24.2数据的离散程度 第2课时 利用数据的集中趋势和离散程度做决策 课件 2025-2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦“利用数据的集中趋势和离散程度做决策”，核心知识点涵盖方差计算与意义，以及平均数、众数、中位数的综合应用。课堂导入先复习方差公式及意义，再通过运动员选拔问题衔接新知，搭建旧知到应用的学习支架。 其亮点是以奥运会运动员成绩、灌装线质量检验等真实案例为载体，培养数据意识与推理能力，通过统计图表分析和方差计算，引导学生用数学语言表达决策过程。学生能提升问题解决能力，教师可借助结构化案例和分层练习优化教学。

第二十四章数据的分析 第2课时利用数据的集中趋势和离散程度做决策 R·八年级数学下册 1 素养目标 1.学会运用方差分析数据并进行优化选择和决策. 2.综合运用平均数、众数、中位数和方差解决实际问题． 3.通过解决简单的实际问题，形成一定的数据意识，提高解决问题的能力，进一步体会数学的应用价值． 说一说方差的计算公式和方差的意义. 方差越大，数据的离散程度越大； 方差越小，数据的离散程度越小． 数据分布比较分散 数据分布比较集中 只有在两组数据的平均数相等或比较接近时，才用方差比较两组数据的离散程度. 数据波动小时，平均数更具有代表性. 复习引入 探索新知 2024年奥运会潘展乐以40秒40的成绩勇夺冠军，为国家争得了荣誉.现在为了培养新人，教练要从甲、乙两名运动员中选取一名运动员作为重点培养对象，根据平时的成绩，应该选择哪一名运动员呢? 次序 1 2 3 4 5 6 7 8 运动员甲的成绩/秒 53.1 53.4 53.8 53.5 53 53.6 53.4 53.2 运动员乙的成绩/秒 53 52.9 53.8 54 53.2 53.8 52.8 53.5 解：==53.375秒 ==53.375秒 0.061875 0.186875 ,运动员甲的成绩更稳定，所以应该选择甲运动员作为重点培养对象,如果为了打破纪录应选运动员乙参加这项比赛. 例（教材172页例2） 自动灌装线灌装饮料时，由于各种不可控的因素，每瓶饮料的实际含量与标准含量会存在一些误差（实际含量－标准含量）. 甲、乙两条灌装线同时灌装标准含量为 500 mL的饮料，为了检验两条灌装线的灌装质量，从每条灌装线上各随机抽取 10 瓶饮料进行测量，结果（单位：mL）如表所示. 甲 501 496 498 499 503 498 505 498 501 501 乙 496 493 504 495 500 506 504 505 498 499 典型例题 甲 501 496 498 499 503 498 505 498 501 501 乙 496 493 504 495 500 506 504 505 498 499 （1）如果有一瓶饮料含量的误差的绝对值超过 10 mL，此条灌装线的灌装质量为不合格，那么两条灌装线的灌装质量是否合格？ 解：甲、乙灌装线饮料的实际含量与标准含量 500 mL 的误差如表所示． 甲组误差/mL 1 －4 －2 －1 3 －2 5 －2 1 1 乙组误差/mL －4 －7 4 －5 0 6 4 5 －2 －1 从表中的数据可以看出，甲、乙灌装线灌装的误差绝对值最大分别为 5 mL、7 mL，两者都小于10 mL，因此两条灌装线灌装的质量都是合格的. 甲 501 496 498 499 503 498 505 498 501 501 乙 496 493 504 495 500 506 504 505 498 499 （2）哪条灌装线的灌装质量更好？ 可通过哪些统计量来关注饮料的质量？ 甲、乙灌装线饮料实际含量的平均数分别为 x甲 = 501 + 496 + … + 501 10 = 500 x乙 = 496 + 493 + … + 499 10 = 500 两条灌装线饮料实际含量的平均数都等于标准含量. 甲 501 496 498 499 503 498 505 498 501 501 乙 496 493 504 495 500 506 504 505 498 499 （2）哪条灌装线的灌装质量更好？ 可以类比方差，计算甲、乙灌装线饮料的实际含量与标准含量的平均差异程度，分别为 (501－500)2 + (496－500)2 + … + (501－500)2 10 = = 6.6 (496－500)2 + (493－500)2 + … + (499－500)2 10 = = 18.8 ＜ 可以发现，甲灌装线饮料实际含量与标准含量的平均差异更小. 根据样本估计总体，综合来看，甲灌装线的灌装质量更好. 方差只能反映样本的稳定性，而不能反映样本的一般水平. 因而在用样本估计总体时，通常要综合考虑样本平均数与样本方差，再作出判断. 结论归纳 射击训练班中的甲、乙两名选手在5次射击训练中的成绩依次为(单位：环):甲:8,8,7,8,9;乙:5,9,7,10,9.教练根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表： 变式训练 选手 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 b 8 0.4 乙 a 9 c 3.2 根据以上信息，请解答下面的问题： (1)a=__,b=8,c=__; (2)教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么? (3)若选手乙再射击第6次，命中的成绩是8环，则选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会______ (填“变大”、“变小”或“不变”). 解：教练选择甲参加射击比赛的理由是两人的平均成绩相同，而甲的成绩的方差小，即甲的成绩较稳定. 8 9 变小 例2（教材173页例3） 甲、乙两地同一天的气温记录如表所示. 两地的气温有什么差异？ 时刻 0:00 2:00 4:00 6:00 8:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00 24:00 甲/℃ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18 16 14 13 乙/℃ 13 11 12 14 15 17 19 21 20 18 17 16 15 典型例题 为了直观地观察两地气温的特点，可以以时刻为横坐标，气温为纵坐标，把表中的数据用折线图进行表示. 解：得到下图. 从折线图中可以看出，甲、乙两地气温在不同的时刻互有高低，但甲地的最高气温高于乙地，而最低气温低于乙地． 为进一步了解两地气温的差异，可以从数据的集中趋势和离散程度两个方面分别进行比较. ①通过数据的集中趋势分析两地的气温差异： 时刻 0:00 2:00 4:00 6:00 8:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00 24:00 甲/℃ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18 16 14 13 乙/℃ 13 11 12 14 15 17 19 21 20 18 17 16 15 平均数、中位数、众数. 两地气温的平均数分别为 x甲 11 + 9 + … + 13 13 = = 16 x乙 13 + 11 + … + 15 13 = = 16 平均数相等. 时刻 0:00 2:00 4:00 6:00 8:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00 24:00 甲/℃ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18 16 14 13 乙/℃ 13 11 12 14 15 17 19 21 20 18 17 16 15 将两地气温按从小到大排列，可得 甲地 9 10 11 12 13 14 16 16 18 21 21 23 24 乙地 11 12 13 14 15 15 16 17 17 18 19 20 21 中位数都是 16. ①通过数据的集中趋势分析两地的气温差异： 时刻 0:00 2:00 4:00 6:00 8:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00 24:00 甲/℃ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18 16 14 13 乙/℃ 13 11 12 14 15 17 19 21 20 18 17 16 15 将两地气温按从小到大排列，可得 甲地 9 10 11 12 13 14 16 16 18 21 21 23 24 乙地 11 12 13 14 15 15 16 17 17 18 19 20 21 众数：甲地是 16 和 21. 乙地是 15 和 17. 重复次数太少，不具有代表性. ①通过数据的集中趋势分析两地的气温差异： 时刻 0:00 2:00 4:00 6:00 8:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00 24:00 甲/℃ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18 16 14 13 乙/℃ 13 11 12 14 15 17 19 21 20 18 17 16 15 平均数/℃ 中位数/℃ 众数/℃ 甲地 16 16 16 和 21 乙地 16 16 15 和 17 ①通过数据的集中趋势分析两地的气温差异： 从数据的集中趋势看，两地的气温差异不明显. 时刻 0:00 2:00 4:00 6:00 8:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00 24:00 甲/℃ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18 16 14 13 乙/℃ 13 11 12 14 15 17 19 21 20 18 17 16 15 两地气温的方差分别为 方差 ②通过数据的离散程度分析两地的气温差异： 由 可知，乙地气温的波动程度比甲地的小，气温更稳定. 1. 甲、乙两名运动员进行罚球线上投篮测试. 每人投篮 10 组，每组投篮 10 次，两名运动员投篮 10 组命中的次数如下表所示. 选自教材第174页 练习 第1题 哪名运动员的投篮更稳定？ 甲 8 6 9 6 8 10 7 7 10 9 乙 7 8 9 8 9 8 8 10 6 7 巩固练习 解：甲运动员投篮命中次数的平均数为 乙运动员投篮命中次数的平均数为 甲 8 6 9 6 8 10 7 7 10 9 乙 7 8 9 8 9 8 8 10 6 7 甲运动员投篮命中次数的方差为 乙运动员投篮命中次数的方差为 由平均数相同， 可知，乙运动员的投篮更稳定. 2. 甲、乙两台机床同时生产一种零件. 在 10 天中，两台机床每 天出次品的数量（单位：件）如下表所示. 选自教材第174页 练习 第2题 （1）分别计算两组数据的平均数和方差； 解：两组数据的平均数分别为 x甲 0 + 1 + 0 + 2 + 2 + 0 + 3 + 1 + 2 + 4 10 = = 1.5 甲 0 1 0 2 2 0 3 1 2 4 乙 2 3 1 1 0 2 1 1 0 1 x乙 2 + 3 + 1 + 1 + 0 + 2 + 1 + 1 + 0 + 1 10 = = 1.2 两组数据的方差分别为 (0－1.5)2 + (1－1.5)2 + … + (4－1.5)2 10 = = 1.65 (2－1.2)2 + (3－1.2)2 + … + (1－1.2)2 10 = = 0.76 甲 0 1 0 2 2 0 3 1 2 4 乙 2 3 1 1 0 2 1 1 0 1 （2）哪台机床的性能比较好？ 即：出次品的平均数小，且波动较小(方差小)的. 由 x甲 > x乙， 可知，乙机床的性能比较好. 机床 平均数 方差 甲 1.5 1.65 乙 1.2 0.76 课堂检测 1.下表记录了八(1)班甲、乙、丙、丁四名同学最近3次数学模拟测试成绩(满分：120分)的平均数与方差. 根据表中数据，可知成绩好且发挥稳定的同学是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 同学 甲 乙 丙 丁 平均数 109 108 113 113 方差 4.1 1.0 4.3 0.8 D 2.某团队为研究不同施肥方案对小麦产量的影响，在试验田中控制影响小麦生长的其他因素，分别选用甲、乙、丙、丁四种方案施肥，7个月后得到如下统计结果： 施肥方案 甲 乙 丙 丁 单穗粒数的平均数 42.02 36.34 36.58 42.02 单穗粒数的方差 114.77 65.81 170.32 66.38 在本次试验中，从单穗粒数的平均数与方差角度看，四种施肥方案中效果最好的是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 D 3.寒假期间，滑雪冬令营的同学们都参加了“单板滑雪”这个项目的40次的训练测试，每次测试成绩分别为5分，4分，3分，2分，1分五档，甲、乙两位同学在这个项目的测试成绩统计结果如图所示： 从平均数来看，甲同学成绩较好(答案不唯一). 结合图中数据，请你从平均数、众数、中位数、方差中选择一方面评论一下两位同学的滑雪成绩：______________________________________________ 4. 甲、乙、丙、丁四名射击队员考核赛的平均成绩（环）及方差统计如表，现要根据这些数据，从中选出一人参加比赛，如果你是教练员，你的选择是（ ） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 队员 平均成绩 方差 甲 9.7 2.12 乙 9.6 0.56 丙 9.8 0.56 丁 9.8 1.34 C 如何表现一组数据的集中趋势和离散程度？ 平均数 离差平方和 数据 中位数 众数 总体平均数 样本估计总体 方差 总体方差 样本估计总体 离散程度 集中趋势 课堂小结 课后分层作业 1.基础层：教材174-175页习题24.2第2，4题 某校为了解七年级共480名同学对安全知识的掌握情况，对他们进行了安全知识测试，现随机抽取甲、乙两班各15 名同学的测试成绩进行整理分析，过程如下： 【收集数据】 甲班15名学生测试成绩分别为(单位：分)： 78,83,89,96,100,85,100,94,87,90,93,92,98,95,100; 乙班15名学生测试成绩中90≤x<95的成绩如下:91,92,94,90,93. 【整理数据】 2.提升层： 班级 75≤x<80 80≤x<85 85≤x<90 90≤x<95 95≤x≤100 甲 1 1 3 4 6 乙 1 2 3 5 4 【分析数据】 班级 平均数 众数 中位数 方差 甲 92 a 93 41.5 乙 90 87 b 50.2 【应用数据】 (1)根据以上信息填空:a=_____,b=____; (2)由表中数据，请根据所学知识判断哪个班的学生安全知识测试的整体成绩较好，并从平均数、众数、中位数、方差中任选2个说明理由； (3)若规定测试成绩90分及以上为优秀，根据(2)中判断结果，用成绩较好的班级的数据估计参加安全知识测试的480名学生中成绩为优秀的学生共有多少名. 100 91 解：(2)甲班成绩较好.理由如下： 甲班成绩的平均数高于乙班的平均数，说明甲班的平均成绩较高，甲班成绩的方差小于乙班的方差，说明甲班成绩比较稳定， ∴甲班成绩较好.(答案不唯一) 3480×4+615=320(名). 答：估计参加安全知识测试的480名学生中成绩为优秀的学生共有320名. $