24.2数据的离散程度 第1课时 离差平方和、方差 课件 2025-2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦“离差平方和、方差”核心知识点，通过甜玉米种子产量稳定性问题导入，先计算平均产量发现差异不大，进而引出数据离散程度的研究，从离差和为0的矛盾过渡到离差平方和，最终形成方差概念，搭建起从实际问题到数学概念的学习支架。 其亮点在于以真实农业试验情境驱动，通过“问题探究—概念建构—应用分析”流程，发展数据观念（如用方差比较甜玉米产量稳定性）和推理意识（推导离差平方和必要性）。包含射击成绩、芭蕾舞身高案例及分层练习，帮助学生深化理解，教师可直接用于课堂，提升教学效率。

第1课时离差平方和、方差 第二十四章数据的分析 1 1. 体会刻画数据离散程度的意义，发展数据观念． 2. 理解离差平方和、方差的概念，能够计算一组 数据的离差平方和、方差． 3. 理解方差的意义，能通过方差比较两组数据的 离散程度． 素养目标 情境引入 问题（教材168页）：某农业科学院专家为某地选择合适的甜玉米种子. 选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是专家所关心的问题. 为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，专家各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量（单位：t）如下表所示. 甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41 乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49 根据这些数据估计，专家应该选择哪种甜玉米种子呢？ 甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41 乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49 甲和乙两种玉米种子的平均产量为： x甲 = 7.537 x乙 = 7.515 样本平均数 总体平均数 估计 说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大.由此可以估计出这个地区种植这两种甜玉米，它们的平均产量相差不大. 探索新知 思考：如何考查一种甜玉米产量的稳定性呢？ 为了直观地反映出甜玉米产量的分布情况，把数据画成下图： 甲种甜玉米的产量 乙种甜玉米的产量 比较看看谁的数据波动比较大？ 我们常常用平均数、中位数来刻画数据的“平均水平”，但在有些情况下只知道“平均水平”是不够的.针对以上问题. 统计图尤其是折线图可以很直观的看出一组数据的波动程度，但是要对比两组数据的波动程度时就不够精准了.那有没有一个量来刻画数据的波动程度或离散程度呢？ 为了全面反映一组数据的离散程度，可以通过数据与平均数的差异来刻画. 思考：可以用平均离差刻画一组数据的离散程度吗？ 概念引入：一般地，由 n 个数据 x1，x2，…，xn，用 x 表示它们的平均数，我们把 xi － x ( i ＝1，2，…，n ) 叫作 xi 关于平均数 x 的离差． 甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41 乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49 离差和： (7.65－7.537) + (7.50－7.537) + … + (7.41－7.537) = 7.65 + 7.50 + … + 7.41－10×7.537 = 0 同理乙的离差和也等于 0 ( x1－ x ) + ( x2－ x ) + … + ( xn－ x ) = x1 + x2 + … + xn－nx = 0 一组数据的离差和总是 0，因此平均离差无法刻画一组数据与平均数的差异. 为了避免离差求和时正负抵消的问题，统计中通常先对离差进行平方，然后求和. 我们把 ( x1－ x )2 + ( x2－ x )2 + … + ( xn－ x )2 叫作这 n 个数据关于平均数的离差平方和. 记作“d 2”. 离差平方和概念 把离差的平方的平均数 ( x1－ x )2 + ( x2－ x )2 + … + ( xn－ x )2 n 叫作这组数据的方差. 记作“s 2”. 方差越大，数据的离散程度越大； 方差越小，数据的离散程度越小． 数据分布比较分散 数据分布比较集中 方差的概念 甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41 乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49 试着用方差公式分析甲、乙两种甜玉米产量的波动程度． 根据样本估计总体的统计思想，种乙种甜玉米产量较稳定． 思考：用离差平方和是否可以刻画数据的离散程度？和方差比较，有什么不足？ ( x1－ x )2 + ( x2－ x )2 + … + ( xn－ x )2 d 2 = ( x1－ x )2 + ( x2－ x )2 + … + ( xn－ x )2 n s 2 = 离差平方和可以刻画一组数据的离散程度．在比较两组数据的离散程度时，离差平方和只适用于数据个数相同的情况，而方差不受这个限制． 例1（教材170页例1）甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，10次射击成绩（单位：环）如下表所示. 哪名射击运动员的发挥更稳定？ 甲 9 7 9 10 10 8 9 10 5 10 乙 9 10 7 8 10 9 9 8 7 9 方差越大，数据离散程度越大，发挥就不稳定； 方差越小，数据离散程度越小，发挥就更稳定. 典型例题 甲 9 7 9 10 10 8 9 10 5 10 乙 9 10 7 8 10 9 9 8 7 9 解：两名运动员射击成绩的平均数分别为 x甲 = 9+7+ … +10 10 = 8.7 x乙 = 9+10+ … +9 10 = 8.6 两名运动员射击成绩的方差分别为 (9－8.7)2 + (7－8.7)2 + … + (10－8.7)2 10 = = 2.41 (9－8.6)2 + (10－8.6)2 + … + (9－8.6)2 10 = = 1.04 由 可知，乙射击运动员的发挥更稳定. > 例2在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演员的身高(单位：cm)如下表所示. 哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐? 甲团 163 164 164 165 165 166 166 167 乙团 163 165 165 166 166 167 168 168 解：甲、乙两团演员的身高平均数分别是 ==165, ==166. 方差分别是 s甲²==1.5, s乙2==2.5. 由 s甲2<s乙2可知，甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐. 1. 如图，有4组数据，将这4组数据按离散程度从小到大排序. 先通过直观判断排序，再根据方差排序. 这两种排序的结果是否一致？ 选自教材第171页 练习 第1题 解：这4组数据按离散程度从小到大排序为(1)<(2)<(3)<(4). 巩固练习 x(1)=6 =0 x(2)=6 =0.4 x(3)=6 =2 x(4)=6 =3.2 根据方差可知，这4组数据按离散程度从小到大排序为(1)<(2)<(3)<(4).这两种排序的结果一致. 2. 根据方差比较第149页“问题1”中两组跳绳成绩的离散程度. 选自教材第171页 练习 第2题 甲组 182 194 143 185 156 乙组 199 148 242 170 141 解：甲组跳绳成绩的方差为 (182－172)2 + (194－172)2 + … + (156－172)2 5 = = 370 x甲 = 172（次/min） x乙 = 180（次/min） 乙组跳绳成绩的方差为 (199－180)2 + (148－180)2 + … + (141－180)2 5 = = 1370 由 可知，甲组跳绳成绩的离散程度更小. < 课堂检测 1.一组数据2,1,1,4的方差为____. 2.甲、乙、丙、丁四名同学参加掷实心球测试，每人掷5次，他们的平均成绩恰好相同，方差分别是 s甲2=0.56,s乙2=0.56, s丙2=0.52,s丁2=0.48,则这四名同学掷实心球的成绩最稳定的是__. 3.已知一组数据x₁,x₂,x₃,x₄,x₅的方差是 14，那么另一组数据 2x₁−2,2x₂− 2,2x₃−2,2x₄−2,2x₅−2的方差是____. 32 丁 1 4.某中学开展“唱红歌”比赛活动，九年级(1)、(2)班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩如图所示. 班级 平均数/分 中位数/分 众数/分 九(1)班 85 85 九(2)班 80 85 85 100 (1)根据图示填写上表； (2)结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好； (3)计算两班复赛成绩的方差，并说明哪个班级的成绩较稳定. 解：(2)九(1)班成绩好些.因为九(1)班的中位数高，所以九(1)班成绩好些.(回答合理即可) =×[(75−85)2+(80−85)2+(85−85)2+(85−85)2+(100−85)2]=70, =×[(70−85)2+(100−85)2+(100−85)2+(75−85)2+(80− 85)²]=160. > ∴ 九(1)班的成绩较稳定. 5.若一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数x=9，方差s2=6，则另一组数据3x1－2，3x2－2， 3x3－2，…， 3xn－2，的平均数是________，方差是________. 25 54 课堂小结 离差平方和 离差：xi － x ( i ＝1，2，…，n ) 公式： ( x1－ x )2 + ( x2－ x )2 + … + ( xn－ x )2 d 2 = 公式： ( x1－ x )2 + ( x2－ x )2 + … + ( xn－ x )2 n s 2 = 方差越大（小），数据的波动越大（小） 方差的作用 比较数据的稳定性 利用样本方差估计总体方差 方差 课后分层作业 提升层： 某快餐公司的香辣鸡腿很受消费者欢迎.现有甲、乙两家农副产品加工厂到快餐公司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近，快餐公司决定通过检查鸡腿的质量来确定选购哪家的鸡腿.检查人员从两家的鸡腿中各随机抽取15个，记录它们的质量(单位：g)如下表所示，根据表中数据，你认为快餐公司应该选购哪家加工厂的鸡腿? 基础层：教材第174~175页习题24.2第1,3,5题. 甲 74 74 75 74 76 73 76 73 76 75 78 77 74 72 73 乙 75 73 79 72 76 71 73 72 78 74 77 78 80 71 75 解：检查人员从甲、乙两家农副产品加工厂各随机抽取的15个鸡腿分别组戌一个样本，样本数据的平均数分别是 x甲=74+74+⋯+72+731575, x乙=75+73+⋯+71+751575. 样本数据的方差分别是 s甲2=74−752+74−752+⋯+72−752+73−752153, s乙2=75−752+73−752+⋯+71−752+75−752158 由 x甲x乙可知，两家加工厂的鸡腿质量大致相等；由s²<s² 可知，甲加工厂的鸡腿质量更稳定，大小更均匀.因此，快餐公司应该选购甲加工厂的鸡腿. $