精品解析：2026年河北省唐山市开平区中考二模考试数学试题

2026年河北省初中学业水平模拟考试 数学试卷 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、条形码填写或粘贴在答题卡的相应位置． 3．答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，监考人员将答题卡收回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，是某家用冰箱的温度显示屏，其中冷冻室温度为，冷藏室温度为，冷藏室温度比冷冻室温度高（ ）摄氏度． A. B. C. D. 2. 唐山被誉为“中国近代工业的摇篮”，以下是唐山代表性工业企业的标识，其中属于中心对称图形的是（ ） A. 唐钢集团 B. 开滦集团 C. 唐山瓷都 D. 冀东水泥 3. 截至年，河头老街已成为唐山市最具代表性的文旅新地标之一，融合了历史文脉与现代沉浸式体验，年接待超万人次．将数据万用科学记数法表示为，则（ ） A. B. C. D. 4. 由10个大小相同的正方体搭成的两个几何体如图所示，关于这两个几何体的视图下列说法正确的是（ ） A. 主视图和左视图相同 B. 左视图和俯视图相同 C. 主视图和俯视图相同 D. 三种视图都相同 5. 计算：的结果（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正五边形和正六边形有一条公共边，对角线的延长线交边于点，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，由内到外依次为正方形，，，若的面积为，的面积为，则正方形的边长可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在边长为的正方形网格上建立平面直角坐标系，轴，轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点，在格点上，设点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，手机在处理任务时，常以圆形进度条显示任务完成的百分比．当任务完成时，线段的长度记为，当时，甲认为对应线段的长度满足，乙认为满足，则下列说法正确的是（ ） A. 甲的结果正确 B. 乙的结果正确 C. 甲、乙的结果合在一起才正确 D. 甲、乙的结果合在一起也不正确 10. 如图，在长方形电子屏中，，，一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点从点出发沿边，以的速度向点运动，随着的移动，画面逐渐展开．当时，展开的广告画面面积比它后一秒少时，此时的值（ ）． A. B. C. D. 11. 如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从地到地．①甲：→→，路程为；②乙：→→→→，路程为；③丙：→→→，路程为．下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，已知菱形，对角线与相交于点，，，菱形内部有一点，，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，则的最大值（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每题3分，共12分） 13. 计算： ____． 14. 如图，在中，，，现将其分割成①、②、③、④四部分，若①、②、③恰好能拼成一个矩形（不重叠、无缝隙），且该矩形的面积与④的面积相等，则________． 15. 如图，嘉淇对三个相连的方格进行涂色，在给每个方格涂色时均从红、黄两种颜色中随机选取一种，那么三个相连的方格所涂颜色相同的概率是________． 16. 已知抛物线与直线相交于点，，若轴平分，则的值是________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知算式“ ”． （1）当时，计算该算式的结果； （2）若将算式中的数字“”改为“”，求此时代数式因式分解的结果． 18. 解答下列各题： （1）已知二元一次方程，当时，求的值； （2）已知二元一次方程，当时，求的值； （3）结合（1）（2）的计算结果，直接写出方程组的解． 19. 在某次体育测试中，甲、乙两名男生进行了次引体向上测试，成绩整理成如图的条形统计图，其中乙同学第次测试成绩尚未记录，已知甲，乙两位同学次引体向上测试成绩的平均数相同． （1）①补全条形统计图； ②直接写出乙同学次引体向上测试成绩的中位数和众数； （2）学校规定：引体向上次及以上为达标，次及以上为优秀． ①分别计算甲、乙两名同学的达标率； ②若按“达标一次计分，优秀一次额外加分”的规则计分，分别计算两人的总得分． 20. 如图，已知矩形，点是边的中点，过点作直线交于点（不与点，重合），交的延长线于点． （1）求证：； （2）连接，，若时，求证：． 21. 如图，某数学探究小组利用几何画板开展一次函数的动态探究活动：在平面直角坐标系中，先固定点，绘制出直线、；再构造一条动直线： （1）分别求直线、直线的解析式； （2）当直线与线段有交点时，直接写出的取值范围________； （3）当直线与直线平行时，则两直线之间的距离是________． 22. 如图，已知在中，已知，，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在平面内的点处，连接，形成了新的几何图形．请你结合折叠前后的图形变化，完成以下探究任务． （1）根据折叠的性质，直接写出线段，的长度； （2）若， ①求； ②直接写出的长度． 23. 如图所示，嘉嘉和淇淇玩积木时，发现放在同一水平面上的两个积木的横截面分别是以 为直径的半圆和以为直角边的等腰直角三角形，半圆与水平面恰好切于点，且 ，，与半圆交于点． （1）直接写出两块积木的竖直高度差________； （2）求的长； （3）将半圆向右无滑动滚动，当半圆与水平面恰好切于点，与相切于点时， ①如图2所示，连接，，求的度数，并直接写出此时半圆向前滚动的距离； ②如图3所示，用尺规作图：过点作出半圆的切线（保留作图痕迹，不写作法）；当过点的切线与交于点，设，直接写出点下降的高度________．（用含的式子表示） 24. 如图，为美化校园，某中学计划在教学楼前的空地上设计一处景观绿化带，工程团队在平面直角坐标系中进行建模设计： 已知绿化带的轮廓由抛物线与线段构成，其中一条主景观抛物线：（、是常数），、为绿化带与校园主路的交点，，以所在直线为轴，点在原点的左侧，且，线段为景观步道的边界． 请结合以上设计方案，完成下列探究任务． （1）直接写出点的坐标（________）； （2）求主景观抛物线的解析式； （3）计划在主步道上设置两个小型景观节点、，且间距（点在点右侧），过、分别作主路（轴）的垂线，垂线被步道边界和主景观抛物线截得两条装饰线段、．若节点的横坐标为，且，试比较两条装饰线段与的长度大小关系； （4）如图2，为丰富景观层次，设计团队还规划了一条次景观抛物线：（）并为优化次景观抛物线的设计，设计团队开展了以下专项探究： ①若主景观抛物线与次景观抛物线的两个交点的横、纵坐标均为整数，直接写出满足条件的的整数值； ②在①的条件下，设两条抛物线的交点为、（为左交点、为右交点），连接，同时在抛物线上取之间的图象记为景观曲线，现计划在曲线上设置观景点，过点作直线lPQ交图象于点，连接、并延长，交于点．直接写出点的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河北省初中学业水平模拟考试 数学试卷 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、条形码填写或粘贴在答题卡的相应位置． 3．答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，监考人员将答题卡收回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，是某家用冰箱的温度显示屏，其中冷冻室温度为，冷藏室温度为，冷藏室温度比冷冻室温度高（ ）摄氏度． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将“冰箱冷藏室温度减去冷冻室温度”列式，再按有理数减法法则计算即可． 【详解】解：由题意，得：． 2. 唐山被誉为“中国近代工业的摇篮”，以下是唐山代表性工业企业的标识，其中属于中心对称图形的是（ ） A. 唐钢集团 B. 开滦集团 C. 唐山瓷都 D. 冀东水泥 【答案】B 【解析】 【分析】中心对称图形，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称，这个点叫做它的对称中心． 【详解】解：A、没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； B、有对称中心，是中心对称图形，符合题意； C、没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； D、没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意． 3. 截至年，河头老街已成为唐山市最具代表性的文旅新地标之一，融合了历史文脉与现代沉浸式体验，年接待超万人次．将数据万用科学记数法表示为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成的形式，其中，n是比原整数位数少1的数．本题考查科学记数法的表示方法．先将800万改写为普通整数，再根据科学记数法的定义确定指数n的值即可． 【详解】∵ 万， 将用科学记数法表示为 ，对比的形式， ∴ ， 故选C． 4. 由10个大小相同的正方体搭成的两个几何体如图所示，关于这两个几何体的视图下列说法正确的是（ ） A. 主视图和左视图相同 B. 左视图和俯视图相同 C. 主视图和俯视图相同 D. 三种视图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】分别画出两个几何体的主视图、左视图和俯视图，然后进行比较即可得出答案． 【详解】分别观察两个几何体的三视图： 对于左边的几何体： 主视图：从左往右3列，小正方形的个数依次为2，1，1； 左视图：从左往右2列（对应后排和前排），小正方形的个数依次为2，1； 俯视图：从上往下看，后排3个，前排右侧1个； 对于右边的几何体： 主视图：从左往右3列，小正方形的个数依次为2，1，1； 左视图：从左往右2列（对应后排和前排），小正方形的个数依次为2，1； 俯视图：从上往下看，后排3个，前排中间1个， ∴两个几何体的主视图和左视图相同，俯视图不同． 5. 计算：的结果（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 6. 如图，正五边形和正六边形有一条公共边，对角线的延长线交边于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据正多边形的性质求得， ，，再根据等腰三角形的性质和周角定义求得， ，进而平角定义求得． 【详解】解：由正多边形的性质可知， ，， ， ，， ． 7. 如图，由内到外依次为正方形，，，若的面积为，的面积为，则正方形的边长可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由题中已知条件及图形，得到，直接开方得到正方形的边长的范围，再结合四个选项数据即可确定答案． 【详解】解：若的面积为，的面积为，由图可知， 正方形的边长要满足， 则由四个选项中的数据可知，满足题中条件的只有2． 8. 如图，在边长为的正方形网格上建立平面直角坐标系，轴，轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点，在格点上，设点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察网格，求得点，由题意得，据此求解即可． 【详解】解：观察网格， ∵点， ∴， ∵点、都在反比例函数的图象上， ∴， 解得，． 9. 如图，手机在处理任务时，常以圆形进度条显示任务完成的百分比．当任务完成时，线段的长度记为，当时，甲认为对应线段的长度满足，乙认为满足，则下列说法正确的是（ ） A. 甲的结果正确 B. 乙的结果正确 C. 甲、乙的结果合在一起才正确 D. 甲、乙的结果合在一起也不正确 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的性质，分析弦长随进度的变化规律，分和两种情况讨论即可判断甲、乙观点的正误 ． 【详解】解：设圆的半径为，线段为圆的一条弦， 当时，进度越大，圆心角越大，弦长越长， 此时若，则，甲的观点在此范围内成立； 当时，进度越大，弦所对的劣弧圆心角越小，弦长越短， 此时若，则，乙的观点在此范围内成立； 例如取 ，此时，但，甲、乙的观点均不成立； 则甲、乙的结果合在一起也不正确． 10. 如图，在长方形电子屏中，，，一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点从点出发沿边，以的速度向点运动，随着的移动，画面逐渐展开．当时，展开的广告画面面积比它后一秒少时，此时的值（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点在上运动和点在上运动分情况讨论，建立展开的画面面积关于的函数表达式，进而得到当时，展开的广告画面面积比它后一秒少的面积差，根据已知条件面积差为，得到面积差发生在点从运动到的过程中，进而建立面积差关于的一元一次方程，解得，并验证结论满足题意． 【详解】解：由题意可知，点的运动速度为， 当点在上运动时，， ∴，此时， 展开的画面面积， 当时，展开的广告画面面积比它后一秒少的面积：； 当点在上运动时，，， ∴，此时， 展开的画面面积 ， 当时，展开的广告画面面积比它后一秒少的面积：， ∵当时，展开的广告画面面积比它后一秒少，， ∴面积差发生在点从运动到的过程中， ∴当时，点仍在上，即， 后一秒时，点已进入上，即，解得：， ∴， ∴，解得：． 验证结果：，符合题意． 11. 如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从地到地．①甲：→→，路程为；②乙：→→→→，路程为；③丙：→→→，路程为．下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，以及两点之间线段最短的应用，关键是通过构造相似三角形，结合角度关系分析三条路线的长度关系．根据图中给出的角，可判断甲、乙路线中的三角形均为等腰三角形，再通过相似三角形的比例关系，证明甲、乙的路程相等；最后利用“两点之间线段最短”的原理，判断丙的路程比甲、乙的路程短，进而比较出三条路线的长度大小． 【详解】解：， ， ， ， ， ，， 由图和题干得，， ， 根据两点之间线段最短，任意弯折的折线，跨度不变时，弯折次数越多、路径越平缓，总长越短，凸起的尖角路线，绕行距离更长， ， 综上所述，． 故选：． 12. 如图，已知菱形，对角线与相交于点，，，菱形内部有一点，，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，则的最大值（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用菱形性质求出长，构造辅助点使得 为等腰直角三角形，通过证明 得出为定值，从而确定点的轨迹，利用点与圆的位置关系求最大值即可.  【详解】解：四边形是菱形，， ，， 在 中， ， 将点绕点顺时针旋转得到点，连接 ， ， ， 是等腰直角三角形，， ， 线段绕点顺时针旋转得到， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， ，即 ， 又，， ， ， ， ， ， 点在以为圆心，为半径的圆上运动， ， 三点共线， ∴ ， 当在延长线上时，取得最大值 . 二、填空题（本大题共4个小题，每题3分，共12分） 13. 计算： ____． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 14. 如图，在中，，，现将其分割成①、②、③、④四部分，若①、②、③恰好能拼成一个矩形（不重叠、无缝隙），且该矩形的面积与④的面积相等，则________． 【答案】 【解析】 【分析】通过图形拼接可知，结合线段和，推导出，进而求解的长度． 【详解】解：如图，直角三角形绕点D顺时针旋转，点B与点A重合；直角三角形绕点E逆时针旋转，点C与点A重合，最终拼接成右图所示的矩形． 根据矩形的性质可知：， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 15. 如图，嘉淇对三个相连的方格进行涂色，在给每个方格涂色时均从红、黄两种颜色中随机选取一种，那么三个相连的方格所涂颜色相同的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，画出树状图，得到所有等可能的结果及满足要求的结果，运用简单概率公式代入结果数计算即可． 【详解】解：第一格可涂2种颜色，第二格可涂2种颜色，第三格可涂2种颜色，画树状图如下： 共有8种等可能的结果，其中三个相连的方格所涂颜色相同的情况有2种，则三个相连的方格所涂颜色相同的概率是． 16. 已知抛物线与直线相交于点，，若轴平分，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】x轴平分线段，可得的中点在轴上，因此中点纵坐标为，即，先联立抛物线与直线的方程得到一元二次方程，再利用根与系数的关系得到两根之和，代入求解，舍去不符合条件的即可得到结果. 【详解】解：整理抛物线的方程得 ， 联立抛物线与直线的方程，得 ， 消去，整理得， 由题意可知是该一元二次方程的两个根，根据根与系数的关系可得 ， 因为轴平分，所以的中点在轴上，因此中点纵坐标满足，即， 将，代入得 ， 因式分解得，因为，所以，解得 故答案为 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知算式“ ”． （1）当时，计算该算式的结果； （2）若将算式中的数字“”改为“”，求此时代数式因式分解的结果． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入计算即可； （2）运用提公因式法计算即可． 【小问1详解】 解：当时， ； 【小问2详解】 解：根据题意， ． 18. 解答下列各题： （1）已知二元一次方程，当时，求的值； （2）已知二元一次方程，当时，求的值； （3）结合（1）（2）的计算结果，直接写出方程组的解． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将代入二元一次方程，求解即可； （2）将代入二元一次方程，求解即可； （3）综合（1）（2），由二元一次方程组解的定义即可判断． 【小问1详解】 解：对于二元一次方程，当时，，解得； 【小问2详解】 解：对于二元一次方程，当时，，解得； 【小问3详解】 解：， 由（1）知是方程①的一组解；由（2）知是方程②的一组解； 综上所述，是方程组的解． 19. 在某次体育测试中，甲、乙两名男生进行了次引体向上测试，成绩整理成如图的条形统计图，其中乙同学第次测试成绩尚未记录，已知甲，乙两位同学次引体向上测试成绩的平均数相同． （1）①补全条形统计图； ②直接写出乙同学次引体向上测试成绩的中位数和众数； （2）学校规定：引体向上次及以上为达标，次及以上为优秀． ①分别计算甲、乙两名同学的达标率； ②若按“达标一次计分，优秀一次额外加分”的规则计分，分别计算两人的总得分． 【答案】（1）①；②中位数为9，众数为9 （2）①甲同学的达标率为，乙同学的达标率为；②甲同学的总得分为6分，乙同学的总得分为9分 【解析】 【分析】（1）①求出甲同学次引体向上测试成绩的平均数，即可求解；②根据中位数和众数的定义解答即可； （2）①根据达标率的意义解答即可；②根据按“达标一次计分，优秀一次额外加分”，解答即可． 【小问1详解】 解：①甲同学次引体向上测试成绩的平均数为 ， ∵甲，乙两位同学次引体向上测试成绩的平均数相同， ∴乙同学次引体向上测试成绩的平均数为8， ∴乙同学第次测试成绩为次， 补全条形统计图，如答案所示∶ ②把乙同学次引体向上测试成绩从小到大排列为5，7，9，9，10，位于正中间的是9， ∴乙同学次引体向上测试成绩的中位数为9， ∵9出现的次数最多， ∴乙同学次引体向上测试成绩的众数为9； 【小问2详解】 解：①甲同学的达标率为， 乙同学的达标率为； ②甲同学的总得分为分， 乙同学的总得分为分． 20. 如图，已知矩形，点是边的中点，过点作直线交于点（不与点，重合），交的延长线于点． （1）求证：； （2）连接，，若时，求证：． 【答案】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， 在和中，∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质可得，从而得到，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，再由，可得，再由等腰三角形的性质，即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，某数学探究小组利用几何画板开展一次函数的动态探究活动：在平面直角坐标系中，先固定点，绘制出直线、；再构造一条动直线： （1）分别求直线、直线的解析式； （2）当直线与线段有交点时，直接写出的取值范围________； （3）当直线与直线平行时，则两直线之间的距离是________． 【答案】（1）直线的解析式为；直线的解析式为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）求出当直线：过点时m的值，即可求解； （3）设直线与y轴交于点C，直线l与y轴交于点D，连接，求出点C，D的坐标，再利用勾股定理逆定理可得，即可求解． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； 设直线的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：当直线：过点时， ， 解得：， ∴m的取值范围为； 【小问3详解】 解：如图，设直线与y轴交于点C，直线l与y轴交于点D，连接， 对于，当时，， ∴点， 对于，当时，， ∴点， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∴， ∴当直线与直线平行时，则两直线之间的距离是． 22. 如图，已知在中，已知，，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在平面内的点处，连接，形成了新的几何图形．请你结合折叠前后的图形变化，完成以下探究任务． （1）根据折叠的性质，直接写出线段，的长度； （2）若， ①求； ②直接写出的长度． 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质解答即可； （2）①过点C作于点E，结合平行四边形的性质可得，从而得到，再由勾股定理可得，即可求解；②过点作于点F，证明，再证明，从而得到，进而得到，进而得到，可得，从而得到，即可求解． 【小问1详解】 解：由折叠的性质得：，； 【小问2详解】 解：①如图，过点C作于点E， ∵四边形为平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，由①得：， ∴， 过点作于点F， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 23. 如图所示，嘉嘉和淇淇玩积木时，发现放在同一水平面上的两个积木的横截面分别是以 为直径的半圆和以为直角边的等腰直角三角形，半圆与水平面恰好切于点，且 ，，与半圆交于点． （1）直接写出两块积木的竖直高度差________； （2）求的长； （3）将半圆向右无滑动滚动，当半圆与水平面恰好切于点，与相切于点时， ①如图2所示，连接，，求的度数，并直接写出此时半圆向前滚动的距离； ②如图3所示，用尺规作图：过点作出半圆的切线（保留作图痕迹，不写作法）；当过点的切线与交于点，设，直接写出点下降的高度________．（用含的式子表示） 【答案】（1） （2） （3）①，；② 【解析】 【分析】（1）半圆的半径与等腰直角三角形直角边的差即为二者高度差，据此作答即可； （2）连接，交于点W，连接，结合垂径定理作答即可； （3）①连接，，过Q点作于点G，过A点作于点T，根据圆周角定理有，即可作答；证明是等腰直角三角形，再证明四边形是矩形，最后证明是等腰直角三角形，即可求出，问题随之得解；②过点作出半圆的切线可转化为过点作出半圆的直径的垂线，按照作垂线的方法作图即可；连接，，，、两者交于点S，过点N作于点K，先证明，即，证明，可得，同理可证明：，可得，即可表示出、、，进而可表示出，最后证明，即可表示出，问题得解． 【小问1详解】 解：半圆的直径为： ，则其半径为：， 等腰直角三角形的直角边， 结合题意有：二者高度差为：； 【小问2详解】 解：连接，交于点W，连接， ∵半圆的直径为， ∴， ∵半圆与水平面恰好切于点， ∴， 根据题意有：， 又∵， ∴半径，即， ∵两块积木的竖直高度差为， ∴， ∴在中，， ∴； 【小问3详解】 解：①连接，，过Q点作于点G，过A点作于点T， ∵半圆与水平面切于点，与相切于点， ∴，， ∴， ∵在等腰中，， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵半径， ∴， ∵半径， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ，即此时切点Q与点A的距离为：， 滚动前，切点P与点A的距离为： ， ∴切点移动的距离为：， 即：此时半圆向前滚动的距离； ②过点作出半圆的切线可转化为过点作出半圆的直径的垂线，作图如下： 即切线即为所作， 如图，连接，，，、两者交于点S，过点N作于点K， ∵半圆与直线切于点，是半圆的切线， ∴ ， ， ， ∴在中，， ∵， ∴ ， ∴ ，即平分， ∵是等腰三角形， ∴，即， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∴， ∴，即， 同理可证明：， ∴，即， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 滚动之前，半圆O的直径与水平面平行， 此时与水平面的距离为，即为， 则滚动后，下降的高度为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理、垂径定理，切线长定理，切线的性质等知识，是一道综合性大题．问题的难点在第三问，如何理解滚动的距离，并将其转化为 是关键． 24. 如图，为美化校园，某中学计划在教学楼前的空地上设计一处景观绿化带，工程团队在平面直角坐标系中进行建模设计： 已知绿化带的轮廓由抛物线与线段构成，其中一条主景观抛物线：（、是常数），、为绿化带与校园主路的交点，，以所在直线为轴，点在原点的左侧，且，线段为景观步道的边界． 请结合以上设计方案，完成下列探究任务． （1）直接写出点的坐标（________）； （2）求主景观抛物线的解析式； （3）计划在主步道上设置两个小型景观节点、，且间距（点在点右侧），过、分别作主路（轴）的垂线，垂线被步道边界和主景观抛物线截得两条装饰线段、．若节点的横坐标为，且，试比较两条装饰线段与的长度大小关系； （4）如图2，为丰富景观层次，设计团队还规划了一条次景观抛物线：（）并为优化次景观抛物线的设计，设计团队开展了以下专项探究： ①若主景观抛物线与次景观抛物线的两个交点的横、纵坐标均为整数，直接写出满足条件的的整数值； ②在①的条件下，设两条抛物线的交点为、（为左交点、为右交点），连接，同时在抛物线上取之间的图象记为景观曲线，现计划在曲线上设置观景点，过点作直线lPQ交图象于点，连接、并延长，交于点．直接写出点的横坐标． 【答案】（1） （2） （3） （4）①② 【解析】 【分析】（1）根据，求出，根据点在轴正半轴，可得点的坐标； （2）用待定系数法求出的解析式； （3）用待定系数法求出直线的解析式，由点的横坐标为，可知点的横坐标为，把线段与的长度用含的代数式表示出来，利用作差法可得 ，根据可得 ； （4）①解方程 ，可得：，，根据点的坐标为整数，可得：或，根据可得； ②由可知抛物线的解析式为，设直线的解析式为，可得方程 ，根据一元二次方程根与系数的关系可得 ，所以有，根据直线，可得，整理可得． 【小问1详解】 解：，， ， 点的坐标是； 【小问2详解】 解：， 点的坐标是， 把点、的坐标代入， 可得：， 解得：， 主景观抛物线的解析式为； 【小问3详解】 解：当时，， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把点、的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 点的横坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， 点的横坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， ， ； 【小问4详解】 ①解方程 ， 整理得： ， 解得：，， 两个交点的横、纵坐标均为整数， 或， 解得：或或或， ， ， 当时， ， 可得： ， 点的坐标为， 当时，可得： ， 点的坐标为， 点、的横、纵坐标均为整数，符合题意； ②解：设直线的解析式为， 把点、代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， ， 抛物线的解析式为， 设直线的解析式为， 解方程， 整理可得： ， ， ， 如下图所示，过点作 轴，过点作 ，过点作 轴，过点作 ， ， ，， 直线， ， ， ， ， 整理得：， 可得：， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $