专题11.一次函数与方程（组）.不等式及实际应用期末复习讲义 (18大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题11一次函数与方程（组）.不等式及实际应用期末复习 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的内在联系。 2.掌握利用函数图象求解方程的解、不等式的解集、方程组的解的方法。 3.能结合实际情境建立一次函数模型，掌握行程、计费、利润、几何等常见应用模型。 4.学会分析分段一次函数，理解分段区间对应的实际意义。 1.数形结合能力：能将代数问题转化为函数图象问题，看图直接得出方程解、不等式解集。 2.分析推理能力：对比两个一次函数图象，判断函数值大小、自变量取值范围。 3.建模应用能力：从实际问题中提取变量关系，列出一次函数解析式，并确定自变量取值范围。 4.综合运算能力：结合函数性质、图象信息，解决计算、比较、方案选择类问题。 1.小题：快速利用图象求方程解、不等式解集，基础题型零失误。 2.中档解答题：规范完成数形结合类题型，清晰描述图象与代数知识的对应关系。 3.综合大题：熟练解决分段函数、方案优选、生活应用题，完整书写解题步骤，不漏自变量取值范围。 题型01.直线与坐标轴交点求解方程 题型02.方程的解与直线x轴交点判定 题型03.图象法解一元一次方程 题型04.直线坐标轴交点求不等式解集 题型05.两直线的交点求不等式解集 题型06.两直线交点与方程组的解 题型07.图象法解二元一次方程组 题型08.求直线围成的图形面积 题型09.分配方案问题 题型10.最大利润问题 题型11.行程问题 题型12.梯度计价问题 题型13.工程问题 题型14.经济问题 题型15.分段一次函数的实际应用 题型16.其他实际应用 题型17.一次函数与几何综合 题型18.和差倍分问题 知识点01:一次函数与一元一次方程 1.形式对应 一元一次方程：kx+b=0 一次函数：y=kx+b 2.几何意义 方程 kx+b=0 的解 ⇔ 函数 y=kx+b 图像与 x 轴交点的横坐标。 3.结论 求方程 kx+b=0 的解 ⇔ 找直线与 x 轴交点。 已知直线与 x 轴交点 (x0,0)，则方程解为 x=x0​。 . 知识点02:一次函数与一元一次不等式. 1.对应关系 kx+b>0 ⇔ y>0 kx+b<0 ⇔ y<0 kx+b≥0 ⇔ y≥0 kx+b≤0 ⇔ y≤0 2.几何意义 y>0：图像在 x 轴上方 部分对应的 x 取值范围。 y<0：图像在 x 轴下方 部分对应的 x 取值范围。 知识点03:一次函数与二元一次方程组 1.对应 二元一次方程组 ⇔ 两条直线 l1:y=k1x+b1和 l2:y=k2x+b2​。 2.解的几何意义 方程组的解 ⇔ 两条直线 交点坐标 (x,y)。 3.三种位置与解的情况 相交 ⇔ 有唯一一组解 平行 ⇔ 无解 重合 ⇔ 有无数组解 知识点04:一次函数应用解题步骤（通用） 步骤序号 详细通用解题步骤 1 审题，梳理题目已知条件、所求问题，找出题目中的数量关系 2 设定自变量与因变量，用字母表示相关未知量 3 根据等量关系，列出一次函数解析式 4 结合实际场景中的限制条件，列出不等式，确定自变量的取值范围 5 根据问题要求，利用解析式、方程或不等式进行计算 6 结合实际意义检验结果，舍去不符合条件的值 7 整理过程，规范写出最终答案 知识点05:常见实际模型 + 核心公式（必背） 题型 核心等量关系 & 公式 分配方案问题 1. 总数量=各部分数量之和 2. 总费用=单项单价×对应数量 最大利润问题 1. 单件利润=售价−进价 2. 总利润=单件利润×销售量−固定成本 3.总利润=总收入−总成本 行程问题 1. 路程 =速度×时间：s=vt 2.总路程= 初始路程 + 行驶路程：s=vt+s0 3.相遇：两者路程和 = 两地总距离 4.追及：两者路程差 = 初始间距 工程问题 1.工作总量=工作效率 × 工作时间 2.合作工作量=甲工作量+乙工作量（常规设工作总量为单位1） 梯度计价（分段计费） 总费用=各分段费用之和 单段费用= 本段单价 × 本段用量 和差倍分问题 1. 和：总量=各部分量相加 2.差：大数−小数 = 相差量 3.倍：较大量=较小量×倍数 知识点06:高频易错点 易错点 错误内容 一次函数与一元一次方程 把直线与 x 轴交点的纵坐标当成方程的解 一次函数与一元一次不等式 看错直线上下位置；不等号含等号时漏取分界点 一次函数与二元一次方程组 记错两直线平行、重合时方程组解的情况 自变量取值 实际问题中取负数、小数（人数 / 数量等） 分段计费 全程只用一个解析式，分界点计算出错 实际应用题 单位不统一；该列方程、不等式时混淆 题型01.直线与坐标轴交点求解方程 1．如图，直线与x轴的交点是，则关于x的方程的解是______． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线和相交于点，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 3．一次函数中变量与的部分对应值如下表所示． 给出下面四个结论： ①； ②一次函数的图象不经过第三象限； ③关于的方程的解是； ④关于的方程的解集是； 上述结论中，所有正确结论的序号是_____． 4．定义：图像与x轴有两个交点的函数y＝叫做关于直线x=m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B， （1）如图:直线l:x＝1,关于直线l的对称函数y＝与该直线交于点C ①直接写出点的坐标：A（ 　 　，0）；B（ 　 　，0）；C（1，　 　）； ②P为关于直线l的对称函数图像上一点（点P不与点C重合），当S△ABP=S△ABC时，求点P的坐标； （2）当直线y＝x与关于直线x=m的对称函数有两个交点时，求m的取值范围． 题型02.方程的解与直线x轴交点判定 5．若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 6．如图，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段上，线段沿翻折．点O落在边上的点D处，则的长度为____________． 7．如图，点，，点P为y轴上一点，当的和最小时，点P的坐标为（   ） . A． B． C． D． 8．研数综理融光象，探径合律觅真章、借轴实策寻捷径，知行践悟启智长．某数学兴趣小组结合物理学中的光的反射现象，开展了“探究最短路径与光的反射定律的关系”活动，探究并完成下面填空与证明． 【主题】探究最短路径与光的反射定律的关系 【活动一】“两定一动”型最短路径问题探究： 如图1，已知点，，在轴上找一点，使的值最小： (1)作法：作点关于轴的对称点（    ），连接与轴的交点即为（__________）；（填写坐标） (2)求法：由作法知：，的长度是__________； (3)说理：的依据是__________，轴上的点到，距离之和的最小值等于的依据是__________； 【活动二】“光的反射定律”的数理探究：光的反射遵循“反射角等于入射角”的规律． 如图，已知光源位于点，将轴视为平面镜，在轴上确定点，使光线经过点反射后恰好过点； (4)应用：运用活动一的作法，可得（__________）；（填写坐标） (5)悟理：如图2，过点作轴于点，证明：． 题型03.图象法解一元一次方程 9．如图，一次函数（为常数，且）与正比例函数（k为常数，且）的图象交于点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 10．如图是一次函数的图象，则关于的方程的解为___________． 11．如图，一次函数（，为常数且）与一次函数（，为常数且）的图象相交于点，给出下列结论：①关于的方程的解是；②当时，函数的值比函数的值小；③关于的不等式的解集是；④关于，的方程组的解是，其中错误的结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 12．（1）已知，，求的值． （2）关于x的方程有三个整数解，求a的值． 题型04.直线坐标轴交点求不等式解集. 13．如图，直线交坐标轴于两点，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 14．如图，若一次函数和的图像相交于点，则不等式的解集为______． 15．如图，一次函数的图象与x轴交于点，与的图象交于点，则下列说法错误的是（     ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．关于x，y的方程组的解是 D．不等式的解集是 16．如图所示，在同一坐标系中一次函数和的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C，已知点A坐标为，点B坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ． (2)若点C坐标为，关于x的不等式的解集是 ． (3)在（2）的条件下，求四边形的面积． 题型05.两直线的交点求不等式解集 17．如图，函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 18．如图，直线与相交于点，已知点的横坐标为，则关于的不等式的解集为_____． 19．一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②关于的方程的解是；③当时，；④当时，．其中正确的是（   ） A．①③ B．①②④ C．②③ D．①④ 20．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于，直接写出的取值范围． 题型06.两直线交点与方程组的解 21．如图，直线与直线交于点，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 22．如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为 ______． 23．从2，3，4，5这四个数中，任取两个数p和q（），构成函数和，使两个函数图象的交点在直线的左侧，则这样的有序数组共有（   ）组． A．3 B．4 C．5 D．6 24．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． (1)求，的值； (2)过点作轴的垂线，分别交函数与的图象于点，． ①当时，求的长； ②当时，直接写出的取值范围． 题型07.图象法解二元一次方程组 25．如图，在同一直角坐标系中作出一次函数与的图象， 则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 26．已知关于x，y的二元一次方程组无解，则k的值为_____． 27．利用图象解下列方程组： (1)； (2)． 题型08.求直线围成的图形面积 28．直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A．4 B．2 C．6 D．8 29．已知一次函数和的图象都经过点，且与y轴分别交于B，C两点，那么的面积是 _____________． 30．在平面直角坐标系中，直线，直线，若，与y轴围成的三角形的面积为5，则k的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 31．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与轴交于点，与直线交于点，且点的横坐标为1． (1)求直线的表达式； (2)若点在直线上，且的面积与的面积相等，求点的坐标． 题型09.分配方案问题 32．学校有1100本作文本需要打包发放，现有A、B两种型号的箱子可供选择．已知1个型箱子和2个型箱子装满后可打包500本作文本，2个型箱子和1个型箱子装满后可打包400本作文本．学校计划同时使用两种箱子一次打包完毕，且恰好每个箱子都装满作文本． (1)每个型箱子和型箱子分别能装多少本作文本？ (2)若型箱子每个3元，型箱子每个5元，共有几种打包方案？哪种方案费用最少？ 33．某农户购进甲、乙两种插秧机，已知甲比乙每小时多插1亩，甲插18亩与乙插12亩时间相同． (1)求甲、乙每小时插秧亩数； (2)安排共10台机器，每小时完成不少于24亩，甲费用80元/台，乙60元/台，求每小时最少费用． 34．今年年初，某种玩偶以其独特的外观爆火，广受年轻人的喜爱．因市场需要，厂家需要加大生产力度．已知这种产品需要，B两种主要原材料．该厂购进了这两种原料A，B，其中购进千克A材料和千克材料的总价为89元．购进千克A材料和千克B材料的总价为96元（单位：元/千克）． (1)A、B两种原材料每千克的价格分别是多少元； (2)若该工厂计划购进两种原材料共2700千克，其中购进A材料的重量不少于B材料重量的2倍，且B材料购进不少于300千克．当购进A材料多少千克时所需资金最少，最少资金是多少． (3)为满足市场需求，厂家派遣甲、乙两辆配送车从仓库出发，前往货运站配送货物．甲配送车提前出发，他们的配送距离s（千米）关于配送时间t（分钟）的函数图象如图所示： ①乙配送车从出发到追上甲配送车需要 分钟． ②乙车出发 分钟，甲乙两车相距1.62千米． 题型10.最大利润问题 35．某书店在“读书节”之前，图书按标价销售，在“读书节”期间制定了活动计划． (1)“读书节”之前小明发现：购买5本A图书和8本B图书共花335元，购买10本A图书比购买6本B图书多花120元，请求出A、B图书的标价； (2)“读书节”期间书店计划购进A、B图书共200本，且A图书不少于40本．不多于60本，A、B两种图书进价分别为20元、18元，销售时准备A图书每本降价1.5元，B图书价格不变，设A图书进货m本，请写出m的取值范围，并用含m的式子表示书店此时的利润W（元）； (3)在（2）的条件下，书店如何进货才能使利润最大，最大是多少？ 36．年春节，智能健康手表成为热门“孝心年货”，其中、两款手表深受市民喜爱．某商店专营该两款手表，已知款手表的进价比款手表每块多元．该商店用元购进款手表的数量，与用元购进款手表的数量相等． (1)求款、款手表每块的进价分别为多少元？ (2)该商店计划购进这两款手表(两种都要购进）共块，且进货总费用不超过元．已知每块款手表利润元，每块款手表利润元．求全部售出后可获得的最大总利润． 37．2026年，广东省第十七届运动会将在茂名市举办，运动会吉祥物的名字叫“荔荔”．为助力传递省运热情与宣传茂名本土文化，某商家近日购进了一批“荔荔”玩偶和“好心茂名”徽章进行销售． 信息一：每个“好心茂名”徽章的进价比每个“荔荔”玩偶的进价贵15元．该商店用600元购进“荔荔”玩偶的数量，与用750元购进“好心茂名”徽章的数量相同． 信息二：该商店计划购进“荔荔”和“好心茂名”徽章共180个，总进价费用不超过12000元，每个“荔荔”玩偶售价为65元，每个“好心茂名”徽章售价为85元，全部售完． 问题： (1)求每个“荔荔”玩偶和“好心茂名”徽章的进价各是多少元． (2)设该商店购进“荔荔”玩偶个，总获利为元．写出与的函数关系式； (3)在进货数量符合要求的条件下，求的最大值． 题型11.行程问题 38．清明假期期间，小刚从家出发，自驾匀速前往某景区游玩，途中经过服务区休息一段时间后，继续以另一速度匀速行驶前往目的地，小刚离家的距离（千米）与离开家的时间（小时）之间的函数关系如图所示． (1)小刚在服务区休息了_____小时； (2)求所在直线对应的函数表达式； (3)当小刚离家的距离恰好为200千米时，小刚离开家_____小时． 39．某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校，如图所示是小明从家到学校这一过程中离家的距离（米）与离家时间（分）之间的关系，根据图象解答下列问题： (1)小明从家到学校的路程共多少米？ (2)从家出发到学校，小明共用了多少分钟？ (3)小明修车前和修车后的平均速度分别是多少？ 40．甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人间的距离与甲行驶的时间之间的关系如图所示． (1)A、B两地之间的路程为________； (2)求甲骑摩托车的速度； (3)甲出发多少小时后，甲、乙两人相距． 题型12.梯度计价问题 41．某市出租车采取分段收费方式：起步价为元，即路程不超过千米时收费元，超过部分每千米收费元．乘车费与行驶路程之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)由图像知，__________，__________，__________． (2)若乘客乘坐出租车的路程为千米时，乘车费为元，请求出与之间的关系式． (3)若小明共付车费元，那么出租车共行驶了多少千米？ 42．“数趣研习社”网络学习平台为满足不同用户的学习需求，策划了A、B两种上网学习的月收费套餐，具体收费标准如下表： 收费套餐 月使用费／元 包月上网时间／ 超时费／（元／） 5 20 0.4 0.5 设每月上网学习时间为小时，套餐A、B对应的收费金额分别为元，元． (1)如图是与之间函数关系的图象，请根据图象填空：__________，__________； (2)当时，求与之间的函数关系式． (3)已知某同学每月平均上网学习的时间为70小时，选择哪种方式上网学习合算？请说明理由． 43．“兰陵大蒜”是山东知名特色农产品，也是国家地理标志产品．为推动乡村产业高质量发展，拓宽优质农产品销售渠道，某电商平台联合当地农民专业合作社开展助农专场促销活动，对兰陵大蒜实行分段计价销售：一次性购买大蒜不超过时，按原价销售；超过时，超过部分享受助农优惠价．如图为购买大蒜消费金额（元）与购买量之间的函数图象． (1)①大蒜的原价为_________元；②求当时，与之间的函数关系式． (2)某餐馆为储备食材，在活动期间一次性购买大蒜，求该餐馆比按原价购买节省多少元？ (3)某农产品经销商通过该活动采购大蒜，共支付270元，求该经销商本次采购大蒜多少千克？ 题型13.工程问题 44．甲、乙两个工程组同时挖掘松长高速某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务．甲、乙两组挖掘的长度之和甲组挖掘时间（天）之间的关系如图所示． (1)甲组每天挖掘_______米，乙组每天挖掘_______米； (2)求乙组停工后关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数． 45．为落实“打通断头路、畅通微循环”民生工程，某市计划在一条2000米的断头路段铺设便民步道，通过招标安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天的铺设效率是乙队的2倍，甲队单独完成全部铺设比乙队少用5天． (1)求甲、乙两个工程队每天能铺设的步道长度各是多少米； (2)若甲队铺设一天需支付费用0.8万元，乙队铺设一天需支付费用0.3万元，要求乙队铺设天数不超过甲队的2倍，要使总费用最低，甲、乙两队应分别铺设多少天？（天数取正整数） 46．某市为推进绿色出行体系建设，拟对现有新能源汽车充电设施进行扩建改造．该工程由甲，乙两家电力工程公司共同承担施工任务，已知若由甲公司独立施工，完成全部工程需要个工作日；若采用乙公司先行施工个工作日，剩余工程由甲乙两公司联合施工个工作日的方式，亦可完成全部工程． (1)求乙公司单独完成此项充电站扩建工程需要多少个工作日？ (2)现工程预算为不超过万元，已知甲公司施工费用为每日万元，乙公司施工费用为每日万元．若采用乙公司先独立施工若干工作日后，再由甲乙两公司联合施工的方式完成工程，则甲公司至少需要参与施工多少个工作日？ 题型14.经济问题 47．黑龙江鸡西柳毛石墨矿是国内标志性优质石墨矿区，依托先进的磨浮、烘干、筛分生产线，生产高端石墨精粉，产品广泛应用于新能源电池、冶金工业等领域．矿区工厂加工石墨精粉时，每日生产设备检修、机器运转的固定成本为800元，每生产1吨石墨精粉，额外需要原料、人工等成本120元．设工厂每日生产石墨精粉x吨，每日生产总成本为y元． (1)请写出y与x之间的函数解析式； (2)若该厂某日生产石墨精粉15吨，求当日的生产总成本． 48．洛阳博物馆文创商店热销两款特色文创产品：唐三彩小胖马摆件和唐媚儿牡丹笔记本．已知购买个唐三彩小胖马摆件和本唐媚儿牡丹笔记本共需元；购买个唐三彩小胖马摆件和本唐媚儿牡丹笔记本共需元． (1)求每件唐三彩小胖马摆件、每本唐媚儿牡丹笔记本的单价； (2)某学校研学小组计划购买这两种文创产品共件，要求唐媚儿牡丹笔记本的数量不超过唐三彩小胖马摆件数量的倍，求该小组最少需要花费多少元． 49．2026年春晚舞台上，人形机器人表演再次惊艳全球，展现了“中国智造”的无限活力和广阔未来，点燃了全世界对人形机器人赛道的憧憬，向全世界传递了中国科技自立自强的最强声音．某公司计划采购甲、乙两种机器人，已知甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少5万元，花费1200万元购进甲种机器人的数量是花费650万元购进乙种机器人数量的2倍． (1)求甲种机器人和乙种机器人的单价分别是多少万元？ (2)该公司计划购进甲，乙两种机器人共40台，且甲种机器人的购买数量不超过乙种机器人购买数量的2倍，该公司购进甲种机器人多少台时花费最少？最少费用是多少万元？ 题型15.分段一次函数的实际应用 50．药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测得成人服药后血液中药物浓度与服药后时间之间的函数关系如图所示． (1)根据图象说出服药后多长时间血液中药物浓度最高； (2)根据图象分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段y与x之间的函数关系式 51．为研究城区空气质量变化，某校环保社团对吉林市某日的空气状况进行连续监测，记录了10个小时城区浓度（单位：）与监测时间（单位：）的变化情况，函数图象如图所示． (1)当时，求关于的函数解析式． (2)当时，求的值． (3)当时，直接写出时的取值范围． 52．共享电动车是一种新理念下的交通工具，扫码开锁，循环共享．某天早上王老师想骑共享电动车去学校，有，两种品牌的共享电动车可选择．已知：品牌电动车骑行，收费元，且；品牌电动车骑行，收费元，且，，两种品牌电动车所收费用与骑行时间之间的函数图象如图所示． (1)说明图中函数与图象的交点表示的实际意义． (2)求函数解析式中的和． (3)请直接写出当为何值时，两种品牌共享电动车收费相差4元． 题型16.其他实际应用 53．对于密闭容器内的气体，温度在一定范围内，其压强（单位：）是温度（单位：）的某种函数关系．现测得某密闭容器内气体的压强与温度之间的部分数据如表所示： 温度 0 压强 (1)求关于的函数表达式． (2)通常情况下，当压强不超过时，该容器是安全的（否则会有破裂甚至爆炸的风险），求该容器安全时的温度范围． 54．甲、乙两家体育用品商店以同样的价格出售相同的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价30元，乒乓球每盒定价5元．现两家商店开展促销活动，在甲店每购买一副球拍赠一盒乒乓球；在乙店每购买一副球拍或一盒乒乓球都按定价九折优惠．某班需购买球拍4副，乒乓球若干盒（不少于4盒）． (1)设这个班购买乒乓球x盒，在甲店的付款金额为元，在乙店的付款金额为元，分别写出在两家商店的付款金额，与乒乓球盒数x之间的函数解析式． (2)购买几盒乒乓球时在两家商店的付款金额一样？ (3)如何根据购买乒乓球的数量选择在哪家商店购买？ 55．【综合与实践】有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”，某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤，小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务， 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：，其中秤盘质量克，重物质量克，秤砣质量克，秤纽与秤盘的水平距离为厘米，秤纽与零刻线的水平距离为厘米，秤砣与零刻线的水平距离为厘米． 【方案设计】设定克，克，厘米，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡． (1)【任务一：确定的值】秤钮与零刻度线的水平距离________厘米； (2)【任务二：确定刻线的位置】根据任务一，求关于的函数解析式； (3)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，则相邻刻线间的距离为_______厘米； (4)【任务三：确定秤砣的实际质量】秤砣经过长时间的使用，因为种种原因（生锈脱落、磕碰等），秤砣的重量变轻了，当秤盘放入重量克的重物时，杆秤平衡时读数为190克，求这块秤砣现在的重量为多少克？ 题型17.一次函数与几何综合 56．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，与直线交于点． (1)求，的值； (2)若点在轴上，且，求点的坐标； (3)若点在直线上，过点作直线轴，与直线交于点，已知，求点的坐标． 57．如图，已知为等腰直角三角形，点、分别是边、上的点，，．建立如图所示的平面直角坐标系，设点的坐标为，解答下列问题： (1)求关于的函数关系式，以及函数自变量的取值范围； (2)求的面积关于的函数关系式； (3)如果的面积等于10，求点的坐标． 58．在平面直角坐标系中，已知直线分别与轴和轴交于两点，直线分别与轴和轴交于两点，与交于点，其中点为且． (1)求直线的解析式； (2)将点沿水平方向平移个单位至轴，连接，当时，求平移的距离的值： (3)已知点为轴上的一个动点，若，请求出的坐标． 题型18.和差倍分问题 59 在新的评价体系下，为了更合理地反馈一个学生的学习情况，需要对学生的原始分进行转换，某班一次数学测试中，全班最高分是100分，最低分是40分．现将全班学生成绩作转换，原始分记为，转换后的分数记为，满足，其中．原始分100分转换后为100分，原始分40分转换后为52分．若某同学转换后的分数比原始分多4分，则转换后的分数是______． 60．甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度与挖掘时间之间的关系如图所示，根据图象所提供的信息，以下说法中正确的是___________．（填序号） ①甲队开挖到时，用了． ②开挖时甲队比乙队多挖了． ③乙队在的时段，与之间的关系式． ④为时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等． 61．共享电动车是一种新理念下的交通工具，扫码开锁，循环共享．某天早上王老师想骑共享电动车去学校，有，两种品牌的共享电动车可选择．已知：品牌电动车骑行，收费元，且；品牌电动车骑行，收费元，且，，两种品牌电动车所收费用与骑行时间之间的函数图象如图所示． (1)说明图中函数与图象的交点表示的实际意义． (2)求函数解析式中的和． (3)请直接写出当为何值时，两种品牌共享电动车收费相差4元． 62．为丰富同学们的课间活动，某学校计划购进一批跳绳和实心球，其中跳绳的单价比实心球低5元，已知用600元购买跳绳的数量是用400元购买实心球数量的2倍． (1)请列方程求出跳绳和实心球的单价； (2)该校计划购买跳绳和实心球共100个，且购买跳绳的数量不超过实心球数量的4倍，求该校购买跳绳和实心球的最低费用． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11一次函数与方程（组）.不等式及实际应用期末复习 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的内在联系。 2.掌握利用函数图象求解方程的解、不等式的解集、方程组的解的方法。 3.能结合实际情境建立一次函数模型，掌握行程、计费、利润、几何等常见应用模型。 4.学会分析分段一次函数，理解分段区间对应的实际意义。 1.数形结合能力：能将代数问题转化为函数图象问题，看图直接得出方程解、不等式解集。 2.分析推理能力：对比两个一次函数图象，判断函数值大小、自变量取值范围。 3.建模应用能力：从实际问题中提取变量关系，列出一次函数解析式，并确定自变量取值范围。 4.综合运算能力：结合函数性质、图象信息，解决计算、比较、方案选择类问题。 1.小题：快速利用图象求方程解、不等式解集，基础题型零失误。 2.中档解答题：规范完成数形结合类题型，清晰描述图象与代数知识的对应关系。 3.综合大题：熟练解决分段函数、方案优选、生活应用题，完整书写解题步骤，不漏自变量取值范围。 题型01.直线与坐标轴交点求解方程 题型02.方程的解与直线x轴交点判定 题型03.图象法解一元一次方程 题型04.直线坐标轴交点求不等式解集 题型05.两直线的交点求不等式解集 题型06.两直线交点与方程组的解 题型07.图象法解二元一次方程组 题型08.求直线围成的图形面积 题型09.分配方案问题 题型10.最大利润问题 题型11.行程问题 题型12.梯度计价问题 题型13.工程问题 题型14.经济问题 题型15.分段一次函数的实际应用 题型16.其他实际应用 题型17.一次函数与几何综合 题型18.和差倍分问题 知识点01:一次函数与一元一次方程 1.形式对应 一元一次方程：kx+b=0 一次函数：y=kx+b 2.几何意义 方程 kx+b=0 的解 ⇔ 函数 y=kx+b 图像与 x 轴交点的横坐标。 3.结论 求方程 kx+b=0 的解 ⇔ 找直线与 x 轴交点。 已知直线与 x 轴交点 (x0,0)，则方程解为 x=x0​。 . 知识点02:一次函数与一元一次不等式. 1.对应关系 kx+b>0 ⇔ y>0 kx+b<0 ⇔ y<0 kx+b≥0 ⇔ y≥0 kx+b≤0 ⇔ y≤0 2.几何意义 y>0：图像在 x 轴上方 部分对应的 x 取值范围。 y<0：图像在 x 轴下方 部分对应的 x 取值范围。 知识点03:一次函数与二元一次方程组 1.对应 二元一次方程组 ⇔ 两条直线 l1:y=k1x+b1和 l2:y=k2x+b2​。 2.解的几何意义 方程组的解 ⇔ 两条直线 交点坐标 (x,y)。 3.三种位置与解的情况 相交 ⇔ 有唯一一组解 平行 ⇔ 无解 重合 ⇔ 有无数组解 知识点04:一次函数应用解题步骤（通用） 步骤序号 详细通用解题步骤 1 审题，梳理题目已知条件、所求问题，找出题目中的数量关系 2 设定自变量与因变量，用字母表示相关未知量 3 根据等量关系，列出一次函数解析式 4 结合实际场景中的限制条件，列出不等式，确定自变量的取值范围 5 根据问题要求，利用解析式、方程或不等式进行计算 6 结合实际意义检验结果，舍去不符合条件的值 7 整理过程，规范写出最终答案 知识点05:常见实际模型 + 核心公式（必背） 题型 核心等量关系 & 公式 分配方案问题 1. 总数量=各部分数量之和 2. 总费用=单项单价×对应数量 最大利润问题 1. 单件利润=售价−进价 2. 总利润=单件利润×销售量−固定成本 3.总利润=总收入−总成本 行程问题 1. 路程 =速度×时间：s=vt 2.总路程= 初始路程 + 行驶路程：s=vt+s0 3.相遇：两者路程和 = 两地总距离 4.追及：两者路程差 = 初始间距 工程问题 1.工作总量=工作效率 × 工作时间 2.合作工作量=甲工作量+乙工作量（常规设工作总量为单位1） 梯度计价（分段计费） 总费用=各分段费用之和 单段费用= 本段单价 × 本段用量 和差倍分问题 1. 和：总量=各部分量相加 2.差：大数−小数 = 相差量 3.倍：较大量=较小量×倍数 知识点06:高频易错点 易错点 错误内容 一次函数与一元一次方程 把直线与 x 轴交点的纵坐标当成方程的解 一次函数与一元一次不等式 看错直线上下位置；不等号含等号时漏取分界点 一次函数与二元一次方程组 记错两直线平行、重合时方程组解的情况 自变量取值 实际问题中取负数、小数（人数 / 数量等） 分段计费 全程只用一个解析式，分界点计算出错 实际应用题 单位不统一；该列方程、不等式时混淆 题型01.直线与坐标轴交点求解方程 1．如图，直线与x轴的交点是，则关于x的方程的解是______． 【答案】1 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系：一次函数与x轴交点的横坐标即为一元一次方程的解．据此即可求解． 【详解】解：∵直线与x轴的交点是， ∴关于x的方程的解是 故答案为：． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线和相交于点，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点A（m，1）在直线y＝﹣2x上，可以得到m的值，然后根据函数图象，交点A的横坐标，即为方程﹣2x=ax+1.2的解． 【详解】解：∵点A（m，1）在直线y＝﹣2x上， ∴1＝﹣2m， 解得，m， ∴交点 ∴方程﹣2x=ax+1.2的解集为x， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 3．一次函数中变量与的部分对应值如下表所示． 给出下面四个结论： ①； ②一次函数的图象不经过第三象限； ③关于的方程的解是； ④关于的方程的解集是； 上述结论中，所有正确结论的序号是_____． 【答案】/④② 【分析】本题主要考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．根据：当时，，当时，，求出；根据解析式可知函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限；因为当时，，可知方程的解是；当时，，可知方程的解是． 【详解】解：由表格数据可知：当时，，当时，， 可得：， ，； 故错误； 由可知，一次函数的解析式为， 其中，直线与轴交点坐标是， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故正确； 由表格中的数据可知：当时，， 关于的方程的解是， 故错误； 由表格中的数据可知，当时，， 关于的方程的解是， 故正确． 故答案为：． 4．定义：图像与x轴有两个交点的函数y＝叫做关于直线x=m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B， （1）如图:直线l:x＝1,关于直线l的对称函数y＝与该直线交于点C ①直接写出点的坐标：A（ 　 　，0）；B（ 　 　，0）；C（1，　 　）； ②P为关于直线l的对称函数图像上一点（点P不与点C重合），当S△ABP=S△ABC时，求点P的坐标； （2）当直线y＝x与关于直线x=m的对称函数有两个交点时，求m的取值范围． 【答案】（1）①﹣2，2，2；②（-，-3）或（﹣，3）或（，﹣3）；（2）﹣2＜m≤． 【分析】（1）①令±2x+4=0，解得x=2或-1，从而求得A、B的坐标分，根据图像点C（1，3）； ②当点P在x轴上方时，根据题意得出点P、C所在的直线与x轴平行，进而求解；当点P在x轴下方时，同理可得：-3=±2x+4，即可求解； （2）分两种情况讨论；列出关于m的方程，求得m的值，结合图像即可求得m的取值范围． 【详解】解：令±2x+4=0，解得x=2或-1， 故点A、B的坐标分别为（-2，0）、（2，0）， ∵函数与x轴负半轴交点为A，与x轴正半轴交点记B，则-2＜m≤2； （1）①从图像看，x=1时，y=-2x+4=2，故点C（1，2）； 故答案为-2，2，2； ②当点P在x轴上方时， ∵S△ABC=S△ABP，C（1，2）， 故点P的纵坐标为3， 当y=2x+4=3时，x=-，故点P（-，3）； 当点P在x轴下方时， 同理可得：-3=±2x+4，解得x=±， 故点P的坐标为（-，-3）或（﹣，3）或（，﹣3）； （2）当直线y＝x与关于m的对称函数有两个交点时， 当m≥0时，点C（m，4﹣2m）， 将点C的坐标代入y＝x得：4﹣2m＝m，解得m＝； ∴0≤m≤， 当m＜0时，m＝2m+4， 解得m＝﹣4， ∴-4＜m＜0 又∵﹣2＜m≤2， ∴﹣2＜m≤． 【点睛】本题考查了一次函数图像与几何变换，一次函数的性质、一次函数图像上点的坐标特征，分类讨论是解题的关键． 题型02.方程的解与直线x轴交点判定 5．若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键；根据方程可知当时， ，从而可判断直线经过点即可． 【详解】解：由方程的解可知：当时，，即当时，， 直线一定经过点， 故选：C． 6．如图，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段上，线段沿翻折．点O落在边上的点D处，则的长度为____________． 【答案】5 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点，折叠的性质，勾股定理等知识，求出点C坐标是解答本题的关键． 由直线解析式可求出点A和点B的坐标，进而可求出，，再由勾股定理可求出．由折叠可知，，，从而可求出．设，则，在中，利用勾股定理可列出关于x的方程，解出x，即可求解． 【详解】解：对于直线，令，则， 解得：， ∴， ∴． 令，则， ∴， ∴， ∴． 由折叠可知，，， ∴． 设，则， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：5． 7．如图，点，，点P为y轴上一点，当的和最小时，点P的坐标为（   ） . A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作点关于轴的对称点，连接，交y轴于点P，连接，利用待定系数法即可求得直线的解析式，继而求得点的坐标． 【详解】解：作点关于轴的对称点，连接，交y轴于点P，连接，如图所示： 根据轴对称可得：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵， 的坐标为， 设直线的解析式为：， ， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， 点的坐标为：． 8．研数综理融光象，探径合律觅真章、借轴实策寻捷径，知行践悟启智长．某数学兴趣小组结合物理学中的光的反射现象，开展了“探究最短路径与光的反射定律的关系”活动，探究并完成下面填空与证明． 【主题】探究最短路径与光的反射定律的关系 【活动一】“两定一动”型最短路径问题探究： 如图1，已知点，，在轴上找一点，使的值最小： (1)作法：作点关于轴的对称点（    ），连接与轴的交点即为（__________）；（填写坐标） (2)求法：由作法知：，的长度是__________； (3)说理：的依据是__________，轴上的点到，距离之和的最小值等于的依据是__________； 【活动二】“光的反射定律”的数理探究：光的反射遵循“反射角等于入射角”的规律． 如图，已知光源位于点，将轴视为平面镜，在轴上确定点，使光线经过点反射后恰好过点； (4)应用：运用活动一的作法，可得（__________）；（填写坐标） (5)悟理：如图2，过点作轴于点，证明：． 【答案】(1)， (2)10 (3)轴对称的性质；两点之间，线段最短 (4) (5)见解析 【分析】（1）根据关于x轴对称点的坐标特征求出的坐标，待定系数法求出直线的解析式，然后令，求出x的值，即可求解； （2）连接，根据勾股定理求解即可； （3）根据轴对称的性质和线段公理解答即可； （4）待定系数法求出直线的解析式，然后令，求出x的值，即可求解； （5）根据轴对称的性质得出，然后根据余角的性质即可得证． 【详解】（1）解：∵，A、关于x轴对称， ∴， 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴， 当时，，解得， ∴； （2）解：连接， ∵，， ∴，轴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵A、关于x轴对称， ∴； 由（2）知：， ∴轴上的点到，距离之和的最小值等于的依据是两点之间，线段最短； （4）解：作点关于轴对称的点，则，连接交x轴于D， 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴， 当时，，解得， ∴； （5）证明：如图， ∵点、点关于轴对称， ∴， 又， ∴， ∵轴， ∴， ∴． 题型03.图象法解一元一次方程 9．如图，一次函数（为常数，且）与正比例函数（k为常数，且）的图象交于点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次方程的关系，掌握数形结合思想是解题的关键． 由的函数图象与函数的图象相交交点坐标横坐标为，从而可得到方程的解． 【详解】解：∵从图象可看出的函数图象与函数的图象相交的交点坐标横坐标为， ∴方程的解是． 故选：A． 10．如图是一次函数的图象，则关于的方程的解为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．一次函数的图象上纵坐标为1的点的横坐标即为方程的解，据此求解即可． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴关于x的方程的解是． ∴关于的方程的解为． 故答案为：4． 11．如图，一次函数（，为常数且）与一次函数（，为常数且）的图象相交于点，给出下列结论：①关于的方程的解是；②当时，函数的值比函数的值小；③关于的不等式的解集是；④关于，的方程组的解是，其中错误的结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与方程和不等式的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数与方程和不等式的关系逐项判断即可． 【详解】解：①：方程 的解为两函数图象交点的横坐标，即 ，正确． ②：当 时，函数 的图象在 图象下方，即的值小于 的值，正确． ③：不等式 的解集为图象在图象下方时的取值范围，即 ，而不是 ，错误． ④：方程组 的解为两函数图象交点坐标，是 ，正确． 错误的结论有1个， 故选：B． 12．（1）已知，，求的值． （2）关于x的方程有三个整数解，求a的值． 【答案】（1）；（2）1 【分析】本题考查了分式的化简求值，含绝对值的一元一次方程． （1）原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，根据已知得，，将所求式子通分后，代入，再变形，再整体代入计算即可求出值； （2）设，画出函数图象，结合函数图象求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∴原式 ； （2）当时，或， 令， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴的函数图象如下所示： 由图可得，当时，交点横坐标为整数的只有， ∴关于x的方程有三个整数解时，． 题型04.直线坐标轴交点求不等式解集. 13．如图，直线交坐标轴于两点，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】掌握由函数图象求不等式解集的方法求解即可． 【详解】解：求不等式的解集就是找直线在轴及其下方部分对应的自变量的取值范围， ， 当时，直线在轴及其下方， 即不等式的解集是． 14．如图，若一次函数和的图像相交于点，则不等式的解集为______． 【答案】 【详解】解：对于，当时，， 由函数图象可知，不等式的解集为． 15．如图，一次函数的图象与x轴交于点，与的图象交于点，则下列说法错误的是（     ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．关于x，y的方程组的解是 D．不等式的解集是 【答案】D 【分析】先根据一次函数图象与x轴的交点解答A，再根据两直线的交点解答B，C，然后根据直线在直线下方的部分的自变量取值解答D． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴当时，， 所以方程的解是，则A正确； ∵一次函数的图象和一次函数的图象交于点， ∴当时，两个函数值相等， 即方程的解是，则B正确； 方程组的解是，则C正确； 不等式的解集是，则D错误． 16．如图所示，在同一坐标系中一次函数和的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C，已知点A坐标为，点B坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ． (2)若点C坐标为，关于x的不等式的解集是 ． (3)在（2）的条件下，求四边形的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用一次函数上的点，其纵坐标为值，横坐标为值得到答案． （2）根据一次函数图象的所求图象在某点的左侧，则小于该点的横坐标，在某点的右侧，则大于该点的横坐标得到答案． （3）根据点的左边，得出对应线段的长度，用割补法求出答案． 【详解】（1）解：∵一次函数过点， ∴当时，； ∵一次函数过点， ∴当时，， 根据图象可知，当时，一次函数的图象在点的右侧， ∴． （2）解：由图象可知当时，一次函数在点的右侧， ∴， ∵点时一次函数和的交点， ∴当时，两个一次函数的函数值相等， 当时，图象在点的左侧， ∴， 综上所述，． （3）解：∵一次函数过点和点， ∴将两点代入到一次函数中， ， 解得，一次函数表达式为：， 令，解得，即点， 如图所示，过点作垂直于轴交轴于点， 由题意知：， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的综合问题，解题关键是能将点的坐标与一次函数的关系理清楚． 题型05.两直线的交点求不等式解集 17．如图，函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不等式的解集，对应直线的图象在直线下方时的取值范围，结合两直线交点的横坐标判断即可． 【详解】解：∵函数和的图象相交于点，由图可得时，直线的图象在直线下方， ∴的解集为． 18．如图，直线与相交于点，已知点的横坐标为，则关于的不等式的解集为_____． 【答案】 【分析】利用交点的横坐标，数形结合思想求解即可； 【详解】解：因为直线与相交于点， 且点的横坐标为， 故关于的不等式的解集为； 19．一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②关于的方程的解是；③当时，；④当时，．其中正确的是（   ） A．①③ B．①②④ C．②③ D．①④ 【答案】B 【分析】利用一次函数的性质对①进行判断；利用一次函数的交点问题对②④进行判断；结合函数图象对③进行判断． 【详解】解：直线经过第一、三象限， ， 直线与轴的交点在轴下方， ， ，故①正确； 一次函数与的图象的交点的横坐标为3， 关于的方程的解是， ∴关于的方程的解是，故②正确； 当时，，故③错误； 当时，函数， 一次函数与的图象的交点的横坐标为3， 关于的方程的解是， ， ，故④正确； 综上可知，正确的是：①②④． 20．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式以及不等式恒成立问题，熟练运用待定系数法和分类讨论思想分析函数与不等式的关系是解答本题的关键． （1）利用待定系数法，将已知点的坐标代入函数解析式，列方程组求解、的值； （2）先将（1）中求得的、值代入函数解析式，再根据题意列出不等式组，通过对的取值进行分类讨论，结合一次函数的增减性分析不等式恒成立的条件，进而确定的取值范围． 【详解】（1）解：函数的图象经过点，， ， 解得：； （2）解：由（1）得， 由题意得，当时，可得不等式组， 解①：整理得， 当，即时，，随着逐渐增大，无法恒小于一个数，不成立， 当，即时，恒成立， 当，即时，，要使该不等式恒成立，需满足， 解得：， 综上所述，； 解②：整理得，， 当时，逐渐减小，不成立， 当时，不成立， 当时，，要使该不等式恒成立，需满足， 解得：， 综上所述，． 题型06.两直线交点与方程组的解 21．如图，直线与直线交于点，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，运用数形结合的思想即可解答． 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴方程组的解是：． 22．如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为 ______． 【答案】 【分析】把点的坐标代入直线的解析式，求出点的坐标，因为直线与直线相交于点，所以方程组的解为． 【详解】解：把点的坐标代入直线的解析式， 可得：， 点的坐标为， 关于，的方程组的解为． 23．从2，3，4，5这四个数中，任取两个数p和q（），构成函数和，使两个函数图象的交点在直线的左侧，则这样的有序数组共有（   ）组． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，求一元一次不等式的解集，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象和性质． 联立解析式表示出交点的横坐标，然后根据交点的位置列出不等式，分析不等式的解集即可得出答案． 【详解】解：联立解析式和， 解得， ∵两个函数图象的交点在直线的左侧， ∴， 根据可取值为：2,3,4,5， ∴， ∴， 整理得， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，可取2，3； 当时，，可取2，3，4； ∴这样的有序数组共有5组， 故选：C． 24．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． (1)求，的值； (2)过点作轴的垂线，分别交函数与的图象于点，． ①当时，求的长； ②当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)① ；② 或 【分析】（1）将代入，求得，即，再利用待定系数法求解即可； （2）①当时，求得，，再计算的长即可； ②由题意得，，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵的图象经过点， ∴， ∴， ∵函数的图象经过点， ∴， 解得； （2）解：①由（1）函数的解析式为， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ②由题意得，，， 当即时，，解得； 当即时，，解得； 综上，的取值范围为或． 题型07.图象法解二元一次方程组 25．如图，在同一直角坐标系中作出一次函数与的图象， 则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察图象，直接根据两直线的交点坐标写出方程组的解，即可作答． 【详解】解：由题图可知：一次函数与的图象交于(1，2)， 所以方程组的解是：； 故选：D． 【点睛】函数与的交点坐标就是方程组的解，明确此知识点是解题的关键． 26．已知关于x，y的二元一次方程组无解，则k的值为_____． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程组与一次函数的综合问题． 二元一次方程组无解的条件是两条直线平行，即x的系数相等但b不等，通过令k相等求解k的值． 【详解】解：由方程组无解，得直线与直线平行，故x的系数相等，即 ． 解方程： ， 移项得： ， 即：， 解得：． 故答案为：． 27．利用图象解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在同一个平面直角坐标系中，由描点法作出直线和直线，找出两条直线的交点坐标就得到二元一次方程组的解． （2）在同一个平面直角坐标系中，由描点法作出直线和直线，找出两条直线的交点坐标就得到二元一次方程组的解． 【详解】（1）解：对于，当时，，则；当时，，则； 对于，当时，，则；当时，，则； 在平面直角坐标系中描点、连线，如图所示： 两条直线交点，则原方程组的解为； （2）解：对于，当时，，则；当时，，则； 对于，当时，，则；当时，，则； 在平面直角坐标系中描点、连线，如图所示： 两条直线交点，则原方程组的解为． 题型08.求直线围成的图形面积 28．直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A．4 B．2 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数的图象与坐标轴的关系可知待求的三角形为直角三角形，利用一次函数图象与坐标轴的交点可求出直角三角形的两直角边，从而很容易求得面积． 【详解】解：当时，， 当时，， 直线与x轴、y轴分别交于， 直线与两坐标轴围成的三角形的面积为： ． 故选：A． 29．已知一次函数和的图象都经过点，且与y轴分别交于B，C两点，那么的面积是 _____________． 【答案】 【分析】首先分别把代入两个函数解析式中，解得，，即得，，然后根据三点坐标求的面积． 【详解】解：把代入和两个函数解析式中， 得：，， ∴，， ∴，， ∴． 30．在平面直角坐标系中，直线，直线，若，与y轴围成的三角形的面积为5，则k的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了两直线与y轴围成的图形面积问题．熟练掌握一次函数图象和性质，三角形面积公式，待定系数法求函数解析式，是解题关键． 设交y轴于点A，交y轴于点B，两直线交于点C，过点C作轴于点D，求出，，得到，根据，与y轴围成的三角形的面积为5，得到，代入求得，代入，即得． 【详解】解：设交y轴于点A，交y轴于点B，两直线交于点C，过点C作轴于点D， ∵中，时，；中，时，． ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，当时，， ∴， 代入， 得，， 解得，． 故选：D． 31．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与轴交于点，与直线交于点，且点的横坐标为1． (1)求直线的表达式； (2)若点在直线上，且的面积与的面积相等，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】（1）由正比例函数解析式求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）根据一次函数的解析式求得B的坐标，然后设D点坐标为，分类讨论，当D在第二象限或第四象限时，分别求出D点坐标即可． 【详解】（1）解：将代入得， 点的坐标为． 将点代入中，得， 解得， 所以，函数表达式为； （2）解：∵一次函数为， 当时，则， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵点D在直线上， ∴设， ∵的面积与的面积相等， ∴， ①当点D在第二象限时，即时； ∵， ∴， 解得， ∴点D的坐标为； ②当点D在第四象限时，即时； ∴， 解得：， ∴点D的坐标为， 综上所述点D的坐标为或． 题型09.分配方案问题 32．学校有1100本作文本需要打包发放，现有A、B两种型号的箱子可供选择．已知1个型箱子和2个型箱子装满后可打包500本作文本，2个型箱子和1个型箱子装满后可打包400本作文本．学校计划同时使用两种箱子一次打包完毕，且恰好每个箱子都装满作文本． (1)每个型箱子和型箱子分别能装多少本作文本？ (2)若型箱子每个3元，型箱子每个5元，共有几种打包方案？哪种方案费用最少？ 【答案】(1)每个型箱子能装100本作文本，每个型箱子能装200本作文本 (2)共有5种打包方案，型箱子1个，型箱子5个，费用最少，为28元 【分析】本题考查二元一次方程（组）的应用、一次函数的应用，理解题意是解答的关键． （1）设每个A型箱子能装本作文本，每个B型箱子能装本作文本，根据题意列方程组求解即可； （2）设需要A型箱子个，B型箱子个，费用为元，根据题意可得到，进而由a、b为正整数求得a、b的值，再得到，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每个A型箱子能装本作文本，每个B型箱子能装本作文本， 根据题意，得，解得， 答：每个A型箱子能装100本作文本，每个B型箱子能装200本作文本； （2）解：设需要A型箱子个，B型箱子个，费用为元 由题意， 为正整数 ∴或或或或 随增大而减小 ∴当时，取得最小值，此时 答：共有5种打包方案，A型箱子1个，B型箱子5个，费用最少，为28元． 33．某农户购进甲、乙两种插秧机，已知甲比乙每小时多插1亩，甲插18亩与乙插12亩时间相同． (1)求甲、乙每小时插秧亩数； (2)安排共10台机器，每小时完成不少于24亩，甲费用80元/台，乙60元/台，求每小时最少费用． 【答案】(1)甲每小时插秧3亩，乙每小时插秧2亩 (2)每小时最少费用680元 【分析】（1）设乙种插秧机每小时插秧x亩，则甲种插秧机每小时插秧亩，列出分式方程即可求解； （2）设安排甲种插秧机m台，则安排乙种插秧机台，先由题意求出的取值范围，再列出费用的一次函数表达式，即可求解． 【详解】（1）解：设乙种插秧机每小时插秧x亩，则甲种插秧机每小时插秧亩， 由题意得，， 解得， 经检验为原方程解， ∴, ∴甲种插秧机每小时插秧3亩，乙种插秧机每小时插秧2亩． （2）解：设安排甲种插秧机m台，则安排乙种插秧机台， 由题意得，， 解得， 设费用为， 由题意得，， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，费用最少，最少费用为元． 34．今年年初，某种玩偶以其独特的外观爆火，广受年轻人的喜爱．因市场需要，厂家需要加大生产力度．已知这种产品需要，B两种主要原材料．该厂购进了这两种原料A，B，其中购进千克A材料和千克材料的总价为89元．购进千克A材料和千克B材料的总价为96元（单位：元/千克）． (1)A、B两种原材料每千克的价格分别是多少元； (2)若该工厂计划购进两种原材料共2700千克，其中购进A材料的重量不少于B材料重量的2倍，且B材料购进不少于300千克．当购进A材料多少千克时所需资金最少，最少资金是多少． (3)为满足市场需求，厂家派遣甲、乙两辆配送车从仓库出发，前往货运站配送货物．甲配送车提前出发，他们的配送距离s（千米）关于配送时间t（分钟）的函数图象如图所示： ①乙配送车从出发到追上甲配送车需要 分钟． ②乙车出发 分钟，甲乙两车相距1.62千米． 【答案】(1)A材料每千克5元，B材料每千克6元 (2)购进A材料2400千克，最少资金为13800元 (3)20；2或38 【分析】（1）根据两种购买方案的总价列二元一次方程组，求解A、B两种原材料的单价． （2）根据题意列一元一次不等式组确定自变量的取值范围，建立所需资金关于购进A材料重量的一次函数关系式，根据一次函数的增减性求最值． （3）①根据图象即可求解；②根据函数图象上的点的坐标求出甲、乙两车的速度，分乙车追上甲车之前和之后两种情况列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设A材料每千克元，B材料每千克元， 根据题意，得， 解得， ∴A材料每千克5元，B材料每千克6元； （2）解：设购进A材料千克，则购进B材料千克， 购进A材料的重量不少于B材料重量的倍， ， ， B材料购进不少于300千克， ， ， ， 设所需资金为元， ， ， ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值， ． 答：当购进A材料2400千克时所需资金最少，最少资金是13800元； （3）解：①由图象可知，乙车追上甲车所需时间为分钟； ②由图象可知，甲车速度为千米/分钟， 乙车速度为千米/分钟， 乙车出发时，甲车已行驶12分钟， 甲车领先距离为千米， 设乙车出发后分钟，甲乙两车相距1.62千米， 当乙车追上甲车前，甲车在乙车前， ， 解得， 当乙车追上甲车后，乙车在甲车前， ， 解得． 故乙车出发2或38分钟，甲乙两车相距1.62千米． 题型10.最大利润问题 35．某书店在“读书节”之前，图书按标价销售，在“读书节”期间制定了活动计划． (1)“读书节”之前小明发现：购买5本A图书和8本B图书共花335元，购买10本A图书比购买6本B图书多花120元，请求出A、B图书的标价； (2)“读书节”期间书店计划购进A、B图书共200本，且A图书不少于40本．不多于60本，A、B两种图书进价分别为20元、18元，销售时准备A图书每本降价1.5元，B图书价格不变，设A图书进货m本，请写出m的取值范围，并用含m的式子表示书店此时的利润W（元）； (3)在（2）的条件下，书店如何进货才能使利润最大，最大是多少？ 【答案】(1)A图书标价27元，B图书标价25元 (2) (3)购进A图书40本，B图书160本，利润最大，为元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、不等式组的应用，一次函数的应用，理解题意，正确列出二元一次方程组和一次函数是解此题的关键． （1）设图书标价x元，图书标价y元，根据“购买5本A图书和8本B图书共花335元，购买10本A图书比购买6本B图书多花120元”列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设购进图书m本，图书本，利润为W元．根据题意得出W关于的关系式； （3）根据一次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：设图书标价x元/本，图书标价y元/本． 由题意得：， 解得， 答：图书标价27元/本，图书标价25元/本； （2）解：依题意，设购进图书本，图书本，利润为元． 则 ， ∵A图书不少于40本．不多于60本， ∴； （3）解：依题意，； 随的增大而减小， ， 当时，W有最大值为（元），（本）， 答：购进图书40本，图书160本，利润最大，为元． 36．年春节，智能健康手表成为热门“孝心年货”，其中、两款手表深受市民喜爱．某商店专营该两款手表，已知款手表的进价比款手表每块多元．该商店用元购进款手表的数量，与用元购进款手表的数量相等． (1)求款、款手表每块的进价分别为多少元？ (2)该商店计划购进这两款手表(两种都要购进）共块，且进货总费用不超过元．已知每块款手表利润元，每块款手表利润元．求全部售出后可获得的最大总利润． 【答案】(1)款手表每块进价元，款手表每块进价元 (2)元 【分析】（1）设款手表每块进价元，款手表每块进价元，根据“用元购进款手表的数量，与用元购进款手表的数量相等”可列出关于的分式方程，求解并检验后可得答案； （2）设购进款手表（为正整数）块，则购进款手表块，全部售出的利润为元，根据“进货总费用不超过元”列出关于的不等式，求解后确定的取值范围；根据“每块款手表利润元，每块款手表利润元”可确定关于的一次函数，根据一次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：设款手表每块进价元，款手表每块进价元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴（元）， ∴款手表每块进价元，款手表每块进价元； （2）解：设购进款手表（为正整数）块，则购进款手表块，全部售出的利润为元， ∵进货总费用不超过元， ∴， 解得：， 又∵购进款手表块， ∴， 解得：， ∴（为正整数）， 全部售出后可获得的利润为：， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为（元）， ∴全部售出后可获得的最大总利润为元． 37．2026年，广东省第十七届运动会将在茂名市举办，运动会吉祥物的名字叫“荔荔”．为助力传递省运热情与宣传茂名本土文化，某商家近日购进了一批“荔荔”玩偶和“好心茂名”徽章进行销售． 信息一：每个“好心茂名”徽章的进价比每个“荔荔”玩偶的进价贵15元．该商店用600元购进“荔荔”玩偶的数量，与用750元购进“好心茂名”徽章的数量相同． 信息二：该商店计划购进“荔荔”和“好心茂名”徽章共180个，总进价费用不超过12000元，每个“荔荔”玩偶售价为65元，每个“好心茂名”徽章售价为85元，全部售完． 问题： (1)求每个“荔荔”玩偶和“好心茂名”徽章的进价各是多少元． (2)设该商店购进“荔荔”玩偶个，总获利为元．写出与的函数关系式； (3)在进货数量符合要求的条件下，求的最大值． 【答案】(1)每个“荔荔”玩偶的进价为60元，每个“好心茂名”徽章的进价为75元 (2) (3)的最大值为1300元 【分析】（1）设每个“荔荔”玩偶的进价是元，则每个“好心茂名”徽章的进价是元，根据题意列出分式方程并求解，即可获得答案； （2）设购进“荔荔”玩偶a个，则购进“好心茂名”徽章个，结合（1）可知每个“荔荔”玩偶的利润为5元，每个“好心茂名”徽章的利润为10元，然后列出与的函数关系式即可； （3）首先根据题意确定的取值范围，然后结合一次函数的性质，即可获得答案． 【详解】（1）解：设每个“荔荔”玩偶的进价是元，则每个“好心茂名”徽章的进价是元， 根据题意，可得， 解得（元），经检验，是该分式方程的解， ∴（元）， 答：每个“荔荔”玩偶的进价为60元，每个“好心茂名”徽章的进价为75元； （2）设购进“荔荔”玩偶a个，则购进“好心茂名”徽章个， 每个“荔荔”玩偶的利润为（元）， 每个“好心茂名”徽章的利润为（元）， 总利润，化简得； （3）根据总进价费用不超过12000元，得， 解得， 又∵a为非负整数，且， ∴，且a为整数， 由， ∵， ∴w随a的增大而减小， ∵，且a为整数， ∴当时，w取得最大值， 将代入，得（元）， 答：w的最大值为1300元． 题型11.行程问题 38．清明假期期间，小刚从家出发，自驾匀速前往某景区游玩，途中经过服务区休息一段时间后，继续以另一速度匀速行驶前往目的地，小刚离家的距离（千米）与离开家的时间（小时）之间的函数关系如图所示． (1)小刚在服务区休息了_____小时； (2)求所在直线对应的函数表达式； (3)当小刚离家的距离恰好为200千米时，小刚离开家_____小时． 【答案】(1)1 (2) (3)3.2 【分析】（1）根据函数图象，可得两点之间的函数值无变化，即可求解； （2）待定系数法求解析式，即可求解； （3）将代入解析式，即可求解． 【详解】（1）解： 根据函数图象可得小刚在服务区休息了1小时； （2）解：设所在直线对应的函数表达式为， 把代入， 得， 解得， 所以线段所在直线对应的函数表达式为． （3）解：当时， 解得：， ∴小刚离开家3.2小时． 39．某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校，如图所示是小明从家到学校这一过程中离家的距离（米）与离家时间（分）之间的关系，根据图象解答下列问题： (1)小明从家到学校的路程共多少米？ (2)从家出发到学校，小明共用了多少分钟？ (3)小明修车前和修车后的平均速度分别是多少？ 【答案】(1)米 (2)分钟 (3)小明修车前的速度为米/分钟，小明修车后的速度为米/分钟． 【分析】（1）根据观察图象，纵坐标表示离家的距离，即路程最大值为米； （2）观察图象可知，横坐标表示离家的时间，图象中横坐标的最大值为分钟； （3）由图象可知，小明修车前分钟行驶了米，小明修车后行驶的路程为（米），修车后所用的时间为（分钟），根据速度路程时间，即可求解． 【详解】（1）观察函数图象可知，图象的终点坐标为； 纵坐标表示离家的距离，即路程最大值为米； 故小明从家到学校的路程共米． （2）观察图象可知，横坐标表示离家的时间，图象中横坐标的最大值为分钟， 所以从家出发到学校，小明共用了分钟． （3）由图象可知，小明修车前分钟行驶了米， 所以修车前的平均速度为(米/分钟)， 小明修车后行驶的路程为（米），修车后所用的时间为（分钟） 所以修车后的平均速度为（米/分钟） 答：小明修车前的平均速度为米/分钟，修车后的平均速度为米/分钟． 40．甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人间的距离与甲行驶的时间之间的关系如图所示． (1)A、B两地之间的路程为________； (2)求甲骑摩托车的速度； (3)甲出发多少小时后，甲、乙两人相距． 【答案】(1)240 (2) (3)甲出发或后，甲、乙两人相距 【分析】（1）由图象可得，A、B两地之间路程为； （2）出发2小时时，甲乙在途中相遇，从而可以求得它们各自的速度； （3）根据图象可知相遇前和相遇后，存在这两种情况甲、乙两人相距，然后列式计算即可． 【详解】（1）解：根据函数图象可得，A、B两地之间路程为； （2）解：根据函数图象可得，甲的速度是：； （3）解：乙的速度是：， 相遇之前：， 相遇之后，乙到达终点时，两人相距， 因此甲、乙两人相距时，正好是甲行驶的时间，即， 综上，甲出发或后，甲、乙两人相距． 题型12.梯度计价问题 41．某市出租车采取分段收费方式：起步价为元，即路程不超过千米时收费元，超过部分每千米收费元．乘车费与行驶路程之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)由图像知，__________，__________，__________． (2)若乘客乘坐出租车的路程为千米时，乘车费为元，请求出与之间的关系式． (3)若小明共付车费元，那么出租车共行驶了多少千米？ 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）根据分段收费的定义和图像信息来确定、、的值即可． （2）根据待定系数法即可求解． （3）根据已知的车费判断行驶路程是否超过起步路程，然后代入相应的关系式求解即可． 【详解】（1）解：从图象可知，当行驶路程为到千米时，乘车费固定为元， 此时对应的乘车费为元，即， 当乘车费开始变化时，对应的行驶路程就是的值，从图像可得， 从图像可知，当行驶路程为千米时，乘车费为元； 当行驶路程为千米时，乘车费为元， 那么超过千米的部分行驶了千米，费用增加了元， 所以每千米收费元． （2）解：当时，设与之间的关系式为． 将与代入关系式， 则有，解得， 则与之间的关系式为． （3）解：当时，可知行驶路程已超过起步路程， 则，解． 答：出租车共行驶了千米． 42．“数趣研习社”网络学习平台为满足不同用户的学习需求，策划了A、B两种上网学习的月收费套餐，具体收费标准如下表： 收费套餐 月使用费／元 包月上网时间／ 超时费／（元／） 5 20 0.4 0.5 设每月上网学习时间为小时，套餐A、B对应的收费金额分别为元，元． (1)如图是与之间函数关系的图象，请根据图象填空：__________，__________； (2)当时，求与之间的函数关系式． (3)已知某同学每月平均上网学习的时间为70小时，选择哪种方式上网学习合算？请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)选择B方式上网学习合算，理由见解析 【分析】（1）观察函数图象，即可作答； （2）根据表格的信息列式，即可作答； （3）分别算出当每月上网时间70小时的时候，方案A，B的收费金额，再进行比较，即可作答． 【详解】（1）解：由函数图象可知，，； （2）解：当时，； （3）解：每月上网时间为70小时，选择B方式上网学习合算，理由如下： 由图象可得， 当时，（元）， （元）， ∵， ∴如果每月上网时间70小时，选择B方式上网学习合算． 43．“兰陵大蒜”是山东知名特色农产品，也是国家地理标志产品．为推动乡村产业高质量发展，拓宽优质农产品销售渠道，某电商平台联合当地农民专业合作社开展助农专场促销活动，对兰陵大蒜实行分段计价销售：一次性购买大蒜不超过时，按原价销售；超过时，超过部分享受助农优惠价．如图为购买大蒜消费金额（元）与购买量之间的函数图象． (1)①大蒜的原价为_________元；②求当时，与之间的函数关系式． (2)某餐馆为储备食材，在活动期间一次性购买大蒜，求该餐馆比按原价购买节省多少元？ (3)某农产品经销商通过该活动采购大蒜，共支付270元，求该经销商本次采购大蒜多少千克？ 【答案】(1)18； (2)节省30元 (3)该经销商本次采购大蒜 【分析】（1）①根据图象可得答案；②根据图象，当时，与之间满足一次函数关系，利用待定系数法求解即可； （2）先分别求出原价花费和实际花费，再比较大小即可得答案； （3）将代入求得x值即可． 【详解】（1）解：①根据图象，当时，， ∴原价为（元）； ②根据图象，当时，与之间满足一次函数关系， 设时，与之间的函数关系式为， 将，代入，得，解得， 与之间的函数关系式为； （2）解：当时，原价花费：（元）； 实际花费：（元）； ∴（元）， 答：该餐馆比按原价购买节省30元； （3）解：， 当时，由解得． 答：该经销商本次采购大蒜． 题型13.工程问题 44．甲、乙两个工程组同时挖掘松长高速某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务．甲、乙两组挖掘的长度之和甲组挖掘时间（天）之间的关系如图所示． (1)甲组每天挖掘_______米，乙组每天挖掘_______米； (2)求乙组停工后关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数． 【答案】(1)3，4 (2) (3)10天 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，理解题意观察图象得到有用信息是解题的关键． （1）由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，结合工作量除以工作时间等于工作效率，进行列式计算即可； （2）设乙组停工后y关于x的函数解析式为，用待定系数法求解，再结合图象即可得到自变量x的取值范围； （3）先计算乙组挖掘的总长度，设乙组已停工的天数为a，根据甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等，列方程计算即可． 【详解】（1）解：由图象得，甲组每天挖（米）， 甲乙合作每天挖（米）， ∴乙组每天挖（米）， ∴甲组每天挖掘3米，乙组每天挖掘4米； （2）解：设乙组停工后y关于x的函数解析式为， 将和两个点代入， 可得， 解得， ∴； （3）解：由（1）得甲组每天挖米，乙组每天挖米， 则乙组挖掘的总长度为（米） 设乙组已停工的天数为a， 则， 解得， 答：乙组已停工的天数为10天． 45．为落实“打通断头路、畅通微循环”民生工程，某市计划在一条2000米的断头路段铺设便民步道，通过招标安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天的铺设效率是乙队的2倍，甲队单独完成全部铺设比乙队少用5天． (1)求甲、乙两个工程队每天能铺设的步道长度各是多少米； (2)若甲队铺设一天需支付费用0.8万元，乙队铺设一天需支付费用0.3万元，要求乙队铺设天数不超过甲队的2倍，要使总费用最低，甲、乙两队应分别铺设多少天？（天数取正整数） 【答案】(1)甲工程队每天能铺设400米，乙工程队每天能铺设200米 (2)总费用最低时，甲队应铺设3天，乙队应铺设4天 【分析】（1）设乙工程队每天能铺设米，则甲工程队每天能铺设米，由题意易得，然后进行求解即可； （2）设甲队应铺设天，铺设总费用为万元，则乙队应铺设天，由题意易得，，然后问题可求解． 【详解】（1）解：设乙工程队每天能铺设米，则甲工程队每天能铺设米，由题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴； 答：甲工程队每天能铺设400米，乙工程队每天能铺设200米． （2）解：设甲队应铺设天，铺设总费用为万元，则乙队应铺设天，由题意得： ， 解得：， ， ∵， ∴随的增大而增大， ∵取正整数， ∴当时，总费用最低， ∴； 答：总费用最低时，甲队应铺设3天，乙队应铺设4天． 46．某市为推进绿色出行体系建设，拟对现有新能源汽车充电设施进行扩建改造．该工程由甲，乙两家电力工程公司共同承担施工任务，已知若由甲公司独立施工，完成全部工程需要个工作日；若采用乙公司先行施工个工作日，剩余工程由甲乙两公司联合施工个工作日的方式，亦可完成全部工程． (1)求乙公司单独完成此项充电站扩建工程需要多少个工作日？ (2)现工程预算为不超过万元，已知甲公司施工费用为每日万元，乙公司施工费用为每日万元．若采用乙公司先独立施工若干工作日后，再由甲乙两公司联合施工的方式完成工程，则甲公司至少需要参与施工多少个工作日？ 【答案】(1)个 (2)个 【分析】（）设乙公司单独完成此项充电站扩建工程需要个工作日，根据题意列出方程即可求解； （）设乙公司先独立施工个工作日，甲乙公司合作施工个工作日，根据题意可得，解不等式即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找到等量关系和不等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设乙公司单独完成此项充电站扩建工程需要个工作日， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，符合题意， 答：乙公司单独完成此项充电站扩建工程需要个工作日； （2）解：设乙公司先独立施工个工作日，甲乙公司合作施工个工作日， 由题意得，， 解得， 答：甲公司至少需要参与施工个工作日． 题型14.经济问题 47．黑龙江鸡西柳毛石墨矿是国内标志性优质石墨矿区，依托先进的磨浮、烘干、筛分生产线，生产高端石墨精粉，产品广泛应用于新能源电池、冶金工业等领域．矿区工厂加工石墨精粉时，每日生产设备检修、机器运转的固定成本为800元，每生产1吨石墨精粉，额外需要原料、人工等成本120元．设工厂每日生产石墨精粉x吨，每日生产总成本为y元． (1)请写出y与x之间的函数解析式； (2)若该厂某日生产石墨精粉15吨，求当日的生产总成本． 【答案】(1)； (2)2600元 【分析】（1）根据总成本固定成本人工成本，即可得到答案； （2）把代入函数解析式即可求解 【详解】（1）解：由题意得：y与x之间的一次函数解析式为； （2）解：当时， 答：生产石墨精粉15吨时当日的生产总成本2600元． 48．洛阳博物馆文创商店热销两款特色文创产品：唐三彩小胖马摆件和唐媚儿牡丹笔记本．已知购买个唐三彩小胖马摆件和本唐媚儿牡丹笔记本共需元；购买个唐三彩小胖马摆件和本唐媚儿牡丹笔记本共需元． (1)求每件唐三彩小胖马摆件、每本唐媚儿牡丹笔记本的单价； (2)某学校研学小组计划购买这两种文创产品共件，要求唐媚儿牡丹笔记本的数量不超过唐三彩小胖马摆件数量的倍，求该小组最少需要花费多少元． 【答案】(1) 每件唐三彩小胖马摆件元，每本唐媚儿牡丹笔记本元； (2) 该小组最少需要花费元． 【分析】（1）设每件唐三彩小胖马摆件元，每本唐媚儿牡丹笔记本元，结合题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设购买唐三彩小胖马摆件件，则购买唐媚儿牡丹笔记本本，小组花费为元，先结合题意得出的取值范围，再结合一次函数性质求出的最小值． 【详解】（1）解：设每件唐三彩小胖马摆件元，每本唐媚儿牡丹笔记本元， 依题意得， 解得， 即每件唐三彩小胖马摆件元，每本唐媚儿牡丹笔记本元； （2）解：设购买唐三彩小胖马摆件件，则购买唐媚儿牡丹笔记本本，小组花费为元， 由题意得， 则， ， 则随着的增大而增大， 时，取最小值，， 即该小组最少需要花费元． 49．2026年春晚舞台上，人形机器人表演再次惊艳全球，展现了“中国智造”的无限活力和广阔未来，点燃了全世界对人形机器人赛道的憧憬，向全世界传递了中国科技自立自强的最强声音．某公司计划采购甲、乙两种机器人，已知甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少5万元，花费1200万元购进甲种机器人的数量是花费650万元购进乙种机器人数量的2倍． (1)求甲种机器人和乙种机器人的单价分别是多少万元？ (2)该公司计划购进甲，乙两种机器人共40台，且甲种机器人的购买数量不超过乙种机器人购买数量的2倍，该公司购进甲种机器人多少台时花费最少？最少费用是多少万元？ 【答案】(1)一台甲种机器人需60万元，一台乙种机器人需65万元 (2)购进26台甲种机器人花费最少，最少费用是2470万元 【分析】（1）设购买一个乙种机器人需万元，则购买一台甲种机器人需万元，根据“花费1200万元购进甲种机器人的数量是花费650万元购进乙种机器人数量的2倍”列分式方程求解即可； （2）设该公司购进甲种机器人台，总花费为万元，先求出a的取值范围，再求出的函数解析式，根据一次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：设购买一个乙种机器人需万元，则购买一台甲种机器人需万元， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：购买一台甲种机器人需60万元，一台乙种机器人需65万元； （2）解：设该公司购进甲种机器人台，总花费为万元， 根据题意，得：， 解得，， ， ， 随的增大而减小， ∵，a为整数， 当时，取得最小值， 此时（万元）， 答：购进26台甲种机器人花费最少，最少费用是2470万元． 题型15.分段一次函数的实际应用 50．药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测得成人服药后血液中药物浓度与服药后时间之间的函数关系如图所示． (1)根据图象说出服药后多长时间血液中药物浓度最高； (2)根据图象分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段y与x之间的函数关系式 【答案】(1)服药后 (2)上升阶段y与x之间的函数关系式为；下降阶段y与x之间的函数关系式为 【分析】（1）根据图象找到折线的最高点即可； （2）设出一次函数解析式，将点代入求解即可． 【详解】（1）解：根据图象可知，折线的最高点在处，药物浓度最高达到； （2）解：上升阶段， 上升阶段函数过原点，设函数解析式为， ∵点在函数图象上， ∴，解得，即， ∴上升阶段y与x之间的函数关系式为； 下降阶段， 设函数解析式为， ∵点与点在函数图象上， ∴，解得， 即， ∴下降阶段y与x之间的函数关系式为． 51．为研究城区空气质量变化，某校环保社团对吉林市某日的空气状况进行连续监测，记录了10个小时城区浓度（单位：）与监测时间（单位：）的变化情况，函数图象如图所示． (1)当时，求关于的函数解析式． (2)当时，求的值． (3)当时，直接写出时的取值范围． 【答案】(1)（）； (2)60 (3)． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）把代入，求解即可； （3）利用待定系数法求得时函数的解析式，求得时，的值，结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解：当时，设y与x的函数解析式为， 将和代入，得， 解得， 所以y与x的函数解析式为（）； （2）解：把代入，得； （3）解：当时，设y与x的函数解析式为， 将和代入，得， 解得， 所以y与x的函数解析式为； 当时，或， 解得或， 观察图象，当时的取值范围是． 52．共享电动车是一种新理念下的交通工具，扫码开锁，循环共享．某天早上王老师想骑共享电动车去学校，有，两种品牌的共享电动车可选择．已知：品牌电动车骑行，收费元，且；品牌电动车骑行，收费元，且，，两种品牌电动车所收费用与骑行时间之间的函数图象如图所示． (1)说明图中函数与图象的交点表示的实际意义． (2)求函数解析式中的和． (3)请直接写出当为何值时，两种品牌共享电动车收费相差4元． 【答案】(1)当骑行时间为时，，两种品牌的共享电动车收费都为8元 (2) (3)5或40 【分析】（1）函数图象的交点表示两函数值相等，即两品牌收费相同． （2）由图象可知在时的图象经过点和交点，利用待定系数法列方程组求解和． （3）分两种情况讨论：当时，；当时，．根据列方程求解，注意检验解是否在对应区间内． 【详解】（1）解：由图象可知，点的坐标为， 点表示的实际意义为：当骑行时间为时，，两种品牌的共享电动车收费都为元． （2）解：由图象可知，在时的图象经过点和点， 将和代入得： ， 解得． （3）解：当时，，， 由题意得， 即， 当时，，解得（舍去，不合题意）， 当时，，解得． 当时，，， 由题意得， 即， 整理得， 当时，，解得， 当时，，解得（舍去，不合题意）． 综上所述，当或时，两种品牌共享电动车收费相差元． 题型16.其他实际应用 53．对于密闭容器内的气体，温度在一定范围内，其压强（单位：）是温度（单位：）的某种函数关系．现测得某密闭容器内气体的压强与温度之间的部分数据如表所示： 温度 0 压强 (1)求关于的函数表达式． (2)通常情况下，当压强不超过时，该容器是安全的（否则会有破裂甚至爆炸的风险），求该容器安全时的温度范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在直角坐标系内描点，连线后发现关于的函数表达式符合一次函数形式，设，代入点，求系数即可得到关于的函数表达式； （2）由（1）得，当时，，故该容器安全时的温度范围为． 【详解】（1）解：如图，可设，代入点，可得， ，解得，， ； （2）解：由（1）得，当时，，解得，， 该容器安全时的温度范围为． 54．甲、乙两家体育用品商店以同样的价格出售相同的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价30元，乒乓球每盒定价5元．现两家商店开展促销活动，在甲店每购买一副球拍赠一盒乒乓球；在乙店每购买一副球拍或一盒乒乓球都按定价九折优惠．某班需购买球拍4副，乒乓球若干盒（不少于4盒）． (1)设这个班购买乒乓球x盒，在甲店的付款金额为元，在乙店的付款金额为元，分别写出在两家商店的付款金额，与乒乓球盒数x之间的函数解析式． (2)购买几盒乒乓球时在两家商店的付款金额一样？ (3)如何根据购买乒乓球的数量选择在哪家商店购买？ 【答案】(1)； (2)当购买16盒乒乓球时，在两家商店的付款金额一样 (3)购买盒数时选甲店，等于16盒两家均可，大于16盒选乙店 【分析】（1）由题意列函数解析式即可； （2）当时，得到，求出x的值即可； （3）分类讨论：①当时，即甲店更划算：②当时，③当时，逐项分析求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 即， ， 即； （2）解：当时， ， 解得 当购买16盒乒乓球时，在两家商店的付款金额一样． （3）解：①当时，即甲店更划算： 解得 ， 结合，可知当时，选择甲商店更划算． ②当时， ， 解得 ， 即当，此时两家商店付款金额相同，任选其一即可， ③当时，即乙店更划算， 解得 ， 可知当时，选择乙商店更划算． 综上，根据购买数量选择商店的方案为：购买盒数时选甲店，等于16盒两家均可，大于16盒选乙店． 55．【综合与实践】有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”，某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤，小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务， 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：，其中秤盘质量克，重物质量克，秤砣质量克，秤纽与秤盘的水平距离为厘米，秤纽与零刻线的水平距离为厘米，秤砣与零刻线的水平距离为厘米． 【方案设计】设定克，克，厘米，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡． (1)【任务一：确定的值】秤钮与零刻度线的水平距离________厘米； (2)【任务二：确定刻线的位置】根据任务一，求关于的函数解析式； (3)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，则相邻刻线间的距离为_______厘米； (4)【任务三：确定秤砣的实际质量】秤砣经过长时间的使用，因为种种原因（生锈脱落、磕碰等），秤砣的重量变轻了，当秤盘放入重量克的重物时，杆秤平衡时读数为190克，求这块秤砣现在的重量为多少克？ 【答案】(1) (2) (3) (4)这块秤砣现在的重量为克 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）将（1）中a的值和其余固定参数代入杠杆平衡公式求解即可； （3）分别把当，，，， ，，， ，，， 代入求解，以此即可求解； （4）把代入求出，然后把，，，，代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：∵，，，， ∴， ∴； （3）解：由（2）可知：， ∴当时，则有； 当时，则有； 当时，则有； 当时，则有； 当时，则有； 当时，则有； 当时，则有； 当时，则有； 当时，则有； 当时，则有； 当时，则有； ∴相邻刻线间的距离为5厘米． （4）解：设这块秤砣现在的质量为克， 读数为190克时，对应的秤砣到零刻线的距离为， 把，，，，代入， 得， 解得， 答：这块秤砣现在的重量为45克． 题型17.一次函数与几何综合 56．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，与直线交于点． (1)求，的值； (2)若点在轴上，且，求点的坐标； (3)若点在直线上，过点作直线轴，与直线交于点，已知，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)(4，0)或(-4，0) (3)或 【分析】本题考查了一次函数交点问题，三角形面积问题，坐标与图形； （1）将代入，，待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得，设点的坐标为，根据，列出方程，解方程，即可求解． （3）设点的坐标为，则点的坐标为．根据列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：将代入，得，解得． 将代入，得，解得． （2）解：由题意，得点的坐标为，则． 设点的坐标为，则． 解得． 所以，点的坐标为或 （3）解：设点的坐标为，则点的坐标为． 则． 解得或． 所以，点的坐标为或． 57．如图，已知为等腰直角三角形，点、分别是边、上的点，，．建立如图所示的平面直角坐标系，设点的坐标为，解答下列问题： (1)求关于的函数关系式，以及函数自变量的取值范围； (2)求的面积关于的函数关系式； (3)如果的面积等于10，求点的坐标． 【答案】(1) ， (2) (3) 【分析】（1）过点作轴于点，根据点可知，，，因为是等腰直角三角形，所以即∠PAC=45°，故可得出，由可知，由此即可得出结论； （2）根据点可知，，直接根据三角形的面积公式求出与的关系式； （3）把代入（2）中的关系式求出的值，进而可得出的值，由此可得出点坐标． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点， ∵点， ∴，，． 是等腰直角三角形， ，即， ， ． ，即， ∴与的函数关系式为． （2）解：， 即． （3）解：当时， 即，解得， 此时， ∴此时点的坐标为． 58．在平面直角坐标系中，已知直线分别与轴和轴交于两点，直线分别与轴和轴交于两点，与交于点，其中点为且． (1)求直线的解析式； (2)将点沿水平方向平移个单位至轴，连接，当时，求平移的距离的值： (3)已知点为轴上的一个动点，若，请求出的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）先求得，根据得出，再待定系数法求解析式，即可； （2）分在的两侧分类讨论，当点在的右侧时，取点，连接，，根据，得出，得出直线的解析式为，进而令，求得点，即可求得平移距离；当点在的左侧时，同理取点，则，同理可得，即可求解； （3）联立直线解析式，得出，当在的左侧时，结合已知得出，进而根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解；当在的右侧时，作关于直线的对称点，连接，则，，求得直线的解析式为，令，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线分别与轴和轴交于两点， 当时，，当时，， ∴， ∴ ∵ ∴ 将，代入得 解得： ∴直线的解析式为； （2）解：当点在的右侧时， 如图，取点，连接，， ∵，，，则 ∴ ∵ ∴ 设直线的解析式为，代入 ∴ 解得： ∴直线的解析式为 当时， 解得： ∴ ∴， 当点在的左侧时，同理取点，则， 同理可得的解析式为， 当时，，则， ∴； 综上，或； （3）解：联立 解得： ∴ 设 如图，当在的左侧时， 由（1）可得，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ 即 又∵ ∴ ∵ ∴，则 ∴ ∴ 解得： ∴ 当在的右侧时，作关于直线的对称点，连接，则， ∴，则 ∴ 设直线的解析式为代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 当时， 解得： ∴ 综上所述，或 题型18.和差倍分问题 59 在新的评价体系下，为了更合理地反馈一个学生的学习情况，需要对学生的原始分进行转换，某班一次数学测试中，全班最高分是100分，最低分是40分．现将全班学生成绩作转换，原始分记为，转换后的分数记为，满足，其中．原始分100分转换后为100分，原始分40分转换后为52分．若某同学转换后的分数比原始分多4分，则转换后的分数是______． 【答案】84 【分析】先根据已知的两组原始分与转换分，得到关于和的二元一次方程组，解方程组得到与的一次函数解析式，再根据转换后分数比原始分多分列方程，即可求解转换后的分数. 【详解】根据题意，把和分别代入， 得 由第一个方程减第二个方程，得， 解得， 把代入， 得， 解得， 因此与的函数关系式为． 设该同学的原始分为， 根据题意得， 将代入， 得， 移项，合并同类项得， 解得， ∴． 故答案为：． 60．甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度与挖掘时间之间的关系如图所示，根据图象所提供的信息，以下说法中正确的是___________．（填序号） ①甲队开挖到时，用了． ②开挖时甲队比乙队多挖了． ③乙队在的时段，与之间的关系式． ④为时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等． 【答案】①④ 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图象中有效地获取信息，求出甲，乙两队的挖掘速度，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图象可知，甲的挖掘速度为，乙队在的挖掘速度为：，之后的挖掘速度为， 故当甲队开挖到时，用了；故①正确； 由图象可知开挖时甲队比乙队多挖了；故②错误； 由图象可知，乙队在的时段，为分段函数，当时，，不是，故③错误； 当时，甲挖掘的长度为，乙挖掘的长度为，甲、乙两队所挖的河渠长度相等，故④正确； 故答案为：①④． 61．共享电动车是一种新理念下的交通工具，扫码开锁，循环共享．某天早上王老师想骑共享电动车去学校，有，两种品牌的共享电动车可选择．已知：品牌电动车骑行，收费元，且；品牌电动车骑行，收费元，且，，两种品牌电动车所收费用与骑行时间之间的函数图象如图所示． (1)说明图中函数与图象的交点表示的实际意义． (2)求函数解析式中的和． (3)请直接写出当为何值时，两种品牌共享电动车收费相差4元． 【答案】(1)当骑行时间为时，，两种品牌的共享电动车收费都为8元 (2) (3)5或40 【分析】（1）函数图象的交点表示两函数值相等，即两品牌收费相同． （2）由图象可知在时的图象经过点和交点，利用待定系数法列方程组求解和． （3）分两种情况讨论：当时，；当时，．根据列方程求解，注意检验解是否在对应区间内． 【详解】（1）解：由图象可知，点的坐标为， 点表示的实际意义为：当骑行时间为时，，两种品牌的共享电动车收费都为元． （2）解：由图象可知，在时的图象经过点和点， 将和代入得： ， 解得． （3）解：当时，，， 由题意得， 即， 当时，，解得（舍去，不合题意）， 当时，，解得． 当时，，， 由题意得， 即， 整理得， 当时，，解得， 当时，，解得（舍去，不合题意）． 综上所述，当或时，两种品牌共享电动车收费相差元． 62．为丰富同学们的课间活动，某学校计划购进一批跳绳和实心球，其中跳绳的单价比实心球低5元，已知用600元购买跳绳的数量是用400元购买实心球数量的2倍． (1)请列方程求出跳绳和实心球的单价； (2)该校计划购买跳绳和实心球共100个，且购买跳绳的数量不超过实心球数量的4倍，求该校购买跳绳和实心球的最低费用． 【答案】(1)跳绳的单价为15元，实心球的单价为20元 (2)最低费用为1600元 【分析】（1）先将跳绳的单价和实心球的单价设出来，再根据“数量总价单价”列出代数式，根据题目的等量关系列出等量关系式； （2）根据跳绳的数量与实心球的数量之间的关系列不等式求出跳绳数量的取值范围，再列出跳绳与实心球的总费用的一次函数解析式，利用一次函数的增减性求解． 【详解】（1）解：设跳绳的单价为元，则实心球的单价为元， 根据题意得：，解得， 将代入验证，分母不为， ∴是原方程的解， ， 答：跳绳的单价为15元，实心球的单价为20元． （2）解：设购买跳绳个，则购买实心球个，购买跳绳和实心球的费用为元， 则题意， 解得， ， ∵一次函数的一次项系数为， ∴随的增大而减小， ∴当取最大值时，最小， （元）， 答：最低费用为1600元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $