精品解析：河南省驻马店高级中学2025-2026学年高三下学期平行部模拟预测数学试题（五）

驻马店高中高三年级平行部模考五 数学 命题人：李四方 审题人：张淑丽 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，且，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，得，进而得到关于的方程，结合集合的性质求解即可. 【详解】由，得， 所以或或，解得或或或. 当时，，，不符合集合元素的互异性，故舍去. 当时，，，不符合集合元素的互异性，故舍去. 当时，，，符合题意. 当时，，，不符合集合元素的互异性，故舍去. 故. 2. 复数的值为（ ） A. B. C. -2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数除法与乘法法则求结果. 【详解】,选A. 【点睛】本题重点考查复数的乘除运算，属于基本题.考查基本求解能力. 3. 已知平面向量为单位向量，且，若，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的运算律，利用夹角计算公式求出余弦值即可. 【详解】由向量，为单位向量，又，知. 因为，则， 所以. 4. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，则c为（ ） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 1或 【答案】C 【解析】 【分析】应用余弦定理计算求解. 【详解】因为，， 由余弦定理得，化简得 则或. 5. 已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，且满足，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设，则，在中，由正弦定理得， 又因为，所以，整理得， 因为为三角形内角，，所以，则， 故，即是以为直角顶点的直角三角形， 在中， ，由勾股定理得，代入，得，解得，所以， 根据椭圆的定义，有，所以， 因此，椭圆的离心率. 6. 已知定义在上的函数 有最小值，但无最大值，则ω的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】， 因为，，则， 又有最小值，但无最大值，所以，解得 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指对数关系及对数运算性质有，即可比较大小. 【详解】由题设，，又， 所以. 故选：D 8. 已知在正三棱台中，，此正三棱台存在内切球，则此正三棱台的高为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由正棱台性质可知内切球与上、下底面切点为上下底的重心，然后由截面图结合勾股定理列出关于球的半径的等量关系。即可求解. 【详解】由题可知上下底正三角形的高分别为， 由几何体结构特征结合题意可知内切球与上、下底面切点为上下底的重心， 如图，取BC和的中点分别为P，Q，上、下底面的中心分别为，， 则． 设内切球的球心为O，半径为，则正三棱台的高， 内切球与相切于点M，根据圆的性质可知，． 则， 如图： 所以，即， 所以正三棱台的高为2 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分.部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9. 2025 湖南省足球联赛以全民参与和城市荣誉为理念，多元融合激活文旅消费，助推体育产业创新，创造经济效益超4亿元.下表是常规赛各队的积分： 永州 队 常德 队 长沙 队 株洲 队 娄底 队 衡阳 队 郴州 队 岳阳 队 益阳队 邵阳队 湘潭 队 怀化队 湘西州队 张家界队 22 26 35 27 23 20 19 19 18 13 11 6 5 4 则下列说法正确的是（ ） A. 积分数据的众数为19 B. 积分数据的第70百分位数为22 C. 积分数据的中位数为19.5 D. 积分最高的4队积分的方差比积分最低的4队积分的方差小 【答案】AB 【解析】 【分析】先从小到大排列，再应用众数，百分位数，中位数及方差定义计算判断各个选项即可. 【详解】将14支球队的积分，按照从小到大的顺序排列：4,5,6,11,13,18,19,19,20,22,23,26,27,35； 积分数据的众数为19，A选项正确； 因为，所以积分数据的第70百分位数为第10个数据，即22，B选项正确； 积分数据的中位数为19，C选项错误； 积分最高的4队积分的平均数为，积分最高的4队积分的方差， 积分最低的4队积分的平均数为，积分最低的4队积分的方差， 所以积分最高的4队积分的方差比积分最低的4队积分的方差大，D选项错误； 10. 已知抛物线，其焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于两点，过分别作的垂线，垂足分别记为，则（ ） A. 是定值 B. 以为直径的圆过点 C. 对于上的任一点恒成立 D. 面积的最小值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合数量积的坐标表示及三角形面积公式求解判断AD；利用抛物线的几何性质推理判断BC. 【详解】抛物线的焦点，准线，设直线，， 由消去，得，则， 对于A，，A正确； 对于B，连接，由， 得，则， 因此以为直径的圆过点，B正确； 对于C，取中点，当为中点时，，则，C错误； 对于D，， 当且仅当时取等号，因此面积的最小值为2，D正确. 11. 已知数列满足，为的前n项和，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. ，使得 D. 为等比数列的充要条件是 【答案】BCD 【解析】 【分析】AB项通过递推数列规则依次求解各项，可得重复项，进而得到周期规律即可判断；C项取特殊首项求和即可；D项从充分性与必要性两个角度证明. 【详解】对于A，由，， ，， ，，， 由递推关系以下过程重复操作，后面各项依次为 所以数列除了外，从开始成周期为3规律， 从到共2025项，2025是3的倍数，所以，故A错误； 对于B，根据选项A可知，，故B正确； 对于C，取，则，则，， 依此下去，对，都有，此时， ，即，使得，故C正确； 对于D，若，则，则，， 依此下去，对，都有，则成立， 故，数列为等比数列； 若数列为等比数列，设公比为， 假设数列中存在某项，则，， 可得，又，解得， 由，可知，故必存在某项，则， 即，这与公比矛盾，假设错误， 即数列中任意一项都小于，自然； 再假设数列中存在某项，则，即， 则由，可知时，，且数列为递增数列， 故存在某项，则，这与数列递增矛盾，假设也错误； 所以数列中也不存在大于且小于的项，又等比数列中各项均不为， 故数列中任意一项均小于，即； 综上所述，为等比数列的充要条件是，故D正确. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则 __________（用数字作答） 【答案】0 【解析】 【分析】利用二项式定理和赋值法求解即可. 【详解】由题意可知，令，则 . 13. 二项分布又称为重伯努利分布，其可视作将次两点分布叠加所得，现对其中的两点分布进行调整，记原两点分布的发生概率为（发生概率即所得结果为1的概率），定义变化后总试验次数为时的发生概率，其中表示总试验次数．现进行一类关于随机变量的二项分布的调整．若当变化后总试验次数为时的发生概率为，总试验次数为时的发生概率为，则在原二项分布中，的最大值为________（用数字解答）． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意先计算，再利用二项分布即可求解. 【详解】由题意知，可知，解得，故， ，，， ，，，，可知的最大值为． 14. 在正方形所在平面内，动点在以点为圆心且与直线相切的圆上，设，则的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】以为原点建系，先求圆的方程，再将向量式转化为点的坐标，把目标式转化为求的最大值，最后用直线与圆相切的几何方法求解，得最大值为． 【详解】如图，设正方形的边长为，以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系， 则各点坐标为，，，， 直线的方程为， 由题意得，圆与直线相切， 所以圆的半径等于点到直线的距离，即， 所以，动点的轨迹方程为， 因为，，所以， 设，则，，所以， 问题转化为：在圆上，求的最大值， 设，即， 当直线与圆相切时，取得最值， 圆心到直线的距离等于半径，即，解得，， 所以，因此，的最大值为． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 2025年春节假期，文旅市场火爆．文化和旅游部公布的数据显示：春节假期8天，全国国内出游5.01亿人次，同比增长；国内出游总花费6770.02亿元，同比增长．某景区的某网红饮品小店统计了春节假期前7天的营业额（单位：千元），得到与的数据如表所示： 第天 1 2 3 4 5 6 7 营业额 7 9 11 13 16 18 17 （1）已知与有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测春节假期第8天的营业额； （2）如果某天营业额大于10（单位：千元），则该天“达标”，从表格中的7组数据中随机选4组，设表示“达标”的数据组数，求的分布列和数学期望． 参考公式：在线性回归方程中，，． 参考数据：，． 【答案】（1），千元 （2） 2 3 4 数学期望为 【解析】 【分析】（1）先求，，结合题中公式求和回归直线方程，代入即可得预测结果； （2）由题意可知的所有可能取值为：2，3，4，结合超几何分别求分布列和期望. 【小问1详解】 由题意可得：，， 则，， 可知线性回归方程为， 当时，， 所以预测春节假期第8天的营业额为千元． 【小问2详解】 由题意可知的所有可能取值为：2，3，4， 则，，， 所以的分布列为 2 3 4 的数学期望为． 16. 如图所示，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，，平面，点M是CD的中点，点N是PB的中点． （1）求证：． （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）取PA的中点E，连接EN，DE， 因为点M是CD的中点，点N是PB的中点， 可得，且，而，且， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，而平面，所以平面平面， 因为平面，平面平面，， 所以平面，而平面，所以，所以； （2）． 【解析】 【分析】（1）取PA的中点E，连接EN，DE，利用中位线定理得到四边形为平行四边形，则，再利用四边形是正方形得到线线垂直，利用面面垂直的判定即可证明； （2）利用空间向量计算二面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以A为坐标原点，以AD，AB，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， ，底面是边长为6的正方形，点M是CD的中点，点N是PB的中点， 则，，，， 所以，， 所以，， 易得平面AMB的法向量， 设平面AMN的法向量为， 则，即，令，则， 可得3，，， 所以， 因为二面角的平面角为锐角，所以它的余弦值为． 17. 已知数列 的前n项和为，对任意 满足 且 数列 满足， ， 其前3项和为 （1）求数列 的通项公式； （2）将数列 的项按照“当n为奇数时，放在前面；当n为偶数时，放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列： 求这个新数列的前33 项和 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求出数列的通项公式，可求出，再由可求出数列的通项公式，由等差中项法可知数列为等差数列，从而可得出数列为等比数列，且设该等比数列的公比为，结合题中条件求出和的值，即可求出数列的通项公式； （2）求出数列的前项和，对进行分类讨论，利用等差数列和等比数列的求和公式可得出. 【小问1详解】 且，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，，. 当时，. 也适合上式，所以，. ，即， 所以，数列为等差数列，设其公差为，则， ，所以，数列是正项等比数列，设其公比为，则. 由题意可得，解得， 因此，； 【小问2详解】 数列的前项和为， 数列的前项和为， ①当时，； ②当时，， 特别地，当时，也适合上式； ③当时，. 综上所述，. 所以. 18. 已知双曲线的离心率为，右焦点为，是双曲线上一点，轴，． （1）求双曲线的标准方程． （2）过点作斜率为的直线交该双曲线于两点，且． （ⅰ）求的值； （ⅱ）若点不在直线上，且点满足：平分，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）将代入双曲线方程，可得，得到，再由，联立求得的值，即可求解； (2)（ⅰ）求得方程为，联立方程组，求得交点坐标，再由，转化为，即可求解； （ⅱ）设，得到，化简得到点的轨迹是一个圆，且圆心满足的方程，进而求得面积最大值. 【小问1详解】 解：设双曲线的右焦点为，将代入双曲线方程，可得， 因为是双曲线上一点，轴，且，所以， 又因为双曲线的离心率为，所以，即， 因为，可得，所以双曲线的标准方程为． 【小问2详解】 解：（ⅰ）由（1）知，所以，且, 可得直线方程为，即， 联立方程组，整理得，即， 解得，，所以，， 因为，可得，即，解得． （ⅱ）设，由三角形内角平分线的性质，可得，即， 即， 化简得， 所以点的轨迹是一个圆，其圆心为，满足的方程， 当面积最大时，高为半径， 又由， 故面积的最大值为． 19. （1）求的最小值． （2）已知函数，，，为的导函数． ①当时，证明：在区间上存在唯一的极大值点； ②若有且仅有两个零点，求m的取值范围． 【答案】（1）0；（2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据导函数得出其单调性即可； （2）①求导，再令，通过正弦函数、余弦函数的单调性分析判断的单调性即可； ②当时，结合（1）知，，得出，当时，分析、在上的单调性以及零点存在性定理可得. 【详解】（1）由，得恒成立． 所以在上单调递增，所以， 所以的最小值为0． （2）（i）当时，，． 令，则． 当时，单调递增， 令，则．所以， 所以也单调递增． 所以当时，，，单调递减， 所以单调递减， 又，， 所以存在，使得． 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以在区间上存在唯一的极大值点． （ii）当时，因为，所以由（1）知，． 所以，当且仅当时，等号成立． 所以只有一个零点0，不符合题意． 当时，且时，，，． 所以，所以在上单调递减． 结合（i）可知，在上单调递增，在上单调递减． 又，，所以存在，使得． 当时，，即，则单调递增． 当时，，即，则单调递减， 所以，．所以存在，使得． 所以在上有且仅有两个零点，即与，满足题意． 综上所述，m的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 驻马店高中高三年级平行部模考五 数学 命题人：李四方 审题人：张淑丽 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，且，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 复数的值为（ ） A. B. C. -2 D. 2 3. 已知平面向量为单位向量，且，若，则=（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，则c为（ ） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 1或 5. 已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，且满足，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知定义在上的函数 有最小值，但无最大值，则ω的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知在正三棱台中，，此正三棱台存在内切球，则此正三棱台的高为（ ） A. 1 B. C. D. 2 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分.部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9. 2025 湖南省足球联赛以全民参与和城市荣誉为理念，多元融合激活文旅消费，助推体育产业创新，创造经济效益超4亿元.下表是常规赛各队的积分： 永州 队 常德 队 长沙 队 株洲 队 娄底 队 衡阳 队 郴州 队 岳阳 队 益阳队 邵阳队 湘潭 队 怀化队 湘西州队 张家界队 22 26 35 27 23 20 19 19 18 13 11 6 5 4 则下列说法正确的是（ ） A. 积分数据的众数为19 B. 积分数据的第70百分位数为22 C. 积分数据的中位数为19.5 D. 积分最高的4队积分的方差比积分最低的4队积分的方差小 10. 已知抛物线，其焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于两点，过分别作的垂线，垂足分别记为，则（ ） A. 是定值 B. 以为直径的圆过点 C. 对于上的任一点恒成立 D. 面积的最小值为2 11. 已知数列满足，为的前n项和，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. ，使得 D. 为等比数列的充要条件是 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则 __________（用数字作答） 13. 二项分布又称为重伯努利分布，其可视作将次两点分布叠加所得，现对其中的两点分布进行调整，记原两点分布的发生概率为（发生概率即所得结果为1的概率），定义变化后总试验次数为时的发生概率，其中表示总试验次数．现进行一类关于随机变量的二项分布的调整．若当变化后总试验次数为时的发生概率为，总试验次数为时的发生概率为，则在原二项分布中，的最大值为________（用数字解答）． 14. 在正方形所在平面内，动点在以点为圆心且与直线相切的圆上，设，则的最大值为________. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 2025年春节假期，文旅市场火爆．文化和旅游部公布的数据显示：春节假期8天，全国国内出游5.01亿人次，同比增长；国内出游总花费6770.02亿元，同比增长．某景区的某网红饮品小店统计了春节假期前7天的营业额（单位：千元），得到与的数据如表所示： 第天 1 2 3 4 5 6 7 营业额 7 9 11 13 16 18 17 （1）已知与有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测春节假期第8天的营业额； （2）如果某天营业额大于10（单位：千元），则该天“达标”，从表格中的7组数据中随机选4组，设表示“达标”的数据组数，求的分布列和数学期望． 参考公式：在线性回归方程中，，． 参考数据：，． 16. 如图所示，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，，平面，点M是CD的中点，点N是PB的中点． （1）求证：． （2）求二面角的余弦值． 17. 已知数列 的前n项和为，对任意 满足 且 数列 满足， ， 其前3项和为 （1）求数列 的通项公式； （2）将数列 的项按照“当n为奇数时，放在前面；当n为偶数时，放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列： 求这个新数列的前33 项和 18. 已知双曲线的离心率为，右焦点为，是双曲线上一点，轴，． （1）求双曲线的标准方程． （2）过点作斜率为的直线交该双曲线于两点，且． （ⅰ）求的值； （ⅱ）若点不在直线上，且点满足：平分，求面积的最大值． 19. （1）求的最小值． （2）已知函数，，，为的导函数． ①当时，证明：在区间上存在唯一的极大值点； ②若有且仅有两个零点，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $