期末复习专题03 通项公式的求法【8大题型+强化训练】讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

专题03 通项公式的求法 知识点1：由递推公式求通项公式的常用方法 (1)归纳法：根据数列的首项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式． (2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类： ①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f (n)(f (n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法． ②an＋1＝pan(p为非零常数且p≠1)，或an＋1＝f (n)an(f (n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法． ③an＋1＝pan＋q(p，q为非零常数且p≠1)，适当变形后转化为第②类解决． 知识点2：形如an＋1＝pan＋q型(p≠0，a1＝a)的数列{an}的通项公式的求法 (1)若p＝1，则数列{an}为等差数列． (2)若q＝0，则数列{an}为等比数列． (3)若p≠1且q≠0，则数列{an}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求． 方法如下：设an＋1＋λ＝p(an＋λ)，得an＋1＝pan＋(p－1)λ， 与题设an＋1＝pan＋q比较系数得λ＝(p≠1)， 所以an＋＝p(n≥2)， 即构成以a1＋为首项，p为公比的等比数列． 知识点3：形如an＋1＝pan＋qn型(p≠0，1，q≠0)的数列{an}的通项公式的求解方法是等式两边同时除以qn+1，即得＝·．当p＝q时，数列为等差数列；当p≠q时，原式可以变形为＋λ＝的形式，则数列为等比数列，进而写出{an}的通项公式． 知识点4：形如an＋1＝型(p，q，r为常数，p＞0，q，r，an≠0)的数列{an}的通项公式的求法 等式两边同时取倒数，变形构造出线性递推式＝A＋B(A，B是常数)，进而求解． 考点一 由an与Sn的关系求通项 考点二 利用累加法求通项 考点三 利用累乘法求通项 考点四 利用构造法解an＋1＝pan＋q型通项 考点五 利用构造法解an＋1＝pan＋qn型通项 考点六 利用构造法解an＋1＝pan＋f(n)型通项 考点七 利用构造法解an＋1＝型通项 考点八 利用构造法解三项型通项 考点一 由an与Sn的关系求通项 1．（25-26高三·全国·一轮复习）若数列的前项和，则的通项公式是________． 2．（25-26高二下·四川巴中·期中）已知数列的前项和为，则__________． 3．（24-25高二下·四川南充·期中）已知数列满足，，则数列的通项公式为__________． 4．（2026·广东东莞·三模）记为数列的前项和，已知，则（    ） A．18 B．54 C．81 D．162 5．（2026·山东泰安·模拟预测）记为数列的前项积，已知，则___________． 6．（2026·西藏日喀则·模拟预测）记为数列的前n项和，已知，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前n项和． 7．（25-26高二下·广东佛山·期中）记为数列的前项和，已知，则___________. 8．（25-26高三·全国·一轮复习）已知正项数列的前项和为，且，则（    ） A．4053 B．4051 C．4055 D．4048 考点二 利用累加法求通项 9．（2026高二·全国·专题练习）已知数列满足，设数列的前项和为，则_____. 10．（25-26高二下·河南·阶段检测）若数列满足，且当为奇数时，，当为偶数时，，则被除所得余数为______． 11．（2026高三·全国·专题练习）（1）在数列中，，，求数列的通项公式； （2）若数列满足：，，求数列的通项公式. 12．（2026·吉林延边·三模）若数列满足，，则______． 考点三 利用累乘法求通项 13．（2026高三·全国·专题练习）在数列中，，前项和，求数列的通项公式. 14．（25-26高二下·广西贺州·阶段检测）已知正项数列满足，，则数列的前10项和为（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知数列中，，，则________. 16．（25-26高二上·青海西宁·期末）已知数列满足，记的前项和为，则（ ） A． B． C． D． 考点四 利用构造法解an＋1＝pan＋q型通项 17．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在数列中，，则通项公式（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高二下·湖北鄂州·阶段检测）若数列的前项和为，，且，则（    ） A． B． C． D． 19．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知数列满足，则的值为___________． 20．（2026·四川广元·三模）已知数列满足：，，，则（   ） A．127 B．128 C．255 D．256 考点五 利用构造法解an＋1＝pan＋qn型通项 21．（25-26高二下·安徽芜湖·期中）已知数列的前项和为，，则的通项公式为________． 22．（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）（多选）已知数列的首项，且，则下列结论正确的有（   ） A． B．数列是递增数列 C．数列是等比数列 D． 23．（2026·浙江·二模）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A．1025 B．1023 C． D． 24．（2027高三·全国·专题练习）已知在数列中，，，则数列的通项公式（     ） A． B． C． D． 25．（25-26高三上·河北·阶段检测）数列中，，满足. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，求. 考点六 利用构造法解an＋1＝pan＋f(n)型通项 26．（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列满足，，求出数列的通项公式. 27．（2025高二上·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，，且，则通项公式为______ 28．（25-26高二下·广西贺州·阶段检测）已知数列满足，且，则______． 29．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知数列中，，则数列的通项公式______． 考点七 利用构造法解an＋1＝型通项 30．（2026·山东济宁·一模）已知数列的首项，且满足，则（    ） A． B． C．10 D．12 31．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知数列满足递推关系，，则（   ） A． B． C． D． 32．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 33．（2025高二上·全国·专题练习）已知数列满足，，则=______ 34．（25-26高二上·全国·期末）已知一个各项非零的数列满足且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 考点八 利用构造法解三项型通项 35．（2025高二上·全国·专题练习）已知数列满足，，，则的通项公式为______. 36．（25-26高三下·山东·阶段检测）数列满足，则___________． 37．（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足：，，，求数列通项公式. 38．（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列满足，且，求数列的通项公式． 1．（25-26高三·全国·一轮复习）设是数列的前项和，若，则（    ） A．4053 B．4052 C．4048 D．2028 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知为数列的前项和，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知数列满足，，则（   ） A．511 B．1023 C．1024 D．2047 4．（2026·天津东丽·二模）已知数列满足，，则（    ） A．211 B．225 C．239 D．261 5．（25-26高二上·重庆·期末）若数列的首项为1，且，设，则数列的前20项和为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·贵州黔东南·期末）在数列中，，，若，，则的取值范围为（    ） A． B．（-1,1） C． D． 7．（2025高三上·江西南昌·专题练习）已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（ ） A． B． C． D． 8．（2026·湖北黄冈·模拟预测）已知正项数列，满足，，则（     ） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）若数列满足，，则（    ） A．466 B．1024 C．2044 D．4048 10．（2027高三·全国·专题练习）设数列满足，，则数列的通项公式等于（     ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·山西运城·期末）已知数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·广东河源·期末）在正项数列中，，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高二上·湖北十堰·期末）数列中，，，前项和为，则下面正确的是（    ） A． B．有最大值 C． D． 14．（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）在数列中，，则通项公式（   ） A． B． C． D． 15．（2026·湖北黄冈·二模）（多选）在数列中，若，，则（    ） A．数列为等比数列 B．数列是递减数列 C．若数列的前n项和为，则 D．若数列的前n项和为，则 16．（25-26高二上·湖南·期末）（多选）已知数列的首项，且满足，则下列说法正确的是（   ） A．，使得 B．数列是等比数列 C．设，则数列的前项和 D．若，则满足条件的最大整数的值为2024 17．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）（多选）已知数列满足，则（   ） A．数列是等差数列 B． C．数列的前项和 D．数列是递减数列 18．（25-26高二下·江西景德镇·期中）已知数列满足，，则______． 19．（2025高三·全国·竞赛）数列中，，那么_____． 20．（25-26高三·全国·二轮复习）已知数列满足，，则数列的通项公式为______. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 通项公式的求法 知识点1：由递推公式求通项公式的常用方法 (1)归纳法：根据数列的首项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式． (2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类： ①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f (n)(f (n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法． ②an＋1＝pan(p为非零常数且p≠1)，或an＋1＝f (n)an(f (n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法． ③an＋1＝pan＋q(p，q为非零常数且p≠1)，适当变形后转化为第②类解决． 知识点2：形如an＋1＝pan＋q型(p≠0，a1＝a)的数列{an}的通项公式的求法 (1)若p＝1，则数列{an}为等差数列． (2)若q＝0，则数列{an}为等比数列． (3)若p≠1且q≠0，则数列{an}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求． 方法如下：设an＋1＋λ＝p(an＋λ)，得an＋1＝pan＋(p－1)λ， 与题设an＋1＝pan＋q比较系数得λ＝(p≠1)， 所以an＋＝p(n≥2)， 即构成以a1＋为首项，p为公比的等比数列． 知识点3：形如an＋1＝pan＋qn型(p≠0，1，q≠0)的数列{an}的通项公式的求解方法是等式两边同时除以qn+1，即得＝·．当p＝q时，数列为等差数列；当p≠q时，原式可以变形为＋λ＝的形式，则数列为等比数列，进而写出{an}的通项公式． 知识点4：形如an＋1＝型(p，q，r为常数，p＞0，q，r，an≠0)的数列{an}的通项公式的求法 等式两边同时取倒数，变形构造出线性递推式＝A＋B(A，B是常数)，进而求解． 考点一 由an与Sn的关系求通项 考点二 利用累加法求通项 考点三 利用累乘法求通项 考点四 利用构造法解an＋1＝pan＋q型通项 考点五 利用构造法解an＋1＝pan＋qn型通项 考点六 利用构造法解an＋1＝pan＋f(n)型通项 考点七 利用构造法解an＋1＝型通项 考点八 利用构造法解三项型通项 考点一 由an与Sn的关系求通项 1．（25-26高三·全国·一轮复习）若数列的前项和，则的通项公式是________． 【答案】 【分析】通过，分类讨论可求得通项公式. 【详解】当时，； 当时，，由于不适合此式， 所以. 2．（25-26高二下·四川巴中·期中）已知数列的前项和为，则__________． 【答案】 【分析】先根据已知条件推导出数列的通项公式，再求出，最后根据求出. 【详解】已知，且， 所以，两边同除以， 则，整理得：， 由得，故是首项为，公差为的等差数列， 因此：， 当时，， 所以. 3．（24-25高二下·四川南充·期中）已知数列满足，，则数列的通项公式为__________． 【答案】 【分析】通过已知条件求出时的表达式，再检验时是否满足该表达式，进而得到数列的通项公式. 【详解】已知 ①. 当时， ②. 用①式减去②式可得： ，解得. 当时，，将代入可得，满足上式. 数列的通项公式为. 故答案为：. 4．（2026·广东东莞·三模）记为数列的前项和，已知，则（    ） A．18 B．54 C．81 D．162 【答案】D 【分析】结合前项和与通项的关系式求解，再根据数列的通项公式求出. 【详解】由可得当时，， 两式相减得，整理得. 又由及可得，满足. 故是以2为首项，3为公比的等比数列，通项公式为， 代入得. 5．（2026·山东泰安·模拟预测）记为数列的前项积，已知，则___________． 【答案】/ 【分析】根据和等差数列定义，结合题设条件可证得数列为等差数列，由等差数列通项公式可求得结果. 【详解】当时，，； 当且时，，， 数列是以为首项，为公差的等差数列， . 6．（2026·西藏日喀则·模拟预测）记为数列的前n项和，已知，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用得到与的递推关系，再根据等比数列的定义得证； （2）结合（1）得，进而得，再根据裂项求和法即得. 【详解】（1）证明：由，得， 则， 所以， 因为，所以， 故数列是以2为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）可知，，所以． ， 故． 7．（25-26高二下·广东佛山·期中）记为数列的前项和，已知，则___________. 【答案】12 【详解】当时，，所以，又，所以， 当时，由，得， 所以，所以， 所以. 8．（25-26高三·全国·一轮复习）已知正项数列的前项和为，且，则（    ） A．4053 B．4051 C．4055 D．4048 【答案】A 【分析】根据给定的递推公式，结合，求出数列的通项公式，从而得解. 【详解】当时，，解得， 当时，， 作差得， 整理得， 因为，所以，所以， 是首项为1，公差为2的等差数列，则， 故． 考点二 利用累加法求通项 9．（2026高二·全国·专题练习）已知数列满足，设数列的前项和为，则_____. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用累加法求出的通项公式，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】数列中，，当时，， 则当时，， 而满足上式，因此，， 则， 所以. 10．（25-26高二下·河南·阶段检测）若数列满足，且当为奇数时，，当为偶数时，，则被除所得余数为______． 【答案】 【分析】推导出，利用累加法求出，再利用二项式定理可得出被除所得余数. 【详解】当为奇数时，设，则①， 当为偶数时，设，则②， 由①②可得，即， 由题意可得， 由题意可得，，，， 累加得， 所以， 因为， 则， 故被除所得余数为. 11．（2026高三·全国·专题练习）（1）在数列中，，，求数列的通项公式； （2）若数列满足：，，求数列的通项公式. 【答案】（1）（2） 【分析】利用累加法求通项公式. 【详解】（1）由题意，得，由累加法可得： 当时，. 也适合上式， 即 （2）由题意知， 当时，由累加法可得： ， 也适合上式， 即. 12．（2026·吉林延边·三模）若数列满足，，则______． 【答案】 【分析】根据题意，得到，利用叠加法求得，得到的表达式，即可求解. 【详解】由数列满足，即， 可得， 各式相加，可得， 因为，所以，即， 所以，可得. 考点三 利用累乘法求通项 13．（2026高三·全国·专题练习）在数列中，，前项和，求数列的通项公式. 【答案】 【分析】当时，推导出，然后利用累乘法求解即可. 【详解】数列中，，前项和，且， 当时，，整理可得. 所以，，，，， 将以上个式子的等号两端分别相乘，得到. 又因为，所以. 也满足，故对任意的，. 14．（25-26高二下·广西贺州·阶段检测）已知正项数列满足，，则数列的前10项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意可得，即， 所以，则当时，， 因为，所以， 所以， 则数列的前10项和． 15．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知数列中，，，则________. 【答案】/4.375 【分析】由题设可得，进而利用累乘法求解即可. 【详解】由，得， 所以，， 则. 故答案为：. 16．（25-26高二上·青海西宁·期末）已知数列满足，记的前项和为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据累乘法求通项，根据裂项相消法求. 【详解】由，得， 当时，， 以上各式相乘，得，又，所以， 因为满足上式，所以， 因为，所以. 故选:A. 考点四 利用构造法解an＋1＝pan＋q型通项 17．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在数列中，，则通项公式（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 又， 所以是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，所以，所以. 18．（25-26高二下·湖北鄂州·阶段检测）若数列的前项和为，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据递推关系式可构造出，从而证得数列为等比数列；根据等比数列通项公式、求和公式，采用分组求和法可求得结果. 【详解】，， 又，数列是以为首项，为公比的等比数列， ，， . 19．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知数列满足，则的值为___________． 【答案】/ 【分析】根据的递推关系式，构造，得到数列为等比数列，根据等比数列的通项公式得到的通项公式． 【详解】由题意得，而， 故是以1为首项，5为公比的等比数列， 故；故；可得． 20．（2026·四川广元·三模）已知数列满足：，，，则（   ） A．127 B．128 C．255 D．256 【答案】C 【详解】在数列中，由，得，而， 因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，， 所以. 考点五 利用构造法解an＋1＝pan＋qn型通项 21．（25-26高二下·安徽芜湖·期中）已知数列的前项和为，，则的通项公式为________． 【答案】 【分析】通过对递推公式变形，构造出等差数列来求解数列的通项公式. 【详解】对两边同时除以， 得，即， 则是首项为，公差为的等差数列， 故，得． 22．（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）（多选）已知数列的首项，且，则下列结论正确的有（   ） A． B．数列是递增数列 C．数列是等比数列 D． 【答案】BC 【详解】对于A，，A错误； 对于CD，，， 又，数列是以为首项，为公比的等比数列，C正确； ，即，D错误； 对于B，，， 数列是递增数列，B正确. 23．（2026·浙江·二模）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A．1025 B．1023 C． D． 【答案】A 【分析】结合题意得到数列的通项公式，最后求解即可. 【详解】因为，所以， 即是以为首项，为公比的等比数列， 故，即， 令，得． 24．（2027高三·全国·专题练习）已知在数列中，，，则数列的通项公式（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将递推式两边同除以构造新数列，通过待定系数法转化为等比数列，求出新数列通项后得到原数列通项． 【详解】在递推公式的两边同时除以，得． 令，则，所以． 又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，则，即， 所以． 故选：D． 25．（25-26高三上·河北·阶段检测）数列中，，满足. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将变为，然后利用等差数列的定义求解通项公式即可； （2）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）将两边同时除以得， 则是首项为，公差为的等差数列， 由，得. （2）由（1）可得①， 则②， ①-②得，， ， 即. 考点六 利用构造法解an＋1＝pan＋f(n)型通项 26．（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列满足，，求出数列的通项公式. 【答案】 【详解】因为，令，即，得，，故，因为，所以，所以数列是首项为，公比为3的等比数列，得，所以. 27．（2025高二上·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，，且，则通项公式为______ 【答案】 【分析】由构造法可得是以2为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式可得到结果. 【详解】 又 是以2为首项，2为公比的等比数列 ， . 故答案为：. 28．（25-26高二下·广西贺州·阶段检测）已知数列满足，且，则______． 【答案】 【详解】设，即， 和比较可得，则， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以． 29．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知数列中，，则数列的通项公式______． 【答案】 【分析】利用构造法判断为等比数列，然后利用等比数列通项公式即可得解. 【详解】因为，所以， 又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，故. 故答案为： 考点七 利用构造法解an＋1＝型通项 30．（2026·山东济宁·一模）已知数列的首项，且满足，则（    ） A． B． C．10 D．12 【答案】A 【分析】根据递推关系得，结合等差数列定义写出的通项公式，即可得答案. 【详解】由题意可得：， 令，则可得：， 所以是等差数列，公差为2. 又因为，所以， 所以. 31．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知数列满足递推关系，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据,两边取倒数得出的通项公式再代入即可. 【详解】由有， 故是以为首项,公差为1的等差数列. 故,故,所以. 故选：A. 32．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题中所给的递推关系，可得数列是以为首项，以为公比的等比数列，从而可求得其通项公式，代入，解方程即可. 【详解】由题意知，，所以，即， 又，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以， 所以，解得. 故选：C 33．（2025高二上·全国·专题练习）已知数列满足，，则=______ 【答案】 【分析】由递推公式找到对应的不动点方程，再利用“不动点法”求数列的通项公式. 【详解】令，解得该方程的唯一不动点， 所以. 所以数列是公差为的等差数列， 从而，解得. 故答案为：. 34．（25-26高二上·全国·期末）已知一个各项非零的数列满足且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，构造等比数列求出的通项公式，再分、、三种情况讨论数列，结合给出判断. 【详解】因为，，所以， 设，则，所以 若，则，则，与矛盾，所以， 故， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 所以， 故， 若，则， 则数列为递增数列，且， 所以数列为递减数列，与已知矛盾； 若，则， 所以数列为递减数列，且， 所以数列为递增数列，满足条件； 当时， ，故，所以数列为递减数列， 解不等式，得，可得， 因为，所以当，且时，， 当，且时，，与条件矛盾， 且若时有无意义， 所以的取值范围是， 故选：A. 考点八 利用构造法解三项型通项 35．（2025高二上·全国·专题练习）已知数列满足，，，则的通项公式为______. 【答案】 【分析】将两边同时加，结合等比数列的定义证明可得，再构造数列，求解首项分析即可； 【详解】由, 得，且， 故数列是以2为首项，3为公比的等比数列， 故， 所以， 设，则，又， 所以数列的所有项均为0，即， 所以. 故答案为：. 36．（25-26高三下·山东·阶段检测）数列满足，则___________． 【答案】 【分析】对原式进行化简，构造新数列为常见数列求通项进而求解 【详解】等式两边同时乘以，得 所以 移项得 设，则化简后的式子可表示为 即第项减去第项等于第项减去第项 故数列是等差数列 设公差为，则数列表示首项为， 公差的等差数列， 所以 37．（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足：，，，求数列通项公式. 【答案】 【分析】根据递推关系式，可令，解出两根； 方法一：根据方程两根可构造两个等比数列和，结合两个等比数列通项公式，可消元求得通项； 方法二：根据方程两根可构造通项公式的一般形式，代入，解方程组即可求得通项. 【详解】方法一（构造两个等比数列）：令，解得：或， ， 又，， 数列是以为首项，为公比的等比数列；数列是以为首项，为公比的等比数列； …①；…②； ①②得：，化简得：. 方法二（特征根法）：，，； 令，解得：或， 故令，代入得， 解得：，. 38．（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列满足，且，求数列的通项公式． 【答案】 【分析】将条件变为，根据等比数列的定义，可证是以3为首项，3为公比的等比数列，可得，变形可得，根据等比数列的定义，可证是以为首项，为公比的等比数列，整理计算，即可得答案. 【详解】因为， 所以，即， 又， 所以是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以，即， 左右同除得：， 所以，即， 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 则，所以. 1．（25-26高三·全国·一轮复习）设是数列的前项和，若，则（    ） A．4053 B．4052 C．4048 D．2028 【答案】A 【详解】，当时，， 当时，. 当时，也适合上式，，则. 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知为数列的前项和，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由条件可得，再由与的关系可得，进而可得，从而可得所求和. 【详解】当时，，因为，所以. 当时，由，得， 两式相减可得，即. 因为，所以，又，所以. 因此数列是公差为0，首项为的等差数列， 可得，所以. 3．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知数列满足，，则（   ） A．511 B．1023 C．1024 D．2047 【答案】B 【分析】由数列递推公式，通过累加法即可求得通项，代入即可. 【详解】由题可知：， 当时，，…， 累加得：， 所以，即，又也适合， 则. 4．（2026·天津东丽·二模）已知数列满足，，则（    ） A．211 B．225 C．239 D．261 【答案】A 【分析】借助累加法及等差数列求和公式可求出数列的通项公式，即可得. 【详解】由，则，，， 则， 即， 又，故， 故. 5．（25-26高二上·重庆·期末）若数列的首项为1，且，设，则数列的前20项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用累乘法求出数列的通项公式，再根据进行裂项相消法求和即得. 【详解】因，则 ，当时，符合题意，故， 则， 故. 故选：D. 6．（25-26高二上·贵州黔东南·期末）在数列中，，，若，，则的取值范围为（    ） A． B．（-1,1） C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，利用累乘法求出的通项公式，依题意可得对恒成立，再分为奇数、为偶数两种情况讨论，利用参变分离法计算可得. 【详解】因为，所以， 当时，， 因为，所以，又，所以； 由，，得对恒成立； 当为奇数时，恒成立，易知为增函数，则； 当为偶数时，恒成立，易知为减函数， 则； 故的取值范围为. 故选：A 7．（2025高三上·江西南昌·专题练习）已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由累积法可得，根据与的关系计算即可求解. 【详解】因为，则， 所以， 当时，， 当时，满足， 所以数列的通项公式为. 故选：C 8．（2026·湖北黄冈·模拟预测）已知正项数列，满足，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，可求出的值；令，由 得，两式作差推导出数列为常数列，求出数列的通项公式，即可得解. 【详解】对任意的，，且， 当时，则有， 即，解得或（舍）； 当时，由 ①， 可得②， ①②得 ， 整理可得 ， 由题意知，所以， 又因为，可得，也满足等式， 故当时，等式也成立， 故对任意的，，故数列为常数列， 故对任意的，则， 所以，故. 9．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）若数列满足，，则（    ） A．466 B．1024 C．2044 D．4048 【答案】C 【详解】由题设，且， 所以是首项、公比均为2的等比数列，则， 所以，则. 10．（2027高三·全国·专题练习）设数列满足，，则数列的通项公式等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将递推式两边同除以构造新数列，通过待定系数法转化为等比数列，求出新数列通项后还原得到原数列通项． 【详解】因为，两边同时除以，得． 令，则，两边同时加上，得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以， 所以． 故选：D． 11．（25-26高二上·山西运城·期末）已知数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将两边同时减去，再同时取倒数得到，从而得到是以为首项，为公差的等差数列，即可求出的通项公式，代入计算可得. 【详解】因为，，所以， 所以，即 又，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以， 所以. 故选：B 12．（25-26高二上·广东河源·期末）在正项数列中，，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过参变分离将转化为，再利用递推公式，求出数列的通项，分为奇数和偶数讨论求得的最大值即可得答案. 【详解】由，得，，又， 所以， 则是首项为，公比为的等比数列， 所以， 即. 由，得， 当为奇数时，为递增数列， 所以，即. 当为偶数时，为递减数列， 所以，所以. 所以. 故选：C. 13．（25-26高二上·湖北十堰·期末）数列中，，，前项和为，则下面正确的是（    ） A． B．有最大值 C． D． 【答案】C 【分析】利用递推公式求出的值，可判断A选项；分析可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，可判断C选项；利用数列的单调性可判断B选项；利用分组求和法可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意可得，解得，A错； 对于C选项，由可得，， 所以数列为等比数列，其首项为，公比为， 所以，所以，C对； 对于B选项，对任意的，，所以数列单调递增，故无最大值，B错； 对于D选项， ，D错. 故选：C. 14．（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）在数列中，，则通项公式（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件先判断出是等比数列，然后可求的通项公式. 【详解】因为，所以，且， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以，所以， 故选：D. 15．（2026·湖北黄冈·二模）（多选）在数列中，若，，则（    ） A．数列为等比数列 B．数列是递减数列 C．若数列的前n项和为，则 D．若数列的前n项和为，则 【答案】ABD 【详解】数列中，若，，则， 所以，即， 即，且. 所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以A正确. 所以，，， 因为，所以，所以数列是递减数列，所以B正确. 若数列的前n项和为， 则 ，所以C错误. 因为，所以. 若数列的前n项和为， 则， 其中.所以D正确. 16．（25-26高二上·湖南·期末）（多选）已知数列的首项，且满足，则下列说法正确的是（   ） A．，使得 B．数列是等比数列 C．设，则数列的前项和 D．若，则满足条件的最大整数的值为2024 【答案】BCD 【分析】根据定义证明数列为等比数列，进而求出通项公式即可判断AB选项；根据进行放缩证明C；D求出的和，通过数列的增减性可求. 【详解】对于AB，由题意可得，则， 因为，所以，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列． 所以，所以，所以， 故A错误，B正确； 对于C，因为 ， 所以数列的前项和为， 又，则， 故，故C正确； 对于D，由，得其前项和为， 令，即， 因为数列为递增数列，且当时， 当时， 故满足条件的最大整数，D正确． 故选：BCD 17．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）（多选）已知数列满足，则（   ） A．数列是等差数列 B． C．数列的前项和 D．数列是递减数列 【答案】AC 【分析】根据等差数列的定义即可判断A；根据等差数列的通项公式即可判断B；根据等差数列的前项和公式即可判断C；根据等差数列的单调性即可判断D. 【详解】对于A，由， 可得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故A正确； 对于B，由A知，所以，故B错误； 对于C，由A，B知，，故C正确； 对于D，由A知，， 所以数列是递增数列，故D错误. 故选：AC. 18．（25-26高二下·江西景德镇·期中）已知数列满足，，则______． 【答案】 【分析】分析可知数列是以为首项，3为公比的等比数列，进而可得数列的通项公式. 【详解】因为，则， 且，则， 可知数列是以为首项，3为公比的等比数列， 则，即. 19．（2025高三·全国·竞赛）数列中，，那么_____． 【答案】 【分析】用不动点法求出数列递推式的不动点，构造等比数列，求其通项后反解出. 【详解】，不动点方程为． 则， 于是，所以． 故答案为： 20．（25-26高三·全国·二轮复习）已知数列满足，，则数列的通项公式为______. 【答案】 【分析】根据数列的递推式构造等比数列，求出其通项，进而求得的通项公式. 【详解】由两边同除以，可得， 令，则， 设，对照上式可得， 即得，因， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 故， 即，故. 故答案为：. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $