精品解析：2026年江苏省连云港市东海县中考二模数学试题

2026年中考第二次调研考试 数学试题 （请考生在答题卡上作答） 温馨提示： 1．本试卷共6页，27题，全卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．请在答题卡规定的区域内作答，在其它位置作答一律无效． 3．作答前，请考生务必将自己的姓名、考试号和座位号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡及试题指定的位置． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列实数中，是的绝对值的是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数计算即可得出结果． 【详解】解：． 2. 2026年3月30日是第31个全国小学生安全教育日．下列安全图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 当心淹溺 B. 当心落水 C. 禁止翻越 D. 急救站 【答案】D 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； 3. 绿色植物靠吸收光量子来进行光合作用．已知每个光量子的波长为，将数据0.000688用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用幂的乘方法则和同底数幂的除法法则逐步计算即可得到结果． 【详解】解：∵幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴， ∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴， 因此计算结果为． 5. 如图，在中，，相交于点，下列条件不能判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定方法，有一个角为直角的平行四边形为矩形，对角线相等的平行四边形为矩形，进行逐项分析即可判断． 【详解】解：A、根据一个角为直角的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； B、根据对角线相等的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； C、在中，可以得到，根据对角线相等的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； D、根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，可以得到为菱形，不能判定为矩形，符合题意． 6. 在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了下面的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ） A. 洗匀后的1张红桃，2张黑桃牌，从中随机抽取一张牌是黑桃 B. “石头、剪刀、布”的游戏，小王随机出的是“剪刀” C. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” D. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上面的点数是6 【答案】B 【解析】 【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近上下波动，即这个实验的概率大约为0.33，分别计算四个选项的概率，大约为0.33的即为正确答案． 【详解】解：A、洗匀后的1张红桃，2张黑桃牌，从中随机抽取一张牌是黑桃的概率为，故本选项不符合题意； B、“石头、剪刀、布”的游戏，小王随机出的是“剪刀”的概率为≈0.33，故本选项符合题意； C、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，故本选项不符合题意； D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上面的点数是6的概率为，故本选项不符合题意， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，同时此题在解答中要用到概率公式． 7. 将若干个大小相等的正五边形排列成环形，如图是排列的前4个正五边形，要完成这一个圆环还需要（ ）个这样的正五边形． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先求出正五边形的内角度数，再根据拼接处周角为求出围成圆环所需的正五边形总数，最后减去已有的数量即可． 【详解】解：正五边形的内角为． 则在圆环内侧形成的正边形的一个内角为． 设围成这一圆环共需要个正五边形， 该正边形的一个外角为． ∵多边形的外角和为， ∴． 图中已排出4个正五边形，还需要个这样的正五边形． 8. 已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表，其中． 若该二次函数的图像的顶点坐标为，则关于这个二次函数的下列结论中： ①；②图像一定不经过第三象限；③；④．正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】已知二次函数顶点坐标为 ，可得开口向上，对称轴为直线，根据二次函数的性质逐一判断四个结论即可求解． 【详解】解：∵ 二次函数顶点坐标为，顶点是函数最低点， ∴ ，对称轴为直线. 由对称轴公式，得. 判断①： ∵ ，开口向上，对称轴左侧随增大而减小， ∴ 由得，①正确． 判断②： 举反例，取，代入顶点式， 得，解得， ，此时存在时，即图像经过第三象限，②错误． 判断③： ∵ ，，可以为负，如上述反例中，此时，故不恒成立，③错误． 判断④： ∵ 和时， ，，和关于对称轴对称， ∴ ，得，④正确． 综上，正确的结论共2个． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 要使式子有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：式子有意义， ， 解得：． 10. 分解因式：3a2﹣6a+3=____． 【答案】3（a﹣1）2． 【解析】 【详解】解：原式=3（a2﹣2a+1）=3（a﹣1）2． 故答案为：3（a﹣1）2． 【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用． 11. 关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据解答即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 12. 如图，，直线分别与、交于点、，，，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质得到 ，进而根据平角的定义即可求解． 【详解】解：，   （两直线平行，同位角相等）．   （平角的定义），  ． 13. 一个圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆锥的侧面积为_____cm2． 【答案】 【解析】 【详解】分析：根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式求解． 详解：∵圆锥的底面半径为5cm，∴圆锥的底面圆的周长=2π•5=10π，∴圆锥的侧面积=•10π•2=10π（cm2）． 故答案为10π． 点睛：本题考查了圆锥的侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面周长，扇形的半径为圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式：S=•l•R，（l为弧长）． 14. 反比例函数（），当时，函数y的最大值和最小值之差为3，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的系数分析函数在给定范围内随的增大而增大，确定最大值和最小值，再结合差值列方程求解． 【详解】解：∵， ∴在的范围内随的增大而增大， 当时， 当时，， ∵当时，函数y的最大值和最小值之差为3， ∴，解得． 15. 我们学习过光的反射定律：反射光线和入射光线、法线在同一平面内，反射光线和入射光线分居法线两侧，反射角等于入射角．在平面直角坐标系中，放置一块平面镜（点在轴上），从点处发射的光线照射到平面镜的点处，反射光线为，如图所示．若恰好经过点，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】作点关于法线的对称点，设的解析式为，则，，用待定系数法，即可求解． 【详解】解：作点关于法线的对称点， 设反射光线的解析式为，则点， 点是点关于法线的对称点， ， 恰好经过点，代入得： ，解得， ， 点． 16. 如图，矩形中，，，、分别为、上动点，，沿直线进行翻折，对应边在原平面内，连接．在、的运动过程中，的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于点，连接 ．证明 ，确定点为上的定点．由折叠的性质得 ，则点在以点为圆心，长为半径的圆上运动．当点 三点共线时，最小，最小值为 ．通过构造直角三角形，利用勾股定理分别求出和的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点，连接． ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴点是上的定点，且 ． 过点作 于点，交于点，则 ， ． ∵， ∴ ， ∴， ∴ ， ， ∴ ， ． 四边形是矩形， ∴， ∴ ． 在 中， ． 由折叠的性质得： ， ∴点在以点为圆心，长为半径的圆上运动． 当点 三点共线时，最小，最小值为． 在 中，． ∴的最小值 ． 三、解答题（本题共11小题，共102分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 解不等式组 【答案】 【解析】 【详解】解：解不等式得 解不等式得 因此原不等式组的解集为． 19. 解方程． 【答案】 【解析】 【详解】解：方程两边同时乘以最简公分母，得 整理右边得 移项合并同类项，得 解得 检验：当时， 因此是原方程的解． 20. 某校为探索美术创作能力培养模式，在九年级的两个班开展不同的美术教学模式，其中，一班仅开设常规美术课堂教学，二班则增设“校园写生+创意手工制作+美术作品展览”的趣味拓展活动．一学期结束后，为了了解两种美术教学模式的效果，学校对九年级一班和二班各40名学生的美术创作能力进行评分（满分10分，评分均为整数）． 【数据收集与整理】 一班和二班学生美术创作能力评分的数据整理如下表： 评分（分） 6 7 8 9 10 一班人数 4 11 ________ 10 3 二班人数 1 7 ________ 13 5 【数据分析与运用】 为了更深入地对比两种美术教学模式下学生美术创作能力的情况，学校对这两个班学生评分数据的众数、中位数、平均数、方差（方差保留3位小数）进行了整理，结果如下表： 众数 中位数 平均数 方差 一班 8 7.925 1.219 二班 8 8 0.978 （1）表中的值为________，的值为________； （2）对于这次评分，成绩比较整齐的是________班（填“一”或“二”）； （3）依据以上数据信息，请你对美术教学增设“校园写生+创意手工制作+美术作品展览”的趣味拓展活动的意义作出说明． 【答案】（1）8；8.35； （2）二； （3）二班平均分高于一班，方差小于一班，说明增设趣味拓展活动后，学生的美术创作能力整体更高，成绩更稳定，该拓展活动能有效提升学生的美术创作能力，培养效果更好，具有积极意义． 【解析】 【分析】（1）利用总人数为40，计算得8分的人数，根据众数定义求，根据平均数计算公式计算； （2）根据方差的意义，方差越小数据越整齐，比较方差大小得到结论； （3）结合平均数（反映整体水平）和方差（反映数据稳定性）的意义说明即可． 【小问1详解】 解：一班和二班各有名学生， 一班得8分的人数为， 一班中得8分的人数最多，因此众数是，即， 二班得8分的人数为， 二班的平均数； 【小问2详解】 解：一班方差为，二班方差为，且，方差越小成绩越整齐， 成绩比较整齐的是二班； 【小问3详解】 解：略 21. 4月25日，2026江苏东海海陵湖半程马拉松鸣枪开赛．小明和小丽各自报名参加本次赛事的志愿服务工作，他们均计划在“A．黄金沙滩起点”“B．赛道补给站”“C．赛道观察岗”“D．环湖路折返点”中随机选择一项参加．（小明和小丽相互之间的选择不受影响，且他们选择每个项目的可能性相同） （1）小明选择“A．黄金沙滩起点”的概率是________； （2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小丽都未选择“D．环湖路折返点”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式，数出总结果数和符合条件的结果数即可求解． （2）通过树状图法列出所有等可能的结果，找出满足条件的结果数，再代入概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：小明共有4种等可能的选择，选择“A．黄金沙滩起点”的结果只有1种， 因此小明选择“A．黄金沙滩起点”的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由图可知，所有等可能的结果共16种，其中小明和小丽都未选择D的结果有9种． 因此小明和小丽都未选择“D．环湖路折返点”的概率． 22. 如图，在中，，，，点是中点，点在上，过点作交的延长线于点． （1）求证：； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）证明：， ，， 点是中点， ， ； （2）四边形的面积为 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到，，根据线段中点的定义得到，即可得证； （2）由（1）知，，得到，结合，，，得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， ， ，，， ． 23. 小红将一块含角的三角板按照如图所示的方式摆放在平面直角坐标系中，已知三角板的直角顶点恰好在反比例函数的图象上，三角板的顶点在轴上，且点坐标为，三角板的另一个顶点与原点重合，线段所在直线的表达式为． （1）则________，________，________； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）把沿着轴向右平移个单位，对应得到，当反比例函数的图象经过一边的中点时，请直接写出的值． 【答案】（1）16；；8 （2） （3）6或2 【解析】 【分析】（1）过点A作于点C，根据等腰直角三角形的性质可得点，再利用待定系数法解答即可； （2）根据题意可得直线与反比例函数交于点，再观察图象即可求解； （3）根据平移的性质可得点，从而得到的中点坐标为，的中点坐标为，然后分两种情况解答即可． 【小问1详解】 解：如图，过点A作于点C， ∵点坐标为， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴点， 把点代入得：， 把点，代入得： ， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）得：，， 联立得：， 解得：， 即直线与反比例函数交于点， 观察图象得：当，即时，的取值范围为； 【小问3详解】 解：∵把沿着轴向右平移个单位，对应得到，点， ∴点， ∴的中点坐标为，的中点坐标为， 当反比例函数的图象经过点时， ， 此时； 当反比例函数的图象经过点时， ， 此时； 综上所述，a的值为6或2． 24. 如图，是西双湖景区的一角，是半圆形喷泉的直径，半圆形喷泉的圆心为，已修建了观光栈道、，且．用直尺和圆规作图并解答问题． （1）作所夹弧的中点，再过点作于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的基础上，景区计划修建栈道、、，以便游客沉浸式体验喷泉的乐趣，已知，求栈道的长（精确到）．（参考数据：，，，） 【答案】（1）解：如图，点、即为所求； （2）． 【解析】 【分析】（1）作的平分线交所夹弧于点，根据等弧所对的圆周角相等可知即为所求；再根据垂线的作法作图即可； （2）连接、，由作图可知，，根据等边对等角得到，进而证明，过作交于点，证明四边形是矩形，得到，，在中，根据三角函数求出，根据矩形的性质得到，根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接、， 由作图可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过作交于点， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴． 25. 东海县是世界水晶之都，水晶制品享誉全球．某水晶商户主营高品质水晶手链，其进价为每条30元，根据市场规则，售价不得低于50元，且日销售量不低于20条．经调研：当售价为50元每条时，日销量为40条；售价每提高5元，日销量减少4条．设每条手链售价为元（），日销量为条，日销售利润为元． （1）若售价定为60元每条，求此时的日销量； （2）求日销售利润关于售价的函数表达式，并求出最大日销售利润及其对应售价； （3）小海同学说：“日销售额最大时，日销售利润也最大．”你同意吗？并说明理由． 【答案】（1）此时日销量为32条 （2）函数表达式为 ，最大日销售利润为980元，对应售价为65元 （3）不同意，理由如下： 设日销售额为，由题意得  ． 该二次函数二次项系数 ，开口向下，顶点横坐标为 因此当时，日销售额最大． 当时，日销售利润 ，此时日销售利润不是最大． 因此不同意小海同学的说法． 【解析】 【分析】（1）根据售价变化量计算日销量减少量，即可得到所求日销量； （2）先推导日销量关于售价的关系式，再结合利润公式得到的函数表达式，根据二次函数性质和自变量取值范围求最大利润； （3）先求出日销售额的函数，找到日销售额最大时的售价，计算对应利润与最大利润比较，即可判断说法是否正确． 【小问1详解】 解：由题意得，售价为50元时，日销量为40条，售价每提高5元，日销量减少4条． 当售价定为60元，售价比50元提高（元）． 减少的日销量为 （条）． 此时日销量为（条）． 答：此时的日销量为32条． 【小问2详解】 解：由题意，日销量 ． 根据题干要求，，且日销售量不低于20条， 因此   解得． 日销售利润等于单条利润乘以日销量， 因此    整理得 ． 该二次函数二次项系数 ，开口向下，在顶点处取得最大值． 顶点的横坐标为 ． 满足 ，符合条件． 将代入得 ． 因此最大日销售利润为980元，对应售价为65元． 【小问3详解】 略 26. 已知二次函数（，为常数）的图象过点，对称轴为直线． （1）求，的值，并写出抛物线顶点坐标； （2）设抛物线上两点，，满足且．求证：； （3）若当时，函数的最小值为，求实数的值． 【答案】（1），，顶点坐标为 （2）证明：∵两点，在抛物线上， ∴，， 相加得 ， 将代入得 ， 又， ∴ ， ∵，且， ∴ ， ∴， ∴； （3）的值为或 【解析】 【小问1详解】 解：∵对称轴为直线， ∴，解得， ∵二次函数的图象过点， ∴，解得， ∴， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 证明：略； 【小问3详解】 解：∵，开口向下，对称轴为直线，在处取得最大值4，离对称轴越远，函数值越小； 情况1：当时， 函数在时， ， 函数在时，， ①若，解得或（舍去）， 此时最小值为 ， 由题意得， 整理得，解得（舍去）或； ②若 ，解得， 则， 此时最小值为3， 由题意得，解得； 情况2：当时，在对称轴右侧，最小值出现在处，即，解得（舍去）； 综上，的值为或． 27. 【问题情境】 （1）如图1，在中，点，分别在边，上，且，过点，分别作，的平行线，并交于点，连接，求证：为等腰三角形； 【情境探究】 （2）在（1）的条件下，若已知，，则的最小为________； 【迁移应用】 （3）如图2，是一块边长为20米的正六边形草地，现要在草地上修建两条步道和，其中点，分别在，上，且．求两条步道总长度的最小值； 【拓展延伸】 （4）如图3，中，，，点，分别在边，上，且．连接，过点作交于点，连接，，求四边形的面积最小值．（用含和的代数式表示） 【答案】（1）见解析 （2） （3）米 （4） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，可得，即可证明结论； （2）由（1）知四边形是平行四边形，为等腰三角形；求出，当两点重合时，有最小值，即有最小值，最小值为的长，利用直角三角形的性质即可解答； （3）分别过点，作 的平行线交于点，过点作于点，连接 ，过点作 ，证明为等腰三角形，求出米，米，，同理（1）得 为等腰三角形，则 ，求出 ，同理（1）得，四边形是平行四边形，当 时，有最小值，则 有最小值，解直角三角形即可求解； （4）如图，过点作于点，分别过点，作的平行线交于点，连接，同理（1）得为等腰三角形，，证明四边形是平行四边形，得到四边形的面积为 ，当点重合时，有最小值，最小值为的长，此时，证四边形 是矩形，可得有最小值，最小值为的长，再根据 ，求出，即可解答． 【小问1详解】 证明：∵ ， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形； 【小问2详解】 解：过点作 交延长线于点， 由（1）知四边形是平行四边形， ∴， ∵ ，， ∴ ， ∵为等腰三角形； ∴ ， ∴， 当两点重合时，有最小值，即有最小值，最小值为的长， 此时，在中， ， ∴，即的最小为； 【小问3详解】 解：分别过点，作 的平行线交于点，过点作于点，连接 ，过点作 ， ∵正六边形中， ， 米， ∴为等腰三角形， ∴， ∵， ∴（米）， ∴（米）； 同理，得米，， 同理（1）得 为等腰三角形，则 ， ∵ ，， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 同理（1）得，四边形是平行四边形， ∴ ， 当 时，有最小值，则 有最小值， 此时，， ∴（米）， ∴ 的最小值为米， 即两条步道总长度的最小值为米； 【小问4详解】 解：如图，过点作于点，分别过点，作的平行线交于点，连接， 同理（1）得为等腰三角形， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵ ， ∴，即， ∴四边形的面积为 ， 当点重合时，有最小值，最小值为的长， 此时，， ∵ ， ∴四边形 是矩形， ∴， ， 此时，有最小值，最小值为的长， ∵， ，， ∴ ，即 ， ∵，即， ∴， ∴四边形的最小面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第二次调研考试 数学试题 （请考生在答题卡上作答） 温馨提示： 1．本试卷共6页，27题，全卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．请在答题卡规定的区域内作答，在其它位置作答一律无效． 3．作答前，请考生务必将自己的姓名、考试号和座位号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡及试题指定的位置． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列实数中，是的绝对值的是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 2026年3月30日是第31个全国小学生安全教育日．下列安全图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 当心淹溺 B. 当心落水 C. 禁止翻越 D. 急救站 3. 绿色植物靠吸收光量子来进行光合作用．已知每个光量子的波长为，将数据0.000688用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，相交于点，下列条件不能判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 6. 在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了下面的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ） A. 洗匀后的1张红桃，2张黑桃牌，从中随机抽取一张牌是黑桃 B. “石头、剪刀、布”的游戏，小王随机出的是“剪刀” C. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” D. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上面的点数是6 7. 将若干个大小相等的正五边形排列成环形，如图是排列的前4个正五边形，要完成这一个圆环还需要（ ）个这样的正五边形． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表，其中． 若该二次函数的图像的顶点坐标为，则关于这个二次函数的下列结论中： ①；②图像一定不经过第三象限；③；④．正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 要使式子有意义，则的取值范围是________． 10. 分解因式：3a2﹣6a+3=____． 11. 关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为______． 12. 如图，，直线分别与、交于点、，，，则的度数为________． 13. 一个圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆锥的侧面积为_____cm2． 14. 反比例函数（），当时，函数y的最大值和最小值之差为3，则______． 15. 我们学习过光的反射定律：反射光线和入射光线、法线在同一平面内，反射光线和入射光线分居法线两侧，反射角等于入射角．在平面直角坐标系中，放置一块平面镜（点在轴上），从点处发射的光线照射到平面镜的点处，反射光线为，如图所示．若恰好经过点，则点的坐标为________． 16. 如图，矩形中，，，、分别为、上动点，，沿直线进行翻折，对应边在原平面内，连接．在、的运动过程中，的最小值是________． 三、解答题（本题共11小题，共102分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解不等式组 19. 解方程． 20. 某校为探索美术创作能力培养模式，在九年级的两个班开展不同的美术教学模式，其中，一班仅开设常规美术课堂教学，二班则增设“校园写生+创意手工制作+美术作品展览”的趣味拓展活动．一学期结束后，为了了解两种美术教学模式的效果，学校对九年级一班和二班各40名学生的美术创作能力进行评分（满分10分，评分均为整数）． 【数据收集与整理】 一班和二班学生美术创作能力评分的数据整理如下表： 评分（分） 6 7 8 9 10 一班人数 4 11 ________ 10 3 二班人数 1 7 ________ 13 5 【数据分析与运用】 为了更深入地对比两种美术教学模式下学生美术创作能力的情况，学校对这两个班学生评分数据的众数、中位数、平均数、方差（方差保留3位小数）进行了整理，结果如下表： 众数 中位数 平均数 方差 一班 8 7.925 1.219 二班 8 8 0.978 （1）表中的值为________，的值为________； （2）对于这次评分，成绩比较整齐的是________班（填“一”或“二”）； （3）依据以上数据信息，请你对美术教学增设“校园写生+创意手工制作+美术作品展览”的趣味拓展活动的意义作出说明． 21. 4月25日，2026江苏东海海陵湖半程马拉松鸣枪开赛．小明和小丽各自报名参加本次赛事的志愿服务工作，他们均计划在“A．黄金沙滩起点”“B．赛道补给站”“C．赛道观察岗”“D．环湖路折返点”中随机选择一项参加．（小明和小丽相互之间的选择不受影响，且他们选择每个项目的可能性相同） （1）小明选择“A．黄金沙滩起点”的概率是________； （2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小丽都未选择“D．环湖路折返点”的概率． 22. 如图，在中，，，，点是中点，点在上，过点作交的延长线于点． （1）求证：； （2）求四边形的面积． 23. 小红将一块含角的三角板按照如图所示的方式摆放在平面直角坐标系中，已知三角板的直角顶点恰好在反比例函数的图象上，三角板的顶点在轴上，且点坐标为，三角板的另一个顶点与原点重合，线段所在直线的表达式为． （1）则________，________，________； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）把沿着轴向右平移个单位，对应得到，当反比例函数的图象经过一边的中点时，请直接写出的值． 24. 如图，是西双湖景区的一角，是半圆形喷泉的直径，半圆形喷泉的圆心为，已修建了观光栈道、，且．用直尺和圆规作图并解答问题． （1）作所夹弧的中点，再过点作于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的基础上，景区计划修建栈道、、，以便游客沉浸式体验喷泉的乐趣，已知，求栈道的长（精确到）．（参考数据：，，，） 25. 东海县是世界水晶之都，水晶制品享誉全球．某水晶商户主营高品质水晶手链，其进价为每条30元，根据市场规则，售价不得低于50元，且日销售量不低于20条．经调研：当售价为50元每条时，日销量为40条；售价每提高5元，日销量减少4条．设每条手链售价为元（），日销量为条，日销售利润为元． （1）若售价定为60元每条，求此时的日销量； （2）求日销售利润关于售价的函数表达式，并求出最大日销售利润及其对应售价； （3）小海同学说：“日销售额最大时，日销售利润也最大．”你同意吗？并说明理由． 26. 已知二次函数（，为常数）的图象过点，对称轴为直线． （1）求，的值，并写出抛物线顶点坐标； （2）设抛物线上两点，，满足且．求证：； （3）若当时，函数的最小值为，求实数的值． 27. 【问题情境】 （1）如图1，在中，点，分别在边，上，且，过点，分别作，的平行线，并交于点，连接，求证：为等腰三角形； 【情境探究】 （2）在（1）的条件下，若已知，，则的最小为________； 【迁移应用】 （3）如图2，是一块边长为20米的正六边形草地，现要在草地上修建两条步道和，其中点，分别在，上，且．求两条步道总长度的最小值； 【拓展延伸】 （4）如图3，中，，，点，分别在边，上，且．连接，过点作交于点，连接，，求四边形的面积最小值．（用含和的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $