精品解析：江苏连云港市灌南华侨高级中学2025-2026学年度高二第二学期5月月考检测数学试题

灌南华侨高级中学2025—2026学年度第二学期月考检测 高二数学试卷 （分值：150分 时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 设向量，，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 如图所示，在三棱柱中，M为的中点，若，则可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 若随机变量，，则（ ） A. B. C. D. 5. 设是平面外的直线的方向向量，是平面的法向量，则（ ） A. B. 或在平面内 C. D. 或 6. 用这个数字，组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（    ） A. B. C. D. 8. 今年我校有5名新进教师，需将这5人全部分配到高中3个不同的年级，要求每个年级至少分配1人，每名教师只能分配到一个年级，则不同的分配方案共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某智能机器人公司从2019年起连续7年的利润情况如表所示，若关于的经验回归方程为，则（ ） 第年 1 2 3 4 5 6 7 利润亿元 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 A. 变量与负相关 B. C. 当时，残差为 D. 预测当时，利润约为亿元 10. 已知正方体，则（ ） A. 直线与所成的角为 B. 直线与所成的角为 C. 直线与平面所成的角为 D. 直线与平面ABCD所成的角为 11. 已知的展开式中第3项的二项式系数为21，则下列说法正确的是（ ） A. B. 展开式中存在常数项 C. 展开式的所有项的系数和为128 D. 能被7整除 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知随机变量，则______. 13. 在△ABC中，已知tanA，tanB是方程3x2-7x+2=0的两根，求tanC=___________. 14. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学排成一列，甲、乙不相邻，且丙、丁相邻，则不同的排法种数为________．（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，已知中，，延长至点，连接. （1）求的长； （2）若，求的长. 16. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为梯形，，，且． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离． 17. 某校为调查学生对“大语言模型”的了解程度，随机抽取70名男生和30名女生参加“大语言模型”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为了解，其他为不了解，统计并得到如下列联表： 男生 女生 合计 了解 50 15 65 不了解 20 15 35 合计 70 30 100 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为对“大语言模型”的了解程度与性别有关联？ （2）从样本中的70名男生中，按对“大语言模型”的了解程度，通过分层随机抽样抽取7人，再从这7人中抽取2人进行调研，记抽出的2人中对“大语言模型”了解的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 18. 如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值． 19. 甲、乙两个箱子装有大小及外观相同的小球，甲箱中有5个白球和3个黑球，乙箱中有4个白球和3个黑球. （1）若从甲箱中任取2个小球，求这2个小球同色的概率； （2）若先从甲箱中任取2个小球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个小球， ①求从乙箱中取出的球是白球的概率. ②若已知从乙箱中取出的球是白球，求从甲箱中取出的2个小球恰好是1黑1白的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 灌南华侨高级中学2025—2026学年度第二学期月考检测 高二数学试卷 （分值：150分 时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 设向量，，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】由，得， ∵，， ∴，解得. 2. 如图所示，在三棱柱中，M为的中点，若，则可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】取AC的中点N，连接BN，MN，如图所示， ∵M为的中点，，， ， ． 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以， ． 4. 若随机变量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项分布的性质求解即可. 【详解】因为， 所以，解得， 所以. 5. 设是平面外的直线的方向向量，是平面的法向量，则（ ） A. B. 或在平面内 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】计算出，即可判断得解. 【详解】∵，∴. 又因直线在平面外，∴. 6. 用这个数字，组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分两类：个位为和个位不为， 当个位为时，从剩余的个数字中取出个放在十位和百位，有种取法， 当个位不为时，第一步，确定个位上的数字，可以从中取出个，有种取法， 第二步，确定百位上的数字，从除外剩余的个数字中取出个，有种取法， 第三步，从包含在内的个数字中取出个，有种取法， 根据分步乘法计数原理，个位不为的三位偶数有个， 故所求没有重复数字的三位偶数的个数为. 7. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】将正四棱台补形为正四棱锥，求出棱锥的高，即可得到棱台的高，再根据台体的体积公式计算可得. 【分析】依题意将正四棱台补全为正四棱锥，如下图所示： 因为，所以为边长为的等边三角形， 又，且，所以是的中位线， 设，则平面，且， 所以正四棱台的高， 所以正四棱台的体积. 8. 今年我校有5名新进教师，需将这5人全部分配到高中3个不同的年级，要求每个年级至少分配1人，每名教师只能分配到一个年级，则不同的分配方案共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】D 【解析】 【详解】已知5名新进教师分到3个不同年级，每个年级至少1人，共两种分法： ①：； ②：； 不同的分配方案共有种． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某智能机器人公司从2019年起连续7年的利润情况如表所示，若关于的经验回归方程为，则（ ） 第年 1 2 3 4 5 6 7 利润亿元 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 A. 变量与负相关 B. C. 当时，残差为 D. 预测当时，利润约为亿元 【答案】BC 【解析】 【分析】根据数据即可判断选项A；根据数据求出，的值，从而得到线性回归方程，进而分析选项B，C，D即可． 【详解】对于A，由数据知，随的增大而增大，所以变量与正相关，故A错误； 对于B，，， 由经验回归直线过样本中心点，得 ，解得，故B正确； 对于C，结合B得，当时，，则残差为 ，故C正确； 对于D，结合B得，当时，，故D错误． 10. 已知正方体，则（ ） A. 直线与所成的角为 B. 直线与所成的角为 C. 直线与平面所成的角为 D. 直线与平面ABCD所成的角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可. 【详解】如图，连接、，因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角， 因为四边形为正方形，则，故直线与所成的角为，A正确； 连接，因为平面，平面，则， 因为，，所以平面， 又平面，所以，故B正确； 连接，设，连接， 因为平面，平面，则， 因为，，所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 设正方体棱长为，则，，， 所以，直线与平面所成的角为，故C错误； 因为平面，所以为直线与平面所成的角，易得，故D正确. 故选：ABD 11. 已知的展开式中第3项的二项式系数为21，则下列说法正确的是（ ） A. B. 展开式中存在常数项 C. 展开式的所有项的系数和为128 D. 能被7整除 【答案】AD 【解析】 【详解】由题意得，，得，负值舍去，故A正确； 通项为， 因为，所以展开式中不存在常数项，故B错误； 令，则展开式的所有项的系数和为，故C错误； ， 故能被7整除，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知随机变量，则______. 【答案】0.7## 【解析】 【详解】由可得正态分布曲线的对称轴为：， 所以：. 13. 在△ABC中，已知tanA，tanB是方程3x2-7x+2=0的两根，求tanC=___________. 【答案】-7 【解析】 【分析】利用韦达定理结合诱导公式和两角和与差的三角公式求解即可. 【详解】由题意可得tanA+tanBtanAtanB=，所以tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)==-7， 故答案为：-7. 14. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学排成一列，甲、乙不相邻，且丙、丁相邻，则不同的排法种数为________．（用数字作答） 【答案】24 【解析】 【详解】因为丙、丁相邻，所以将丙、丁“捆绑”，可得丙、丁的排列方法有种； “丙、丁”整体与戊的排列方法有种； “丙、丁”整体与戊排列后，形成3个空位，从这3个空位中选2个安排给甲、乙，排列方法有； 所以，满足甲、乙不相邻，且丙、丁相邻，则不同的排法种数为种. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，已知中，，延长至点，连接. （1）求的长； （2）若，求的长. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）在中，利用正弦定理运算求解即可； （2）在中，利用余弦定理运算求解即可. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得， 且. 所以. 【小问2详解】 因为，则， 在中，由余弦定理得 16. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为梯形，，，且． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由异面直线夹角余弦公式进行求解； （2）求出平面的法向量，利用相关公式求出点到平面的距离. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以，． 又因为，， 所以两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，． 所以，， 设异面直线与所成角为， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为； 【小问2详解】 由（1）知，，，． 设平面的法向量为， 则，所以， 令，则，．所以平面的一个法向量为． 所以点到平面的距离为． 17. 某校为调查学生对“大语言模型”的了解程度，随机抽取70名男生和30名女生参加“大语言模型”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为了解，其他为不了解，统计并得到如下列联表： 男生 女生 合计 了解 50 15 65 不了解 20 15 35 合计 70 30 100 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为对“大语言模型”的了解程度与性别有关联？ （2）从样本中的70名男生中，按对“大语言模型”的了解程度，通过分层随机抽样抽取7人，再从这7人中抽取2人进行调研，记抽出的2人中对“大语言模型”了解的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）认为对“大语言模型”的了解程度与性别有关联. （2） 0 1 2 数学期望. 【解析】 【分析】（1）使用的计算公式求解； （2）使用超几何分布概率公式求解. 【小问1详解】 零假设：对“大语言模型”的了解程度与性别无关联. 根据表中数据，计算得到 ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，所以认为对“大语言模型”的了解程度与性别有关联. 【小问2详解】 由题知抽取的7名男生中，对“大语言模型”了解的有 人， 对“大语言模型”不了解的有 人， 则再从这7人中选取2人，的可能取值为， ， 所以的分布列为 0 1 2 数学期望. 18. 如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可证四边形为平行四边形，则，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）如图，易证，根据线面垂直的性质与判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明； （3）根据线面垂直的性质与判定定理可得为二面角的平面角，即，作，由面面垂直的性质确定为直线与平面所成的角，即可求解. 【小问1详解】 因为且，所以四边形为平行四边形，则， 又平面 平面，所以平面； 【小问2详解】 由平面平面，得， 连接，由且，所以四边形为平行四边形，又 ， 所以平行四边形为正方形，所以， 又，， 又平面，平面， 由平面，所以平面平面； 【小问3详解】 由平面，平面，所以，又，，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 故为二面角的平面角，即 设，在中，，作，垂足为， 由（2）知，平面平面，平面平面 平面，所以平面， 则为直线在平面上的投影，所以为直线与平面所成的角， 在中，， 所以， 在中，， 即直线与平面所成角的正弦值为. 19. 甲、乙两个箱子装有大小及外观相同的小球，甲箱中有5个白球和3个黑球，乙箱中有4个白球和3个黑球. （1）若从甲箱中任取2个小球，求这2个小球同色的概率； （2）若先从甲箱中任取2个小球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个小球， ①求从乙箱中取出的球是白球的概率. ②若已知从乙箱中取出的球是白球，求从甲箱中取出的2个小球恰好是1黑1白的概率. 【答案】（1）； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）先求出从甲箱中任取2个小球的事件数，再求出这2个小球同色的事件数即可得出. （2）①求出从从甲箱中取出的2个小球的各种情况的概率，再利用全概率公式求解；②利用条件概率公式求解. 【小问1详解】 从从甲箱中任取2个小球的试验有个基本事件， 其中2个小球同色的事件有个基本事件， 所以这2个小球同色的概率. 【小问2详解】 ①设事件A为“从乙箱中任取1个小球，取出的这个小球是白球”， 事件为“从甲箱中取出的2个小球都是白球”，事件为“从甲箱中取出的2个小球为1个白球1个黑球”， 事件为“从甲箱中取出的2个小球都是黑球”，则事件，，彼此互斥． ，，， ，，， 所以， 所以取出的这个小球是白球的概率为． ②由①得， 所以从乙箱中取出的球是白球的情况下，从甲箱中取出的2个小球恰好是1黑1白的概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $