精品解析：江苏扬州市广陵区扬州大学附属中学2025-2026学年高一下学期阶段练习二数学试题

扬州大学附属中学2025-2026学年度第二学期 高一数学阶段练习二 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知分别为的三个内角的对边，若，则角（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】在中，， 由正弦定理得， 由，得，所以. 2. 如图，已知，用，表示，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量加法和减法的三角形法则即可求解. 【详解】解：， ， 故选：C. 3. 如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由斜二测画法原理将直观图转化为原图，得出三角形是直角三角形，求出两直角边的长，再计算三角形面积即可求解. 【详解】由直观图作出原图如图所示： 直观图中：是等腰直角三角形，， 所以 在原图中，，，且， 所以原三角形面积是， 故选：B 4. 已知a，b，c表示三条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【详解】选项A：若，，则或，所以A错误； 选项B：若，则与的夹角等于与的夹角，又，所以，所以B正确； 选项C：若，，则或与异面，所以C错误； 选项D：若，，则与可能平行，可能相交，也可能，所以D错误. 5. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出的值，然后利用两角差的余弦公式可求得的值. 【详解】因为，则， 所以，， 因此， . 故选：C. 6. 把一个正四面体的四个面按如下方案涂色：第一个面涂红色，第二个面涂黄色，第三个面涂蓝色，第四个面分成三块区域分别涂上述三种颜色，将该四面体抛掷在一个平面上，记事件“四面体有红色的面落在平面上”，记事件“四面体有黄色的面落在平面上”，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将积事件所代表的事件表示出来，利用古典概型的概率计算公式计算概率． 【详解】根据题意，正四面体的四个面中，有红色的面有2个，有黄色的面有2个， 所代表的事既有红色的面也有黄色的面落在平面上，仅有一个， 故． 7. 如图，在长方体中，，且为的中点，则直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，可得直线与所成角即为直线与所成的，在中由余弦定理可得答案. 【详解】取的中点，连接，所以， 直线与所成角即为直线与所成的， 所以，， ， 在中由余弦定理可得, 因为，所以. 故选：C. 8. 在锐角三角形中，角的对边分别是，若的面积，则的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形面积公式和正弦定理得到，再结合，得到，进而结合基本不等式即可求解. 【详解】在中，，即， 由正弦定理得：， 由知，于是得； 因是锐角三角形，则，即， 而函数在上单调递增，则有， 由得： ， 则， ， 当且仅当，即时取“”， 所以，当，时，取最小值8. 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】，所以A正确； ，所以B错误； ，所以C错误； ，所以D正确. 10. 如图，在三棱柱中，，，，分别为，，，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. ，，，四点共面 B. C. ，，三线共点 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断AB；利用平面公理判断得，的交点在，从而可判断C；举反例即可判断D. 【详解】对于AB，如图，连接，， 因为是的中位线，所以， 因为，且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，所以四点共面，AB正确； 对于C，如图，延长，相交于点， 因为，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面， 因为平面平面， 所以，所以三线共点，C正确； 对于D，因为，当时，， 又，则，D错误. 故选：ABC 11. 在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若，则符合条件的有两个 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则为直角三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，使用正弦定理即可证明；对于B，使用余弦定理解出全部的即可证明有两解；对于C，给出一组反例即可否定；对于D，使用和差化积以及积化和差公式即可证明或. 【详解】对于A，由已知有，故，所以，故A正确； 对于B，我们只需要确定满足条件的的个数，由余弦定理知满足的方程是，即，而该方程有两个解，故B正确； 对于C，若，，，则，但不是等腰三角形，故C错误； 对于D，若，则有. 故，从而. 这表明或，即或，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一名同学在电脑上进行答题测试，每套测试题可从题库中随机抽取，在一轮答题中，能够通过测试的概率是，若该同学答题两轮，则恰有一轮通过测试的概率为______.（结果以既约分数表示） 【答案】 【解析】 【详解】由题设，该同学能通过测试的轮数为，则， 所以该同学答题两轮，则恰有一轮通过测试的概率为. 13. 如图，在三棱柱中，E是棱上的一点，且，D是棱BC上一点.若平面ADE，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】连接相交于，根据线面平行的性质及可得答案. 【详解】连接相交于点，连接， 因为平面，平面平面，平面， 所以，所以， 因为，所以， 所以，即， 可得. 故答案为：. 14. 已知的外接圆圆心为O，点G满足，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，点G为的重心，三条中线的交点，O为的外心，三条垂直平分线的交点，利用中线和垂直的特点，将所求向量转化为已知向量，利用数量积的计算法则进行计算． 【详解】如图所示，设D，E，F分别为，，的中点，连接，， 因为点G满足，可得点G为的重心，所以， 又因为，所以， 又因为是的外心，所以，， 因为，，则 ． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 一个学习小组有5名同学，其中3名男生、2名女生，从这个小组中任意选出3名同学，求： （1）男生甲被选中的概率； （2）选出的同学中至少有一名女生的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）（2）应用组合数及古典概型的概率求法求对应概率即可. 【小问1详解】 由题，男生甲被选中，其余两人从余下的4人中选，则其概率为； 【小问2详解】 由题意，选出的同学中至少有一名女生的概率为. 16. 已知向量，． （1）若，求； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由得，由两角和的正切公式得到的值； （2）由向量数量积的坐标运算得，因为，利用诱导公式求得的值. 【小问1详解】 因为，所以，所以， 所以. 【小问2详解】 ，所以， . 17. 某社区规划在小区内建立一个如图所示的圆形休闲区，经调研确定，该圆内接四边形为儿童娱乐设施建筑用地，，. （1）求和； （2）若A，C，D不动，在圆弧上取一点E，使得儿童娱乐设施的新建筑用地的面积最大，并求出最大值. 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理求出，，进而求得结果. （2）根据余弦定理、基本不等式的性质以及三角形面积公式计算即可. 【小问1详解】 连接，由题意可得，则①. 由余弦定理可得， 则②. 由①②可得，，从而，. 【小问2详解】 由余弦定理可得.由（1）可得， 由余弦定理可得， 则，当且仅当时取等号， 从而的面积. 由（1）可知的面积为， 则儿童娱乐设施的新建筑用地的面积为. 18. 如图所示，在四棱锥中，平面，底面是矩形且，，E、F分别是、的中点. （1）求证：直线平面； （2）求证：直线平面. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）取中点H，可证明，从而可证直线平面. （2）先证明平面，再利用（1）的可得直线平面. 【详解】证明：（1）取中点H，连接，， 易知为的一条中位线，故，且， 又E为中点，为矩形， ∴，且，∴，且， ∴四边形为平行四边形，∴， ∵不在平面内，在平面内，∴平面. （2）∵，H为中点， ∴，又平面，在平面内， ∴，又，，且，均在平面内， ∴平面， 又在平面内， ∴， 又，且都在平面内， ∴平面， 又， ∴平面. 【点睛】本题考查线面平行与线面垂直的证明，线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行. 线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线 19. 在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. （1）求角C； （2）若，点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，且，求边长a的值； （3）若，求△ABC的周长取值范围. 【答案】（1） （2）4 （3） 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理，三角函数恒等变换进行化简即可求解 (2)利用三角形面积公式，结合等面积法列方程求解 (3)利用正弦定理化简，构造新的函数，求函数的值域 【小问1详解】 已知，由正弦定理得， 又， 所以， 即， 因为，所以，故，即， 又，所以； 【小问2详解】 由（1）知，， 又为的平分线，故， 其中， 由三角形面积公式得， ， 又， 显然，即，解得. 【小问3详解】 ∵ ∴ ∴ ∴ 由是锐角三角形得，， ， ∴ ∴ ∴周长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬州大学附属中学2025-2026学年度第二学期 高一数学阶段练习二 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知分别为的三个内角的对边，若，则角（ ） A. 或 B. C. D. 2. 如图，已知，用，表示，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形面积是（ ） A. B. C. D. 4. 已知a，b，c表示三条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 把一个正四面体的四个面按如下方案涂色：第一个面涂红色，第二个面涂黄色，第三个面涂蓝色，第四个面分成三块区域分别涂上述三种颜色，将该四面体抛掷在一个平面上，记事件“四面体有红色的面落在平面上”，记事件“四面体有黄色的面落在平面上”，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在长方体中，，且为的中点，则直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角三角形中，角的对边分别是，若的面积，则的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在三棱柱中，，，，分别为，，，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. ，，，四点共面 B. C. ，，三线共点 D. 11. 在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若，则符合条件的有两个 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则为直角三角形 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一名同学在电脑上进行答题测试，每套测试题可从题库中随机抽取，在一轮答题中，能够通过测试的概率是，若该同学答题两轮，则恰有一轮通过测试的概率为______.（结果以既约分数表示） 13. 如图，在三棱柱中，E是棱上的一点，且，D是棱BC上一点.若平面ADE，则的值为________. 14. 已知的外接圆圆心为O，点G满足，若，，则______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 一个学习小组有5名同学，其中3名男生、2名女生，从这个小组中任意选出3名同学，求： （1）男生甲被选中的概率； （2）选出的同学中至少有一名女生的概率. 16. 已知向量，． （1）若，求； （2）若，求． 17. 某社区规划在小区内建立一个如图所示的圆形休闲区，经调研确定，该圆内接四边形为儿童娱乐设施建筑用地，，. （1）求和； （2）若A，C，D不动，在圆弧上取一点E，使得儿童娱乐设施的新建筑用地的面积最大，并求出最大值. 18. 如图所示，在四棱锥中，平面，底面是矩形且，，E、F分别是、的中点. （1）求证：直线平面； （2）求证：直线平面. 19. 在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. （1）求角C； （2）若，点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，且，求边长a的值； （3）若，求△ABC的周长取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $