期末复习专题08 导数的应用【5大题型+强化训练】讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

专题08 导数的应用 考点一 利用导数研究不等式恒成立问题 考点二 利用导数研究能（存在）成立问题 考点三 利用导数研究方程的根（零点） 考点四 利用导数研究双变量问题 考点五 利用导数解决证明性问题 考点六 利用导数研究函数图象及性质 考点一 利用导数研究不等式恒成立问题 1．（25-26高二下·湖北武汉·期末）关于的不等式对恒成立，实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过同构构造，利用单调性脱去外层，转化为简单的参数分离与最值分析. 【详解】由题，将不等式变形得，令，则原不等式等价于， 当时，，此时不等式恒成立； 当时，，当时，，单调递减；当时，，单调递增； 因为，所以，，不等式转化为，即（＊）； 令，则，在单调递增，则，且当时，所以为使（＊）对于对恒成立，必须且只需. 综上所述，. 2．（25-26高二下·重庆·期中）已知函数． (1)若，试求在上的最大值； (2)若对于任意的，恒成立，求的最小值． 【答案】(1) (2)的最小值为． 【分析】（1）当时，求得函数的导数，结合导函数的符号，求得函数的单调区间，进而计算求得最大值； （2）求得函数的导数，令，则在上单调递增，求得函数的最大值，转化为求得，即可求解. 【详解】（1）当时，函数，可得， 令，解得， 当时，；当时，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以. （2）由题意，函数，可得， 因为任意的，恒成立， 又由，所以，则， 令，则在上单调递增， 因为当时，，所以， 因为，所以，使得， 且当时，，则； 当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故， 由，可得， 因为恒成立，可得，即， 结合，得，所以， 令，则， 所以在上单调递增，所以，即， 故实数的最小值为. 3．（25-26高二下·浙江金华·阶段检测）已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】首先把原不等式变形为，然后分别分析的单调性和最值，得到恒在上方，所以有. 【详解】因为，原不等式等价于， 设，则，当时，单调递减， 当时，单调递增， 在上的最小值即为极小值； 设，则，当时，单调递增， 当时，单调递减， 在上的最大值即为极大值， 因为，所以在上恒成立， 所以等价于， 结合最值信息即有. 4．（25-26高二下·安徽合肥·期中）已知对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】先将不等式整理为，构造同构函数，由是上的单调递增函数，将问题转化为恒成立；再求的最大值，从而得到实数的取值范围. 【详解】原不等式整理得：. 构造函数，原不等式等价于对任意恒成立. 对求导得：恒成立，因此是上的单调递增函数， 不等式等价于：. 将不等式变形为对任意恒成立，令，求导得， 令，得，当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 因此的最大值为，故，即. 综上，的取值范围是. 5．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数， (1)在区间有唯一零点，求实数的取值范围； (2)当时，若对任意，不等式恒成立，求的最大整数值.（注：） 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据函数导数与函数单调性的关系，对参数进行分类讨论，判定函数单调性，进而得出在区间有唯一零点时的情况，列出方程，根据方程的解，判定参数的范围； （2）根据不等式构造函数，再由函数导数判定函数单调性，进而根据函数值的正负，判定不等式解的情况，求出结果. 【详解】（1）由题意可得，可得，， 当时，可知在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递增，则， 此时在区间没有零点，不符合题意； 当时，，存在实数，使， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 因为，所以时，， 当在区间有唯一零点时，有，即， 因为，所以当时，恒成立； 当时，可知在上，， 所以在上函数恒成立，不符合题意； 综上所述，当在区间有唯一零点时，实数的取值范围为. （2）当时，可得， 对任意，不等式恒成立，等价于恒成立， 令，则， 令，则， 当时，，函数在上单调递增， 因为，所以存在实数，使， 所以在时，，即，函数在上单调递减， 在时，，即，函数在上单调递增， 可知，，， 所以存在，使得，当时，当时， 所以的最大整数值为. 6．（2026高三下·全国·专题练习）已知函数． (1)证明：当，时，； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求导，确定函数单调性，求解最值即可求证； （2）求导，分，，三种讨论，研究其单调性即可求解最值. 【详解】（1）（1）当时，， 当时，， 则函数在单调递减，即． （2）， ①当时，在上单调递减， 即，故原不等式不成立． ②当时，因为，所以， 即，显然原不等式成立． ③当时，存在，使得， 当在单调递增， 当在单调递减， 即， 由题意，可知，解得， 综上所述：． 考点二 利用导数研究能（存在）成立问题 7．（25-26高二下·上海·阶段检测）设，，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】引入函数，，函数的图象是过的直线，由导数确定的单调性、极值，过作的切线，求出切点的横坐标，确定满足题意的的可能取值，列出不等式组求解． 【详解】设，， 则由题意可知，存在唯一的整数，满足． ∵， ∴当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， ∴的最小值为， 又函数的是过定点的直线， 过曲线的切线，切点为， 则，解得或， ， 因此存在唯一的整数，满足，则或， ∴，或， 即或， 解得或， 故实数的取值范围为．    8．（25-26高二下·河南郑州·期中）已知函数，若关于x的不等式有解，则m的取值范围是___________． 【答案】 【分析】转化问题为有解，令，，设，利用导数求出，即可求出参数的取值范围. 【详解】由，得，显然， 所以在有解， 令，则， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以，则，即的取值范围为. 9．（2026·吉林延边·三模）已知函数，，若对于任意，总存在，使得，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】求出函数在上的最大值，分类讨论求出的最大值，再根据给定条件建立不等式，借助单调性求出范围. 【详解】由对任意，总存在，使得，得函数最大值不大于在上的最大值， 由函数，求导得， 函数在上单调递增，； 函数的定义域为， 求导得，当时，， 函数在上单调递增，当时，，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 因此，令，函数在上单调递增， 不等式，解得， 所以实数a的取值范围是. 10．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）已知函数． (1)若，求的极值； (2)若，且，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)极小值为2，极大值为． (2) 【分析】（1）求导得到导数零点，判断单调性，确定极值点并计算极值; （2）求导得出是函数在上的最大值点，将问题转化为最大值不小于并解不等式即可. 【详解】（1）依题意，． 令，解得或． 故当时，单调递减； 当时，单调递增； 当时，单调递减． 所以的极小值为，极大值为． （2）依题意，．因为， 令，解得，当时，，单调递增， 当时，单调递减． 故当时，取得极大值，也是最大值， 则，即，整理得，解得， 故实数的取值范围为． 11．（25-26高二下·江苏盐城·期中）已知函数，实数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若存在，使得关于的不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)减区间为，增区间为 (2) 【分析】（1）当时，利用函数的单调性与导数的关系可得出函数的增区间和减区间； （2）由已知不等式得出，令，由题意可知，可得出，再令，利用导数分析该函数的单调性与极值，结合题意可得出实数的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，，， 由可得，由得， 所以函数的减区间为，增区间为. （2）由，得， 令，则， 因为，所以当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值，也是最小值， 所以，存在，不等式成立， 则， 令，， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极大值，也是最大值， 所以实数的取值范围为. 12．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，若关于x的不等式在有解，求a的取值范围． 【答案】(1)当时，在单调递增； 当时，在单调递增，在单调递减. (2) 【详解】（1）由题意可知：函数的定义域为，且， 当时，则，可知在单调递增； 当时，令，解得；令，解得； 可知在单调递增，在单调递减； 综上，当时，在单调递增； 当时，在单调递增，在单调递减. （2）由（1）可知：当时，在单调递增，在单调递减， 则， 若关于x的不等式在有解，则0，解得， 所以实数a的取值范围为. 考点三 利用导数研究方程的根（零点） 13．（25-26高二下·河南郑州·期中）已知函数有两个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一：参变分离，构造函数，求导，得到函数单调性，数形结合得到的取值范围； 法二：求导，分和两种情况，结合函数单调性和最值得到不等式，求出，并验证其满足要求，得到答案 【详解】法一：由得到：； 令，由题意得与有两个交点： 则，其中， 是单调递减的，并且时，； 因此函数存在唯一零点，； 当时，；时，；； 得如下函数图像： 显然当时，与有两个交点： 法二：由题意得，显然恒成立， ①当时，，故恒成立， 故在R上单调递减，至多有一个零点，不符合题意： ②当时，令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 在处取到最小值．要使有两个零点，需， 解得． 当时，令，则， 故， 又在上单调递减，所以在区间上存在唯一的零点． 接下来证明，记， 当单调递增，所以，故， 令，则， 故 ．而在上单调递增， 所以在区间上存在唯一的零点． 综上，a的取值范围是． 14．（25-26高二下·山东济宁·期中）已知函数在处取得极小值. (1)求a，b的值； (2)若方程有唯一的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意结合极值点和极值可得，并根据函数单调性检验即可； （2）令，原题意等价于与有且仅有1个交点，利用导数判断的性质和图象，结合图象即可得结果. 【详解】（1）因为函数的定义域为，且， 由题意可得：，解得， 则，， 令，解得或；令，解得； 可知函数在内单调递增，在内单调递减， 则函数在处取得极小值，即符合题意， 综上所述：. （2）对于方程，即为，可得， 令，原题意等价于与有且仅有1个交点， 因为， 令，解得或；令，解得； 可知函数在内单调递增，在内单调递减， 则函数的极大值为，极小值为， 且当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于0； 由图可知：或，所以实数的取值范围为. 15．（2026·云南·模拟预测）设函数（）． (1)若曲线在点处的切线方程为，求实数，的值； (2)求证：； (3)关于的方程能否有三个不同的实根？证明你的结论． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)不可能有三个不同的实根，证明见解析 【分析】（1）对函数求导，根据已知切线方程列方程求参数值； （2）问题化为证明，构造函数并应用导数证明不等式即可； （3）问题化为证明在上至多有一个实根，导数研究在上的零点个数即可. 【详解】（1）由题设，且， 又点在切线上，所以，则， 又切线斜率为2，所以，故； （2）要证， 即证， 即证时，， 即证， 令，则， 故在上单调递增，， 故； （3）不可能有三个不同的实根，证明如下： 令，． 如果有三个不同的实根， 则至少要有三个单调区间， 则至少有两个不等实根， 只要证明在上至多有一个实根即可． ， 令，则， 当时，，， ， 在上单调递增， 在上至多有一个实根； 当时，由（2）得， ∵当时，， ， 在上没有实根． 综上所述，在上至多有一个实根， 所以不可能有三个不同的实根得证. 16．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知关于的方程有且仅有两个不同的实数解，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【分析】首先将方程转化为，再由的单调性及零点可得，进而转化为函数与的交点问题，用导数判断函数的单调性及极值，再用数形结合判断可得. 【详解】由，得，即. 由函数在上单调递增，且，得，即. 令，则， 当时，；当时，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减，故. 且当时，，当时，，当时，，如图： 若方程有且仅有两个交点，则，即. 因此，实数的取值范围为. 17．（2026·陕西咸阳·二模）（多选）已知函数，则（   ） A．存在a，使得有两个极值点 B． C．当时，在上单调递增 D．当时，有2个零点 【答案】BCD 【分析】求导，分析函数的单调性，进而结合极值点的定义、最值、零点判断各选项即可. 【详解】对于A，由，，得， 令，得， 则时，，时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则时，函数取得极小值，无极大值， 因此，不存在a，使得有两个极值点，故A错误； 对于B，由A知，函数在上单调递减，在上单调递增， 则时，，故B正确； 对于C，当时，，而函数在上单调递增， 则在上单调递增，故C正确； 对于D，当时，，， 由A知，函数在上单调递减，在上单调递增， 而时，，，时，， 根据零点存在性定理，可知有2个零点，故D正确. 18．（2026·广东广州·三模）已知函数，为的导数. (1)若，求的极值； (2)若在单调递增，求的取值范围； (3)讨论的零点个数. 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2) (3)当时，在的零点个数为1；当时，在的零点个数为2. 【分析】（1）直接对进行求导，利用导数研究单调性即可判断极值点，进而求出极值； （2）由在单调递增等价于恒成立，对进行分类讨论，即可求出的取值范围； （3）方法一：利用导数对进行分类讨论，判断极值的符号，进而确定零点的个数；方法二：参变量分离，将的零点个数问题转化为直线与函数的图象的交点个数即可. 【详解】（1）的定义域为. ，， 若，则当时，；当时，， 所以的极小值为，无极大值. （2）在单调递增等价于恒成立， ①若，则当时，，即，不合题意，舍去； ②若，则在单调递增，符合题意； ③若，由（1）得，在单调递减，在单调递增， 从而等价于，解得. 综上所述，的取值范围为. （3）方法一： ①若，则在单调递增，时，； 时，，所以在存在唯一零点； ②若，则在单调递减，又因为， 当时，，所以存在唯一， 使得， 且时，；时，， 故在单调递增，在单调递减， 其中， 且当和时，均有，故在和各有一个零点，故在有两个零点. ③若，由（1）（2）得在单调递减，在单调递增， 且当和时，均有，， 故存在，使得， 与②同理得在单调递增，在单调递减，在单调递增， 又由②得，，当时，， 故，，无零点；在存在唯一零点， 故在存在唯一零点. 综上所述，当时，在的零点个数为1；当时，在的零点个数为2. 方法二： 令得， 注意到不是该方程的解，故不是的零点，从而有 ，设， ，故在和单调递增， 时，，，故； 时，，时，， 时，由洛必达法则，. 【另一表述】与一次函数相比，对数函数增长得非常缓慢，故， 所以的草图为 的零点个数为水平直线与函数的图象的交点个数， 故当时，在的零点个数为1；当时，在的零点个数2. 考点四 利用导数研究双变量问题 19．（25-26高二下·天津静海·期中）已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，若函数有个不同的零点，． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明： 【答案】(1) . (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）利用导数判断函数的单调区间； （2）（ⅰ）转化为函数与有两个交点的问题； （ⅱ）由函数的两个零点可得，再利用构造函数的方法证明即可. 【详解】（1）当时，，则 ， ，切线方程为 ，即. （2）（ⅰ）当时，若函数有个不同的零点，， ∴恰有个正实根，，即方程恰有个正实根，， 令，则与有两个不同交点， ∴， ∴当时，；当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增，又， 当从的右侧无限趋近于时，趋近于； 当无限趋近于时，的增速远大于的增速，则趋近于， 则图象如下图所示， ∴当时，与有两个不同交点， ∴实数a的取值范围为． （ⅱ）由（ⅰ）知：，， ∴，， ∴，则， 不妨设， 要证，则需证， ∵，∴，∴，则只需证， 令，则只需证时，恒成立， 令， ∴， ∴在上单调递增，∴， ∴当时，恒成立， ∴原不等式得证． 【点睛】方法归纳：研究时函数的零点个数，可通过分离参数将问题转化为，通过研究函数的单调性、极值与值域，结合函数图象与直线的交点个数确定参数范围；证明双变量不等式，属于极值点偏移问题，可通过将两个零点满足的等式变形，统一为单变量，构造辅助函数，利用导数研究辅助函数的单调性与最值完成证明. 易错归纳：求解过程中易忽略定义域的限制，导致参数范围求解错误；求导运算失误，造成函数单调性、极值点判断错误；极值点偏移证明中变量替换不严谨，辅助函数构造或单调性分析出错，导致证明逻辑断裂. 20．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）已知． (1)证明：的极值点； (2)设的最小值为，当最大时，求的值； (3)设的解集为，若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）求导，研究其单调性，根据零点存在性定理判断； （2）求出最小值，再消去参变量，构造函数，利用导函数求最大值即可； （3）得出等价于，化简得，再构造函数得出，再分、讨论. 【详解】（1）易知， 设，则，   当时，，单调递减，即单调递减， 当时，，单调递增，即单调递增，   因为，，所以存在，使得，   因为，时，， 所以当时，， 所以当时，，单调递减， 当时，，则单调递增， 所以是的极小值点，且； （2）由（1）可知，，且， 消去，整理得， 设，则， 因为，所以，   则当时，，单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的最大值为， 此时，所以，解得； （3）因为，的解集是，所以，且， 由，得， 所以等价于， 由，得， 消去，整理得， 设，则， 所以单调递减， 又，所以，当且仅当，   因为在单调递减，且， 若，则，故，不符合； 若，则，故，满足要求， 综上，的取值范围是． 21．（25-26高二下·湖北·期中）已知函数． (1)若函数，求函数的单调区间； (2)若函数有两个不同的零点，记两个零点分别为，且． ①求a的取值范围； ②已知，若不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． (2)①；②． 【分析】（1）先化简，求导得，按与分类，根据导数的正负判断单调区间； （2）①有两个零点等价于，求的单调性与最大值，结合图象得； ②由零点条件将不等式转化为，代入，换元，构造函数，求导分析单调性得． 【详解】（1）由题意得的定义域为，， 当时，，则在区间内单调递增； 当时，由，得，（舍去）， 当时，，单调递增，当时，，单调递减． 所以当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）①依题意，函数的定义域为， 所以函数有两个不同的零点， 可得方程在有两个不同根， 得到函数与函数的图象在上有两个不同交点， 又，当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以． 又有且只有一个零点是1，且在时，，在时，， 如图，的图象如下： 可见，要想函数与函数在图象上有两个不同交点，只需． ②由①可知分别为方程的两个根，即，， 所以原式等价于． 因为，，所以原式等价于． 又由，作差得，，即， 所以原式等价于． 因为，原式恒成立，即恒成立， 令，，则不等式在上恒成立． 令，则． 当时，可见时，，所以在上单调递增， 又，在恒成立，符合题意； 当时，可见当时，；当时，， 所以在时单调递增，在时单调递减． 又，所以在上不能恒小于0，不符合题意，舍去． 综上所述，若不等式恒成立，只须，又，所以． 22．（2026高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若函数在上是减函数，求实数m的取值范围； (2)若函数在上存在两个极值点，，且，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）把问题转化为在定义域上恒成立，即，然后利用导数求出的最大值即可； （2）由，令，问题转化为在上恒成立，构造函数，只需利用导数证明在上单调递增即可. 【详解】（1）∵在上是减函数， ∴在定义域上恒成立， ∴，设，则， 由，得，由，得， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴．∴． 故实数m的取值范围是． （2）由（1）知， ∵函数在上存在两个极值点，，且， 则由，两式相加、相减分别可得与， ∴，∴， 设，则，要证， 只需证，只需证，只需证， 构造函数，则， ∴在上单调递增， ∴，即，∴． 23．（2026·河北衡水·模拟预测）已知函数 (1)求的最小值； (2)若有两个零点，证明： 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）首先求函数的导数，再判断函数的单调性，最后求函数的最值； （2）首先根据方程构造函数，再根据函数有两个零点，利用同构，以及构造函数，由函数的单调性得到，再构造函数根据函数的单调性，继续构造函数，根据的单调性和端点值，证明不等式 【详解】（1）由题意知函数的定义域为 则令得；令，得 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以 （2）证明：不妨设，则由(1)知， 设，由 得 即 因为函数在R上单调递增， 所以                                         构造函数 则 令，得，令，得 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增． 构造函数 则 所以在区间上单调递增， 所以当时，，即当时， 所以 又在区间上单调递减， 所以，即. 24．（25-26高二下·黑龙江·期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，求的单调区间； (3)若存在，使得，求证：. 【答案】(1)； (2)单调递减区间为，单调递增区间为； (3)证明见解析. 【分析】（1）求导得函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数，利用导数求出单调区间. （3）利用导数求得，确定函数单调性，由此可得，再按分类并构造函数，利用单调性证明不等式. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）依题意，的定义域为，求导得， 令函数，求导得， 函数，即在上单调递增，而，则当时，； 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （3）函数，求导得， 则函数在上单调递减，又，则当时，；当时，， 由，得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，且，则， 若存在，使得，则， 当时，，满足； 当时，，此时或， 当时，，不等式显然成立； 当时，要证，即证明，而，在上单调递增， 因此要证明，即证明，又，即证明. 令函数， 求导得，令， 求导得， 函数在上单调递减，，即，函数在上单调递增， 因此，即在区间上恒成立，则， 由，得， 由函数在上单调递增，得，即， 所以. 考点五 利用导数解决证明性问题 25．（25-26高二下·天津武清·期中）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)对任意的，恒成立，求实数a的取值范围； (3)证明：. 【答案】(1)时，在上是增函数；时，在上是减函数，在上是增函数． (2)； (3)证明见解析． 【分析】（1）求出导函数，按和分类讨论确定的正负得单调性； （2）用分离参数法化不等式为，引入函数，求出导函数，通过分子确定存在唯一零点，其中，然后求出的最小值即可得结论，对作一些变化：，利用同构法得，，代入后可得； （3）不等式化为，引入 函数，由导数求出的最小值，（确定，然后利用可证明得证． 【详解】（1）， 当时，，在上是增函数； 当时，时，，时，， 所以在上是减函数，在上是增函数． 综上，时，在上是增函数； 时，在上是减函数，在上是增函数． （2）不等式即为，， 设，则， 设，则在上恒成立， 所以在上单调递增， ，因为， 所以，所以， 又， 所以存在唯一的，使得，即， ，， 在时，是单调增函数，所以，即，从而， 时，，即，单调递减， 时，，即，单调递增， 所以， 代入，，得， 所以； （3）要证不等式成立， 即证， 也即证不等式， 设，则， 易知是增函数， 又，， 因为，所以，所以， 所以存在唯一的，使得，时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 由，得， ， 因为，所以，，， 所以， 而，所以， 所以， 所以成立． 26．（2026·江苏·二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为（为自然对数的底数）. (1)求的极值； (2)证明：. 【答案】(1)极小值为0，无极大值. (2)证明见解析 【分析】（1）通过求导判断函数的单调性从而找到极值； （2）通过求导得到切线方程，构建辅助函数，根据辅助函数的单调性来判断函数的极值，进而对不等式进行证明. 【详解】（1），求导可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的极小值为，无极大值. （2）因为，，所以在点处的切线方程为，即，所以， 设，求导可得， 设，求导可得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的极大值为，即，在上单调递减， 因为， 所以当时，，， 当时，，， 综上所述，. 27．（25-26高二下·吉林·期中）已知函数，． (1)求在点处的切线方程； (2)当，对任意的，恒成立，求实数a的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）结合导数即可求得切线方程； （2）令，结合导数求出的最大值后，解不等式即可； （3）结合（2）知，据此转化题目所证不等式，等价为证明，最后通过求导即可证明. 【详解】（1），令，因为，所以， 所以切线方程为． （2）因为恒成立，即恒成立， 令，， 令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故的最大值为， 因为恒成立，所以， 所以，即实数的取值范围为． （3）由（2）得当时，恒成立， 即，令， 所以， 令，则， 故在上单调递增，所以，即成立，得证． 28．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数的最大值为1． (1)求； (2)若，且，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求导，分析函数单调性，找到最大值点代入计算即可； （2）先建立的等式，令，将用和表示，代入等式转化为关于的表达式，得到关于的函数，对其求导分析单调性，证明该函数在时的取值大于. 【详解】（1）由题意得的定义域为，，   当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以是的极大值点，也是最大值点，   故 ，即 ，解得． （2）由（1）得，则， 即． 令，则，且，所以，所以 ，故，   所以． 令 ，   则．   令 ，， 则 ，   所以在区间上单调递增，所以当时， ，即， 所以在区间上单调递增， 所以，故． 29．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知函数 (1)设，分别讨论函数与在上的单调性； (2)证明：当时，. 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减. (2)证明见解析 【分析】（1）求导，根据导数计算即可； （2）分，两种情况，利用结合函数单调性计算即可证明. 【详解】（1）由题意得， 令，得；令，得. 所以在上单调递增，在上单调递减. 由，得， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减. （2）因为，所以， ①当时，，由（1）知在上单调递增， 所以，因为，所以， 所以； ②当时，令， 则，， 由（1）知在上单调递增， 所以，所以， 所以在上单调递减，所以， 即当时，. 综上，当时，. 30．（25-26高二下·贵州毕节·期中）已知函数． (1)若曲线在点处的切线经过点，求实数的值； (2)证明：当时，． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）对函数求导，利用导数的几何性质求出切线方程，再代入可得答案； （2）把不等式转化为，构造函数，求导并分析函数单调性，求出的最大值，进而得出，可得答案． 【详解】（1）函数的定义域为， 所以， ，， 曲线在点处的切线方程为 ， 把代入，得； （2）当时，要证成立，即证成立， 记， 则，． 记，， 和在上均单调递减， 在上单调递减， 又，， 存在，使得，即， ，， 当时，，即，在上单调递增， 当时，，即，在上单调递减， ， ，故成立，原命题得证． 考点六 利用导数研究函数图象及性质 31．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）（多选）若函数导函数的部分图象如图所示，则（    ） A．是的一个极大值点 B．是的一个零点 C．不是的一个极小值点 D．是的一个极大值点 【答案】ACD 【分析】根据导函数值正负，与原函数单调性之间的关系，进行逐一判断． 【详解】对于A选项，由图可知，在左右两侧，导函数左正右负，函数左增右减，是的一个极大值点，A正确； 对于B选项，由图可知，在左右两侧，导函数左负右正，函数左减右增，是的一个极小值点，不是零点，B错误； 对于C选项，由图可知，在左右两侧，导函数恒大于零，函数单调递增，不是的一个极值点，C正确； 对于D选项，由图可知，在左右两侧，导函数左正右负，函数左增右减，是的一个极大值点，D正确． 32．（25-26高二下·天津南开·期中）函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过求函数的零点判断图像与轴的交点，结合函数值的正负区间以及时的极限状态（或求导分析单调性）即可排除错误选项。 【详解】令，即，因为恒成立，所以， 解得或，数图像与轴有两个交点和。 观察选项：A选项：当时图像一直在轴下方，不符合时，故排除A； B选项：当时图像有部分在轴下方，而当时，，，所以，故排除B； D选项： 由导数可知，当时，函数单调递增，D 选项在时单调递减，故排除D； C选项：图像过原点，在时函数值为正且先增后减（存在极大值），在后先减后增（存在极小值），符合函数性质. 33．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知函数，若函数有4个不同的零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先利用导数画出函数的图象，再利用导数的几何意义，求出与相切时的取值，再利用数形结合求的取值范围. 【详解】，，得， 当时，，函数在区间单调递增， 当时，，函数在区间单调递减， 且时，，当时，的最大值为， 如图，画出函数的图象， 如图，当与相切时，与有3个交点， 设切点， 则切线方程为，因为切线过原点， 所以，则，， 所以， 所以直线与相切时，直线的斜率， 如图，若直线与有4个交点，即函数有4个不同的零点， 则，解得：， 所以的取值范围是. 34．（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，可得：当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 当时，恒成立，又， 可知函数仅有一个零点，即B选项正确． 35．（2026高三·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，讨论的图象与直线的交点个数； (2)对任意的，恒成立，求的值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）将交点个数问题转化为函数单调性与极值分析，结合极限趋势、数形结合判断即可. （2）将恒成立问题，通过构造函数，转化为函数最值问题，再分类讨论、验证即可. 【详解】（1）当时，定义域为，则， 令，解得：， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 的大致图象如图所示， 当时，的图象与直线的交点个数为0； 当或时，的图象与直线的交点个数为1； 当时，的图象与直线的交点个数为2． （2）根据题意，时，恒成立， 即，即. 令，则不等式等价于， 对其求导，得， 当，则，在上单调递减，又， 所以时，不合题意； 当，令得，令得， 所以的递增区间为，递减区间为， 若，因为，则当时，，不合题意； 若，，符合题意； 若，，则当时，，不合题意； 综上，. 36．（25-26高二下·四川遂宁·阶段检测）（多选）已知是定义在的偶函数，且当时，，则（    ） A． B．当时， C．是的极小值点 D．任意实数，使得直线与的图象有2个公共点 【答案】ACD 【详解】由题设，A对， 若，则，故， 由为偶函数，则，B错， 由上时，，则， 令，即在上单调递增， 又，故在上，在上， 所以在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点，C对， 由C分析，或时，且， 所以、上， 又为偶函数，则、上， 所以直线与的图象恒有2个交点，D对. 1．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析的符号以及该函数的零点，结合排除法可得合适的选项. 【详解】因为，则，得， 所以排除BD． 由，可得或，排除A. 2．（25-26高三下·四川成都·开学考试）函数在的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由奇函数排除B选项，再由时，，可排除A选项，结合导数研究可得在上单调递增，在上单调递减，结合图像分析即可求解. 【详解】由题意，关于原点对称，又为奇函数，可排除B选项； 又时，可得，可排除A选项， 当时，, 当时，，所以当时，，当时，, 所以在上单调递增，在上单调递减，结合图像分析D不对，C选项正确. 3．（25-26高二下·江西南昌·期中）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】求导，令，继续求导可得有唯一解，且，进而可得的单调性和最值，结合单调性及最值判断零点个数即可． 【详解】，令， ，解得或， 时，，单调递增， 时，，单调递减， 时，，单调递增， ，， 又， 有唯一解，且，即， 则时，，即，单调递减， 时，，即，单调递增， ， 又，， 即，又， 所以在和分别存在一个零点，即零点个数为2． 4．（25-26高二下·江苏无锡·期中）已知函数存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为导函数在其定义域内有解，再求解即可. 【详解】函数的定义域为，导函数为. 函数存在单调递增区间，等价于存在使得. 因为，所以等价于 . 即在上有解. 对配方得，在上单调递增，. 要使在上有解，只需. 因此的取值范围是. 5．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知存在使不等式成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题干条件，可将不等式转化为，令，，得，设，利用导数求得在上为递增函数，且在上只有一个零点，设为，得到，进而得到函数的单调性，求得取得最小值，结合题意，即可求解. 【详解】 令，， 则， 设，可得，函数在上为单调递增函数， 又由， 所以函数在上只有一个零点，设为，即，即， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以当时，函数取得最小值， 其中最小值为， 要使得存在成立，所以， 所以. 6．（25-26高二下·福建漳州·期中）若函数，且，则正实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，化简得；不等式进行同构处理得，分析同构后对应函数的单调性，转化为关于和的不等式恒成立问题，利用导数法求函数在定义域内的最大值，得到的取值范围. 【详解】由，得的定义域为； ， 由得，即. ，，； 当时，，，，此时恒成立； 当时，，得； ，即； 令，则； ，，，得； 在上单调递增. 由，得，即； ，即. 令，则. 令，则，得； 当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增； 当时，取得极小值，也是最小值，即， 由在上恒成立，得，即，解得； ，； 正实数的取值范围是. 7．（25-26高二下·江西抚州·期中）已知不等式对任意的恒成立，则正数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】同构变形，由函数单调性得到不等式，参变分离，求出函数单调性和最值，得到答案 【详解】，对任意的恒成立， 则对任意的恒成立， 令，易知在单调递增， ，，，， 令，则， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 的最小值为，故， 又，的取值范围. 8．（2026·江苏·模拟预测）（多选）设函数，，则（   ） A．若，则的值域为 B．若函数存在极小值点，则 C．若对任意实数，都有，则实数的取值范围为 D．若函数存在零点，且满足，则实数的取值范围为 【答案】AB 【分析】对于A：求导，利用导数判断的单调性和值域；对于B：分析可知函数在内的极小值点为，结合题意即可得结果；对于C：分析可知的最小值为，可得，即可得结果；对于D：分析可知原题意等价于在内有解，结合导数分析函数单调性和最值即可. 【详解】对于选项A：若，则，， 因为，可知函数在内单调递增， 且，，即， 所以函数的值域为，故A正确； 对于选项B：对于函数，， 则， 令，解得；令，解得； 可知函数在内单调递减，在内单调递增， 可知函数在内的极小值点为， 若函数在内存在极小值点， 则，解得，故B正确； 对于选项C：若， 由选项B可知：函数在内单调递减，在内单调递增， 则的最小值为， 若，则，即， 又因为， 即，可得，故C错误； 对于选项D：令， 则，即， 因为，即， 且，则，可得， 原题等价于在内有解， 令，， 则， 可知在内单调递增，则； 令，， 则， 可知在内单调递增，则； 可得， 所以实数的取值范围为，故D错误. 9．（2026·湖南·三模）（多选）对于定义在D上的函数，若存在，使得对恒成立，则称为理想函数．下列函数为理想函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】A选项：不等式化为，因，需恒成立，但时不满足，故不是理想函数；B选项：令，求导得，递减，时，故恒成立；C选项：辅助角公式得最大值，需， 即，取时满足要求，故存在；D选项：取，不等式化为，令，在上，且，故恒成立. 【详解】选项A：计算得，因为，则， 当时，， 故，必然存在使得左边大于，不满足恒成立，故A错误； 选项B：不等式为，令， 由于且，则，， 从而， 故在上单调递减. 当 时，，而由于，则， ∴ 对任意，恒成立，故B正确； 选项C：不等式为，令， 利用三角恒等式：， 其最大值. 需存在使，即，平方得， 即，即. 取，则，满足条件. 此时， 即对任意，，不等式成立，故C正确. D选项：不等式为，即， 等价于，即. 取，则，不等式化为. 令，则. 当 时，，单调递增. 又， 因此对任意，，即 恒成立. 满足条件，故D正确. 10．（2026·江苏·二模）（多选）设函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】采用构造函数法，设，，则原问题转化为存在唯一的整数，使得，对求导可判断函数在处取到最小值，再结合两函数位置关系，建立不等式组，即可求解. 【详解】设，， 由题设可知存在唯一的整数，使得， 因为，故当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故，且，， 由图可知，即，解得，BC选项符合题意. 11．（2026·广西南宁·二模）（多选）已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．若恒成立，则 B．是的极值点 C．若函数恰有2个正零点，则 D．若关于x的不等式有解，则 【答案】ACD 【分析】对于A：可得恒成立，令，利用导数求其最值，即可得结果；对于B：举反例，取，结合定义域分析判断；对于C：令，可得，结合函数单调性可得，利用导数分析其单调性和最值即可求解；对于D：令，分和两种情况讨论，结合选项C的结论运算求解. 【详解】由题意可知：. 对于选项A：若恒成立，可得恒成立， 令，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 可得，即，故A正确； 对于选项B：若，令，解得， 此时的定义域为，不在定义域内，故B错误； 对于选项C：由题意可知：，令，解得， 令，可得， 构造，则， 因为在定义域内单调递增，则，即， 构造，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则 即，解得，所以，故C正确； 对于选项D：令， 若，可知的定义域为， 当趋近于时，趋近于，符合题意； 若，可知的定义域为， 令，可得， 由选项C可知：在定义域内单调递增， 因为，则，即， 可知有解，由选项C可得：，解得； 综上所述：，故D正确. 12．（25-26高三上·河南安阳·阶段检测）（多选）已知正数满足，则（    ） A．是的函数 B．是的函数 C． D．的最大值为 【答案】BCD 【分析】由已知易得，，构造，结合的单调性知，，进而判断AB；对于C，可得，设，，利用导数分析其单调性，进而判断即可；对于D，可得，设，利用导数分析其单调性，进而判断即可. 【详解】由，则，即(*)， 因为为正数，则，即， 设，，则(*)即， 而，则在上单调递增， 故， 即，，故B正确； 由求导得，，令，得，令，得， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 则时，，若取，则对应的值有两个，故不是的函数，即A错误； 对于C，由，可得， 设，，则， 所以函数在上单调递减， 则，即，故C正确； 对于D，由，可得， 设，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则，即的最大值为，故D正确. 故选：BCD. 13．（2026·河南商丘·模拟预测）（多选）已知函数，若的解集为或，则（   ） A． B．在上单调递增 C．的图象的对称中心的纵坐标为 D．不等式的解为 【答案】ABD 【分析】先由的解集可得是函数的极值点也是函数的零点，进而可得值及函数解析式，再根据函数的解析式判断函数的单调性及对称中心，以及解不等式可得. 【详解】因为的解集为或，所以为的极值点也是的零点，如图: 由题意得，则，解得，故A正确. 又因为为的零点,所以，解得， 故，则， 当时，，故在上单调递增，故B正确. 假设的图象的对称中心为，则对， ，则， 即，所以,解得， 而， 所以的图象的对称中心的纵坐标为，故C错误. 又因为，得，， 所以，得，故D正确. 14．（25-26高二下·贵州黔西南·期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．在上单调递减 B．的极大值为2 C．有三个零点 D．曲线在处的切线斜率为 【答案】ABC 【详解】由题设，则，D错， 当或时，，当时，， 所以在、上单调递增，在上单调递减，A对， 所以极大值为，极小值为，时，时， 所以在、、上各有一个零点，共有3个零点，B、C对. 15．（2026·山东聊城·三模）（多选）若函数的图象在点处的切线的斜率为，则（    ） A．有3个不同的零点 B．在区间上单调递增 C．， D．， 【答案】BC 【分析】先根据切线斜率条件求导，由得，确定，再分析其零点、导数与单调性，结合函数在各区间的增减性，逐一判断选项． 【详解】，， 因为函数的图象在点处的切线的斜率为， 所以，解得， 所以，， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增， 对于A，由，得，，A错误； 对于B，区间，即是， 因为在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增，B正确； 对于C，当时，，所以， 因为在区间上单调递减，所以，C正确； 对于D，， ，所以恒成立， 即对所有成立，D错误． 16．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知函数．若函数有两个不同的零点，则的取值范围为__． 【答案】 【分析】根据导数与单调性及极值的关系，分，两种情况讨论计算即可. 【详解】的定义域为，. 当时，，所以在上单调递增，不可能有两个零点，舍去； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 因为有两个不同的零点，所以，解得. 当时，，所以在上存在一个零点， 因为，所以在上也存在一个零点. 综上，. 17．（25-26高二下·上海浦东新·期末）设函数，若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用函数与方程的思想，将函数有且只有一个零点问题，转化成直线与函数的图象有且仅有一个交点问题，通过求导判断函数的单调性和极值，作出函数的图象，数形结合即可求得参数的范围. 【详解】由可得， 依题意，直线与函数的图象有且仅有一个交点. 因，由可得或，由可得， 即函数在上单调递增；在上单调递减， 故函数在时取得极大值，即； 当时取得极小值，即， 且当时，，当时，，如图所示.    由图可得，要使直线与函数的图象有且仅有一个交点， 需使或，即实数的取值范围是. 故答案为：. 18．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知函数． (1)求的极值； (2)比较，，的大小； (3)若关于x的方程有实数解，直接写出实数m的取值范围． 【答案】(1)极小值－1，无极大值 (2) (3) 【分析】（1）求导，分析导函数的符号，得出单调性和极值； （2）利用（1）中的单调性和指数函数的符号进行判断； （3）结合的图像，将方程解的个数转化为图像的交点的个数． 【详解】（1）函数的定义域为，， 于是时，单调递增； 时，单调递减， 又，则在处取到极小值，无极大值． （2）由（1）知，在区间上单调递减，故． 又因为当时，，故，所以． 因为，所以． （3）结合（1）中的单调性，函数的大致图像如下： 方程的解的个数可以看成和直线在同一坐标系下图像交点的个数， 由图像知，当m的取值不小于最小值即可，即． 19．（25-26高二下·天津蓟州·期中）已知函数，． (1)若，求的图象在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，单调递增区间为，无单调递减区间；当时，单调递增区间为，单调递减区间为. (3) 【分析】（1）先由题意，得到，对其求导，得到对应的切线斜率，进而可得出所求切线方程； （2）求出函数的导数，分类讨论解不等式即可得出函数的单调区间； （3）先根据题意，得到在上恒成立，只需在上恒成立，令，，对其求导，求出的最大值，即可得出结果. 【详解】（1）若，则，则，. ，所以切点坐标为，切线斜率为， 曲线在点处的切线方程为. 化简可得：. （2）因为，定义域为， 所以， 当时，恒成立， 所以函数在单调递增； 当时，令，解得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减. 综上，当时，单调递增区间为，无单调递减区间；当时，单调递增区间为，单调递减区间为. （3）若，都有，即， 即在上恒成立，令，， 由题意，只需当时，即可， 令， 因为当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， ，. 综上所述，实数的取值范围是. 20．（2026·天津滨海新区·三模）已知函数（是自然对数的底数）． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若，使得对恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数，且满足，证明：． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）求导代入得到斜率，再求出切点坐标，最后写出点斜式方程即可； （2）分和讨论即可； （3）分和讨论即可. 【详解】（1）∵，切点为， ∵， 则曲线在处的切线方程为. （2）， 等价于， 则使得成立，只需， ，当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以在上有最小值， ， 即对恒成立， 令，即， ，， ①当时，，所以单调递增， 在，不符合题意， ②当时，由，得，则函数在上单调递增， 由，得，则函数在上单调递减， 故的最大值为，解得． （3）因为，令， 由（2）知在上单调递减，在上单调递增，，则， ①当时，所以，又， 故， 函数在上单调递减， 又，则， 要证明，只需证明，只需证明， 即， 令函数，求导得， 又，不妨设，则， 由在上单调递减，得， 当时，， 即， 因此， 令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则， 当时，，函数在上单调递减， 由，得，即，因此； ②当时，可知有两个极值点，且， 函数在上单调递减，在上单调递增， 由为极值点，得，即， 则， 又， 则． 对任意，由，得，则， 因此，即． 综上可知． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 导数的应用 考点一 利用导数研究不等式恒成立问题 考点二 利用导数研究能（存在）成立问题 考点三 利用导数研究方程的根（零点） 考点四 利用导数研究双变量问题 考点五 利用导数解决证明性问题 考点六 利用导数研究函数图象及性质 考点一 利用导数研究不等式恒成立问题 1．（25-26高二下·湖北武汉·期末）关于的不等式对恒成立，实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·重庆·期中）已知函数． (1)若，试求在上的最大值； (2)若对于任意的，恒成立，求的最小值． 3．（25-26高二下·浙江金华·阶段检测）已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为________． 4．（25-26高二下·安徽合肥·期中）已知对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________. 5．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数， (1)在区间有唯一零点，求实数的取值范围； (2)当时，若对任意，不等式恒成立，求的最大整数值.（注：） 6．（2026高三下·全国·专题练习）已知函数． (1)证明：当，时，； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 考点二 利用导数研究能（存在）成立问题 7．（25-26高二下·上海·阶段检测）设，，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是________． 8．（25-26高二下·河南郑州·期中）已知函数，若关于x的不等式有解，则m的取值范围是___________． 9．（2026·吉林延边·三模）已知函数，，若对于任意，总存在，使得，则实数a的取值范围是______． 10．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）已知函数． (1)若，求的极值； (2)若，且，使得，求实数的取值范围． 11．（25-26高二下·江苏盐城·期中）已知函数，实数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若存在，使得关于的不等式成立，求实数的取值范围. 12．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，若关于x的不等式在有解，求a的取值范围． 考点三 利用导数研究方程的根（零点） 13．（25-26高二下·河南郑州·期中）已知函数有两个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高二下·山东济宁·期中）已知函数在处取得极小值. (1)求a，b的值； (2)若方程有唯一的实数根，求实数的取值范围. 15．（2026·云南·模拟预测）设函数（）． (1)若曲线在点处的切线方程为，求实数，的值； (2)求证：； (3)关于的方程能否有三个不同的实根？证明你的结论． 16．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知关于的方程有且仅有两个不同的实数解，则实数的取值范围为_____. 17．（2026·陕西咸阳·二模）（多选）已知函数，则（   ） A．存在a，使得有两个极值点 B． C．当时，在上单调递增 D．当时，有2个零点 18．（2026·广东广州·三模）已知函数，为的导数. (1)若，求的极值； (2)若在单调递增，求的取值范围； (3)讨论的零点个数. 考点四 利用导数研究双变量问题 19．（25-26高二下·天津静海·期中）已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，若函数有个不同的零点，． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明： 20．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）已知． (1)证明：的极值点； (2)设的最小值为，当最大时，求的值； (3)设的解集为，若，求的取值范围． 21．（25-26高二下·湖北·期中）已知函数． (1)若函数，求函数的单调区间； (2)若函数有两个不同的零点，记两个零点分别为，且． ①求a的取值范围； ②已知，若不等式恒成立，求的取值范围． 22．（2026高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若函数在上是减函数，求实数m的取值范围； (2)若函数在上存在两个极值点，，且，证明：． 23．（2026·河北衡水·模拟预测）已知函数 (1)求的最小值； (2)若有两个零点，证明： 24．（25-26高二下·黑龙江·期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，求的单调区间； (3)若存在，使得，求证：. 考点五 利用导数解决证明性问题 25．（25-26高二下·天津武清·期中）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)对任意的，恒成立，求实数a的取值范围； (3)证明：. 26．（2026·江苏·二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为（为自然对数的底数）. (1)求的极值； (2)证明：. 27．（25-26高二下·吉林·期中）已知函数，． (1)求在点处的切线方程； (2)当，对任意的，恒成立，求实数a的取值范围； (3)证明：． 28．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数的最大值为1． (1)求； (2)若，且，证明：． 29．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知函数 (1)设，分别讨论函数与在上的单调性； (2)证明：当时，. 30．（25-26高二下·贵州毕节·期中）已知函数． (1)若曲线在点处的切线经过点，求实数的值； (2)证明：当时，． 考点六 利用导数研究函数图象及性质 31．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）（多选）若函数导函数的部分图象如图所示，则（    ） A．是的一个极大值点 B．是的一个零点 C．不是的一个极小值点 D．是的一个极大值点 32．（25-26高二下·天津南开·期中）函数的图像大致是（    ） A．B． C． D． 33．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知函数，若函数有4个不同的零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34．（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 35．（2026高三·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，讨论的图象与直线的交点个数； (2)对任意的，恒成立，求的值. 36．（25-26高二下·四川遂宁·阶段检测）（多选）已知是定义在的偶函数，且当时，，则（    ） A． B．当时， C．是的极小值点 D．任意实数，使得直线与的图象有2个公共点 1．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·四川成都·开学考试）函数在的图象大致为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江西南昌·期中）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（25-26高二下·江苏无锡·期中）已知函数存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知存在使不等式成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·福建漳州·期中）若函数，且，则正实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·江西抚州·期中）已知不等式对任意的恒成立，则正数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·江苏·模拟预测）（多选）设函数，，则（   ） A．若，则的值域为 B．若函数存在极小值点，则 C．若对任意实数，都有，则实数的取值范围为 D．若函数存在零点，且满足，则实数的取值范围为 9．（2026·湖南·三模）（多选）对于定义在D上的函数，若存在，使得对恒成立，则称为理想函数．下列函数为理想函数的是（   ） A． B． C． D． 10．（2026·江苏·二模）（多选）设函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值可以为（    ） A． B． C． D． 11．（2026·广西南宁·二模）（多选）已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．若恒成立，则 B．是的极值点 C．若函数恰有2个正零点，则 D．若关于x的不等式有解，则 12．（25-26高三上·河南安阳·阶段检测）（多选）已知正数满足，则（    ） A．是的函数 B．是的函数 C． D．的最大值为 13．（2026·河南商丘·模拟预测）（多选）已知函数，若的解集为或，则（   ） A． B．在上单调递增 C．的图象的对称中心的纵坐标为 D．不等式的解为 14．（25-26高二下·贵州黔西南·期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．在上单调递减 B．的极大值为2 C．有三个零点 D．曲线在处的切线斜率为 15．（2026·山东聊城·三模）（多选）若函数的图象在点处的切线的斜率为，则（    ） A．有3个不同的零点 B．在区间上单调递增 C．， D．， 16．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知函数．若函数有两个不同的零点，则的取值范围为__． 17．（25-26高二下·上海浦东新·期末）设函数，若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是______． 18．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知函数． (1)求的极值； (2)比较，，的大小； (3)若关于x的方程有实数解，直接写出实数m的取值范围． 19．（25-26高二下·天津蓟州·期中）已知函数，． (1)若，求的图象在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若，都有，求实数的取值范围． 20．（2026·天津滨海新区·三模）已知函数（是自然对数的底数）． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若，使得对恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数，且满足，证明：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $