期末复习专题04 数列求和【7大题型+强化训练】讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册册

专题04 数列求和 1．倒序相加法 如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法．等差数列的前n项和即是用此法推导的． 倒序相加法求和适合的题型 一般情况下，数列项数较多，且距首末等距离的项之间隐含某种关系，需要结合题意主动发现这种关系，利用推导等差数列前n项和公式的方法，倒序相加求和． 2．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和可用此法来求，等比数列的前n项和就是用此法推导的． 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． (1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． (2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． (3)常见的裂项求和的形式： ①＝． ②＝． ③＝． ④＝． ⑤＝． ⑥ln ＝ln (n＋1)－ln n． ⑦＝． 4．分组求和法 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或其他可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减． 分组转化法求和的常见类型 (1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差数列或等比数列，则可采用分组求和法求{an}的前n项和． (2)通项公式为an＝的数列，其中{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和． 5．并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf (n)类型，可采用两项合并求解． 考点一 倒序相加法 考点二 错位相减法 考点三 分组求和法 考点四 裂项相消法 考点五 并项求和法 考点六 奇偶项求和的问题 考点七 数列求和的其他方法 考点一 倒序相加法 1．（2026·河南·模拟预测）若函数，则（   ） A．6322 B． C．6321 D． 2．（2026·广西桂林·一模）已知函数，则（    ） A．2026 B．2025 C．1013 D． 3．（25-26高二上·山西晋城·期末）已知函数的定义域为，其导函数满足，且，，则______. 4．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列是等比数列，若，是方程的两个根，则的值为（    ） A．1013 B． C．2023 D．1022 考点二 错位相减法 5．（2026·江西南昌·模拟预测）已知数列为等差数列，数列为等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 6．（25-26高二下·湖北荆州·阶段检测）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 7．（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）已知数列满足，， (1)若，求数列的通项公式； (2)若，设，求数列的前项和． 8．（2026·陕西咸阳·二模）已知数列满足，且， (1)求的通项公式； (2)若数列满足，记的前n项和为，证明：． 考点三 分组求和法 9．（25-26高二下·广东广州·期中）已知数列的前项和为，且，数列为正项等比数列，且. (1)求和的通项公式； (2)求的前项和. 10．（2026·江西·三模）已知正项等比数列满足，且成等差数列． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 11．（25-26高二下·江西吉安·期中）已知等比数列的公比为且，等差数列的公差为，满足条件：． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 12．（25-26高二下·辽宁鞍山·期中）已知数列的前项和为，且；等差数列满足;； (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 13．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）数列的前n项和为，满足 ，若. (1)证明：数列为等比数列； (2)记，求数列的前项和. 考点四 裂项相消法 14．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知正项数列的前n项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式 (2)设，求数列的前n项和，并证明：. 15．（2026·福建·三模）已知数列是首项为，公差为的等差数列，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高二下·四川成都·期中）已知数列的前项和为，，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)对于，恒成立，求实数的取值范围． 17．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知数列的前项和为，且，数列是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求使得成立的最小正整数的值． 18．（25-26高二下·广东江门·期中）已知数列的前项和为，且． (1)证明是等比数列，并求的通项公式； (2)已知，求数列的前项和，并证明：． 考点五 并项求和法 19．（2026高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，，在①点在直线上；②对，恒成立中任选一个作为已知条件，并解答． (1)证明：数列是等比数列，并求其公比； (2)若，求数列的前项和． 20．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知正项数列的前n项积为，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)设，求的前200项和． 21．（2026·湖北·模拟预测）已知数列中，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 22．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知等差数列的公差为1，且，，成等比数列，则数列的前20项和为（   ） A．210或90 B．210 C．或 D． 23．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知是等差数列，其前n项和为是等比数列，已知是和的等比中项． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前n项和 24．（25-26高二下·福建厦门·期中）已知等差数列中的前项和为，且，，成等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列为递增数列，记，求数列的前100项的和. 考点六 奇偶项求和的问题 25．（2026·山东济南·三模）已知数列的前n项和为，，是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前2n项和． 26．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，令，是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 27．（2026·福建泉州·模拟预测）已知数列满足：，，记的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求. 28．（2026·河南·模拟预测）已知数列中，， (1)已知数列满足，求证：是等比数列； (2)若是数列的前项和，求满足的所有正整数． 考点七 数列求和的其他方法 29．（2026高三·全国·专题练习）等差数列和等比数列满足，，，且． (1)求数列的通项公式； (2)已知：①；②，使．设为数列中同时满足条件①和②的所有的项的和，求的值． 30．（2026高二·全国·专题练习）若数列满足，且对于都有，则_____. 31．（2026·浙江杭州·二模）（1）已知，证明：； （2）设，若恒成立，求正整数的最大值； （3）求证：. 32．（25-26高二上·安徽·期末）已知数列满足且． (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)令，记的前项和为，证明：． 33．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）定义：函数图像上不同的三点，，．它们的横坐标依次成等差数列，且函数在点处的切线斜率恒小于直线的斜率，则称该函数是其定义域上的“等差偏移”函数．设函数． (1)讨论函数的极值； (2)若函数是其定义域上的“等差偏移”函数，求实数的取值范围； (3)当时，数列满足，．其前项和为，试证明：． 34．（24-25高三上·湖北·阶段检测）甲、乙两人玩一个纸牌游戏，先准备好写有数字1，2，…，N的纸牌各一张，由甲先随机抽取一张纸牌，记纸牌上的数字为a，随后将纸牌放回（后面每次抽牌记录数字后都需将纸牌放回），接下来甲有2种选择： ①再抽取一次纸牌，记纸牌上的数字为b，若，则乙赢，游戏结束，否则，甲结束抽牌，换由乙抽牌一次； ②直接结束抽牌，记，换由乙抽牌一次． 记乙抽到的纸牌上的数字为c，若，则乙赢，否则甲赢．游戏结束． (1)若甲只抽牌1次，求甲赢的概率； (2)若甲抽牌2次，求甲赢的概率； (3)当甲抽取的第一张纸牌上的数字满足什么条件时，甲选择②赢得游戏的概率更大？（结果用含N的式子表示） 参考公式：若数列的通项公式为，则的前n项和． 1．（2026·山西临汾·一模）已知，数列满足：，则为（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 2．（25-26高二·全国·暑假作业）已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前项和的方法探求：若，则（ ） A．2022 B．4044 C．2023 D．4046 3．（2026高三·全国·专题练习）数列中，，若的前项和为，则项数为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知函数，数列满足. (1)求证：为定值，并求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求证：． 5．（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）设数列是首项为的等比数列，已知，，成等差数列. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，记为数列的前项和，求. 6．（2026·江西九江·模拟预测）已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 7．（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）已知数列为递增的等比数列，其前n项和为，已知，，成等差数列，. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数成等差数列，公差记为，设，求数列的前n项和. 8．（25-26高二下·陕西汉中·期中）已知数列中，， (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)设数列满足：，求的前项和． 9．（25-26高二下·广西桂林·期中）已知正项数列的前n项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 10．（2026·西藏日喀则·模拟预测）记为数列的前n项和，已知，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前n项和． 11．（25-26高二下·江西南昌·期中）已知数列的前项和为，若，且． (1)求的通项公式； (2)令 ，求数列的前项和为. 12．（25-26高二下·贵州毕节·期中）已知数列是等差数列，其首项，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 13．（25-26高二下·辽宁鞍山·期中）已知等差数列的前项和为，且．是正项等比数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 14．（25-26高二下·辽宁大连·期中）已知数列满足. (1)求的前n项和； (2)记数列的前n项和为，若. （i）求出的通项公式； （ii）求数列的前n项和. 15．（2026·湖南郴州·模拟预测）已知数列为正项数列，且，，.设数列的前n项和为. (1)求数列的通项公式； (2)证明：； (3)已知数列满足，记的前n项和为，证明：. 16．（25-26高二下·广东佛山·阶段检测）已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，. (1)求数列和的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，求； (3)求. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 数列求和 1．倒序相加法 如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法．等差数列的前n项和即是用此法推导的． 倒序相加法求和适合的题型 一般情况下，数列项数较多，且距首末等距离的项之间隐含某种关系，需要结合题意主动发现这种关系，利用推导等差数列前n项和公式的方法，倒序相加求和． 2．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和可用此法来求，等比数列的前n项和就是用此法推导的． 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． (1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． (2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． (3)常见的裂项求和的形式： ①＝． ②＝． ③＝． ④＝． ⑤＝． ⑥ln ＝ln (n＋1)－ln n． ⑦＝． 4．分组求和法 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或其他可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减． 分组转化法求和的常见类型 (1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差数列或等比数列，则可采用分组求和法求{an}的前n项和． (2)通项公式为an＝的数列，其中{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和． 5．并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf (n)类型，可采用两项合并求解． 考点一 倒序相加法 考点二 错位相减法 考点三 分组求和法 考点四 裂项相消法 考点五 并项求和法 考点六 奇偶项求和的问题 考点七 数列求和的其他方法 考点一 倒序相加法 1．（2026·河南·模拟预测）若函数，则（   ） A．6322 B． C．6321 D． 【答案】D 【分析】根据题干条件易得首末项自变量之和为常数2，可得，进而利用倒序相加求解即可. 【详解】令，则， 所以， 则， 所以， 令， 则，两式相加得， 所以. 2．（2026·广西桂林·一模）已知函数，则（    ） A．2026 B．2025 C．1013 D． 【答案】D 【分析】由已知可得，利用倒序相加求和即得答案. 【详解】因为， 所以 ， 即：， 令， 则， 所以， 所以. 3．（25-26高二上·山西晋城·期末）已知函数的定义域为，其导函数满足，且，，则______. 【答案】/ 【分析】由题意，则有，所以函数为常函数，则，设，结合，解得，即，倒序相加的关系式，即可求得的通项公式. 【详解】因为，即， 令，则， 所以函数为常函数，则，即（为常数）， 因为，令，得，所以， 即， 所以①， ②， 得： ， 即，所以， 故答案为：. 4．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列是等比数列，若，是方程的两个根，则的值为（    ） A．1013 B． C．2023 D．1022 【答案】A 【分析】先根据韦达定理得到，再利用等比数列的性质得到，最后利用倒序相加法求和. 【详解】由题设及韦达定理，得， 由等比数列性质，得， 设， 所以， 则， 得， 所以. 故选：A 考点二 错位相减法 5．（2026·江西南昌·模拟预测）已知数列为等差数列，数列为等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据等差数列的通项公式、等比数列的通项公式求出，再结合等差数列的函数特性可得，进而求解即可； （2）根据错位相减法求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则， 而，即 则，显然， 而等差数列的通项是关于的一次函数，则，即， 则，即. （2）由， 则， 两式相减得，， 则. 6．（25-26高二下·湖北荆州·阶段检测）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) ， 【分析】（1）分析可知数列是首项为3，公比为3的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解； （2）利用分组求和及错位相减法运算求解. 【详解】（1）因为， 则，且， 所以数列是首项为3，公比为3的等比数列， 所以， 所以. （2）因为, 所以， 设, 则， 两式相减可得： ， 所以， 又， 所以, 7．（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）已知数列满足，， (1)若，求数列的通项公式； (2)若，设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知递推式变形可得，当时，，进而推出，进而得出数列的通项公式； （2）由和推出是2为首项，2为公比的等比数列，求出，进而求出，再利用错位相减法计算求出． 【详解】（1）已知， 故， 时，，故， ． （2），， 由可得，故， 是2为首项，2为公比的等比数列， ，，， ， 令，设数列的前项和为，则， ①， ②， 由①减②得： ， ， ． 8．（2026·陕西咸阳·二模）已知数列满足，且， (1)求的通项公式； (2)若数列满足，记的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，化简求得，得到数列为等差数列，利用等差数列的通项公式，求得，进而求得数列的通项公式； （2）由（1）得到，利用乘公比错位相减法，求得，结合数列的单调性，即可证得. 【详解】（1）解：因为，两边同时取倒数得，即， 又因为，可得，所以数列是以为首项，公差为的等差数列， 所以，所以， 所以数列的通项公式. （2）解：由（1）知：，可得， 则， 可得， 两式相减得 ， 所以， 因为，所以为递增数列， 则， 又因为，所以，所以. 考点三 分组求和法 9．（25-26高二下·广东广州·期中）已知数列的前项和为，且，数列为正项等比数列，且. (1)求和的通项公式； (2)求的前项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）应用的关系求数列的通项公式；应用等比数列基本量的计算可求得等比数列的通项公式； （2）应用分组求和及等差、等比数列前n项和公式求和即可. 【详解】（1）当时，. 当时，，也符合上式，所以. 设正项等比数列的公比为，则，又， 所以，即，解得， 所以. （2）设的前项和为， 所以. . 10．（2026·江西·三模）已知正项等比数列满足，且成等差数列． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等比数列的公比为，根据等差中项建立关于公比的方程，解方程即可得公比，再根据通项公式求解即可； （2）结合（1）得，进而根据分组求和与错位相减法求和求解即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为． 因为成等差数列，所以． 因为，所以，整理得， 解得或． 因为，所以， 故的通项公式为． （2）由（1）知． 记数列的前项和为，则． 因为， 所以两式相减得， 所以． 因为数列的前项和为， 所以． 11．（25-26高二下·江西吉安·期中）已知等比数列的公比为且，等差数列的公差为，满足条件：． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由等差数列与等比数列的通项的基本量运算求解即得； （2）利用分组求和法，结合等比等差数列求和公式计算即得． 【详解】（1）由题意，，则. ，故， 由可得，消去，可得， 即. 因为且，所以. 故数列的通项公式为，数列的通项公式为． （2）根据题意得：， 由（1）得. 故 12．（25-26高二下·辽宁鞍山·期中）已知数列的前项和为，且；等差数列满足;； (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1），，两式相减即可得是等比数列，进而求的通项公式，再结合条件;及是等差数列求解即可； （2）分组后采用错位相减法求和即可. 【详解】（1）由已知，当时，，即，． 当时，，， 两式相减，得，即，， ∴由等比数列的定义知，数列是首项，公比的等比数列， ∴数列的通项公式为． ；；， 设等差数列的公差为，则, 所以； （2）由第（1）问，， ∴设，① ①，得，，② ∴①-②，得， ， 另一部分的前n项和为 所以. 13．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）数列的前n项和为，满足 ，若. (1)证明：数列为等比数列； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据求出，再根据等比数列的定义可证明数列为等比数列； （2）利用分组求和可取. 【详解】（1）因为，故， 而， 故， 整理得，即， 故，所以，故数列为等比数列； （2）由（1）可得， 故 . 考点四 裂项相消法 14．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知正项数列的前n项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式 (2)设，求数列的前n项和，并证明：. 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）根据递推关系及的关系求得、，再由等差数列的定义写出通项公式； （2）应用裂项相消法求，即可证. 【详解】（1）因为，， 当时，，又，所以或，又，则. 当时，因①；所以②， ①②：，化简：， 由，，故， 所以是以2为首项，公差为1的等差数列，则. （2）由，得， 所以， 又，所以，得证. 15．（2026·福建·三模）已知数列是首项为，公差为的等差数列，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用等差数列的通项公式求出，进而可得，利用裂项相消法，即可求解. 【详解】因为数列是首项为，公差为的等差数列，则， 得到，则， 所以数列的前项和为. 16．（25-26高二下·四川成都·期中）已知数列的前项和为，，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)对于，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题中条件，利用作差法求出数列的通项公式. （2）先根据（1）求出，再对列项，然后通过列项相消法求. （3）分n为偶数和奇数两种情况，根据数列的单调性，求出实数的取值范围. 【详解】（1）， 当时，， 两式相减得， 当时，， 当时，，上式也成立， 综上，数列的通项公式为． （2）由（1）可知， 所以，， 则， 所以数列的前项和. （3）当为偶数时，， 因为对于，恒成立，即对于，恒成立， ，当为偶数时，单调递增， 所以，则， 当为奇数时，， 因为对于，恒成立，即对于，恒成立， ，当为奇数时，单调递增， 所以，则，则， 综上所述， 所以实数的取值范围为. 17．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知数列的前项和为，且，数列是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求使得成立的最小正整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件得到，再由与间的关系，即可求解； （2）利用裂项相消法得到，再由数列的单调性，即可求解. 【详解】（1）因为，数列是公差为的等差数列，所以， 则，当时，， 整理得到，则，所以数列是常数列， 又，则，所以． （2）由题意知， 所以， 又， 所以是递增数列， 又，， 所以使得成立的最小正整数的值为． 18．（25-26高二下·广东江门·期中）已知数列的前项和为，且． (1)证明是等比数列，并求的通项公式； (2)已知，求数列的前项和，并证明：． 【答案】(1)证明见解析，； (2)，证明见解析. 【分析】（1）利用前项和与第项的关系变形，再利用等比数列定义推理证明，进而求出通项公式. （2）由（1）求出，再利用裂项相消法求和，并借助单调性推理得证. 【详解】（1）在数列中，，当时，， 两式相减得，即，则， 当时，，即，解得，， 因此是以为首项，以为公比的等比数列，， 所以. （2）由（1）知，， 因此， 则 ，对，， 又数列单调递减，则数列单调递增，因此， 所以. 考点五 并项求和法 19．（2026高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，，在①点在直线上；②对，恒成立中任选一个作为已知条件，并解答． (1)证明：数列是等比数列，并求其公比； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析，公比为3 (2) 【详解】（1）选择条件①： 因为点在直线上， 所以， 当时，， 当时，， 所以，即， 所以， 又满足上式， 故数列是等比数列，其公比为3． 选择条件②： 由对，恒成立， 令，则，（由可联想到取特殊值法进行求解） 即， 故数列是等比数列，其公比为3． （2）由（1）可得，所以． 令，所以． 则 . 20．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知正项数列的前n项积为，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)设，求的前200项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用可得即可求证； （2）化简得即可求出. 【详解】（1）由，得，则，                当时，则，得，                      所以数列是以4为首项，3为公差的等差数列． （2）由（1）得，， 则，                 所以         ， 所以． 21．（2026·湖北·模拟预测）已知数列中，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)依题意，， 因此， 即，又， ， 所以数列 是以为首项，3为公比的等比数列. (2) 【分析】（1）根据给定条件，求出与的关系，再构造等比数列推理得证. （2）由（1）求出，再利用并项求和法及等差、等比数列前项和公式求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，即，又 ， 则， 因此， 则， 所以数列的前项和为. 22．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知等差数列的公差为1，且，，成等比数列，则数列的前20项和为（   ） A．210或90 B．210 C．或 D． 【答案】B 【分析】首先利用等比中项的性质结合等差数列通项公式可求出，然后求出数列的通项公式，最后根据并项求和就可求解 . 【详解】设等差数列首项为，已知公差，故， 因为，，成等比数列，由等比中项性质： ， 代入表达式得： ，整理得：，解得或， 若，则，等比数列不能含0项，故舍去，仅保留，故, 数列的前20项和分组得： ， 对每组用平方差公式： ， 因此： . 23．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知是等差数列，其前n项和为是等比数列，已知是和的等比中项． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前n项和 【答案】(1)，． (2) 【分析】（1）由求出的通项公式，再由和的等比中项可求出的通项公式； （2）利用裂项相消法和分组求和法求前项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为， 可得，所以，解得， 所以， 则， 是和的等比中项，可得，所以， 设等比数列的公比为，则，解得， 所以， 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为． （2）． 又因为， 所以的前项和． 记的前项和为， 当为偶数时，； 当为奇数时，， 综上： 24．（25-26高二下·福建厦门·期中）已知等差数列中的前项和为，且，，成等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列为递增数列，记，求数列的前100项的和. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意列出关于和的方程组求解出和，然后写出的通项公式. （2）先根据题目条件求出，然后写出数列的通项公式，再利用并项求和法求出. 【详解】（1）记等差数列的公差为， 成等比数列， ，即， 整理得. 又，即，联立解得或. 当，此时；当，此时. （2）由（1）以及数列为递增数列可得. ，. . 考点六 奇偶项求和的问题 25．（2026·山东济南·三模）已知数列的前n项和为，，是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前2n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列通项公式得，再利用即可求解； （2）先利用分组求和，再利用错位相减法即可求解. 【详解】（1）由是公差为的等差数列，且， 所以，所以， 当时，，解得， 当时，由得，所以， 即，所以， 所以数列为常数列，所以，即， 当时，， 所以； （2）由（1）得， 所以 ， 令①， 所以②， 由①②有：， 所以， 所以. 26．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，令，是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，为所有不小于的偶数 【分析】（1）先由时求首项，再用推导通项，最后验证是否满足该式，得到。 （2）先根据的分段定义，将分为为偶数、奇数两类，分别写出表达式；再通过相邻项比值判断单调性，计算关键项的数值，得出仅当为偶数且时，． 【详解】（1）当时，， 当时， ， 因为也满足，所以． （2）①当时，， 所以， 所以当时，为递增数列， 又当时，， 当时，， 当时，， 故存在正整数，使得． ②当时，， 所以， 因为，所以， 所以当时，为递减数列，所以， 故不存在正整数，使得． 综上，存在满足条件的正整数，其取值为所有不小于的偶数． 27．（2026·福建泉州·模拟预测）已知数列满足：，，记的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用递推公式分奇数偶数计算求解通项公式； （2）分奇偶结合裂项相消法及分组求和计算求解. 【详解】（1）当为奇数，且，为偶数时，依题意得：，     因为也满足，     所以为奇数时，；     当为偶数时，为奇数时，；     所以 （2）为偶数时，      ，         为奇数时， ；     28．（2026·河南·模拟预测）已知数列中，， (1)已知数列满足，求证：是等比数列； (2)若是数列的前项和，求满足的所有正整数． 【答案】(1)证明见解析 (2)1． 【分析】（1）通过构造新数列，证明为常数且首项非零，从而判定为等比数列； （2）先利用（1）的结论求出与的通项，再分组求和得到的表达式，结合数列单调性与特殊值分析，确定满足的正整数. 【详解】（1）证明：， ， 又 是以为首项，为公比的等比数列． （2）由（1）得是以为首项，为公比的等比数列 故， 即， 由，得， ， ， 显然当时，单调递减， 又当时，，当时，， ∴当时，； 综上，满足的所有正整数为1． 考点七 数列求和的其他方法 29．（2026高三·全国·专题练习）等差数列和等比数列满足，，，且． (1)求数列的通项公式； (2)已知：①；②，使．设为数列中同时满足条件①和②的所有的项的和，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差公差为、等比公比为，利用求出，再由结合得，写出两个数列通项. （2）由限定，再由整理出的表达式，筛选使为正整数的，对应项求和得. 【详解】（1）由等差数列和等比数列满足，，，且， 设的公差为，的公比为，可得 将代入，解得，由，则取， 故，． （2）由，，令， 由于，， 故，即，，使，故令， 则，由于， ， ， 故可以看出当时，成立， 故 30．（2026高二·全国·专题练习）若数列满足，且对于都有，则_____. 【答案】 【分析】令，由题意可证得数列是以为首项，2为公差的等差数列，即可求出数列的通项公式，再由裂项相消法求和即可得出答案. 【详解】因为对于都有， ，令， 所以， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列. 所以， 所以， 所以，，……， ， 将这项累加，则， 所以， 则， 所以 . 31．（2026·浙江杭州·二模）（1）已知，证明：； （2）设，若恒成立，求正整数的最大值； （3）求证：. 【答案】（1）证明见解析（2）2（3）证明见解析 【分析】（1）记，，求导，根据导数即可证明； （2）由（1）结合特殊值可知，结合题意验证是否满足即可求解； （3）由（2）可得，记，求导，根据导数可证得，进而可得，计算即可得证. 【详解】（1）一方面，记，. 则，故在上单调递增，即. 另一方面，记，. 所以，故在上单调递增，即. 综上，，成立. （2）当时，由（1）知，故恒成立. 一方面，取，则； 另一方面，当时，记，则. 由知， 所以，故单调递增.进而. 综上，正整数的最大值为2. （3）当时，由（2）， 即. 则，① 下证，， ， 则， 故单调递增.进而，即. 所以结合①可得，即， 所以. 32．（25-26高二上·安徽·期末）已知数列满足且． (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)令，记的前项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析，； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）由题设得到即可由等比数列定义得证并求出通项公式； （2）由错位相减法结合等差等比前n项和公式计算即可； （3）由计算，从第三项起进行放缩结合等比数列前n项和公式计算即可求证； 【详解】（1）因为且， 所以，即 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以. （2）由（1）， 所以数列的前项和 ； 所以， 所以， 所以， 所以； （3）， 所以的前项和为 . 33．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）定义：函数图像上不同的三点，，．它们的横坐标依次成等差数列，且函数在点处的切线斜率恒小于直线的斜率，则称该函数是其定义域上的“等差偏移”函数．设函数． (1)讨论函数的极值； (2)若函数是其定义域上的“等差偏移”函数，求实数的取值范围； (3)当时，数列满足，．其前项和为，试证明：． 【答案】(1)若，函数无极值；若，函数的极小值为，无极大值 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）对函数求导，分，两种情况讨论函数的单调性，从而得出相应的极值； （2）根据题给定义列出关于和点的斜率表达式，进而列出不等式，构造函数并求导，判断函数单调性，最后利用函数单调性解不等式求出实数的取值范围； （3）根据题给条件得出与的关系式，构造函数，根据函数单调性得出的取值范围，再次构造函数，利用函数单调性得出缩放关系，最后结合等比数列前项和公式计算． 【详解】（1）函数的定义域为，求导得：， 当时，恒成立，函数在上单调递增，无极值； 当时，令，解得，，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 函数在处取得极小值，极小值为：，且函数无极大值． 综上，若，函数无极值；若，函数的极小值为，无极大值． （2）设三点的横坐标成等差数列，且满足， 则，，， 函数在点处的切线斜率恒小于直线的斜率， ，化简得，即， 令，则，代入可得，即 令，求导得恒成立， 在内单调递减，，即， ，解得， 实数的取值范围为： （3）当时，，， 设，求导得， 当时，，则在内单调递增， ， ，符合题意， 构造函数，求导得， 在内单调递增，则， 当时，， ，即， ， ，即， ． 34．（24-25高三上·湖北·阶段检测）甲、乙两人玩一个纸牌游戏，先准备好写有数字1，2，…，N的纸牌各一张，由甲先随机抽取一张纸牌，记纸牌上的数字为a，随后将纸牌放回（后面每次抽牌记录数字后都需将纸牌放回），接下来甲有2种选择： ①再抽取一次纸牌，记纸牌上的数字为b，若，则乙赢，游戏结束，否则，甲结束抽牌，换由乙抽牌一次； ②直接结束抽牌，记，换由乙抽牌一次． 记乙抽到的纸牌上的数字为c，若，则乙赢，否则甲赢．游戏结束． (1)若甲只抽牌1次，求甲赢的概率； (2)若甲抽牌2次，求甲赢的概率； (3)当甲抽取的第一张纸牌上的数字满足什么条件时，甲选择②赢得游戏的概率更大？（结果用含N的式子表示） 参考公式：若数列的通项公式为，则的前n项和． 【答案】(1) (2) (3)当甲抽取的第一张纸牌上的数字大于时，甲选择②赢得游戏的概率更大 【分析】（1）利用列举法，结合等差数列前项和公式来求得正确答案. （2）根据甲第一次抽到的纸牌进行分类讨论，从而求得甲赢的概率. （3）根据已知条件 不等式，由此求得正确答案. 【详解】（1）若甲只抽牌1次，甲赢的情况如下． 甲抽到的纸牌上的数字为1，乙抽到的纸牌上的数字为N，此时有1种情况； 甲抽到的纸牌上的数字为2，乙抽到的纸牌上的数字为N，，此时有2种情况； 甲抽到的纸牌上的数字为3，乙抽到的纸牌上的数字为N，，，此时有3种情况； …… 依次类推，甲赢的情况共有． 故甲赢的概率为． （2）若甲抽牌2次，甲赢的情况如下． ①甲第1次抽到的纸牌上的数字为1． 第2次抽到的纸牌上的数字为1，乙抽到的纸牌上的数字为N，，此时有2种情况； 第2次抽到的纸牌上的数字为2，乙抽到的纸牌上的数字为N，，，此时有3种情况； …… 第2次抽到的纸牌上的数字为，乙抽到的纸牌上的数字为N，，…，1，此时有N种情况． 以上有种情况． ②甲第1次抽到的纸牌上的数字为2． 第2次抽到的纸牌上的数字为1，乙抽到的纸牌上的数字为N，，，此时有3种情况； 第2次抽到的纸牌上的数字为2，乙抽到的纸牌上的数字为N，，，，此时有4种情况； …… 第2次抽到的纸牌上的数字为，乙抽到的纸牌上的数字为N，，…，1，此时有N种情况． 以上有种情况． 依次类推，甲第1次抽到的纸牌上的数字为3时，甲赢的情况有种； …… 甲第1次抽到的纸牌上的数字为时，甲赢的情况有种； 甲第1次抽到的纸牌上的数字为时，甲赢的情况有N种． 甲赢的情况的总数为 ． 故甲赢的概率为． （3）当甲抽取的第一张纸牌上的数字为a时， 若甲选择①，则甲赢的概率， 若甲选择②，则甲赢的概率． 令，即， 化简得，解得． 综上，当甲抽取的第一张纸牌上的数字大于时，甲选择②赢得游戏的概率更大． 【点睛】易错点睛： 概率求解中的遗漏：当甲选择多次抽取牌时，可能会漏掉某些组合的情况，特别是在多次抽取的情况下，需要非常仔细地列出所有可能组合，防止遗漏. 不等式解法中的取舍问题：在最后一部分的解答中，对于不等式求解，需要注意根的取舍条件，避免漏掉符合条件的解. 1．（2026·山西临汾·一模）已知，数列满足：，则为（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 【答案】B 【分析】根据给定函数，得，再利用倒序相加法求和即可. 【详解】由函数，得 ， 令， 则， 两式相加得， 所以，解得. 2．（25-26高二·全国·暑假作业）已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前项和的方法探求：若，则（ ） A．2022 B．4044 C．2023 D．4046 【答案】D 【分析】先得到，再用倒序相加法即可求解. 【详解】因为正数数列是公比不等于1的等比数列，且， 所以， 又∵函数， ∴， 令，则， ∴， ∴. 故选：D. 3．（2026高三·全国·专题练习）数列中，，若的前项和为，则项数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用裂项相消法，得到，从而得，即可求解. 【详解】因为，则的前项和为， 由，解得. 4．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知函数，数列满足. (1)求证：为定值，并求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）计算为定值2，用倒序相加法求得通项公式； （2）由（1）得到，裂项相消求和得，进而结合单调性证明不等式即可. 【详解】（1）由题意得 ， 则， 得到， 两式相加得，即. （2）由题意得， 则， 而，而，可得当时，， 令，因为反比例函数在上单调递减， 所以在上单调递增，即在上单调递增，故得证. 5．（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）设数列是首项为的等比数列，已知，，成等差数列. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，记为数列的前项和，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设数列的公比为，根据等比数列的通项公式求解； （2）利用错位相减法求解. 【详解】（1）设数列的公比为， 因为是首项为1的等比数列且成等差数列， 所以，所以，即， 解得，所以 （2）由（1）． ，① 则，② ①－②得， 所以 6．（2026·江西九江·模拟预测）已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) （） (2) 【分析】（1）变形递推式构造新数列，通过累加法结合裂项相消求新数列通项，进而得到的通项； （2）利用错位相减法以及等比数列公式求和即可. 【详解】（1）将递推式两边同除以， 得 ， 令，则，且， 当时，由累加法得 ，所以 ， 因此，经检验时满足上式，故. （2）由（1）得， 其前项和， 则， 两式相减可得 ， 即. 7．（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）已知数列为递增的等比数列，其前n项和为，已知，，成等差数列，. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数成等差数列，公差记为，设，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差中项的概念和等比数列的基本性质，列出方程组，求出公比，写出等比数列通项公式即可； （2）根据等差数列的性质求出，进而求出数列的通项公式，再根据错位相减法求解即可. 【详解】（1）设数列公比为，由题意可得，， 可得，解得， 所以， 化简得，解得或， 因为数列为递增数列，所以，则. （2）由题意可得，则， 设数列的前n项和为， 则， 即， 两式作差得， . 8．（25-26高二下·陕西汉中·期中）已知数列中，， (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)设数列满足：，求的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为，， 可得， 可得数列是首项为1，公差为3的等差数列； （2）由（1）可得， 则； （3）由题可知， 则前项和， ， 两式相减可得 ， 化简可得． 9．（25-26高二下·广西桂林·期中）已知正项数列的前n项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与的关系，利用作差法得到，结合等差数列的定义求解即可. （2）求出，采用裂项相消法求解即可. 【详解】（1）由，可得，， 两式相减得，. 因为是正项数列，所以， 所以，即，. 由，解得或（舍去）， 所以是以3为首项，2为公差的等差数列，则. 满足上式，因此. （2）由（1）得， 所以 . 10．（2026·西藏日喀则·模拟预测）记为数列的前n项和，已知，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用得到与的递推关系，再根据等比数列的定义得证； （2）结合（1）得，进而得，再根据裂项求和法即得. 【详解】（1）证明：由，得， 则， 所以， 因为，所以， 故数列是以2为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）可知，，所以． ， 故． 11．（25-26高二下·江西南昌·期中）已知数列的前项和为，若，且． (1)求的通项公式； (2)令 ，求数列的前项和为. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过前项和的递推式作差得到相邻两项和的关系，推导得奇数项、偶数项均为公差为4的等差数列，合并得到通项； （2）化简得，用裂项相消法求和. 【详解】（1）当 时，代入递推式得 ，已知 ，故 ，. 当 时，有 ①； 当 时， ②； ①-②得 ， 验证 时 ，故 对所有 成立. 将①中替换为 得 ③； ③-①得 ④； ④减去 ，得 ()，即数列奇数项、偶数项均为公差为 4 的等差数列： 当为正奇数时，设 ()，； 当为正偶数时，设 ()，。 综上， (). （2）将 代入得： ， 故 . 数列的前项和为：，其中 ， 因此： 12．（25-26高二下·贵州毕节·期中）已知数列是等差数列，其首项，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助等比中项性质求出等差数列公差以确定通项公式. （2）通过分组求和法分别计算对应等比、等差数列的前项和，合并得到最终结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则， 可得，，. 由，，成等比数列， 可得， 代入得 ， 展开整理得， 解得. 因此，. （2）由（1）得， 数列为等比数列，其前项和为， 数列为等差数列，其前项和为， 因此. 13．（25-26高二下·辽宁鞍山·期中）已知等差数列的前项和为，且．是正项等比数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式列出方程求解可得数列的通项公式，利用等比数列通项公式可得， （2）利用等差数列和等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，解得， 所以； ，所以，又，所以． （2） 14．（25-26高二下·辽宁大连·期中）已知数列满足. (1)求的前n项和； (2)记数列的前n项和为，若. （i）求出的通项公式； （ii）求数列的前n项和. 【答案】(1) (2)（i），（ii）. 【分析】（1）分、两种情况结合等差数列的求和公式求解即可； （2）（i）结合题设及与的关系可得，即可得数列是等差数列，再求解通项公式即可；（ii）先得到，再结合分组求和、裂项相消法求解即可. 【详解】（1）当时，； 当时，， 显然满足上式，故，. （2）（i）由，当时，，得； 当时，， 所以，所以，即， 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以，所以. （ii）由（1）知，又， 所以 ， 所以 . 15．（2026·湖南郴州·模拟预测）已知数列为正项数列，且，，.设数列的前n项和为. (1)求数列的通项公式； (2)证明：； (3)已知数列满足，记的前n项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）通过对递推式取倒数，构造新数列，将原数列转化为等差数列，再结合已知条件求解公差，进而得到数列的通项公式； （2）通过构造辅助函数，利用导数证明其单调性，进而得到关于的不等式，最后通过累加法求和证明原不等式； （3）构造两个辅助函数和，分别利用导数判断其在区间上的单调性，结合端点值 ，得到与和的大小关系，从而证明不等式. 【详解】（1）由题意，. 两边取倒数，得． 设，则，即， 所以数列为等差数列．设其公差为d，因为，所以. 于是，. 由，得，化简得，故或， 又因为正项数列，故， 当时，，不合题意，舍去. 故，于是，从而. （2）先证明对任意正整数k，有， 令，则上述不等式等价于证明， 即证明 . 构造函数 ，， 则 ， 所以在上单调递增.又， 因此当时，.于是 ， 故.令，得， 即， 将的不等式相加，得， 所以，即， 因此原命题成立. （3）由（1）知，故，， 在区间上设， 则， 所以在上单调递减，且，故， 即，从而． 再设． 则， 所以在上单调递增，且，故，即， 从而． 综上，． 16．（25-26高二下·广东佛山·阶段检测）已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，. (1)求数列和的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，求； (3)求. 【答案】(1)，. (2) (3) 【分析】（1）由已知列出方程组，求得公差和公比，然后求得数列的通项公式； （2）利用分组求和法可求得； （3）若为偶数，由（2）可求得，为奇数，利用，可求得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， ， 解得 ，. （2） （3）由（2）可知 若为偶数，则 若为奇数，若 若，则 综上，. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $