精品解析：2026年河南省南阳市唐河县二模数学试题

2026年中考模拟试卷（二）数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ） A. B. C. D. 3. 某市为尽快了解义务教育阶段劳动课程开设及实施的情况，现面向全市义务教育阶段的学校进行抽样调查，下列抽样方式较合适的是（ ） A. 随机抽取城区三分之一的学校 B. 随机抽取乡村三分之一的学校 C. 调查全体学校 D. 随机抽取三分之一的学校 4. 图1是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图2是其局部放大示意图，由正六边形、正方形和正三角形构成，它的轮廓为正十二边形，则图2中的大小是（ ） A. B. C. D. 5. 先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，的对角线，相交于点，点是的中点．若，，的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 7. 成语“福生于微”中的“微”，是我国古代量值极小的长度计量单位．《夏侯阳算经》中记载“忽，十微．”《孙子算经》中记载“度之所起，起于忽．欲知其忽，蚕所生，吐丝为忽，十忽为一秒，十秒为一毫，十毫为一厘，十厘为一分，十分为一寸．”到了宋代，“秒”改成了“丝”．也就是说，寸分，1分厘，1厘毫，1毫丝，1丝忽，1忽微，足见“微”的量值真可谓“微乎其微”．某生物体长是“微”，则“微”换算成“寸”用科学记数法表示为（ ） A. 寸 B. 寸 C. 寸 D. 寸 8. 《九章算术》是中国传统数学最重要的数学著作之一，“方程章”第11题大意是：两匹马一头牛总价超过1万，超过部分等于半匹马的价格；一匹马两头牛的总价不足1万，不足部分等于半头牛的价格，问一匹马、一头牛的价格分别是多少？若设一匹马价格为x，一头牛价格为y，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数和一次函数，则这两个函数在同一个平面直角坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为1，与点O相对的顶点B坐标为，以对角线为边作第二个正方形，与点O相对的顶点D的坐标为，再以对角线为边作第三个正方形，与点O相对的顶点F的坐标为，如此下去，则第个正方形中与点O相对的顶点的坐标为（    ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若分式的值为正数，则实数x的取值范围是_____． 12. 若关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则实数的取值范围是______． 13. 某抛物线型的拱桥如图所示，已知该抛物线的函数表达式为，为了给行人提供安全保障，在该拱桥上距水面高为6米的点、处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圈间的水平距离为_____米． 14. 如图，已知点在直线外，利用如下方法可以作出过点与直线平行的直线：在直线上任取一点，以点为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点；以点为圆心，以长为半径作弧；以点为圆心，以的长为半径作弧，交前弧于点；作直线，则．连接，，若直线与之间的距离为，则图中阴影部分的面积为_____． 15. 如图，将边长为6的等边三角形沿射线平移得到，点P，Q分别为，的中点，点是线段的中点，连接，．当为直角三角形时，__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算和解方程 （1） （2）． 17. 近年来，交通工具的多样化和普及化，为家长接送孩子带来便利的同时，也在一定程度上造成了放学时段校门口的交通拥堵．为了解具体情况，某校爱心社团中午放学后在校门口随机选取300名接送孩子的家长，针对接送孩子的方式和时段进行了问卷调查（调查问卷如图），所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整）． 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为_________；本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有__________人，并补全条形统计图； （2）若该校共有1500名家长中午放学后接送孩子，请估计用私家车接送孩子的家长人数； （3）假如你是爱心社团的成员，请根据上述统计图中的信息，写出一个造成放学后校门口交通拥堵的原因，并给家长提出一条缓解拥堵的建议． 18. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象与直线交于点，过点A 作轴于点B． （1）求k的值； （2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段 的垂直平分线；(要求：不写作法，保留作图痕迹) （3）(2)中所作的垂直平分线与 交于点C，与 x轴交于点D，连接 、，求证：四边形是菱形． 19. 在一次综合实践活动中，小亮同学想要测量山坡上一棵松树(如图1)的高度，下面是测量该松树高度的实践报告． 主题 测量松树的高度 测量过程 如图2，小亮在斜坡P处测量松树顶B 的仰角∠BPO，并测得斜坡PA 的坡度i，然后他沿着斜坡PA行走至点A，在坡顶A 处又测量松树顶 B 的仰角． (图中所有点均在同一竖直平面内) 示意图 测量数据 ∠BPO=45°，∠BAC=55°，AP=13m，坡度 参考数据 请你根据以上实践报告；求出松树的高度 BC（结果保留整数）． 20. 如图，是的直径，点在线段的延长线上，直线与相切于点，连接．过点作，交延长线于点． （1）求证：平分； （2）若，求的长． 21. 共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费y（元）与骑行时间x（）之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应，B品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题： （1）直接写出，关于x的函数解析式； （2）如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择__品牌共享电动车更省钱；（填“A”或“B”） （3）当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差3元？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，点为抛物线的顶点，已知该抛物线与轴交于两点． （1）求抛物线的表达式及顶点的坐标． （2）当时，求二次函数的最大值与最小值的差． （3）点是抛物线上一点，作直线，若点是轴上方抛物线上的点（不与点重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点，当线段的长随的增大而增大时，请直接写出的取值范围． 23. 综合与实践 【回归教材】 通过对教材的学习，小明学习到这样一个知识：如图①，正方形的对角线相交于点，点是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，正方形绕点旋转的过程中，边，分别交正方形的边，于点，，在旋转过程中，两个正方形重叠的面积（阴影部分）是一个正方形面积的． 【提出问题】 （1）①请证明上述结论； ②通过观察，小明发现线段，，之间存在一定的数量关系，请写出该关系并说明理由； 【拓展迁移】 （2）如图②，在等边中，为的中点，绕点旋转，且，交线段于点，交线段于点，请判断此时线段，，的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图③，在等腰中，，，为上一点，的边交于点，边交于点，且，连接，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考模拟试卷（二）数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加法的应用，根据题意计算得出，找到显示为的即可求解． 【详解】解： 故选：B． 2. 如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了点、线、面、体问题．根据旋转体的特征判断即可． 【详解】解：将一个半圆绕它的直径所在的直线旋转一周得到的几何体是球， 故选：C． 3. 某市为尽快了解义务教育阶段劳动课程开设及实施的情况，现面向全市义务教育阶段的学校进行抽样调查，下列抽样方式较合适的是（ ） A. 随机抽取城区三分之一的学校 B. 随机抽取乡村三分之一的学校 C. 调查全体学校 D. 随机抽取三分之一的学校 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查的可靠性，样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现．如果抽取的样本得当，就能很好地反映总体的情况，否则抽样调查的结果会偏离总体情况． 【详解】解：A、随机抽取城区三分之一的学校，调查不具代表性，故本选项不符合题意； B、随机抽取乡村三分之一的学校，调查不具广泛性，故本选项不符合题意； C、调查全体学校，虽全面，但耗时耗力，不符合“尽快”要求，故本选项不符合题意； D、随机抽取三分之一的学校，调查具有广泛性、代表性，故本选项符合题意； 故选：D． 4. 图1是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图2是其局部放大示意图，由正六边形、正方形和正三角形构成，它的轮廓为正十二边形，则图2中的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和．根据正三角形的每个内角为，正方形的每个内角为，求解即可． 【详解】解：正三角形的每个内角为，正方形的每个内角为， ∴， 故选：D． 5. 先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】整个实验分两步完成，每步有两个等可能结果，用列表法或树状图工具辅助处理． 【详解】 如图，所有结果有4种，满足要求的结果有1种，故概率为. 故选：A 【点睛】本题考查概率的计算，运用树状图或列表工具是解题的关键． 6. 如图，的对角线，相交于点，点是的中点．若，，的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形性质即可知为中点，所以为的中位线，即可求解． 【详解】的周长的一半, ， ， ， ， ， ， ，可知为中点，且点是的中点， 为的中位线， ， 的周长为． 7. 成语“福生于微”中的“微”，是我国古代量值极小的长度计量单位．《夏侯阳算经》中记载“忽，十微．”《孙子算经》中记载“度之所起，起于忽．欲知其忽，蚕所生，吐丝为忽，十忽为一秒，十秒为一毫，十毫为一厘，十厘为一分，十分为一寸．”到了宋代，“秒”改成了“丝”．也就是说，寸分，1分厘，1厘毫，1毫丝，1丝忽，1忽微，足见“微”的量值真可谓“微乎其微”．某生物体长是“微”，则“微”换算成“寸”用科学记数法表示为（ ） A. 寸 B. 寸 C. 寸 D. 寸 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了单位换算与科学记数法的运用，科学记数法的表现形式为，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于时，是正数，当原数绝对值小于时，是负数．根据题干给出的单位进率推导微和寸的换算关系，再计算得到结果即可． 【详解】解：根据题意，单位进率满足：寸分，1分厘，1厘毫，1毫丝，1丝忽，1忽微， 寸 微， 微寸， 微寸． 8. 《九章算术》是中国传统数学最重要的数学著作之一，“方程章”第11题大意是：两匹马一头牛总价超过1万，超过部分等于半匹马的价格；一匹马两头牛的总价不足1万，不足部分等于半头牛的价格，问一匹马、一头牛的价格分别是多少？若设一匹马价格为x，一头牛价格为y，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．设每匹马的价格为x钱，每头牛的价格为y钱，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设每匹马的价格为x，每头牛的价格为y，根据题意可得， ． 故选A． 9. 已知二次函数和一次函数，则这两个函数在同一个平面直角坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数和一次函数图象的性质“二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．”逐项判断即可． 【详解】A．图象中二次函数，，一次函数，，故A不符合题意． B．图象中二次函数，，又对称轴在轴右侧，则，得出，矛盾，故B不符合题意． C．图象中二次函数，，一次函数，，故C符合题意． D．图象中二次函数，，又对称轴在轴右侧，则，得出，矛盾，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质．熟练掌握二次函数和一次函数的图象的性质是解答本题的关键． 10. 如图，正方形的边长为1，与点O相对的顶点B坐标为，以对角线为边作第二个正方形，与点O相对的顶点D的坐标为，再以对角线为边作第三个正方形，与点O相对的顶点F的坐标为，如此下去，则第个正方形中与点O相对的顶点的坐标为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，正方形的性质，根据题意得出每变换8次，点O相对顶点所在的方向线位置重复，再根据每次变换后，对角线的长变为上一次的倍即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题知，， ∴每变换8次，点O相对顶点所在的方向线位置重复， 又∵余2， ∴第个正方形中与点O相对的顶点在上，即在y轴上， 又∴每次变换后，对角线的长变为上一次的倍， ∴第个正方形中含点O的对角线长为， ∴第个正方形中与点O相对的顶点的坐标为， 故选： 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若分式的值为正数，则实数x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：分式的值为正数， 分子与分母同号， 对于任意实数，都有， ，即分母恒为正数， ． 12. 若关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则实数的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．根据根的判别式进行计算即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等实数根， ，且， 解得且， 故答案为：且． 13. 某抛物线型的拱桥如图所示，已知该抛物线的函数表达式为，为了给行人提供安全保障，在该拱桥上距水面高为6米的点、处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圈间的水平距离为_____米． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了实际问题与二次函数（拱桥问题），直接开平方法解一元二次方程等知识点，熟练掌握实际问题与二次函数（拱桥问题）是解题的关键． 令，则，解方程可得，，然后根据即可求出这两个救生圈间的水平距离． 【详解】解：令，则， 解得：，， ， 故答案为：． 14. 如图，已知点在直线外，利用如下方法可以作出过点与直线平行的直线：在直线上任取一点，以点为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点；以点为圆心，以长为半径作弧；以点为圆心，以的长为半径作弧，交前弧于点；作直线，则．连接，，若直线与之间的距离为，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过作于，由题意可得：，，，证明四边形为平行四边形，可得，扇形扇形，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，过作于， 由题意可得：，，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：. 【点睛】本题考查的是基本作图，平行四边形的判定与性质，锐角三角函数的应用，扇形面积的计算，扎实的基础是解本题的关键. 15. 如图，将边长为6的等边三角形沿射线平移得到，点P，Q分别为，的中点，点是线段的中点，连接，．当为直角三角形时，__________． 【答案】6或12 【解析】 【分析】先由平移得出，，，，当为直角三角形时，需分情况讨论：当时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进行计算即可；当时，先根据平行线的性质得出，进一步得出，再利用含角的直角三角形的性质，得出，最后利用线段中点的性质，进行计算即可． 【详解】解：①当时，如图1． 等边三角形沿射线平移得到，点P，Q分别为，的中点， ，． ，点为的中点， ． 点是线段的中点， ， ． ②当时，如图2． 等边三角形沿射线平移得到，点P，Q分别为，的中点， ，，，． ， ， ． 点为的中点，， ． 在中，，， ． 点是线段的中点， ， ． 综上所述，当为直角三角形时，的长为6或12． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算和解方程 （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据有理数的混合运算法则计算即可； （）根据解分式方程的步骤解答即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时， ， ∴是原方程的解． 17. 近年来，交通工具的多样化和普及化，为家长接送孩子带来便利的同时，也在一定程度上造成了放学时段校门口的交通拥堵．为了解具体情况，某校爱心社团中午放学后在校门口随机选取300名接送孩子的家长，针对接送孩子的方式和时段进行了问卷调查（调查问卷如图），所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整）． 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为_________；本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有__________人，并补全条形统计图； （2）若该校共有1500名家长中午放学后接送孩子，请估计用私家车接送孩子的家长人数； （3）假如你是爱心社团的成员，请根据上述统计图中的信息，写出一个造成放学后校门口交通拥堵的原因，并给家长提出一条缓解拥堵的建议． 【答案】（1）36；135；见解析 （2）450人 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体等等，正确读懂统计图是解题的关键． （1）用360度乘以“公共交通”的人数占比可求出对应的圆心角度数；用300乘以“骑电动自行车”的人数占比可求出对应的人数，再求出时间段骑电动车的人数并补全统计图即可； （2）用1500乘以样本中用私家车接送孩子的家长人数占比即可得到答案； （3）电动车和私家车接送孩子的人数占比多，容易造成拥堵；时间段电动车和私家车接送孩子的人数比较多，容易造成拥堵；建议可从换接送方式和换接送时间段两个方面阐述． 【小问1详解】 解：， ∴扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为； 人， ∴本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有135人； ∴时间段骑电动车的人数为人， 补全统计图如下所示： 【小问2详解】 解；人， 答：估计用私家车接送孩子的家长人数为450人； 【小问3详解】 解：由扇形统计图可知用电动车和私家车接送孩子的人数占比为，容易造成放学后校门口交通拥挤；由条形统计图可知，在时间段内，接送孩子的电动车和私家车比较多，容易造成放学后校门口交通拥挤； 建议家长在条件允许的情况下选用公共交通方式接送孩子或者使用电动车或私家车接送孩子时避开时间段． 18. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象与直线交于点，过点A 作轴于点B． （1）求k的值； （2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段 的垂直平分线；(要求：不写作法，保留作图痕迹) （3）(2)中所作的垂直平分线与 交于点C，与 x轴交于点D，连接 、，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）； （2）见解析； （3）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）把点坐标代入反比例函数中求出即可． （2）分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线即为线段的垂直平分线． （3）由作图易知：，证明得到，从而证出结论． 【小问1详解】 ∵点在反比例函数的图象上， ； 【小问2详解】 解：如图，分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别相交于两点，作直线即为线段的垂直平分线； 【小问3详解】 证明：设垂直平分线与OA交于点E， 由作图易知： ， 轴于点， ∴， ， ， 又∵ ， ， ， ∴四边形是菱形. 19. 在一次综合实践活动中，小亮同学想要测量山坡上一棵松树(如图1)的高度，下面是测量该松树高度的实践报告． 主题 测量松树的高度 测量过程 如图2，小亮在斜坡P处测量松树顶B 的仰角∠BPO，并测得斜坡PA 的坡度i，然后他沿着斜坡PA行走至点A，在坡顶A 处又测量松树顶 B 的仰角． (图中所有点均在同一竖直平面内) 示意图 测量数据 ∠BPO=45°，∠BAC=55°，AP=13m，坡度 参考数据 请你根据以上实践报告；求出松树的高度 BC（结果保留整数）． 【答案】23m 【解析】 【分析】过点A作 ，延长交于点E，利用三角函数得出，利用坡比的概念，进而即可求解． 【详解】解：过点A作 ，延长交于点E，则四边形是矩形， ∵的坡度，， ∴设， ∴，解得：（负值舍去）， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴，即，解得： 答：松树 的高度约为． 20. 如图，是的直径，点在线段的延长线上，直线与相切于点，连接．过点作，交延长线于点． （1）求证：平分； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， 直线与圆相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，可求得，利用同位角相等，两直线平行可得，从而根据平行线的性质求得，即可求证平分； （2）根据，即可求得，利用得出，则，从而求证到则有，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ，， 在中， ， ， ， ， ， ， ， ． 21. 共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费y（元）与骑行时间x（）之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应，B品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题： （1）直接写出，关于x的函数解析式； （2）如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择__品牌共享电动车更省钱；（填“A”或“B”） （3）当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差3元？ 【答案】（1）， （2）B （3）的值为7.5或35 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）先求出时间，再带函数解析式求解即可； （3）分两种情况讨论：当时，；当时，或，再求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可设， 将代入得， 解得 ∴； 对于，当时，； 当时，设 代入，，则 解得 ∴ ∴ 【小问2详解】 解：，则时间 A品牌收费：（元）； B品牌收费：，则（元）， 因为， 所以小明选择B品牌更省钱； 【小问3详解】 解：当时，， ， 解得：， 当时，或， 或， 解得：（舍去）或， 综上，当的值为7.5或35时，两种品牌共享电动车收费相差3元． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点为抛物线的顶点，已知该抛物线与轴交于两点． （1）求抛物线的表达式及顶点的坐标． （2）当时，求二次函数的最大值与最小值的差． （3）点是抛物线上一点，作直线，若点是轴上方抛物线上的点（不与点重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点，当线段的长随的增大而增大时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1），顶点M坐标为 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数的最值、二次函数的图象与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． （1）先运用待定系数法求得函数解析式，然后再运用配方法求得出顶点M的坐标即可； （2）先根据该二次函数的性质求得其在上的最大值和最小值，然后作差即可解答； （3）先点D坐标，进而求出直线的表达式为，设点（且），则点．然后分点在点的下方和上方两种情况解答即可． 【小问1详解】 解：∵点是拋物线上的点， ∴解得：， ∴抛物线的表达式为． ∵， ∴拋物线顶点的坐标为． 【小问2详解】 解：∵， ∴函数的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，在处，取得最大值； 在处，取得最小值． ∴当时，二次函数的最大值与最小值的差为． 【小问3详解】 解：∵点是抛物线上一点， ∴，则， 设直线的表达式为， ∵点，， ∴，解得：， 直线的表达式为， 设点（且），则点． 当点在点的下方，即时， ， ∴时，线段的长随的增大而增大； 当点在点的上方时，， ， ∴当时，线段的长随的增大而增大． 综上所述，当线段的长随的增大而增大时，的取值范围为或． 23. 综合与实践 【回归教材】 通过对教材的学习，小明学习到这样一个知识：如图①，正方形的对角线相交于点，点是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，正方形绕点旋转的过程中，边，分别交正方形的边，于点，，在旋转过程中，两个正方形重叠的面积（阴影部分）是一个正方形面积的． 【提出问题】 （1）①请证明上述结论； ②通过观察，小明发现线段，，之间存在一定的数量关系，请写出该关系并说明理由； 【拓展迁移】 （2）如图②，在等边中，为的中点，绕点旋转，且，交线段于点，交线段于点，请判断此时线段，，的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图③，在等腰中，，，为上一点，的边交于点，边交于点，且，连接，若，，求的长． 【答案】（1）①证明见解析 ②，证明见解析 （2），证明见解析 （3）的长为或 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，等边三角形的性质，中位线的性质，勾股定理，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． （1）利用正方形的性质证明，得出，则； （2）取的中点，连接， 由中位线的性质得，，，，证明，得出，再利用线段的和差证明即可； （3）取的中点，连接，求出，可知或．分情况讨论：①当时，过点分别作于点，于点，证明，得，证明，得，可得，利用，求得，则可求出，，求出，即可得；②当时，即，如解图③，过点分别作于点，于点，结合对称性同①可得，，，则． 【详解】解：（1）①在正方形中，，， 又∵在正方形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②，理由如下： 由①可知， ∴， ∴； （2），理由如下： 如解图①，取的中点，连接， ∵为中点，为的中点， ∴，，，， ∴，， 在等边中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如解图②、解图③，取的中点，连接， ∴在等腰中，，， ∴， ∵， ∴， ∴在上存在两个点满足， 且， ∴或． 分情况讨论： ①当时，如解图②，过点分别作于点，于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在等腰中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当时，即，如解图③， 过点分别作于点，于点， 结合对称性同①可得，，， ∴． 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $