精品解析：河南驻马店市遂平县第一高级中学2026届高三模拟预测数学试题

2026年普通高等学校招生全国统一考试 数学 （考试时间：120分钟；试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由解得. 因为，所以. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. 11 C. 13 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】设，则 ， 又因为 ，所以，即 则，，所以 3. 已知向量，，在上的投影向量为，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影，及向量的夹角公式即可求解． 【详解】由，则 ， 设向量与的夹角为， 又在上的投影向量为， 则， 即 ，则， 又，所以， 故向量与的夹角为． 4. 关于函数，有如下描述：①的定义域为；②的值域为；③是减函数；④的图象关于点对称．其中描述正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的性质，及函数的对称性逐一判断即可． 【详解】由， 对于①，由，则分母对全体实数都成立，所以的定义域为，故①正确； 对于②，由，则，则，所以的值域为，故②正确； 对于③，由是增函数，则是减函数，所以是增函数，故③错误； 对于④，由，则，所以的图象关于点对称，故④正确． 综上描述正确的个数是3． 5. 函数的所有零点的和是（ ） A. 5 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将函数 的所有零点转化成函数与图象上所有交点的横坐标，数形结合作出与的图象，借助函数图象求得两函数所有交点的横坐标之和即可得解. 【详解】令 ，则 则函数 的所有零点即函数与图象上所有交点的横坐标. 作出与图象如图所示： 由图可知，与共有5个交点， 因为当时， ，所以点是图象 的一个对称中心， 又点在直线上，所以点也是图象的对称中心， 所以两函数除点外的其余4个交点都关于点对称， 所以所有零点的和是. 6. 已知是一个动点，过点分别作直线，的垂线，垂足分别为，.若的面积为，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】设动点坐标，利用点到直线距离公式表示垂线段长度，结合两直线夹角与三角形面积公式建立方程，化简后得到轨迹方程. 【详解】不妨设， 设动点，直线与的一般式为、， 由点到直线的距离公式，得，. 直线与的夹角为，由， 得与两直线夹角互补，故. 由， 即， 化简得，即. 当时，整理为； 当时，整理为. 因此动点的轨迹方程为或. 7. 已知，则（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将已知等式化简，结合，求出，，再将化为，代入求值即可. 【详解】解：由，化简得， ，则， 又，代入解得，， 因为， 所以. 8. 在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，与均为以为斜边的直角三角形．若该三棱锥的外接球的表面积为，则此三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，利用球的表面积公式求出外接球半径，结合三角形的性质和勾股定理求出，结合余弦定理、三角形面积公式及三棱锥体积公式计算求解． 【详解】 记三棱锥外接球的半径为，则，解得， 与均为以为斜边的直角三角形， 中点为外接球球心，故， 在中，，由勾股定理得： ， 同理可得， 取中点，连接， 为等边三角形，边长为2，则，， 中，，故； 又，平面， 故平面，则三棱锥体积为， 中，， 由余弦定理得：， 则， ， ． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量，若 ，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 事件“ ”与事件“”相互独立 【答案】BCD 【解析】 【详解】已知随机变量 ，则正态分布的均值，正态曲线关于对称，方差，逐个分析选项： 选项A：根据方差性质，因此，不等于 ，A错误； 选项B：由对称性得 ，可得 ， 又 ，由对称性得 ，B正确； 选项C： . 由对称性 . 因此，C正确. 选项D：记事件 即  ，事件 ，则 ，概率， ， ，则 ，故相互独立，D正确. 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于，两点，则下列条件中能推出椭圆的离心率为的有（ ） A. 的周长恰好等于椭圆的焦距的4倍 B. 直线的倾斜角为，且 C. 的内心为，的延长线交轴于点，且 D. 在中，和的外角平分线交于点，在中，和的外角平分线交于点，当线段最短时，其长度恰好等于椭圆的长半轴长 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，利用椭圆定义，周长恒为，结合题设可直接得；选项B，联立直线与椭圆方程，结合向量关系，最终推导出；选项C，由角平分线定理和向量比例，得，结合椭圆定义求；选项D，在直线上的投影为定值，结合求解. 【详解】选项A，周长为， 由题意得，故，故，A正确； 选项B，如下图所示，设直线方程为， 设，由得， 联立，消得， 所以，， 将代入得，所以， 又，所以，所以，B错误； 选项C，内心为三角形内角角平分线的交点， 如下图所示， 由角平分线定理，在中，所以， 在中，， 因为，所以，即，C正确； 选项D，过作轴垂线，垂足分别为， 根据角平分线性质可得 ， 又，，且， 所以，即，故点的轨迹方程为， 同理可得点的轨迹方程也为， 过作垂线，垂足为， 线段在直线上的投影为， 因为， 所以， 即线段在直线上的投影为定值， 所以当直线与平行时线段取得最小值， 即，由题意得，所以，D正确. 11. 已知函数，，，则下列命题正确的有（ ） A. 若在上是增函数，则 B. 若有两个正的零点和极值0，则 C. 在函数的图象上不存在能构成平行四边形的四个点 D. 直线与曲线相切于坐标原点的充要条件是 【答案】AB 【解析】 【详解】选项A，，若在上是增函数，则， 所以 ，A正确； 选项B，设有两个正的零点，且其中一个极值为． 因为极值点处函数值为，所以该点对应的零点为二重根． 设这个二重正零点为，另一个正零点为，则，且． 于是 展开得 所以 要证 ，即证 也就是证 由均值不等式， 当且仅当时取等号，但，故 两边立方得 所以 ，B正确． 选项C，取特值，此时，在图像上取， 则有，四边形为平行四边形，C错误； 选项D，若直线与曲线相切于坐标原点，则曲线必须过原点，且在原点处的切线斜率为． 因此需要 由， ，得 仅有不能保证原点在曲线上，例如 时，，曲线不经过原点， 不可能在原点处与直线相切． 所以不是充要条件，D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在今年”五一”的5天长假中，某单位欲从甲、乙等6名安保人员中随机选取5人来安排5月1日至5日的值班，每人值一天班，则甲、乙两人至少有一人在1日或5日值班的概率为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用对立事件简化计算，先求甲、乙均不在1日和5日值班的概率，再通过补集思想得到所求事件的概率. 【详解】从6名安保人员中随机选取5人安排5天值班，总排法数为 . “甲、乙两人至少有一人在1日或5日值班”的对立事件为”甲、乙两人均不在1日和5日值班”， 先从除甲、乙外的4人中选2人安排1日和5日值班，排法数为 ； 再从剩余4人中选3人安排2、3、4日值班，排法数为 . 因此对立事件的排法数为 . 对立事件的概率为 ，故所求概率为 . 13. 已知数列的前项和为，且，，则数列的前项和__________. 【答案】 （或等价形式） 【解析】 【分析】由与的关系，求得，从而得到数列是首项为，公差为的等差数列，求得，进而求得数列的通项公式，再由等比数列的前项和公式求得 【详解】 ，得 ， 即 . 当时， 两式相减，得， 化简，得 ，所以. 当时，. 所以当时，. 又，不满足上式. 所以数列从第2项开始，是公差为的等差数列. 所以. 所以. 所以数列从第2项开始，是公比为的等比数列. 当时，. 符合上式， 所以数列的前项和为. 14. 若对于，，使得不等式成立，则实数的最小值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】换元 ，化不等式为 ，令为不等式左侧表达式（即 ）的最小值，再求最大值即为最小值，分段讨论与 的最小值点. 【详解】对不等式左边整理得 令 （），则​，得在处取最小值 ，故， 不等式左边化为 . 对 （）求最小值： 若 ： ，单调递增，最小值为 ， 因此左边最小值为 ； 若：在 处取最小值 ， 因此左边最小值为 . 由题意可知，对任意都有 成立，因此的最小值为的最大值. 对  ， ， . 令得. 在 上，在 上，故最大值为； 对， ，求导得 ，单调递减，且. 因此的最大值为​，即的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知在中，，. （1）求证：； （2）若边上的中线的长为1，求的面积. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意知，再结合题意得，整理得 ，即，再根据内角和定理即可证明结论； （2）结合（1）得，再结合二倍角公式得，进而得，，根据余弦定理，结合得，再根据正弦定理求得外接圆半径，最后计算面积即可. 【小问1详解】 解：因为，， 所以，即， 所以， 因为，即 因为，中至少有一个为锐角， 所以， 所以， 即 所以 ， 所以，即， 因为， 所以，即. 【小问2详解】 解：由（1）知，即， 所以 ， 因为， 所以， 因为 ，所以 ， 所以， 因为，， 所以，， 因为，所以， 所以，由余弦定理得 ，即 ， 所以 设为外接圆半径， 所以， 所以 ，解得，即， 所以， 所以 16. 在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，，. （1）如图1，若是直角三角形，且，求证：； （2）如图2，若是等边三角形，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质结合已知条件先证明平面，再利用勾股定理证明，最后利用线面垂直的判定定理证明平面，即可证得； （2）建立空间直角坐标系，利用两个平面的夹角的向量求法可得. 【小问1详解】 平面平面， 平面平面， ∵，∴. ∵平面，∴平面. ∵平面，∴. ∵底面是直角梯形，，，， ∴，. ∴ ， ∴. ∴，∴. ∵平面，∴平面. ∵平面，∴. 【小问2详解】 取的中点，则，且. ∵平面平面，平面平面， 平面，∴平面. 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，过且平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系. 则. ∴. 设平面的一个法向量为， 则， 令，. ∴平面的一个法向量为. ∵，∴. ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面. ∴平面的一个法向量为. . ∴平面与平面夹角的余弦值为. 17. 随着网络经济的发展，直播带货的形式越来越受居民的欢迎，它不仅能助力中小商家，使农产品直达消费者，降低流通成本，还能激活消费需求，带动产业链发展，催生主播孵化、供应链服务等新就业形式.某直播平台为了了解该平台店铺每天的直播时长与店铺美誉度的关系，从该平台3190家店铺中随机选择了290家，得到日均直播时长（单位：小时）与店铺美誉度结果的数据如下表所示： 店铺美誉度 日均直播时长/小时 五星好评 39 68 58 22 13 非五星好评 29 34 17 8 2 （1）估计该平台3190家店铺中日均直播时长少于4小时的店铺有多少家？ （2）从日均直播时长在，，三个组的店铺中，采用分层随机抽样的方法抽出了8家店铺，现从这8家店铺中随机抽取3家，记日均直播时长在内的店铺个数为X，求X的分布列和期望； （3）根据小概率值的独立性检验，分析该平台店铺获得五星好评是否与日均直播时长在内有关. 附：，. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）家 （2）的分布列为： 0 1 2 3 期望 （3）依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断该平台店铺获得五星好评与日均直播时长在内有关. 【解析】 【分析】（1）根据样本估计总体知识可求出日均直播时长少于4小时的店铺数； （2）利用超几何分布知识计算日均直播时长在内的店铺个数X分布列和期望； （3）利用独立性检验知识判断平台店铺获得五星好评与日均直播时长在内有无关联. 【小问1详解】 由表可知，样本中直播时长少于4小时的店铺共有 家， 样本容量为290，则时长少于4小时的频率为， 估计该平台3190家店铺中日均直播时长少于4小时的店铺有：家. 【小问2详解】 日均直播时长在，，三个组的店铺数分别为：，，， 三组店铺总数为家，采用分层随机抽样抽取8家，抽样比为， 故三组抽取的店铺数分别为5，2，1； 从这8家店铺中随机抽取3家，其中时长内的店铺个数为5家，另外两个时长的店铺数为3家， 的可能取值为，，，； 由超几何分布知识得；； ；； 的分布列为： 0 1 2 3 【小问3详解】 根据题意，构成列联表如下： 日均直播时长在 日均直播时长不在 合计 五星好评 80 120 200 非五星好评 25 65 90 合计 105 185 290 由公式得 ， 因为 ，根据小概率值的独立性检验， 故没有充分证据推断该平台店铺获得五星好评与日均直播时长在内有关. 18. 过抛物线的焦点且与抛物线的对称轴垂直的弦叫作抛物线的通径.已知抛物线的通径长为4，焦点为. （1）求抛物线的方程； （2）已知过点的直线交抛物线于，两点，点，线段和的延长线分别与抛物线交于，两点.直线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由； （3）已知是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，，三点都在抛物线上，求面积的最小值. 【答案】（1） （2）直线过定点. （3）16 【解析】 【分析】（1）根据题意求得通径长度为，进而得即可求得答案； （2）根据题意，设直线的方程为，，进而得，设，进而得，，再结合抛物线的对称性，不妨设直线过定点，再结合三点共线，根据向量知识得即可； （3）由题意知，不妨设直线的斜率为，则直线的斜率为，直角顶点为，进而得，，同理，用代换得，，再结合得（且）或，（且），再根据，分类得或，最后结合对称性，只需讨论时的情况即可. 【小问1详解】 解：由题意知抛物线的焦点为， 当时，，解得， 所以，由题意知，抛物线的通径长为， 因为的通径长为4，所以，解得， 所以抛物线的方程为 【小问2详解】 解：结合（1）得，直线的斜率不为0， 故设直线的方程为 ，， 联立方程得， 所以，由韦达定理得，， 设，， 设经过的直线（斜率不为0）方程为， 联立方程得， 因为，均为过点的直线与抛物线交点分别为和， 所以，由韦达定理得， 所以，， 又因为， 所以，，即， 根据抛物线的对称性，若直线过定点，则该定点一定在轴上，不妨设该定点为， 因为三点共线，， 所以 ，整理得 ， 因为，， 所以 ，即 因为是抛物线上的两个不同点，故，即， 所以 ，即， 所以直线过定点. 【小问3详解】 解：由题意知，直线的斜率存在， 不妨设直线的斜率为，则直线的斜率为，直角顶点为， 所以直线的方程为， 联立方程得 ， 所以，由韦达定理得，即， 所以， 所以 同理，对于斜率为的直线，，， 因为是以为直角顶点的等腰直角三角形，即， 所以，即， 所以 ，即 ， 因为，， ， 所以 ， 所以（且）或，（且） 所以或， 因为， 所以，当（且）时，， 当，（且），，， 所以，根据对称性，只需考虑时，， 令 ，则 ，， 所以， 令 ， 在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，当时，取得最小值， 此时 ，解得， 代入，，得，， ， 即， 综上，面积的最小值为16. 19. 已知函数，其中． （1）当时，求在处的切线方程； （2）若在上存在两个不同的极值点，，且． ①求实数的取值范围； ②证明：． 【答案】（1） （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义，结合已知条件求解； （2）①求导得出，构造函数，把问题转化为与在有两个不同交点，求导，构造函数，进而分析函数单调性，结合极值分析求出实数的取值范围；②利用极值点的性质得出，进而化简，结合得出，求导并分析函数单调性及最大值，进而证明结论． 【小问1详解】 当时，，则， 切点为， 求导得 ，切线斜率， 故切线方程为：． 【小问2详解】 ①函数求导得， 令，解得， 令，问题转化为与在有两个不同交点， 求导得，令，在内， 零点为， 时， ，单调递减； 时， ，单调递增； 当时，； 当时，； 当时，； ； ②极值点满足， 则， 则， 将代入得到极值点处的单变量表达式：， 求导得， ，时，， 令 ，解得， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 在处取得极大值，即为最大值，， ， 故，在上恒成立，仅当取等号， 由于，且均不等于，故， ，命题得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高等学校招生全国统一考试 数学 （考试时间：120分钟；试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. 11 C. 13 D. 5 3. 已知向量，，在上的投影向量为，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 关于函数，有如下描述：①的定义域为；②的值域为；③是减函数；④的图象关于点对称．其中描述正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 函数的所有零点的和是（ ） A. 5 B. 4 C. D. 6. 已知是一个动点，过点分别作直线，的垂线，垂足分别为，.若的面积为，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 已知，则（ ） A. B. 5 C. D. 8. 在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，与均为以为斜边的直角三角形．若该三棱锥的外接球的表面积为，则此三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量，若 ，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 事件“ ”与事件“”相互独立 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于，两点，则下列条件中能推出椭圆的离心率为的有（ ） A. 的周长恰好等于椭圆的焦距的4倍 B. 直线的倾斜角为，且 C. 的内心为，的延长线交轴于点，且 D. 在中，和的外角平分线交于点，在中，和的外角平分线交于点，当线段最短时，其长度恰好等于椭圆的长半轴长 11. 已知函数，，，则下列命题正确的有（ ） A. 若在上是增函数，则 B. 若有两个正的零点和极值0，则 C. 在函数的图象上不存在能构成平行四边形的四个点 D. 直线与曲线相切于坐标原点的充要条件是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在今年”五一”的5天长假中，某单位欲从甲、乙等6名安保人员中随机选取5人来安排5月1日至5日的值班，每人值一天班，则甲、乙两人至少有一人在1日或5日值班的概率为_________. 13. 已知数列的前项和为，且，，则数列的前项和__________. 14. 若对于，，使得不等式成立，则实数的最小值为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知在中，，. （1）求证：； （2）若边上的中线的长为1，求的面积. 16. 在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，，. （1）如图1，若是直角三角形，且，求证：； （2）如图2，若是等边三角形，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 随着网络经济的发展，直播带货的形式越来越受居民的欢迎，它不仅能助力中小商家，使农产品直达消费者，降低流通成本，还能激活消费需求，带动产业链发展，催生主播孵化、供应链服务等新就业形式.某直播平台为了了解该平台店铺每天的直播时长与店铺美誉度的关系，从该平台3190家店铺中随机选择了290家，得到日均直播时长（单位：小时）与店铺美誉度结果的数据如下表所示： 店铺美誉度 日均直播时长/小时 五星好评 39 68 58 22 13 非五星好评 29 34 17 8 2 （1）估计该平台3190家店铺中日均直播时长少于4小时的店铺有多少家？ （2）从日均直播时长在，，三个组的店铺中，采用分层随机抽样的方法抽出了8家店铺，现从这8家店铺中随机抽取3家，记日均直播时长在内的店铺个数为X，求X的分布列和期望； （3）根据小概率值的独立性检验，分析该平台店铺获得五星好评是否与日均直播时长在内有关. 附：，. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 18. 过抛物线的焦点且与抛物线的对称轴垂直的弦叫作抛物线的通径.已知抛物线的通径长为4，焦点为. （1）求抛物线的方程； （2）已知过点的直线交抛物线于，两点，点，线段和的延长线分别与抛物线交于，两点.直线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由； （3）已知是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，，三点都在抛物线上，求面积的最小值. 19. 已知函数，其中． （1）当时，求在处的切线方程； （2）若在上存在两个不同的极值点，，且． ①求实数的取值范围； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $