精品解析：河北省唐山市开平区2025年九年级中考二模考试数学试卷

2025年河北省初中学业水平模拟考试 数学试卷 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、条形码填写或粘贴在答题卡的相应位置． 3．答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，监考人员将答题卡收回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 乐高，创立于1932年，公司位于丹麦，全球知名的玩具制造厂商之一．截至2025年，乐高已有93年的发展历史．如图是乐高的一个块状颗粒，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查简单组合体的三视图，找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：从正面看，可得图形为： ． 故选：B． 2. 若数轴上点A，B分别表示数为，2，则A，B两点之间的距离可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是数轴上两点间的距离，即数轴上两点之间的距离等于两点所表示数的差的绝对值，或用右边的点表示的数减去左边的点表示的数． 【详解】解：∵数轴上点A，B分别表示数为，2， ∴A，B两点之间的距离可表示为， 故选：C． 3. 在学校可以看到一种现象，有同学不由自主地转动手中的笔．同学的转笔过程可以看成一条直线绕一个点旋转，其示意图如图所示，若，恰好平分，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，直接根据角平分线的定义即可得到答案． 【详解】解：∵，恰好平分， ∴， 故选：B． 4. 如图，经了解，植物生长的温度为，而大多数植物在范围内生长良好，且在这个温度区间，植物随温度升高而长高，则以下适宜植物长高的最高温度x是（ ） A. 15 B. 20 C. 24 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式组的实际应用，根据题意可得，且x越大越好，据此可得答案． 【详解】解：∵大多数植物在范围内生长良好，且在这个温度区间，植物随温度升高而长高， ∴四个选项中适宜植物长高的最高温度x是24， 故选：C． 5. 若分式化简后可以得到一个整式，则整式A不可能是（ ） A. B. x C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的约分，因式分解是本题的关键． 对分子进行分解因式，根据是的因式判断即可， 【详解】解：∵化简后可以得到一个整式， ∴是的因式， ∵选项中BCD都是的因式，A不是的因式， ∴整式A不可能是， 故选：A． 6. 如图，是某正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧也都是正方形，它们的边长分别为m米，n米，则阴影部分面积为（ ） A. 0平方米 B. 平方米 C. 平方米 D. 平方米 【答案】C 【解析】 【分析】本考查了完全平方公式的几何应用，关键是完全平方公式的熟练运用．根据面积之差，利用完全平方公式可得结果． 【详解】解：由题可得阴影部分面积为：， 故选：C． 7. 计算，则m与n的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方逆用、同底数幂的乘法，根据题意，将等号左右两边都改写成底数为3的乘方形式，据此可解决问题． 【详解】解：由题知，因为m，n是正整数，且满足， 所以， 即 所以， 故选：D． 8. 某公路急转弯处是一段圆弧，其俯视图如图，汽车在转弯时起点为A，终点为B，过点A、B的两条切线相交于点C，汽车在从A到B行驶的过程中转角为，若圆弧的半径，则这段圆弧的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的性质，四边形内角和，弧长公式，掌握圆的相关性质是解题关键．由切线的性质可得，从而得出，再利用弧长公式计算即可． 【详解】解：过点A、B的两条切线相交于点C， ， ， ， ， 这段圆弧的长为， 故选：A． 9. 五边形不具有稳定性，将图1中的正五边形顶点B推至点B落在线段AC上，得到图2，则调整后多边形的外角和（ ） A. 增加了 B. 增加了 C. 减少了 D. 始终为 【答案】D 【解析】 【分析】根据多边形的外角和为，解答即可． 本题考查了多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和恒为是解题的关键． 【详解】解：根据多边形的外角和为，得始终为， 故选：D． 10. 如图，在中，，，是的内心，连接并延长分别交于点，设，；则与之间的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作的内切圆，连接圆心与切点，如图所示，由是的内心，得到，且，且平分，平分，从而由全等三角形的判定得到，，根据全等性质得到边的关系，从而，再判定，进而得到，数形结合，，从而得到答案． 【详解】解：作的内切圆，连接圆心与切点，如图所示： 是的内心， ，且，且平分，平分， ，， ，， ，， ， ， 在中，，则， 平分，平分， ，则在中，， ， 在四边形中，，，则， ， 则， 在和中， ， ， ， ， ∵，， 则与之间的关系式为， 故选：B． 【点睛】本题考查几何综合，涉及三角形内切圆、内切圆圆心性质、角平分线定义、三角形内角和定理、全等三角的判定与性质、对顶角相等、四边形内角和为等知识，熟记圆内切圆性质、全等三角形的判定与性质，理解题意，作出恰当辅助线是解决问题的关键． 11. 10个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图，则报6的人心里想的数是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数的相关计算及方程思想的运用．先设报6的人心里想的数，利用平均数的定义表示报8的人心里想的数；报10的人心里想的数；报2的人心里想的数；报4的人心里想的数，最后建立方程，解方程即可． 【详解】解：设报6的人心里想的数是x， 则报8的人心里想的数应该是， 于是报10的人心里想的数是， 报2的人心里想的数是， 报4的人心里想的数是， 报6的人心里想的数是， ∴， 解得． 故选：A． 12. 如图，等边三角形，D为边上的动点，将线段绕点D逆时针旋转，得到线段，连接，，则周长的最小值是（ ） A. B. C. 14 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】连接，延长到点G，利用三角形全等的判定和性质，证明点E在定直线上运动，过点A作于点N，交于点M，证明点A与点M关于直线对称，根据题意，当取得最小值时，的周长才有最小值，解答即可． 【详解】解：连接，延长到点G， ∵为等边三角形，， ∴， ∵线段绕点D逆时针旋转，得到线段， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 故点E在定直线上运动， 过点A作于点N，交于点M， ∵， ∴ ∴， 故点A与点M关于直线对称， ∵周长为， 故当取得最小值时，的周长才有最小值， 故点E与点N重合时，取得最小值，且， 故周长最小值为， 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，角的平分线的证明，将军饮马河原理即轴对称的应用，熟练掌握等边三角形的性质，轴对称的应用是解题的关键． 二、填空题（本大题共4个小题，每题3分，共12分） 13. （深度求索）是人工智能领域的一个专业术语，单词的字母“e”在这个单词出现的概率是________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，根据字母一共有8个，所以选到“e”的四种情况除以总数即可． 【详解】解：选到“e”的概率是：， 故答案为：． 14. 已知反比例函数与一次函数有两个交点坐标，，若，则________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，一元二次方程根与系数的关系；把代入，整理得到方程，由根与系数的关系得到，得出，解得即可． 【详解】解：∵反比例函数与一次函数有两个交点， ∴联立方程得，， 整理得，， ∵是方程两根， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：8． 15. 如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记①，②，③部分，若①和②合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形边长为a；若①，②，③合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形边长为b，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质，菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角函数的应用，熟练掌握性质和三角函数的应用是解题的关键．设正六边形的边长为，根据题意，①和②合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形边长为a；根据题意，得；根据题意，画出拼图，求得，计算即可． 【详解】解：设正六边形的边长为，根据题意，①和②合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形边长为a；根据题意，得； 当①，②，③合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形边长为b，如图所示， 根据题意，，，， 过点C作于点D，则， 故即， 故， 故答案为：． 【点睛】 16. “路亚”是一种钓鱼方法，用这种方法钓鱼时先把鱼饵通过鱼线收到鱼竿末端，然后用力将鱼饵甩向远处．如图，人站在离水面高度的位置，当鱼饵被抛出后，鱼竿所在的位置为直线，此时鱼线形成的图象近似的看成抛物线，若点C到y轴的距离为，则鱼线落在水面上的点到点A的水平距离________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据题意，得，代入解析式，确定，得到解析式，根据，得到，代入解析式得到（舍去），解答即可． 【详解】解：根据题意，得，代入解析式， 解得， 故一次函数的解析式， 当时， ， 故点， 把代入解析式， 解得（舍去）， 故抛物线的解析式为， 当时， ， 解得， 故鱼线落在水面上的点到点A的水平距离． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，点到坐标轴的距离意义，解方程，抛物线的性质，熟练掌握待定系数法，抛物线的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，某数学课外活动小组同学做了一个数学风车，现在数学风车的每片叶片上标有一个有理数． （1）若，求这四个有理数的和； （2）若相对的两个叶片上数字的和相等，求a的值． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加法，一元一次方程，解题的关键是根据题意列出相应的式子或方程； （1）直接将4个数相加即可求解； （2）列出关于的方程求解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：， 解得． 18. 如是图是嘉嘉在数学检测中两个问题的解答过程，老师的批改结果是“两个解答过程都有错误”： 第1题： 解： ① ② ③ 第2题： 解： ① ② ③ （1）指出两个解答过程中的所有错误（写步骤序号）；任选一个题目，写出正确的解答过程； （2）比较（1）问中所得结果与的大小关系． 【答案】（1） 解：第1题第③步错误；第2题第①步错误； 第1题： ； 第2题： ； （2）解：① ， ， ， ， ． ②，， ， ． 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． （1）根据二次根式混合运算的法则进行计算即可． （2）根据二次根式比较大小的方法解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，是唐山市2025年4月27~5月1日的天气情况，九年级（1）班嘉嘉同学整理这些数据时绘制了这五天的日平均气温（日平均气温指的是这一天中最低温度和最高温度的和的平均数）的条形统计图，由于嘉嘉马虎漏掉了某一天的日平均气温． （1）①直接写出这5天中最低气温（单位：）的中位数________，众数________； ②求出这5天最低气温（单位：）的平均数； （2）请你补全条形统计图，若嘉嘉从周一到周四任选两天出去游玩，请用列表法求出嘉嘉选择的两天天气日平均气温相同的概率． 【答案】（1）①10，10；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据中位数，众数的定义解答即可； ②根据平均数的定义解答即可． （2）根据题意，周三的日平均气温为，补图即可；利用用列表法求概率即可． 【小问1详解】 解：①数据从小到大排列为：， 故中位数是，众数是， 故答案为：10,10． ②解：根据题意，得． 【小问2详解】 解：根据题意，周三的日平均气温为，补图如下： 根据题意，设周一记作1，周二记作2，周三记作3，周四记作4，列表法如下： 周一 周二 周三 周四 周一 (1,2) (1,3) (1,4) 周二 (2,1) (2,3) (2,4) 周三 (3,1) (3,2) (3,4) 周四 (4,1) (4,2) (4,3) 一共有12种等可能性，其中气温相同的等可能性有2种， 故嘉嘉选择的两天天气日平均气温相同的概率是． 【点睛】本题考查了中位数，众数，平均数的计算，列表法求概率，熟练掌握定义和列表法求概率是解题的关键． 20. 时代召唤“工匠精神”！可时钟拨回到2000多年前，中国历史上有一位大师级匠人已用毕生成就诠释了这一精神．他，就是鲁班．如图1，云梯是古代攻城用的器械，传说由鲁班发明．梯身可以调节角度，整体形状呈三角形．已知如图2所示，，，可以绕点A逆时针旋转得到，连接． （1）若时，，求的度数； （2）当，时，计算B、D两点之间的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握直角三角形的性质是解题关键． （1）由平行线的性质可得，再根据旋转的性质和等边对等角求解即可； （2）连接BD，根据角的正切值，得到，证明是等边三角形，得到，，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：，， ， 旋转得到， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，连接BD， ，，， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ． 21. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一出水口，利用图中信息解决下列问题： 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度” 现有两个水杯容量相同的智能空水杯． （1）王老师先拿了其中一个智能空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，且水杯的水温为． ①王老师的水杯容量是为________； ②求此时杯中的水温（不计热损失）； （2）嘉琪拿了另外一个智能空水杯，先接了x秒温水，又接了一会儿开水，接满杯中水．智能杯盖显示此时杯中温度为，请你求出t与x的函数关系式，直接写出x至多为几秒时，才能使杯中温度不低于（x为正整数） 【答案】（1）①250； （2）；x至多7秒时，温度不低于 【解析】 【分析】（1）王老师先拿了其中一个智能空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，且水杯的水温为． ①根据题意，王老师的水杯容量是为，解答即可； ②根据题意，得，解方程即可． （2）根据题意，智能空水杯的容量为，温水的容量为，开水的容量为，根据题意，得，整理即可得到t与x的函数关系式，根据杯中温度不低于建立不等式，求整数解即可． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，熟练掌握解方程，解不等式是解题的关键． 【小问1详解】 （1）①解：根据题意，王老师的水杯容量是为， 故答案为：250； ②解：根据题意，得， 解得． 答：此时杯中的水温为． 【小问2详解】 解：根据题意，智能空水杯的容量为，温水的容量为，开水的容量为， 根据题意，得， 整理得； 由杯中温度不低于，得， 解不等式，得， 又是整数， 故 故至多7秒． 22. 如图，学习桌是学习辅助的一种工具，桌子高度可升降调节、桌面可自由倾斜．桌面收起时可以近似的看作与地面平行，其中图1、图2是桌面水平和倾斜放置的实物，图3是桌面倾斜放置的示意图，其中表示学习桌桌面的宽，、表示学习桌的支架，此时桌面厘米，桌面调整角度．（参考数据：，） （1）直接写出________厘米： （2）求出此时B到的距离； （3）若，，直接写出的度数． 【答案】（1）60 （2）36厘米 （3） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键： （1）根据题意，桌面收起时，点与点重合，可知，即可得出结果； （2）作，解，求出的长即可； （3）延长交于点，解，求出的长，进而求出的长，解，求出的度数，进而求出的度数即可． 【小问1详解】 解：由题意，可知：厘米； 故答案为：60； 【小问2详解】 作于点， 在中，， ∴； 答：此时B到的距离为厘米； 【小问3详解】 延长交于点，则：， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 23. 某数学兴趣小组利用几何画板来研究二次函数的图象和性质，已知二次函数解析式（a，b为常数，且），学生们通过输入不同的参数a，b的值，在几何画板的展示区得到对应的抛物线的图象． （1）直接写出此二次函数与y轴的交点坐标________； （2）嘉嘉编制了如下问题：当，时，图象记作抛物线．请回答以下问题． ①求的最大值； ②嘉嘉又添画了满足条件时的一条抛物线，且新抛物线与x轴只有一个交点，该图象记作抛物线．把两条抛物线形成的封闭图形记为图象G（不包含边界），直线将图象G上的整点（横、纵坐标均为整数的点）分成上下两部分，分别将整点个数记为，，请求出的值； （3）淇淇说，当时，图象记作拋物线，请在（2）的条件下，使得与的图象在平面直角坐标系中相交于唯一一点，请直接写出此时参数a的值． 【答案】（1） （2）； （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）令，求出值，即可得出结果； （2）①求出函数解析式，求最值即可；②根据抛物线与轴只有一个交点，得到，求出值，进而求出新的函数解析式，画出图象，进行确定出整点的个数，作比即可； （3）根据两条抛物线均过点，得到交点只能是，分和，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，， ∴此二次函数与y轴的交点坐标为； 【小问2详解】 解：①当，时，则：， ∴当时，函数值最大为； ②∵， ∴， ∵新抛物线与x轴只有一个交点， ∴， ∴， ∵两条抛物线与直线能形成的封闭图形，且有整点， ∴， ∴， ∴的顶点坐标为， 联立，解得：或， ∴两条抛物线的交点为， 由①可知：的顶点坐标为， ∴图象中的整点有，共11个， 其中在直线上， ∴直线上方的整点有共5个， 直线下方的整点有共4个， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， 由①知：与轴的交点均为， ∴与只有1个交点时，交点为，分两种情况： ①，即两条抛物线的开口方向和开口大小均相同，此时满足题意，如图： ②当时，令，整理得：， 解得：或， ∵只有一个交点为， ∴只能有一个值为0， ∴， ∴； 综上：或． 24. 现有若干张相同的半圆形纸片，点O是圆心，直径，P是半圆弧上的一点（点P与点A、B不重合）， （1）连接，沿剪下，则是________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； （2）分别取半圆弧上的点P、Q和直径上的点O、B，已知剪下的图形由这四个点顺次连接构成的四边形是一个菱形．请用直尺和圆规在图中作出符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）； （3）如图，点Q为上一点，，以为直径在下方作半圆． ①试判断点O与半圆的位置关系，请说明理由．过点P作交于点C，并求出当时，点Q到的距离； ②半圆与相切时，直接写出扇形的面积； ③当点到的距离为时，直接写出点P到的距离． 【答案】（1）直角 （2） 如图，四边形即为所求； （3）①点O在半圆上，理由如下，距离为4； 如图所示，连接， ∵是的一条弦，是以为直径的圆的圆心， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，即， ∴点O在半圆上； ∴， 在中，由勾股定理得； 如图所示，过点Q作于H，则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点Q到的距离为4； ②； ③或 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角即可得到答案； （2）以点B为圆心，的长为半径画弧交于P，以点P为圆心，以的长为半径画弧交于Q，连接，则四边形即为所求； （3）①连接，由垂径定理得到，，由勾股定理得，即，则点O在半圆上；，可得；由勾股定理得；过点Q作于H，证明，得到，则点Q到的距离为4； ②根据题意可得半圆与相切时，切点为点O，则可求出，； ③分当点在点O右侧时，当点在点O左侧时，两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵是直径， ∴， ∴是直角三角形； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①略 ②∵点O在半圆上， ∴半圆与相切时，切点为点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ③如图所示，当点在点O右侧时，过点作于N，过点P作于M， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴点P到的距离为； 如图所示，当点在点O左侧时，过点作于S，过点P作于R， 同理可证明， ∴同理可得， ∴， ∴同理可得点P到的距离为； 综上所述，点P到的距离为或． 【点睛】本题主要考查了圆的综合，勾股定理，全等三角形的性质与判定，求扇形面积等，熟知圆的相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河北省初中学业水平模拟考试 数学试卷 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、条形码填写或粘贴在答题卡的相应位置． 3．答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，监考人员将答题卡收回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 乐高，创立于1932年，公司位于丹麦，全球知名的玩具制造厂商之一．截至2025年，乐高已有93年的发展历史．如图是乐高的一个块状颗粒，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 若数轴上点A，B分别表示数为，2，则A，B两点之间的距离可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 在学校可以看到一种现象，有同学不由自主地转动手中的笔．同学的转笔过程可以看成一条直线绕一个点旋转，其示意图如图所示，若，恰好平分，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，经了解，植物生长的温度为，而大多数植物在范围内生长良好，且在这个温度区间，植物随温度升高而长高，则以下适宜植物长高的最高温度x是（ ） A. 15 B. 20 C. 24 D. 25 5. 若分式化简后可以得到一个整式，则整式A不可能是（ ） A. B. x C. D. 6. 如图，是某正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧也都是正方形，它们的边长分别为m米，n米，则阴影部分面积为（ ） A. 0平方米 B. 平方米 C. 平方米 D. 平方米 7. 计算，则m与n的关系是（ ） A. B. C. D. 8. 某公路急转弯处是一段圆弧，其俯视图如图，汽车在转弯时起点为A，终点为B，过点A、B的两条切线相交于点C，汽车在从A到B行驶的过程中转角为，若圆弧的半径，则这段圆弧的长为（ ） A. B. C. D. 9. 五边形不具有稳定性，将图1中的正五边形顶点B推至点B落在线段AC上，得到图2，则调整后多边形的外角和（ ） A. 增加了 B. 增加了 C. 减少了 D. 始终为 10. 如图，在中，，，是的内心，连接并延长分别交于点，设，；则与之间的关系式为（ ） A. B. C. D. 11. 10个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图，则报6的人心里想的数是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 12. 如图，等边三角形，D为边上的动点，将线段绕点D逆时针旋转，得到线段，连接，，则周长的最小值是（ ） A. B. C. 14 D. 12 二、填空题（本大题共4个小题，每题3分，共12分） 13. （深度求索）是人工智能领域的一个专业术语，单词的字母“e”在这个单词出现的概率是________． 14. 已知反比例函数与一次函数有两个交点坐标，，若，则________． 15. 如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记①，②，③部分，若①和②合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形边长为a；若①，②，③合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形边长为b，则________． 16. “路亚”是一种钓鱼方法，用这种方法钓鱼时先把鱼饵通过鱼线收到鱼竿末端，然后用力将鱼饵甩向远处．如图，人站在离水面高度的位置，当鱼饵被抛出后，鱼竿所在的位置为直线，此时鱼线形成的图象近似的看成抛物线，若点C到y轴的距离为，则鱼线落在水面上的点到点A的水平距离________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，某数学课外活动小组同学做了一个数学风车，现在数学风车的每片叶片上标有一个有理数． （1）若，求这四个有理数的和； （2）若相对的两个叶片上数字的和相等，求a的值． 18. 如是图是嘉嘉在数学检测中两个问题的解答过程，老师的批改结果是“两个解答过程都有错误”： 第1题： 解： ① ② ③ 第2题： 解： ① ② ③ （1）指出两个解答过程中的所有错误（写步骤序号）；任选一个题目，写出正确的解答过程； （2）比较（1）问中所得结果与的大小关系． 19. 如图，是唐山市2025年4月27~5月1日的天气情况，九年级（1）班嘉嘉同学整理这些数据时绘制了这五天的日平均气温（日平均气温指的是这一天中最低温度和最高温度的和的平均数）的条形统计图，由于嘉嘉马虎漏掉了某一天的日平均气温． （1）①直接写出这5天中最低气温（单位：）的中位数________，众数________； ②求出这5天最低气温（单位：）的平均数； （2）请你补全条形统计图，若嘉嘉从周一到周四任选两天出去游玩，请用列表法求出嘉嘉选择的两天天气日平均气温相同的概率． 20. 时代召唤“工匠精神”！可时钟拨回到2000多年前，中国历史上有一位大师级匠人已用毕生成就诠释了这一精神．他，就是鲁班．如图1，云梯是古代攻城用的器械，传说由鲁班发明．梯身可以调节角度，整体形状呈三角形．已知如图2所示，，，可以绕点A逆时针旋转得到，连接． （1）若时，，求的度数； （2）当，时，计算B、D两点之间的距离． 21. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一出水口，利用图中信息解决下列问题： 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度” 现有两个水杯容量相同的智能空水杯． （1）王老师先拿了其中一个智能空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，且水杯的水温为． ①王老师的水杯容量是为________； ②求此时杯中的水温（不计热损失）； （2）嘉琪拿了另外一个智能空水杯，先接了x秒温水，又接了一会儿开水，接满杯中水．智能杯盖显示此时杯中温度为，请你求出t与x的函数关系式，直接写出x至多为几秒时，才能使杯中温度不低于（x为正整数） 22. 如图，学习桌是学习辅助的一种工具，桌子高度可升降调节、桌面可自由倾斜．桌面收起时可以近似的看作与地面平行，其中图1、图2是桌面水平和倾斜放置的实物，图3是桌面倾斜放置的示意图，其中表示学习桌桌面的宽，、表示学习桌的支架，此时桌面厘米，桌面调整角度．（参考数据：，） （1）直接写出________厘米： （2）求出此时B到的距离； （3）若，，直接写出的度数． 23. 某数学兴趣小组利用几何画板来研究二次函数的图象和性质，已知二次函数解析式（a，b为常数，且），学生们通过输入不同的参数a，b的值，在几何画板的展示区得到对应的抛物线的图象． （1）直接写出此二次函数与y轴的交点坐标________； （2）嘉嘉编制了如下问题：当，时，图象记作抛物线．请回答以下问题． ①求的最大值； ②嘉嘉又添画了满足条件时的一条抛物线，且新抛物线与x轴只有一个交点，该图象记作抛物线．把两条抛物线形成的封闭图形记为图象G（不包含边界），直线将图象G上的整点（横、纵坐标均为整数的点）分成上下两部分，分别将整点个数记为，，请求出的值； （3）淇淇说，当时，图象记作拋物线，请在（2）的条件下，使得与的图象在平面直角坐标系中相交于唯一一点，请直接写出此时参数a的值． 24. 现有若干张相同的半圆形纸片，点O是圆心，直径，P是半圆弧上的一点（点P与点A、B不重合）， （1）连接，沿剪下，则是________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； （2）分别取半圆弧上的点P、Q和直径上的点O、B，已知剪下的图形由这四个点顺次连接构成的四边形是一个菱形．请用直尺和圆规在图中作出符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）； （3）如图，点Q为上一点，，以为直径在下方作半圆． ①试判断点O与半圆的位置关系，请说明理由．过点P作交于点C，并求出当时，点Q到的距离； ②半圆与相切时，直接写出扇形的面积； ③当点到的距离为时，直接写出点P到的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $