精品解析：2025年广东省茂名市茂南部分学校九年级综合模拟测试（二）数学试题

2024-2025学年度初三级第二次综合模拟测试 数学科试卷 总分120分，考试时间120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 7的算术平方根是（ ） A. B. 7 C. D. 2. 如图表示了小明家和少年宫的位置关系，下面描述中最准确的是（ ） A. 少年宫在小明家北偏东方向，处 B. 少年宫在小明家东偏北方向，处 C. 小明家在少年宫北偏东方向，处 D. 小明家少年宫南偏西方向，处 3. 下列图形是平面图形是（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员各进行20次射击测试，他们的测试平均成绩相同，方差分别是，，，，则这四名射击运动员中成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知一个函数的图象经过点，则该函数的表达式不可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，点从点出发，沿着折线以每秒个单位长度的速度匀速运动，设的面积为，点的运动时间为，则在点的运动过程中，关于的函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 数学知识广泛应用于化学领域，是研究化学的重要工具．比如在学习醇类化学式时，甲醇化学式为，乙醇化学式为，丙醇化学式为 ，按此规律，当碳原子的数目为（为正整数）时，醇类的化学式通式是（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，过点的切线与的延长线相交于点，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 抖空竹这个运动项目被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．年月日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．我们可以从如图运动员某一时刻的姿势中抽象出如图的数学问题：，若测得，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 比较大小：3_________．（填“ < ”“ > ”或“=”） 12. 方程的解为___________． 13. 计算：___． 14. 如图所示，两平面镜α，β的夹角为θ，入射光线AO平行于β，入射到α，经过两次反射后的反射光线O′B平行α，则∠θ的度数为___度． 15. 如图，在中，，，，点为的中点，以为圆心，为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积是_____． 三、解答题：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得_______； （2）解不等式②，得_______； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为_______． 17. 如图1表示同一时刻的韩国首尔时间和北京时间，两地时差为整数． （1）设北京时间为x（时），首尔时间为y（时），就，求关于的函数表达式，并填写下表（同一时刻的两地时间）． 北京时间 7：30 _____ 2：50 首尔时间 ______ 12：15 ____ （2）如图2表示同一时刻的英国伦敦时间（夏时制）和北京时间，两地时差为整数．如果现在伦敦（夏时制）时间为7：30，那么此时韩国首尔时间是多少？ 18. 如图，平行四边形中，点上． （1）请用无刻度的直尺和圆规作于点．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，连接，求证：四边形是矩形． 四、解答题：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. “粮食安全是国家安全的重要基础”，阅读以下信息回答问题2020~2024年全国粮食总产量统计图 （1）2020~2024年全国粮食总产量的发展趋势是______．（填“上升”或“下降”） （2）某校为了了解学生珍惜粮食的情况，开展了“你平时是否会节约粮食？”的调查活动，并随机抽取了部分学生进行匿名问卷调查，将调查结果分成四组（A．总是会；B．经常会；C．偶尔会；D．一定不会），数据整理后，绘制了如下两幅不完整的统计图： ①本次调查的学生共______人；“C”所对应的扇形圆心角的度数为______度； ②补全条形统计图； ③如果该校学生共有1800人，请估计该校“平时会节约粮食（包含A，B两组）”学生人数． （3）通过调查后，学校开展了“珍惜每一粒粮食”演讲比赛，10名参赛选手的成绩（单位：分）分别是：85，85，81，87，95，88，90，95，99，95，则该10名选手成绩的平均数是______，中位数是______． 20. 一次函数的图象与的图象交于点，且点的横坐标为，与轴、轴分别交于点、点． （1）求的值与的长； （2）若点为线段上一点，且，求点的坐标． 21. 阅读与思考 阅读下列材料完成后面任务． 仅利用折纸将线段三等分 我们已经学过线段的中点、三等分点、四等分点等概念，并且可以利用三角函数等方法求出线段的三等分点，下面介绍一种新的方法可以利用其将线段三等分—折纸法． 具体步骤如下． 第一步：如图1，准备一张长为，宽为的矩形纸片． 第二步：如图2，将矩形纸片折叠，使得点B的对应点F落在边上，展开后得到折痕． 第三步：如图3，再将该矩形纸片沿过点C的直线折叠，使得点D的对应点H落在上，展开后得到折痕． 第四步：如图4，再将矩形纸片折叠，使得点G落在边上的点M处，展开后得到折痕，则M为的三等分点，即． 下面是该结论的部分证明过程： 证明：由折叠的性质，得．，根据勾股定理，可得． 设，，… 任务： （1）请再仔细阅读上面的操作步骤，完成材料中剩余的证明过程． （2）在解决问题的过程中，我们通过计算的长，从而得到结论，这里运用的数学思想方法是 .（填序号即可） ①函数思想；②公理化思想；③数形结合思想；④分类讨论思想． （3）如图5，在图4的基础上，将矩形纸片沿着折痕折叠后，点C恰好落在上的点Q处，连接，判断四边形的形状，并加以证明． 五、解答题：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 综合与实践：小刚结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处（标注出点B的位置），入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水；（直线为法线，为入射光线，为折射光线，交于点G，且．） 第三步：在的延长线取一点P，在P处发出一束光线，移动点P的位置，使得入射光线，折射光线恰好经过点B． 【测量数据】如图，点A，B，C，D，E，F，O，M，N，G，P，Q在同一平面内，测得，，，，折射角． 【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求的度数． （2）求点B，D之间的距离．（结果精确到） （3）求的长．（结果精确到） （参考数据：，，，，，） 23. 如图①、②，在平面直角坐标系中，一边长为2等边三角板CDE恰好与坐标系中的△OAB重合，现将三角板CDE绕边AB的中点G（G点也是DE的中点），按顺时针方向旋转180°到△C′ED的位置． （1）直接写出C′的坐标，并求经过O、A、C′ 三点的抛物线的解析式； （2）点P在第四象限的抛物线上，求△C′OP的最大面积； （3）如图③，⊙G是以AB为直径的圆，过B点作⊙G的切线与x轴相交于点F，抛物线上是否存在一点M，使得△BOF与△AOM相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度初三级第二次综合模拟测试 数学科试卷 总分120分，考试时间120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 7的算术平方根是（ ） A. B. 7 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求算术平方根，根据算术平方根的计算方法计算即可得解，熟练掌握算术平方根的计算方法是解此题的关键． 【详解】解：7的算术平方根是， 故选：D． 2. 如图表示了小明家和少年宫的位置关系，下面描述中最准确的是（ ） A. 少年宫在小明家北偏东方向，处 B. 少年宫在小明家东偏北方向，处 C. 小明家在少年宫北偏东方向，处 D. 小明家在少年宫南偏西方向，处 【答案】D 【解析】 【分析】根据用方位角确定位置来判断即可． 【详解】解：由图可知少年宫在小明家北偏东方向（或东偏北方向），因此A、B选项不符合题意，小明家在少年宫南偏西方向，距离，因此C选项不符合题意，D选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查用方位角确定位置，确定位置需要两个数据：方向、距离，这是解决本题的关键． 3. 下列图形是平面图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面图形和立体图形，如果一个图形是由几个不同的面围成的，那么这个图形是立体图形；如果一个图形可以放在一个平面内，那么这个图形是平面图形，据此判断即可求解，掌握平面图形和立体图形的定义是解题的关键． 【详解】解：、是立体图形，不合题意； 、是立体图形，不合题意； 、是立体图形，不合题意； 、是平面图形，符合题意； 故选：． 4. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员各进行20次射击测试，他们的测试平均成绩相同，方差分别是，，，，则这四名射击运动员中成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．根据方差的意义即可得出结论． 详解】解：，，，，且， 丁的方差最小， 成绩最稳定的是丁． 故选：D． 5. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值． 将代入关于的一元二次方程，得到，解方程即可． 【详解】解根据题意，将代入， ， ， 故选：A． 6. 已知一个函数图象经过点，则该函数的表达式不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数图象上的点的坐标，如果函数图象经过点，那么这个点的坐标一定使函数的解析式成立．把点的坐标代入函数表达式中，如果表达式成立，则函数的图象经过这个点，否则不经过这个点． 【详解】解：A选项：当时，，的图象经过点，故A选项不符合题意； B选项：当时，，的图象经过点，故B选项不符合题意； C选项：当时，，的图象经过点，故C选项不符合题意； D选项：当时，，的图象不经过点，故D选项不符合题意． 故选：D． 7. 如图，在矩形中，点从点出发，沿着折线以每秒个单位长度的速度匀速运动，设的面积为，点的运动时间为，则在点的运动过程中，关于的函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查几何图形面积与函数图象的结合，理解几何图形面积的变化情况，掌握函数图象的增减性是解题的关键． 根据题意，分类讨论：当点位于边上时；当点位于边上时；当点位于上时；根据几何图形面积的变化情况确定函数图形的增减性即可求解． 【详解】解：由题意得，当点位于边上时，的面积随着点的运动匀速增加； 当点位于边上时，的高保持不变， ∴的值保持不变； 当点位于上时，的面积随着点的运动匀速减小， 故选：B． 8. 数学知识广泛应用于化学领域，是研究化学的重要工具．比如在学习醇类化学式时，甲醇化学式为，乙醇化学式为，丙醇化学式为 ，按此规律，当碳原子的数目为（为正整数）时，醇类的化学式通式是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了规律型中的数字的变化类，确定碳原子的变化找出氢原子的变化规律是解题的关键． 设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为，列出部分的值，根据数值的变化找出变化规律“”依次规律即可解答． 【详解】解：设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为， 观察发现规律：，，，…， ∴． ∴碳原子的数目为n（n为正整数）时，它的化学式为． 故选B． 9. 如图，是的直径，过点的切线与的延长线相交于点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，三角形内角和定理，先求出，再根据切线的性质得，再根据三解形内角和定理得，得，即可求出． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵为的切线， ∴， ∵，， ∴，即， ∴． 故选：A． 10. 抖空竹这个运动项目被誉为“中华传统体育文化瑰宝”．年月日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．我们可以从如图运动员某一时刻的姿势中抽象出如图的数学问题：，若测得，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，延长交于点，由平行线的性质可得，进而根据三角形的外角性质即可求解，正确作出辅助线是解题的关键 【详解】解：如图，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 比较大小：3_________．（填“ < ”“ > ”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数大小的比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键． 根据实数大小比较的方法进行比较即可得答案． 【详解】解：∵，， ∵ ∴， 故答案为：． 12. 方程的解为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解法，熟知分式方程的解法是解题的关键，最后要记得检验． 先去分母化成一元一次方程再解整式方程最后再检验即可． 【详解】解： 去分母得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 故答案为：． 13. 计算：___． 【答案】3.98． 【解析】 【分析】直接提取公因式1.99，即可得答案． 【详解】1.992+1.99×0.01 =1.99×（1.99+0.01） =1.99×2 =3.98. 故答案为：3.98． 【点睛】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 14. 如图所示，两平面镜α，β的夹角为θ，入射光线AO平行于β，入射到α，经过两次反射后的反射光线O′B平行α，则∠θ的度数为___度． 【答案】60 【解析】 【详解】利用平行线的性质和反射的性质即可求出． 解：假设OA与α的锐角夹角是∠1，OO′与α的锐角夹角是∠2，根据平行线和反射的性质可知： ∠1=∠2=θ，同理可知θ=∠BO′β=∠OO′θ． ∴△OO′θ是等边三角形， ∴∠θ的度数为60度． 故答案为60． 15. 如图，在中，，，，点为的中点，以为圆心，为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了不规则图形面积计算，勾股定理的逆定理，解直角三角形，先由勾股定理的逆定理得到，再解直角三角形得到，由直角三角形的性质得到，则，再根据列式求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得_______； （2）解不等式②，得_______； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为_______． 【答案】（1） （2） （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式组、在数轴上表示不等式和不等式组的解集等知识点，正确求得各不等式的解集成为解题的关键． （1）根据不等式的性质解不等式即可； （2）先去括号，然后根据不等式的性质解不等式即可； （3）在数轴上分别表示出两不等式的解集即可； （4）根据（3）的数轴表示直接写出不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解： ． 故答案为：． 【小问2详解】 解： ． 故答案为：． 【小问3详解】 解：把不等式①和②的解集在数轴上表示如下： 【小问4详解】 解：根据（3）的数轴表示可知： 该不等式组的解集为：． 故答案为：． 17. 如图1表示同一时刻的韩国首尔时间和北京时间，两地时差为整数． （1）设北京时间为x（时），首尔时间为y（时），就，求关于的函数表达式，并填写下表（同一时刻的两地时间）． 北京时间 7：30 _____ 2：50 首尔时间 ______ 12：15 ____ （2）如图2表示同一时刻的英国伦敦时间（夏时制）和北京时间，两地时差为整数．如果现在伦敦（夏时制）时间为7：30，那么此时韩国首尔时间是多少？ 【答案】（1） （2）15：30． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用. （1）根据图1可以发现首尔时间比北京时间快1小时，即可求得解析式为，也可完成表格； （2）根据图2可以发现伦敦时间比北京时间慢7小时，也就比首尔时间慢8小时，所以伦敦（夏时制）时间为7：30，韩国首尔时间为15：30． 【小问1详解】 解（1）：从图1看出，同一时刻，首尔时间比北京时间多1小时，所以关于的函数表达式是． 北京时间 7：30 11：15 2：50 首尔时间 8：30 12：15 3： （2）从图2看出，设伦敦（夏时制）时间为t时，则北京时间为时，由第（1）题，韩国首尔时间为时，所以，当伦敦（夏时制）时间为7：30，韩国首尔时间为15：30． 18. 如图，平行四边形中，点在上． （1）请用无刻度的直尺和圆规作于点．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，连接，求证：四边形是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查作垂线和矩形的判定，平行四边形的性质，正确作出图形是解答本题的关键． （1）根据“过直线外一点作已知直线的垂线”进行作图即可； （2）根据证明，得，再根据平行四边形的性质可证，即可证明四边形是矩形 【小问1详解】 解：如图，即为所作； 【小问2详解】 证明：由作图得 ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形矩形． 四、解答题：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. “粮食安全是国家安全的重要基础”，阅读以下信息回答问题2020~2024年全国粮食总产量统计图 （1）2020~2024年全国粮食总产量的发展趋势是______．（填“上升”或“下降”） （2）某校为了了解学生珍惜粮食的情况，开展了“你平时是否会节约粮食？”的调查活动，并随机抽取了部分学生进行匿名问卷调查，将调查结果分成四组（A．总是会；B．经常会；C．偶尔会；D．一定不会），数据整理后，绘制了如下两幅不完整的统计图： ①本次调查的学生共______人；“C”所对应的扇形圆心角的度数为______度； ②补全条形统计图； ③如果该校学生共有1800人，请估计该校“平时会节约粮食（包含A，B两组）”的学生人数． （3）通过调查后，学校开展了“珍惜每一粒粮食”演讲比赛，10名参赛选手的成绩（单位：分）分别是：85，85，81，87，95，88，90，95，99，95，则该10名选手成绩的平均数是______，中位数是______． 【答案】（1）上升 （2）①200；；②1530人 （3）90分；89分 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，求平均数和求中位数，正确读懂统计图是解题的关键． （1）根据统计图中的数据即可得到答案； （2）①用D的人数除以其人数占比可求出参与调查的人数，再用360度乘以C的人数占比即可求出对应的圆心角度数；②求出B的人数，再补全统计图即可；③用1800乘以样本中A和B的人数占比即可得到答案； （3）根据中位数和平均数的定义求解即可． 【小问1详解】 解：由统计图可得，2020~2024年全国粮食总产量的发展趋势是上升； 【小问2详解】 解：①人， ∴本次调查的学生共200人， ∴“C”所对应的扇形圆心角的度数为； ②B的人数为人， 补全统计图如下所示： ③人， ∴估计该校“平时会节约粮食（包含A，B两组）”的学生人数为1530人； 【小问3详解】 解：由题意得，平均数为分， 把这组数据按照从小到大的顺序排列为：81，85，85，87，88，90，95，95，95，99， ∴中位数为分． 20. 一次函数的图象与的图象交于点，且点的横坐标为，与轴、轴分别交于点、点． （1）求的值与的长； （2）若点为线段上一点，且，求点的坐标． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】（）求出点坐标，代入可得的值，进而由一次函数解析式求出点坐标，即可由勾股定理求出的长； （）求出，设，则，可得，即可得，据此即可求解； 本题考查了一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的几何问题，正确求出一次函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵点的横坐标为， ∴把代入得，， ∴点的坐标为， 把代入得， ， 解得， ∴一次函数， 当时，；当时，， ∴，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21. 阅读与思考 阅读下列材料完成后面任务． 仅利用折纸将线段三等分 我们已经学过线段的中点、三等分点、四等分点等概念，并且可以利用三角函数等方法求出线段的三等分点，下面介绍一种新的方法可以利用其将线段三等分—折纸法． 具体步骤如下． 第一步：如图1，准备一张长为，宽为的矩形纸片． 第二步：如图2，将矩形纸片折叠，使得点B的对应点F落在边上，展开后得到折痕． 第三步：如图3，再将该矩形纸片沿过点C的直线折叠，使得点D的对应点H落在上，展开后得到折痕． 第四步：如图4，再将矩形纸片折叠，使得点G落在边上的点M处，展开后得到折痕，则M为的三等分点，即． 下面是该结论的部分证明过程： 证明：由折叠的性质，得．，根据勾股定理，可得． 设，，… 任务： （1）请再仔细阅读上面的操作步骤，完成材料中剩余的证明过程． （2）在解决问题的过程中，我们通过计算的长，从而得到结论，这里运用的数学思想方法是 .（填序号即可） ①函数思想；②公理化思想；③数形结合思想；④分类讨论思想． （3）如图5，在图4的基础上，将矩形纸片沿着折痕折叠后，点C恰好落在上的点Q处，连接，判断四边形的形状，并加以证明． 【答案】（1）见解析 （2）③ （3）正方形，见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，正方形的判定，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）由折叠的性质，可得，，，进而得出，，设，利用勾股定理列方程，求出，即可证明； （2）根据运用的数学思想方法作答即可； （3）根据矩形和折叠的性质证明即可． 【小问1详解】 证明：由折叠的性质，可得，，． ，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ； 【小问2详解】 解：通过计算的长，从而得到结论，这里运用的数学思想方法是数形结合思想， 故答案为：③； 【小问3详解】 解：四边形是正方形．证明如下： 四边形是矩形， ，， 由折叠的性质可知，，， ， 四边形为矩形， 又 四边形是正方形． 五、解答题：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 综合与实践：小刚结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处（标注出点B位置），入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水；（直线为法线，为入射光线，为折射光线，交于点G，且．） 第三步：在的延长线取一点P，在P处发出一束光线，移动点P的位置，使得入射光线，折射光线恰好经过点B． 【测量数据】如图，点A，B，C，D，E，F，O，M，N，G，P，Q在同一平面内，测得，，，，折射角． 【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求的度数． （2）求点B，D之间的距离．（结果精确到） （3）求的长．（结果精确到） （参考数据：，，，，，） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，三角函数的比值关系，平行四边形的判定与性质，熟悉掌握三角函数的比值关系是解题的关键． （1）根据两直线平行，同位角相等得到的值，然后根据角的和差解答即可； （2）利用正切的定义求出和长，然后根据线段的和差解题； （3）设直线交于点H，得到四边形和是平行四边形，即可得到对边相等，然后求出，在中利用正切的定义求出即可解题． 【小问1详解】 解：， ， ． 【小问2详解】 解：在中，， ∴， 在中，， ， 故点B，D之间的距离约为． 【小问3详解】 解：设直线交于点H． ，， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ， 在中，， ，， ∴四边形是平行四边形， ． 23. 如图①、②，在平面直角坐标系中，一边长为2的等边三角板CDE恰好与坐标系中的△OAB重合，现将三角板CDE绕边AB的中点G（G点也是DE的中点），按顺时针方向旋转180°到△C′ED的位置． （1）直接写出C′的坐标，并求经过O、A、C′ 三点的抛物线的解析式； （2）点P在第四象限的抛物线上，求△C′OP的最大面积； （3）如图③，⊙G是以AB为直径的圆，过B点作⊙G的切线与x轴相交于点F，抛物线上是否存在一点M，使得△BOF与△AOM相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，M的坐标为：，， 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质求出点的坐标，根据二次函数经过，，设出二次函数的交点式，将代入，求出二次函数解析式； （2）过P作轴，交于Q，连接，求出的表达式，将P点的横坐标为m，则有：，，表示出△的面积，求出最大值即可； （3）根据三角形相似的判定，找出点M的位置，求出坐标即可． 【小问1详解】 解：过点作⊥x轴，垂足为M， ∵由题意可知△OAB和△C′DE是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∴ ∴， ∵，在抛物线上，故设抛物线的解析式， ∴将代入：3a=，即a=， ∴． 【小问2详解】 解：过P作轴，交于Q，连接， ∵设的表达式为：，且经过点， ∴，即 ∴的表达式为：， 设P点的横坐标为m，则有：，， ∴， ∴ ∴△的最大面积为． 【小问3详解】 解：存在． ∵BF与⊙G相切 ∴∠ABF＝90° ∵∠BAF＝60°，AB=OA=2 ∴AF=4，OF=2， ∵∠BOF＝180°－∠BOA=120°， ∴△BOF为顶角为120°的等腰三角形 ①AO=AM=2时，点M与点重合，此时∠OAC’＝120°，满足相似 ∴M ②OA=OM=2时，点M与点关于直线x=1对称，此时∠AOM＝120°，满足相似 ∴M ③MO=MA时，点M为抛物线顶点（1，），此时tan∠AOM＝， ∴∠AOM＝30°，满足相似 ∴M 综上∶M的坐标为：，，． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与面积的综合计算，二次函数与相似三角形的综合问题，掌握二次函数的计算与几何图形的性质是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $