第五章 课时5 复数的概念与运算课件——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦复数专题，依据课标要求覆盖复数的概念、运算、几何意义及性质等核心考点。通过梳理近三年高考真题，明确模的计算、四则运算、几何意义为高频考点，归纳选择填空常考题型，体现高考备考的针对性。 课件亮点在于“真题解析+技巧提炼+素养培养”，如以2025八省联考|2-4i|计算为例，提炼“模的公式法”，结合复数除法“分母实数化”技巧，培养学生运算能力和几何直观素养。特设易错点分析（如虚部概念混淆）和分层训练，帮助学生高效突破考点，教师可据此精准指导复习。

课时5 复数的概念 与运算 一、 课标要求 1.通过方程的解，认识复 2.理解复数的代数表示及 3.掌握复数的四则运算， 数 其几何意义，理解两个复数相 了解复数加、减运算的几何意 等的含义 义. 二、知识梳理 1.复数的有关概念 (1)复数的定义 形如au十bi(a,b∈R)的数叫作复数，其中实部是a, 虚部是 (2)复数的分类 实数 (3 纯虚数（ 背酒 非纯虚数 (受年 (3)复数相等 a+bi=c+di÷a=c且b=d(a,b,c,d∈R) (4)共轭复数 a十bi与c十d共轭÷a=c且b=-d(a,b,c, (5)复数的模 OZ的模叫作复数z=a+bi的模，记作 =a2+b2≥0，a,b∈R). d∈R). 或la十bi_,即zl=la十bi=r 2.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1=a十bi,z2=c十di(a,b,c,d∈R),则 加法：1+z2=(a十bi十(c十d)=(a+c)十(b+di: 2 减法：z1-z2=(a十bi-(c+d=(a-c)+(b-d)i 乘法：z1'z2=(a十bi(c十d)=(ac-bd+(ad+bci 4 除法： 3_a+bi i(c abd be adio 2c+d (He(eec2+e十ce+d di≠0). (2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对 (z1+2)十z3=Z1十(22十z3) 任何21,2,23∈C,有z1十z2=22十21， 3. 复数的模和共轭复数的运算性质 (1)一般地，对任意复数三乙三，复数的模的运算 =到 =(: 树卡 有以下性质： (2)对于复数 受a,则 因为 a2+b2 所以云z= z21 又|丰a3, 4、 复数与复数的加法、减法的几何意义 (1)复数的几何意义 ①复数z=a十bi 复平面内的点Z(a,b)(a, ②复数z=a十bi(a,b∈R)对平面向量OZ. b∈R). (2) 复数加法、减法的几何意义 设0z,0Z分别与复数，对应，且0z,0z不 共线，以Oz,Oz,为两条邻边画平行四边形乙，则对角线z所表示的向量 就是复数 专雪毛身对应的向量（即平行四边形法则）. 根据复数减法的定义和复数加法的几何意义，可以得到复数减法的几何意义， 设，，则丰 子 由此可得：两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点之间的距 离. 【拓展知识】 1+i 1.(1±1)2=±2i .1-i 1-i 1+i 2.i4n=1,i4n+1=i ,i4n+2= -1 i4n*3=-i (n∈N*). 3、关于共轭复数，还有以下一些常用的运算性质：对任意复数三， :登克，臣三， 三、基础回顾 1.判断正误.（正确的打√，错误的打×) (1)复数z=a十bi(a,b∈R)中，虚部为bi.() ×【解析】复数的虚部是一个实数 (2)复数中有相等复数的概念，因此复数可 ×【解析】一般情况下复数不能比较大小，只 以比较大小. 有当它们均为实数才可以比较大小 (3)若复数z满足云王，则 ×【解析】反例： z王.() (4)已知复数z满足三中三中，则z在复平面内 V【解析】由两个复数差的模的几何性质可知正确 对应的点的轨迹为直线 1+2 2、(2025广东深圳市一模)已知z= 2-i A.1 B.2 2 A【解析】依题意， i为虚数单位)，则2=() C.2 D.4 所以日曰故选A 3.(多选题)下列命题正确的有 A.若复数1,22的模相等，则21，z2是共轭复数 B.z1,22都是复数，若z1十z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数 C.复数z为实数的充要条件是z=之 D.己知复数z=x十i(x,y∈R),且z一2=3，则的最大值为3 BCD【解析】对于选项A,z1和z2可能是相等的复数 对于选项B,若z1和2是共轭复数，则相加为实数， 对于选项C,由a+bi=a一bi得b=0,C正确； 对于选项D,因为z-2=√子=V3,所以x 大值为，3=3.D正确.故选BCD ,A错误； 不会为虚数，B正确； 2)2+y2=3.由图可知'的最 X 4.如图所示，在复平面内， 的复数分别是z1,z2,则z1 22【解析】由图象可知z1 网格中的每个小正 z2= A B =i,z2=2-i,故z1 方形的边长都为1，点A,B对应 22=|-2+2i=22. 四、考点扫描 考点一复数的有关概念 例1(1)（2025·八省联考)计算：I2斗() A.2 B.4 C. C【解析】由题意， 夏甲 故选C 25 D.6 (2>2025浅北3分市州1月候号芳灰数2习 是纯虚数，则0的 值可以为() 0元 A.2π B C. D C解析】由题意，可知 4s种1 3元 根据选项可知，只有4满足条件.故选C (3)(多选题)若复数z= 2 1+ A.z的虚部为一1 C.z2为纯虚数 其中i为虚数单位，则下列结论正确的有( B.=v2 D.z的共轭复数为一1一i ABC【解析】由题意，得z= 2=41) =1一i.对于选项A,由z=1一i 1+i（1+1) 得复数z的虚部为一1，A正确： 对于选项B,z=1-i=2,B正确： 对于选项C,由于z2=(1一)2=一2i,所以z2为纯虚数，C正确： 对于选项D,z=1一i的共轭复数：=1十i,D错误.故选ABC 规律方法： 解决复数概念问题的方法及注意事项 ()复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的 条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）组即 可. (2)解题时一定要先看复数是否为a十bi(α，b∈R)的形式，以确定实部和虚部. 对点训练(1)若复数z= A.z的共轭复数为1十i C.z=2 2 D【解析】因为z= -1+i 故选D 2 1+i 则() B.z的虚部为一i D.z的实部为一1 2- 0=一2-2i=-1-i,z的实部为-1. 2 (2)(2025·新高考I卷) A. B. C【解析】令 的虚部为 0 C. 则 9 1 D.6 所以 的虚部为1.故选. o) (3)(2025春·上海高考 【解析】 已知复数 ,其中 ，故 为虚数单位，则 考点二复数的运算 例2 (1) (2025·新高考Ⅱ卷) A.-i B.i C.-1 D.1 A【解析】因为，所以 己知云1，则 z-1 1 11 委王1i平 ) 目 故选A. (2)(2025湖北武汉市二调)若复数z满足(（宇=，则川z=() A. B.1 C.2 D.5 A【解析】因为((=，所以 2 22 ,所以H.故选A. (3)(多选题)2025·山西忻州市模拟)下列关于 A.若z1,2互为共轭复数，则z1z2∈R B.若1z2∈R,则z1,2互为共轭复数 C. 若1,2互为共轭复数，且2≠0，则 2 D. 若 =1,则21,23互为共轭复数 非零复数z1,2的结论正确的有 =1 AC【解析】设z1=a十bi(a,b∈R), z1z2=a2十b2∈R,故A正确； 当z1=2十2i,z2=1-i时，21z2=46 由z1,z2互为共轭复数，得z1=22, 确： 当z1=2十i,2=1-2i时，z1=22, D错误.故选AC 由z1,z2互为共轭复数，得z2=a一bi,则 R,此时z1,2不是共轭复数，故B错误： 艾n,从而5=1，即|引-，枚c正 即引=1，此时，不是共矩复数，枚 规律方法： ()复数的乘法：复数乘法类似于 (2)复数的除法：除法的关键是分 多项式的乘法运算. 子分母同乘以分母的 共轭复数. 对点训练（1)(2025·山东济宁市模拟)已知复数z满足 为( A.1B.-1C.2 D.-2 B【解析】因为zi3=1一2i,所以一zi=1一2i,所以z 所以？=2一i,所以2的虚部为一1.故选B, zi3=1一2i,则z的虚部 1-2i_（-2=2+i, -i-i2 (2)(2025山东青岛市一模)若G三 A.3 B.4 5 C【解析】 地球主北 所以三式轮≥故选C ,则之() C.5 D.6 所以21且， (3)复数1H+a是关于x的方程②的一个根，则 3【解析】由题意，可得将+a代入方程是，可得 王人，整理得 由复数概念可得 解得02 g5,所以7 考点三复数的几何意义 例3(1)(2025·安徽蚌埠市二模)已知复 面内对应的点位于( A.第一象限 C.第三象限 数z满足卡序，则五在复平 B.第二象限 D.第四象限 A【解析因为复数2满足卡1实子行，所以 所以三三在复平面内对应的点为（③2） (津 起（来津 位于第一象限故选A. (2)(多选题)(2025河北石家庄市一模)已知i为虚数单位，下列结论正确的是 A.若2正，则的充要条件是7 B.若复数三三满足， 则石名 C. D.若复数z满足2=1，则三34的最大值为6 ACD【解析】对于选项A,因正，则三等 等价 m-2=0 In-1=0 即车，故A正确； 对于选项B,由罗可得三令(，当C时 一定相等，故B错误； 价于之4， 等式成立，但与2，不 对于选项C,因对于*， 则 三，于是 故C正确： 对于选项D,由2=1可理解为复平面内以原点为圆心的单位圆，而二34可 看成点G④到该圆上点的距离，易得三34的最大值即号<子长， 故D正确.故选ACD 规律方法： 由于复数、点、向量之间建立 几何联系在一起，解题时可运 了一一对应的关系， 用数形结合的方法， 因此可以把复数、向量与解析 使问题的解决更加直观. 对点训练(1)在复平面内，O为坐标原点， 点分别为Z,Z2,则∠Z1OZ2的大小为( B2C.3 D 5元 3 6 复数z1=i(-4+3i1),z2 ) =7十i对应的 C【解析】因为z1=i(-4+3i)=-3-4i,z2=7+i,所以OZ=(-3,-4),OZ 070Z -25 =(7,1),所以OZ·OZ=-21-4=-25,所以c0s∠Z10Z2= ozoz 5×5V2 =-2又∠7,02∈D,,所以∠Z0Z-3不故选C (2)(2025秋：上海高考)已知复数 是 满足 ,≤1，则 的最小值 【解析】设 ，所以 9 或 9 可知，当 时 ，则 .因为 即 又2≤1，所以在复平面内对应的点的轨迹为 表示点 到点 的距离，由点 的轨迹 有最小值，最小值为 考点四复数的性质 例4(1)（多选题）(2025山西太原市模 结论正确的有( A.若，则 C.若，则云马 拟)已知复数，满足，则下列 B.肆 D.针幸 BD【解析】对于选项A,C,设至i三白 则 不满足与，也不满足子克，A, C错误. 对于选项B,设在复平面内对应的向量分别为，且，由向 量加法的几何意义知 C毕，故李肆B正确 对于选项D,设 则 所以圭 ，D正确故选BD (2)(多选题)已知非零复数乙，乙，在复平面内对应的点分别为（为坐标原 点，则有() A.当建时，衣( B.当时， C.若击，则存在实数，使得松 D.若5，则|多 AC【解析】对于选项A, 方可得衣喜∈，A正确； 对于选项B,取司，则 ，即，两边平 三，但气(，B错误； 对于选项C,击目，即 三，两边平方可得 , 故 故(22, 因此存在 实数1，使得三名，C正确； 对于选项D,取三直，则三，但，D错误故选AC 对点训练 (多选题)设z1, A.若22=2，则22=士z3 B.若z122=z123,则22=23 C.若=23，则a122=2123 D.若z12=|z12,则z1=2 z2,23为复数，且z1≠0， 则下列命题正确的有( ) BC【解析】设z,=41+b1i,z2=2十bi,23=a3十b3i, =ag十b3,此时z,=±2，不一定成立，A错误； 若12=13，则，(22-3)=0，又因10，所以z 若z,=|2,则1a3十b3 =23,B正确； 若？=23，则a2=g,b2=-b3, 所以：，z,|=√G=√② |,”,=√G金=√G 所以12=，C正确： 当z,=时，Z名2=|P,此时z,=z,不一定成立，D错误.故选BC 米 感谢观看 THANKS