上海市第二中学2025-2026学年高二第二学期5月月考数学试卷

2025～2026学年市二中学高二下5月月考数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．两条相交直线的夹角的取值范围是________． 2．若一圆锥底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为________．（结果保留） 3．已知双曲线的左、右焦点分别为、，设点，则的值为________． 4．若，且，则所有可能的值为________． 5．对学校高三年级某班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图．若高校A专业对视力要求不低于0.9，则该班学生中有________人能报考该专业． 6．某校高中一年级共有男生204名，女生221名．徐老师为了解该校高一年级学生的身高情况，采用分 层抽样的方法，随机抽出男生24名，女生n名，则n的值为________． 7．设，且，z与（其中i是虚数单位）在复平面上对应的点分别为与，则线段的长度为________． 8．从编号分别为1、2、3、4、5的5个大小与质地相同的小球中随机取出3个，则恰有2个小球编号相邻的概率为________． 9．已知等差数列的公差，且，则________． 10．已知抛物线：，若第一象限的A，B两点在抛物线上，焦点为F，，， ，则直线的斜率k的值为________． 11．在平面直角坐标系中，圆上一质点A从点出发按逆时针方向做匀速圆周运动，角速度大小为1弧度/秒，该圆上另一质点B同时从点出发按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度大 小也为1弧度/秒，设运动时间为秒．当与夹角最大时，所有满足条件的x的取值组 成的集合为________． 12．半径为2的球O内部有一定点P，，过点P作该球的截面，将该球分为两部分，体积分别为、．类比教材中利用祖暅原理推导球体积的方法，可求得的最小值为________． 二、单选题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．如果事件与事件独立，且，，、分别是、的对立事件，那么以下等式一定成立的是（ ）． A． B． C． D． 14．如图，正方体中，、分别是线段、线段的中点．则以下和直线相交的是直线（ ）． A． B． C． D． 15．若存在实数、，使得函数的图像将圆：分成周长、面积均相等的两部分，则称函数为“美好函数”．若从“，，，，，”这6个表达式中随机选一个，则函数是“美好函数”的概率为（ ）． A． B． C． D． 16．给定两个不共线的向量、，且对任意正整数，和同时成立．则关于以下两个命题的判断，正确的是（ ）． ①对任意正偶数，均存在正整数，使得与共线； ②存在正整数，对任意正偶数，均有与不共线． A．①、②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①、②都错误 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17．已知数列的前项和（为正整数），其中为非零实数． （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前三项依次成等比数列，求实数的值． 18．设（其中）． （1）若，、、为的三个内角，其中，，，求线段的长度； （2）若函数最小正周期为，求函数的值域． 19．药物临床试验是确证新药有效性和安全性必不可少的步骤．某新药临床试验将14位病人志愿者平均分为、两组，他们服用该药物后的康复时间记录如下： 组：，，，，，，； 组：，，，，，，，其中为实数．假设所有病人的康复时间互相独立． （1）从组随机选1人记为甲，求甲的康复时间不少于组第60百分位数的概率； （2）若组病人康复时间的方差小于组病人康复时间的方差，求实数的取值范围． 20．如图，已知直三棱柱所有棱长均为2．过线段中点作平面平面，设点为平面与线段的交点． （1）求直线与平面所成角的大小； （2）求证：，并求点到直线的距离． 21．如图，已知半椭圆：与半椭圆：组成的曲线称为“果圆”．“果圆”与轴、轴的交点分别为、、、． （1）写出半椭圆所在椭圆的离心率，并计算四边形的面积； （2）设平行于的直线交于、两点．若，求直线的方程； （3）若封闭曲线在“果圆”的内部（含边界），则可用曲线拟合“果圆”，将曲线与“果圆”面积的比值记为“拟合系数”，其中．问是否存在圆心在轴上的圆，使得圆的拟合系数比四边形的拟合系数更大？若存在，求出拟合系数最大时圆的圆心坐标和半径；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $2025~2026学年市二中学高二下5月月考数学试卷 一、填空题 4. 下 5π 2.2π 3.4 66 5.20 6.26 7.2 3 8. 9.-2415 10. 5 11. 3π7π 2 4’4 12. 27 二、单选题 13.C 14.D 15.A 16.A 三、解答题 a+3,n=1 17.【答案】(1)an= 2n+l,n≥2，n∈N (2)19 【解析】(1)数列{an}的前n项和Sn=n2+2n+a, 当n≥2时，a,=S。-Sn-1=m2+2n+a-(n-12+2(n-1)+a=2n+1, 而a1=S,=a+3,a≠0，不满足上式， a+3,n=1 所以an= 2n+1,n≥2，n∈N (2)依题意，S1=a+3,S2=a+8,S3=a+15, 由数列{S}的前三项依次成等比数列，得(a+3到(a+15)=(a+82,解得a=19 19时，S,S,S均不为0，所以a=19 当a 2 18.【答案】(1)√2； (2)「-2，] 【解析】I)因为@=1，则f=sinx,所以sinC=2 3,sin8=2 2 2× 又AB=2,由正弦定理 AC AB ,得到AC=ABsin B 3 =V2. sin B sin C sinC2√2 3 （2)由题知2亚=元，得到0=2，所以f(d=sin2x, 0 y=sin2x +cos'x-sin'x=sin2x+cos2x=simx+ 又-1≤si 2x+s1则-5y. 所以函数y=f(x)+cos2x-sin2x的值域为[-V2,V2]. 8【客10)多 (2)(11,18) 【解析】(1)由7×60%=4.2，得A组第60百分位数为第5个数：14.5，A组中康复时间不少于14.5共 有3人， 故从A组随机选1人记为甲，求甲的康复时间不少于A组第60百分位数的概率为 (2)A组病人康复时间的平均数x=10.5+11.5+12.5+13.5+14.5+15.5+16.5)=13.5: 4组端入康复时间的方差为S=[-3到+(-22+-+02+1P+22+3]=4: 9喷人来复间的平商殿-2+13+14+15+16：17+e]-87 B组病人康复时间的方差为： 8-"8,2 由S<S,得： ",24 化简，得a2-29a+198<0,解得11<a<18. 故实数a的取值范围是(11,18). 20.【答案】(1)arctan2; (2)f9 2 【解析】(1)在直三棱柱ABC-AB,C,中，有AA⊥平面ABC, 所以∠A,MA即为直线A,M与平面ABC所成角的平面角， 因为点M为AC的中点，所以AM=1,AA=2, 所以an∠4MA=44=2. AM 即直线A,M与平面ABC所成角的为arctan2; (2)因为平面a∥平面ABB,A,且MNc平面a, 所以MN∥平面ABB,A, 因为MNc平面AAC,C,AAc平面AACC, 所以MNI∥AA, 连接AN,BN,BM, 在直三棱柱ABC-A,B,C,中，底面ABC为正三角形， 所以BM=√AB2-AM2=V5,BN=VBM2+MN2=√万，AN=√AM2+MN2=√5， 在△WAB中，cos∠NMB=AN2+AB2-BN2V5 则sin∠N4B=-coN1B=O5 2AN·AB10 10 所以点N到直线AB的距离为4Nsin∠NHB=V5×_9 102 .【答案】)e=·S=3V3 (2)y=5r-i65 4 (3)存在，圆心 半径为2 【解析】(1)根据题意可知A(2,0),B,(0,-V⑤，B,0,V⑤)，4，(-1,0)， 所以半椭圆r的离心率为e=C-V02-B。1 aa 2 匹边形4品4，的面灵为5方25×1+2到=35。 (2》由AB,的斜幸=5-0-5，可设1的方程为y=V5x+mm<0. 0-（-1） 将它与工的方程联立，消y整理得15x2+8√3mx+4m2-12=0, 设Mx,y),N(x2,y2),则有， △=192m2-604m2-12=720-48m2>0 火1+X2=- 8N3m>0 ,解得-5<m<-√5， 15 XX2= 42-12>0 15 2 又因为MN=-x+0-=2G+广-4x6=2 8V3m 4m2-1 -4 15 15 2=4,B2=2, 化简可得m2=165 结合-√5<m<-V3, 16 V165 解得m= 4 故直线1的方程为y=V5x-65 4 (3)依题意，只需要比较在“果圆”内部的圆的面积最大值与四边形A,B,A,B2面积即可. 设圆C的圆心C(m,0),半径为r,则圆C的方程为(x-m)2+y2=r2, 易有以原点为圆心的单位圆在“果圆”内部， 故应该有m∈0,1,1sr<44_3。 2 设rl有在童-点P2 .0j,ae引，则r≤pc0sa9s1 PC=V2co30-m2+3sin20=cos0-2m2+3-3m2, 当e0时，6o0=2所，p=5-丽： 当me时，cos0=I时PC=2-m, 同理，设r,上有任意-点Qfcosa,5sina),a∈[行买，可有QCL-1+m 22 min 记f(m)= m2-mm+为 易有，当m=时，人m侧)多此时周面积S=2-资>35. 4 故顾心为行0，半径为的，餐合腿意。