河南周口市项城市第二高级中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试卷

**基本信息** 以宁波马拉松志愿者分配、新能源汽车偏好调查等真实情境为载体，覆盖函数导数、概率统计、数列等核心知识，通过分层设问考查数学眼光观察、数学思维推理及数学语言表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|导数计算、数列求和、二项式系数、古典概型|第4题结合志愿服务情境考查分步计数原理，体现应用意识| |多选题|3/18|回归分析、正态分布、函数切线|第9题以生活垃圾处理量为背景，考查回归方程应用，培养数据观念| |填空题|3/15|正态分布、曲线切线、独立重复试验|第14题通过摸球获奖设计，考查二项分布，强化数学建模| |解答题|5/77|数列通项与错位相减、二项式定理、概率分布列、独立性检验、函数极值与零点|第18题结合新能源汽车调查，融合独立性检验与分层抽样，第19题函数零点问题考查逻辑推理，凸显综合性与创新性|

高二（下）5月期中数学试卷 1、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．已知函数，则f′（1）＝（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝2，S20﹣S15＝8，则S10＝（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．在的二项展开式中，第4项的二项式系数是（　　） A．56 B．﹣56 C．70 D．﹣70 4．在2026年3月15日举行的宁波市马拉松比赛活动中，有4位志愿者被派往A、B两个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，则不同的分配方案有（　　） A．6种 B．12种 C．14种 D．28种 5．连续抛掷一枚质地均匀的硬币8次，每次正面向上得2分，反面向上得﹣1分，记总得分为X，则（　　） A．E（X）＝8 B．E（X）＝12 C．D（X）＝6 D．D（X）＝18 6．掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件A为“两次的点数之和大于6”，事件B为“两次点数中的最小点数为3”，则P（B|A）＝（　　） A． B． C． D． 7．长时间玩手机会影响视力．据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为．现从该校随机调查一名学生，他近视的概率大约是（　　） A． B． C． D． 8．若函数f（x）＝lnx﹣m（x﹣1）2恰有两个极值点，则实数m的取值范围为（　　） A． B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） C．（﹣∞，﹣2） D． 2、 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分。 9．下表是我国2021年至2025年生活垃圾无害化处理量y（单位：亿吨）与年份代码x（1﹣5分别对应2021﹣2025）的相关数据．根据表中数据求得y关于x的经验回归方程为，则（　　） x 1 2 3 4 5 y 12 18 25 30 34 A．x与y正相关 B．回归直线过点（3，24） C． D．预测2030年生活垃圾无害化处理量为60亿吨 10．下列说法正确的是（　　） A．随机变量X∼N（1，22），则 B．随机变量X服从两点分布，且P（X＝1）＝p，则E（X）＝p C．随机变量ξ的分布列为，则 D．随机变量ξ，η满足2ξ+η＝4，且，则E（η）＝0 11．已知函数f（x）＝2f′（1）lnx+x2，则（　　） A．f′（1）＝﹣2 B．曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x+y﹣3＝0 C．f（x）恰有2个极值点 D．f（x）的图象与x轴恰有2个交点 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（2＜X≤2.5）＝0.36，则P（X＞2.5）＝　 ． 13.若直线y＝﹣3x+m与曲线相切，则实数m的值为　 ． 14．袋中装有标号为1，2，3，4，5且质地、大小相同的5个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是偶数，则获奖．若有4人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是　 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应在答题卡上写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．记Sn为数列{an}的前n项和，已知3Sn＝4an﹣4． （1）求{an}的通项公式； （2）设cn＝（n+1）an，求数列{cn}的前n项和Tn． 16．（15分）已知展开式共有11项． （1）求n的值，并求二项式系数的最大值； （2）求|a0|+|a1|+|a2|+…+|an|的值； （3）求的值． 17．甲、乙、丙三位同学参加一项知识竞赛活动，每人需回答一个问题，已知甲、乙、丙三位同学答对题目的概率分别为，，，且他们答对与否互不影响． （1）已知三人中恰有两人答对题目，求甲答对题目的概率； （2）若答对题目得2分，答错题目扣1分，用X表示甲、乙、丙三位同学的得分之和，求X的分布列与数学期望． 18．截至2025年底，我国新能源汽车保有量达到4397万辆，占汽车总产量的12%．某城市研究小组调查了300名汽车驾驶员对新能源汽车和燃油汽车的偏好程度，将调查结果整理成如下列联表，现统计得出样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的50%，女性驾驶员的样本占样本总数的，偏好燃油汽车的男性驾驶员的样本有120人． 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 120 女性驾驶员 300 （1）请根据已知条件将上述列联表补充完整，并依据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析对燃油汽车和新能源汽车的偏好是否与驾驶员性别有关联？ （2）现从女性驾驶员中按对燃油汽车和新能源汽车的偏好用分层抽样法抽取8人做进一步访谈，然后从这8人中随机抽取3人填写调查问卷，记抽取的3人中偏好新能源汽车的人数为X，求X的分布列及数学期望． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式及数据：． 19．已知函数，a∈R． （1）当a＝1时，求函数f（x）的极值； （2）讨论函数y＝f（x）的单调性； （3）若函数y＝f（x）有两个零点，求a的取值范围． 高二（下）5月期中数学试卷（解析版） 2、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．已知函数，则f′（1）＝（　D　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝2，S20﹣S15＝8，则S10＝（　B　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．在的二项展开式中，第4项的二项式系数是（　A　） A．56 B．﹣56 C．70 D．﹣70 4．在2026年3月15日举行的宁波市马拉松比赛活动中，有4位志愿者被派往A、B两个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，则不同的分配方案有（　C　） A．6种 B．12种 C．14种 D．28种 5．连续抛掷一枚质地均匀的硬币8次，每次正面向上得2分，反面向上得﹣1分，记总得分为X，则（　D　） A．E（X）＝8 B．E（X）＝12 C．D（X）＝6 D．D（X）＝18 6．掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件A为“两次的点数之和大于6”，事件B为“两次点数中的最小点数为3”，则P（B|A）＝（B　　） A． B． C． D． 7．长时间玩手机会影响视力．据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为．现从该校随机调查一名学生，他近视的概率大约是（B　　） A． B． C． D． 8．若函数f（x）＝lnx﹣m（x﹣1）2恰有两个极值点，则实数m的取值范围为（　D　） A． B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） C．（﹣∞，﹣2） D． 4、 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分。 9．下表是我国2021年至2025年生活垃圾无害化处理量y（单位：亿吨）与年份代码x（1﹣5分别对应2021﹣2025）的相关数据．根据表中数据求得y关于x的经验回归方程为，则（　ABC　） x 1 2 3 4 5 y 12 18 25 30 34 A．x与y正相关 B．回归直线过点（3，24） C． D．预测2030年生活垃圾无害化处理量为60亿吨 10．下列说法正确的是（ABD　　） A．随机变量X∼N（1，22），则 B．随机变量X服从两点分布，且P（X＝1）＝p，则E（X）＝p C．随机变量ξ的分布列为，则 D．随机变量ξ，η满足2ξ+η＝4，且，则E（η）＝0 11．已知函数f（x）＝2f′（1）lnx+x2，则（ABD　　） A．f′（1）＝﹣2 B．曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x+y﹣3＝0 C．f（x）恰有2个极值点 D．f（x）的图象与x轴恰有2个交点 5、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（2＜X≤2.5）＝0.36，则P（X＞2.5）＝ 　0.14　 ． 13.若直线y＝﹣3x+m与曲线相切，则实数m的值为　5　 ． 14．袋中装有标号为1，2，3，4，5且质地、大小相同的5个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是偶数，则获奖．若有4人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是　　 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应在答题卡上写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．记Sn为数列{an}的前n项和，已知3Sn＝4an﹣4． （1）求{an}的通项公式； （2）设cn＝（n+1）an，求数列{cn}的前n项和Tn． 【解答】解：（1）记Sn为数列{an}的前n项和，已知3Sn＝4an﹣4， 当n≥2时，由3Sn＝4an﹣4，可得3Sn﹣1＝4an﹣1﹣4， 上面两式相减可得3an＝4an﹣4an﹣1，即an＝4an﹣1， 当n＝1时，3S1＝3a1＝4a1﹣4，解得a1＝4， 所以数列{an}是首项a1＝4，公比为4的等比数列， 故数列{an}的通项公式为． （2）由题设， 则③， 所以④， ③﹣④得 ， ， 所以． 16．（15分）已知展开式共有11项． （1）求n的值，并求二项式系数的最大值； （2）求|a0|+|a1|+|a2|+…+|an|的值； （3）求的值． 【解答】解：（1）因为（2x﹣1）n展开式的项数为n+1，所以n+1＝11，可得n＝10， 由n＝10，可知二项式系数的最大值为； （2）在（2x﹣1）10的展开式中， 含有xk的项为，其中k＝0、1、2、…、n， 结合， 可得xk项的系数， 当k为偶数时，系数ak＞0；k为奇数时，系数ak＜0． 令x＝﹣1代入，可得[2×（﹣1）﹣1]10＝a0﹣a1+a2﹣…+a10＝|a0|+|a1|+…+|a10|， 化简得|a0|+|a1|+…+|a10|＝310； （3）令代入， 可得0， 所以0． 17．甲、乙、丙三位同学参加一项知识竞赛活动，每人需回答一个问题，已知甲、乙、丙三位同学答对题目的概率分别为，，，且他们答对与否互不影响． （1）已知三人中恰有两人答对题目，求甲答对题目的概率； （2）若答对题目得2分，答错题目扣1分，用X表示甲、乙、丙三位同学的得分之和，求X的分布列与数学期望． 【解答】（1）甲、乙、丙答对题目分别记为事件A，B，C，三人中恰有两人答对题目记为事件D， 根据题目甲、乙、丙三位同学参加一项知识竞赛活动，每人需回答一个问题， 已知甲、乙、丙三位同学答对题目的概率分别为，，，且他们答对与否互不影响． ， ， 所以． （2）由题意可知，X的所有可能取值为﹣3，0，3，6， 则， ， ， ． 所以X的分布列为， X ﹣3 0 3 6 P 故． 18．截至2025年底，我国新能源汽车保有量达到4397万辆，占汽车总产量的12%．某城市研究小组调查了300名汽车驾驶员对新能源汽车和燃油汽车的偏好程度，将调查结果整理成如下列联表，现统计得出样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的50%，女性驾驶员的样本占样本总数的，偏好燃油汽车的男性驾驶员的样本有120人． 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 120 女性驾驶员 300 （1）请根据已知条件将上述列联表补充完整，并依据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析对燃油汽车和新能源汽车的偏好是否与驾驶员性别有关联？ （2）现从女性驾驶员中按对燃油汽车和新能源汽车的偏好用分层抽样法抽取8人做进一步访谈，然后从这8人中随机抽取3人填写调查问卷，记抽取的3人中偏好新能源汽车的人数为X，求X的分布列及数学期望． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式及数据：． 【解答】解：（1）因为样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的50%， 故样本中偏好燃油汽车的人数为300×50%＝150， 因为样本中女性驾驶员的样本占样本总数的， 故样本中女性驾驶员的人数为，由题意，列联表补充如下： 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 120 100 220 女性驾驶员 30 50 80 合计 150 150 300 零假设H0为：对燃油汽车和新能源汽车的偏好与驾驶员的性别无关联， 则， 根据小概率值α＝0.01的独立性检验，可以推断H0不成立， 即认为对燃油汽车和新能源汽车的偏好与驾驶员的性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01． （2）由题意，抽取的8人中偏好燃油汽车的人数为人， 偏好新能源汽车的人数为人， 则X的所有可能值为0，1，2，3， ，， ，， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 所以． 19．已知函数，a∈R． （1）当a＝1时，求函数f（x）的极值； （2）讨论函数y＝f（x）的单调性； （3）若函数y＝f（x）有两个零点，求a的取值范围． 【解答】解：（1）由题意函数，所以函数的定义域为（0，+∞）， 对函数求导可得，令f′（x）＜0得0＜x＜1，f′（x）＞0得x＞1， 故f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 故当x＝1时f（x）取极小值，无极大值； （2）由题意函数，a∈R， 对函数求导可得， 当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，故f（x）在（0，+∞）单调递增； 当a＞0时，令f′（x）＜0解得，f′（x）＞0得， 故f（x）在单调递增，在单调递减， 综上所述，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）单调递增； 当a＞0时，f（x）在单调递减，在单调递增； （3）由题意可得有两个不等根，等价于有两个不等根， 令，则， 令得，得， 故g（x）在单调递增，在单调递减， 当x→0时，g（x）→﹣∞，当x→+∞时，g（x）→0，如图所示， 故与要有两个不同交点，则， 解得a＞e，故a的取值范围为（e，+∞）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/25 15:24:28；用户：孙银艳；邮箱：ztbwxx60@xyh.com；学号：27743533 学科网（北京）股份有限公司 $