入为正，支出为负， ∴支出元记作元， 故选：B． 2. 2026年春节假期，茂名市共接待游客约3500000人次．数据3500000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，要求满足，为整数，的绝对值等于原数变为时小数点移动的位数． 【详解】解：． 3. 某校学生诗词争霸赛中，7位评委对其中一位选手的打分为：96，92，96，94，95，88，96．这组数据的众数是（ ） A. 92 B. 94 C. 95 D. 96 【答案】D 【解析】 【分析】按照众数定义统计各数据出现次数，找到出现次数最多的数据即可得到结果． 【详解】解：∵88，92，94，95各出现1次，96出现3次， ∴96是这组数据中出现次数最多的数，即这组数据的众数是96． 4. 2025年9月3日，东风液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式．如图为东风洲际导弹的部分图片及其示意图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都不相同 【答案】A 【解析】 【分析】根据立体图形的三视图进行判断即可． 【详解】解：东风洲际导弹的三视图为： 所以主视图与俯视图相同． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，完全平方公式，合并同类项和单项式除以单项式的法则进行计算即可. 【详解】解：A、，原计算错误； B、，原计算错误； C、，正确； D、，原计算错误. 6. 在“溯源经典，致敬先贤”数学文化节中，小明从我国古代5位著名数学家：祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶中，随机选取一位介绍其生平事迹，赵爽被选中的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率公式：概率等于所求事件的结果数除以所有等可能结果的总数即可计算． 【详解】解：∵从5位数学家中随机选取一位，所有等可能的结果共有5种， 其中赵爽被选中的结果只有1种， ∴赵爽被选中的概率为． 7. 2026年4月，北京举办了全球首场大规模人形机器人半程马拉松赛事．机器人“闪电”完成比赛，最终用时50分26秒，打破了人类男子半程马拉松世界纪录．已知机器人初始速度为，经过两次速度调整后，速度提升至．设这两次调整中，速度的平均增长率为．根据题意列出方程，正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均增长率的增长规律求出第二次调整后的速度，根据调整后最终速度为即可列出正确方程． 【详解】解：∵初始速度为，两次调整的平均增长率为， ∴第一次调整后速度为 ， 第二次调整是在第一次调整后的速度基础上再次增长， 因此第二次调整后速度为， 又∵调整后最终速度为， ∴可列方程 ． 8. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是旋转变换的性质、等腰三角形的性质．根据旋转的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，求得 【详解】解：由旋转的性质可知，，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 9. 一把大遮阳伞，伞面撑开时可近似地看成是圆锥形，如图，它的母线长是2.5米，底面半径为2米，则做成这把遮阳伞需要布料的面积是（　　）平方米（接缝不计）． A. π B. 5π C. 4π D. 3π 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面展开图是扇形可知，求得圆锥的底面周长就是圆锥的弧长，利用扇形面积的计算方法即可求得圆锥的侧面积． 【详解】圆锥的底面周长=2πr=2π×2=4π， ∵圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长， ∴圆锥的侧面积=lr=×4π×2.5=5π， 故选B． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积的计算，解题的关键是正确的理解圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长． 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴、轴的正半轴上，顶点在反比例函数的图象上，是矩形内的一点，连接，若图中阴影部分的面积为10，则为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】先设出点的坐标，利用矩形面积与反比例函数的几何意义建立联系，再根据阴影部分面积与矩形面积的关系，推导出的值． 【详解】解：设点的坐标为， ∵点在反比例函数上， ∴， 由题意可得矩形的面积为，阴影部分面积为矩形面积的一半， ∴， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：_____． 【答案】a(b-1) 【解析】 【分析】提公因式a即可． 【详解】解：． 故答案为． 【点睛】本题考查了提取公因式法因式分解，解题关键是求出多项式里各项的公因式，提公因式． 12. 设是关于的方程的一个根，则a的值为___________． 【答案】 14 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，根据方程根的意义，将代入方程求解a． 【详解】解：将代入方程，得，即，整理得，解得． 故答案为：14． 13. 如图，正六边形常被用于古建筑窗棂图案，其在中国传统文化中有重要意义，“六合”代表天地四方，象征吉祥如意．正六边形的每个内角是__________度． 【答案】 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式求出正六边形的内角和，再根据正多边形各内角相等，除以边数即可求解． 【详解】解：正六边形的边数， 根据多边形内角和公式，得正六边形的内角和为， 因为正六边形的个内角相等， 所以每个内角的度数为． 14. 在平面直角坐标系中，与是位似图形，以原点O为位似中心，若，点B的坐标为，则点B的对应点D的坐标为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了位似变换的性质，根据位似变换的性质，以原点为位似中心，位似比为k，则对应点坐标的比等于k或．由得位似比为3或，从而求解． 【详解】解：∵， ∴与的位似比为 3或， ∵点B的坐标为， ∴点D的坐标为或，即或． 故答案为： 或． 15. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以为直径的圆经过点C，D，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，解直角三角形，根据圆周角定理得到，再根据正弦的定义计算即可． 【详解】解：连接，， 由图可得：，，， ∵为直径， ∴， 在中，， 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 17. 先化简：，再从的范围中选择一个合适的整数代入求值． 【答案】，当时， 【解析】 【分析】先计算小括号内的减法，再计算除法，然后确定符合条件的的值再代入计算即可． 【详解】解： ， ∵，，， ∴且且， 又∵， ∴当时，原式． 18. 2025年2月，广东省教育厅发布《关于保障中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时的通知》，促进青少年健康成长是实施“健康中国”战略的重要内容．为了解某区8500名学生感兴趣的运动项目情况，调研组在某校随机抽取了50名学生进行调查，调查情况如图． （1）以上调查是采取哪种调查方式__________（填写序号）． ①普查 ②抽样调查 （2）【数据收集与整理】 根据扇形统计图，足球所对应的圆心角度数为__________度，估计该区对篮球感兴趣的学生的总人数为__________； （3）学校计划选拔一人参加投篮比赛．现对甲、乙两名学生开展投篮测试：两人各完成5组投篮，每组投篮10次，分别记录两人每组的投中个数，具体数据如表． 甲：10，5，6，9，5；乙：7，8，7，6，7． 学生 甲 乙 平均数 7 中位数 6 方差 4.4 0.4 ①根据表格信息可得__________，__________； ②以上两名学生你认为选择哪一名更合适？请选取至少两个统计量说明理由． 【答案】（1）② （2）72，3060 （3）①7，7；②乙更合适，甲乙两人的平均数一样，乙的中位数高于甲，方差小于甲，故选乙更合适． 【解析】 【分析】（1）根据普查和抽样调查的定义解答即可； （2）先算出足球所占的百分比，再乘即可得出足球所对应的圆心角的度数；用总人数乘篮球所占的百分比即可； （3）①根据平均数、中位数的计算方法求解即可；②根据中位数、平均数和方差进行决策即可． 【小问1详解】 解：为了解某区8500名学生感兴趣的运动项目情况，调研组在某校随机抽取了50名学生进行调查，属于抽样调查． 【小问2详解】 解：足球所占的百分比为： ， 足球所对应的圆心角度数为：． 该区对篮球感兴趣的学生的总人数为： （人）． 【小问3详解】 解：①甲的平均数为： ； 将乙的投中个数从小到大排列：6，7，7，7，8， 处于中间位置的数据是7，故乙的中位数是7； ∴，． ②乙更合适，甲乙两人的平均数一样，乙的中位数高于甲，方差小于甲，故选乙更合适． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 2026年，广东省第十七届运动会将在茂名市举办，运动会吉祥物的名字叫“荔荔”．为助力传递省运热情与宣传茂名本土文化，某商家近日购进了一批“荔荔”玩偶和“好心茂名”徽章进行销售． 信息一：每个“好心茂名”徽章的进价比每个“荔荔”玩偶的进价贵15元．该商店用600元购进“荔荔”玩偶的数量，与用750元购进“好心茂名”徽章的数量相同． 信息二：该商店计划购进“荔荔”和“好心茂名”徽章共180个，总进价费用不超过12000元，每个“荔荔”玩偶售价为65元，每个“好心茂名”徽章售价为85元，全部售完． 问题： （1）求每个“荔荔”玩偶和“好心茂名”徽章的进价各是多少元． （2）设该商店购进“荔荔”玩偶个，总获利为元．写出与的函数关系式； （3）在进货数量符合要求的条件下，求的最大值． 【答案】（1）每个“荔荔”玩偶的进价为60元，每个“好心茂名”徽章的进价为75元 （2） （3）的最大值为1300元 【解析】 【分析】（1）设每个“荔荔”玩偶的进价是元，则每个“好心茂名”徽章的进价是元，根据题意列出分式方程并求解，即可获得答案； （2）设购进“荔荔”玩偶a个，则购进“好心茂名”徽章个，结合（1）可知每个“荔荔”玩偶的利润为5元，每个“好心茂名”徽章的利润为10元，然后列出与的函数关系式即可； （3）首先根据题意确定的取值范围，然后结合一次函数的性质，即可获得答案． 【小问1详解】 解：设每个“荔荔”玩偶的进价是元，则每个“好心茂名”徽章的进价是元， 根据题意，可得， 解得（元），经检验，是该分式方程的解， ∴（元）， 答：每个“荔荔”玩偶的进价为60元，每个“好心茂名”徽章的进价为75元； 【小问2详解】 设购进“荔荔”玩偶a个，则购进“好心茂名”徽章个， 每个“荔荔”玩偶的利润为（元）， 每个“好心茂名”徽章的利润为（元）， 总利润，化简得 ； 【小问3详解】 根据总进价费用不超过12000元，得 ， 解得， 又∵a为非负整数，且， ∴ ，且a为整数， 由 ， ∵， ∴w随a的增大而减小， ∵ ，且a为整数， ∴当时，w取得最大值， 将代入，得 （元）， 答：w的最大值为1300元． 20. 综合与实践：在老师的指导下，同学们利用课余时间进行测量活动． 【活动主题】篮球架的结构； 【测量工具】皮尺、测角仪、计算器等； 篮球架（如实物图所示）的结构示意图如下：立柱垂直地面，横梁平行地面，篮筐与横梁在同一直线上，点B、C、D在同一条垂直于地面的直线上． 【测绘过程与数据信息】 ①用测角仪在处测得后拉杆与水平面的夹角，在处测得伸臂与水平面的夹角； ②用皮尺测得后拉杆的长为，伸臂的长为，底部箱体的高度（）为； ③用计算器计算得到：，，，，，． 【解决问题】请根据提供的信息，解决下列问题（结果精确到） （1）求立柱的高度； （2）已知小强站立时手臂向上伸直，指尖距地面高度为2.5米，若他想摸到篮筐（），则他至少需要跳起多高？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据三角函数计算即可； （2）过作交于点K，根据三角函数求出，可知篮筐距离地面的高度，即可求出至少需要跳起的高度． 【小问1详解】 解：由题意，， ∴， ∵，， ∴； 【小问2详解】 解：过作交于点K， 则， ∵，． ∴， ∵在水平横梁上， ∴篮筐距离地面的高度为：， ∵小强站立指尖高， ∴至少需要跳起的高度：． 21. 操作与推理 （1）如图，已知及其外接圆，利用圆规和无刻度直尺，作的角平分线交弧于点（保留作图痕迹，标明字母，不用写出作法和理由）． （2）在（1）的条件下，交于点，若，，连接，求的长． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）证明 ，列出比例式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴ . 五、解答题（三）（本大题2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 【背景介绍】某公园准备在一个圆形水池内建一个“音乐喷泉”，圆形水池中心点设为点，其正上方米处安装一个音乐喷泉的喷头（如图）．在忽略空气阻力的情况下，假设喷头喷出的水流运动轨迹呈抛物线型，且水流始终在同一竖直平面内． 【数学建模】以水池中心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系（轴在水面水平方向，轴竖直向上），其中为喷泉的喷头位置．在某一固定音乐节奏下，测得喷出的水流到达最高点时的坐标为，随后水流落回水面上的点． （1）【建立模型】求该抛物线的函数表达式； （2）【数据计算】求音乐喷泉水洒落的半径的长（结果保留根号）； （3）【优化设计】公园设计师认为，当水流落点距离中心恰好为5米时，视觉效果最好．在不改变抛物线形状和对称轴情况下，为达到设计师的要求，要把喷泉喷头升高多少米？ 【答案】（1） （2）米 （3）要把喷泉喷头升高2米． 【解析】 【分析】（1）理解题意，先设该抛物线的函数表达式为，再运用待定系数法求出解析式，即可作答． （2）理解题意，把代入计算，再结合在轴的正半轴，故半径的长为米． （3）理解题意，设要把喷泉喷头升高米，得出升高后的抛物线的解析式为 ，把整理得出的代入 计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，， ∵最高点时的坐标为， ∴设该抛物线的函数表达式为， 把代入，得 解得， ∴ 【小问2详解】 解：由（1）得， 依题意，把代入， 得 整理得 解得， ∵在轴的正半轴， ∴． ∴半径的长为米． 【小问3详解】 解：由（1）得 ， 设要把喷泉喷头升高米， 依题意，升高后的抛物线的解析式为 ∵水流落点距离中心恰好为5米， ∴ 把代入 ， 得 整理得 解得 ∴要把喷泉喷头升高2米． 23. 【问题情境】 两张透明的菱形纸片，按如图1的方式摆放，点与点重合，点，分别落在边，上，对角线和重合，点是对角线的中点，，，，． 【操作探究】 （1）如图2将菱形纸片沿着的方向平移至点与点重合，此时，与相交于点，与相交于点． ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②请直接写出四边形的面积． 【拓展提升】 （2）在（1）的情况下，将菱形纸片绕点逆时针旋转（旋转角小于），和分别与相交于点、． ①如图3，当点落在线段的延长线上时，求的长； ②如图4，当时，求的长． 【答案】（1）①四边形是菱形， 理由：四边形和四边形是菱形， ，， ，， 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， 四边形是菱形． ② （2）①② 【解析】 【分析】（1）先由菱形对边平行，证出四边形是平行四边形，再通过证明 推出，从而判定菱形； ②先运用勾股定理求出的长度，再运用菱形的性质证明，结合相似三角形的面积比等于对应边的比的平方，即可作答． （2）①连接并作，可证，设表示出、，在 中用勾股定理列方程，解出； ②由 算出长度，再结合菱形的边长及其对角线垂直求出，由推出，可证，然后用相似比求出． 【小问1详解】 解：①略； ②连接，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， 则 ∴菱形的面积为， ∴， 由①得四边形是菱形． ∴， 菱形的面积 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴菱形的面积． 【小问2详解】 ①解：连接，过点作， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ，， ， 设，则， ， ，， 在中，， ， ， 解得，（舍去）， 故． ②解：由（1）的图知， ∴， ∵ ， ∴ ， 如图4： ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵四边形是菱形，且是的中点， ∴， 即三点共线， ∵与相交于点， 即与相交于点， ∴此时点与点重合， ∵四边形是菱形，四边形 是菱形， ∴，， ∵， ∴ ∴ ， ∴ ， ∵，，， ， ， ， 即， ， ，， ， ，， ， ， 据①可知， ， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $