精品解析：江苏扬州大学附属中学2025-2026学年度第二学期高一年级数学阶段练习1

2025-2026学年度第二学期高一年级数学阶段练习1 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 甲、乙两名射击运动员进行比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则至少有一人中靶的概率为（ ） A. 0.26 B. 0.28 C. 0.72 D. 0.98 3. 化简的值为 A. B. C. - D. - 4. 已知，，，则值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面向量且，则一定共线的三点是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 已知向量满足，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 7. 如图，在中，，，交于F，设，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，扇形的半径为1，圆心角，点在弧上运动，，则的最小值是（ ） A. 0 B. C. 2 D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列各式的值为的是（ ） A. B. C. D. 10. 一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有数字1，2，3，…，9.从袋中任意抽取1张卡片，记“抽出的卡片号为1，4，7”为事件A，“抽出的卡片号小于7”为事件，“抽出的卡片号大于7”记为事件.下列说法正确的是（ ） A. 事件A与事件是互斥事件 B. 事件A与事件是互斥事件 C. 事件A与事件相互独立 D. 事件与事件是对立事件 11. 在△ABC中，，F是AC的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，点D在线段BC的延长线上，则 B. 若E是AB的中点，BF与CE相交于点Q，则 C. 若点P在线段AC上，则的值可以是－ D. 若E是线段AB上一动点，则为定值 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，则在上投影向量的坐标为_______. 13 __________. 14. 已知为单位向量，设向量，向量的夹角为，若，求的取值范围__________. 四、解答题（本题共小题，共分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知向量. （1）求； （2）设的夹角为，求的值； （3）若向量与互相垂直，求的值. 16. 一个盒中装有编号分别为1,2,3,4的四个形状大小完全相同的小球. （1）从盒中任取两球，求取出的球的编号之和大于5的概率. （2）从盒中任取一球，记下该球的编号，将球放回，再从盒中任取一球，记下该球的编号，求的概率. 17. 已知，，且，求： （1）的值； （2）值； （3）的值． 18. 如图，分别是菱形的边和上的动点，且. （1）若分别是的中点，求； （2）若分别是的中点，是线段上的任意一点，求的最大值； （3）若分别为线段和上的动点，且，求的取值范围. 19. 设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为：，向量称为函数的“相伴向量.” （1）设函数，求“相伴向量”； （2）记的“相伴函数”为，若函数与直线有且仅有四个不同的交点，求实数的取值范围； （3）记的“相伴函数”为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期高一年级数学阶段练习1 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量线性运算的坐标表示及共线向量的坐标表示，列式求解. 【详解】由，得，则， 由，得，所以. 故选：C 2. 甲、乙两名射击运动员进行比赛，甲中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则至少有一人中靶的概率为（ ） A. 0.26 B. 0.28 C. 0.72 D. 0.98 【答案】D 【解析】 【分析】利用对立事件和独立事件概率的求法即可得到答案. 【详解】由题意，甲不中靶的概率为，乙不中靶的概率为，所以至少有一人中靶的概率为：. 故选：D. 3. 化简的值为 A. B. C. - D. - 【答案】A 【解析】 【分析】先将75°统一成15°，利用余弦和的公式化简即可． 【详解】cos 15°cos 45°－cos 75°sin 45°=，故选A 【点睛】余弦和差公式为,． 4. 已知，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先由的范围及同角三角函数的平方关系和商数关系得出，再根据诱导公式得出，由两角差的正切公式计算即可． 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 又因为， 所以， 所以， 故选：A． 5. 已知平面向量且，则一定共线的三点是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】先考虑向量共线时，的位置关系，再考虑向量不共线时，利用向量共线定理和平面向量基本定理逐项判断即可. 【详解】若向量共线，则共线，此时共线， 当向量不共线时， 对于A选项， ，所以三点共线，A正确； 对于B选项，设 ，则 ，即 无解，B错误； 对于C选项，设 ，则 ，即 ，无解，C错误； 对于D选项， ，设 ， 即 ，即 ，无解，D错误． 故选：A 6. 已知向量满足，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据得，进而得，即可得. 【详解】因为，所以， 故. 故选：B 7. 如图，在中，，，交于F，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用共线向量定理的推论结合已知条件可得，，从而可得，求出可得答案 【详解】因为，， 所以， 因三点共线， 所以， 因为三点共线， 所以， 所以，解得， 所以， 故选：B 8. 如图，扇形的半径为1，圆心角，点在弧上运动，，则的最小值是（ ） A. 0 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为轴，以为原点，建立坐标系，设，，根据平面向量基本定理的坐标运算可得：，再利用三角函数的有界性，即可得到答案； 【详解】解：以为轴，以为原点，建立坐标系，如图， 设，， 则，，， ∵， ∴ ， ∴， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，， 即的最小值为． 故选：D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列各式的值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据三角恒等变换逐个选项计算即可. 【详解】对A，因为， 故，故，故A正确； 对B， ，故B错误； 对C，，故C正确； 对D，，故D错误. 故选：AC． 10. 一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有数字1，2，3，…，9.从袋中任意抽取1张卡片，记“抽出的卡片号为1，4，7”为事件A，“抽出的卡片号小于7”为事件，“抽出的卡片号大于7”记为事件.下列说法正确的是（ ） A. 事件A与事件是互斥事件 B. 事件A与事件是互斥事件 C. 事件A与事件相互独立 D. 事件与事件是对立事件 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意利用列举法求和，结合互斥事件、独立事件和对立事件的定义逐项分析判断. 【详解】由题意可知：样本空间， 则，可得， 对于选项A：因为，所以事件A与事件是互斥事件，故A正确； 对于选项B：因为，所以事件A与事件不是互斥事件，故B错误； 对于选项C：由选项B可知，则， 可知，所以事件A与事件相互独立，故C正确； 对于选项D：因为， 所以事件与事件不是对立事件，故D错误； 故选：AC. 11. 在△ABC中，，F是AC的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，点D在线段BC的延长线上，则 B. 若E是AB的中点，BF与CE相交于点Q，则 C. 若点P在线段AC上，则的值可以是－ D. 若E是线段AB上一动点，则为定值 【答案】AD 【解析】 【分析】以 为基底，按题中要求表示出相关的向量，用数量积的公式计算即可. 【详解】选项A：若 ，则 ，则 ，故A正确. 选项B：令 ，则 所以 ； 令 ，则 . 所以 即 ，故B不正确. 选项C：设 ， ，则 不妨设 ，则 当 时， ，即 ，所以不存在，故C不正确. 选项D：设 ，则 因为 ， 所以 所以 (定值)，故D正确. 故选：AD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，则在上的投影向量的坐标为_______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再由投影向量的坐标表示求出即可. 【详解】由题意可得， 在上的投影向量为， 所以在上的投影向量的坐标为， 故答案为：. 13. __________. 【答案】 【解析】 【分析】将正切化为正弦与余弦的比后通分，再根据，结合余弦的差角公式求解即可. 【详解】 14. 已知为单位向量，设向量，向量的夹角为，若，求的取值范围__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知及数量积的运算律求得，，，再应用数量积的夹角公式求的范围. 【详解】由， 所以，故， 又，， 所以 ，而，所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据已知得到为关键. 四、解答题（本题共小题，共分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知向量. （1）求； （2）设的夹角为，求的值； （3）若向量与互相垂直，求的值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示及模的坐标表示计算即得. （2）利用向量夹角的坐标表示计算即得. （3）利用向量线性运算的坐标表示，向量垂直的坐标表示列式计算即得. 【小问1详解】 由，得， 所以. 【小问2详解】 设的夹角为，则. 【小问3详解】 由，得， 由向量与互相垂直得，， 所以， 化简得，解得. 16. 一个盒中装有编号分别为1,2,3,4的四个形状大小完全相同的小球. （1）从盒中任取两球，求取出的球的编号之和大于5的概率. （2）从盒中任取一球，记下该球的编号，将球放回，再从盒中任取一球，记下该球的编号，求的概率. 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【详解】试题分析： （1）从盒中任取两球的基本事件有 六种情况.其中满足编号之和大于5的事件有两种情况，根据古典概型的概率公式即可求出结果；（2）有放回的连续去球有共16个基本事件，而满足的共6个基本事件，根据古典概型的概率公式即可求出结果. 试题解析： 解：（1）从盒中任取两球基本事件有 六种情况. 编号之和大于5的事件有两种情况， 故编号之和大于5的概率为. （2）有放回的连续去球有 共16个基本事件，而包含 ，共6个基本事件，所以得概率为. 17 已知，，且，求： （1）的值； （2）的值； （3）的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 且，． 【小问2详解】 且，， 又，，又， ，． 小问3详解】 由（1）（2）知，， ， 又，． 18. 如图，分别是菱形的边和上的动点，且. （1）若分别是的中点，求； （2）若分别是的中点，是线段上的任意一点，求的最大值； （3）若分别为线段和上的动点，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以点为原点建立平面直角坐标系，求出向量的坐标，即可求； （2）设，求出，，表示出，利用二次函数的性质可得答案； （3）设，表示出，利用二次函数的性质可得答案. 【小问1详解】 以点为原点建立平面直角坐标系，如图所示：则， ，由分别是的中点， ， ； 【小问2详解】 由（1）知，设，则， .当时，取得最大值为-2. 【小问3详解】 设，由得，，当时， 取得最大值为，当时，取得最小值为的范围为 19. 设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为：，向量称为函数的“相伴向量.” （1）设函数，求的“相伴向量”； （2）记的“相伴函数”为，若函数与直线有且仅有四个不同的交点，求实数的取值范围； （3）记的“相伴函数”为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）展开整理得，再结合“相伴向量”的定义求解即可； （2）根据题意，求得的解析式，研究函数的单调性，作出的图象，再根据交点个数，利用数形结合的方法求解即可； （3）根据题意，将问题转化为对任意恒成立，再根据恒成立问题求解最值即可. 【小问1详解】 解：， 所以函数的“相伴向量”； 【小问2详解】 解：由题知：， ， 因为时，；时， 所以，在单调递增，单调递减，单调递增，单调递减 又， 所以的函数图象大致如图： 所以，当图象与有且仅有四个不同的交点时，， 所以，实数的取值范围为； 【小问3详解】 解：由题得， 所以， 由题得， 所以， 因为，， 所以对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 设，当时，取到最大值， 所以，即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $