江苏省邗江中学2025-2026学年高二下学期5月检测数学试卷

**基本信息** 聚焦高二核心知识，融合现实情境与逻辑推理，梯度设计适配月考检测需求，如统计案例结合错题整理调查，导数综合题考察思维严谨性。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|函数单调性、概率、二项式定理、空间向量|基础概念直接应用，如第2题不放回抽样概率| |多选|3/18|统计概念、排列组合、函数极值|选项分层，如第9题辨析相关系数与决定系数| |填空|3/15|正态分布、分配问题、立体几何|情境简洁，如第13题6本书分3人| |解答|5/77|排列组合应用、统计案例（回归+独立性检验）、立体几何、概率期望、导数综合|综合度高，如16题结合调查数据建回归模型，体现数学语言表达现实世界；19题导数零点与恒成立问题，考察数学思维逻辑性|

参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C C B D A B BCD ABD 题号 11 答案 ACD 12．/ 13．540 14．/ 15．【详解】（1）方法一：依题意，分成三类情况，作图如下： 由图可知，有6种不同的选法. 方法二：看成三个不同元素任取两个不同元素的排列问题，有种不同的方法. （2）把4名男生看作一个元素，与3名女生一起全排，再考虑男生之间的顺序， 故共有坐法种，即男生必须排在一起的坐法有种.              （3）利用插空法，先将4名女生排成一列，然后在中间产生的3个空位中任选2个空位安排男生，共有种安排方法. 16．【详解】（1）零假设为：高中生数学成绩与每周自主整理错题时长无关， 根据表中数据可得，， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为高中生数学成绩与每周自主整理错题时长有关，该推断犯错误的概率不超过0.001． （2）由数据得，，， ， ， 得，， 所以y关于x的经验回归方程为． 将代入经验回归方程得， 所以预测某名学生每周整理错题时长为4.5小时，其数学成绩大约为145.5分． 该结果与实际得分不一定相符合，原因是把每周整理错题时长为4.5小时的学生数学成绩作为一个子总体，数学成绩为145.5分是这个子总体的均值的估计值，影响数学成绩还有其他的因素（言之合理即可）． 17．【详解】（1）证明：连接，. 因为，，分别为棱，，的中点，为正三棱柱 所以，，所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面. 同理可得平面. 因为，所以平面平面. 又平面，所以平面. （2）解：取的中点，连接，，则 在正三棱柱中，则，，. 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，. 设平面的法向量为， 则，， 令，得. 由， 所以与平面所成角的正弦值. 得与平面所成角的正弦值为. 18．【详解】（1）小王答3道题后积分小于6，有两种情况：3题都答错；答对1题，答错2题. 3题都答错的概率为；答对1题，答错2题的概率为：. 所以小王答3道题后积分小于6的概率为： （2）法一：设小王答对的题数为，则他答错的题数为，所以. 由题意知，所以，所以. 法二：的可能取值为2，4，6，8，10. 则：；；； ； 所以，. （3）当积分已为0时，游戏已停止，无法再达到12分，故； 当积分已为12时，游戏已停止，已是目标状态，故. （i）当小王的积分为时， 若小王接下来一题答对，则积分变为，若小王接下来一题答错，则积分变为. 由全概率公式有，即，整理可得. 又，所以为等比数列. （ii）由（i）可得， 所以， 又，所以. 所以 . 19．【详解】（1）当时，， ， 所以，即. （2）函数等价于，则即， 令，则转化为的解的个数，， 当时，单调递增；当时，单调递减． 则在处取得极大值，也是最大值， 当时，；当． 当时，，解得，1个零点； 当时，与有1个交点，此时1个零点； 当时，与有2个交点，此时2个零点； 当时，与有2个交点，此时2个零点； 综上，当或时，1个零点；当或时，2个零点． （3）恒成立恒成立． 当时，，不符合题意； 当时，，因为曲线与关于直线对称， 所以. 令， 令，又因为单调递增， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增． 所以时，取极小值点，也是最小值， 所以的最小值为，其中， 由，得，即，所以． 综上可得，所以的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026-2-高二年级5月检测 数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 2．在一个盒子中有3个红球和2个黑球，这5个球除颜色外没有其他差异.现从中依次不放回地随机抽取出2个球.则两次取到的球颜色相同的概率为（   ） A． B． C． D． 3．已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则的展开式的各项系数之和为（    ） A． B． C． D． 4．已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（   ）. A．8 B．9 C．10 D．11 5．某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩服从正态分布，将考试成绩从高到低按照、、、的比例分为、、、四个等级.若小明的数学成绩为分，则属于等级（    ）（附：，） A． B． C． D． 6．已知由样本数据=1，2，3，…，8组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，增加两个样本点和，得到新样本的经回归方程为.在新的经验回归方程下，当时，的估计值为（   ） A．3.25 B．3.4 C．3.7 D．3.85 7．有5名同学参加唱歌比赛，若不是第1个出场，且出场顺序相邻，则这5人不同的出场顺序种数为（   ） A．36 B．48 C．72 D．120 8．已知随机事件A，B，若，则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（   ） A．样本相关系数r越大，则线性相关性越强 B．用决定系数刻画回归效果，越接近1，说明回归模型的拟合效果越好 C．在回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示拟合效果越好 D．在独立性检验中，零假设必须是“分类变量X与Y独立”，不能是“分类变量X与Y有关” 10．将编号为1，2，……，n的n个小球放入编号为1，2，……，2n的2n个盒子中，每个盒子至多放一个小球，且对任意，i号球所在的盒子编号小于号球所在的盒子编号，记为号球放入编号为k的盒子的概率，则下列说法正确的有（   ） A．当时，共有6种放小球的方法 B．当时，2号球放入的盒子编号不小于3的方法共有16种 C．当时， D．当时，在处取得最大值 11．已知函数恰有两个极值点，，则（    ） A． B．存在，使得有三个零点 C． D． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知随机变量服从正态分布，若在内取值的概率为，则在内取值的概率为________. 13．某书店有6本书，其中的书各不相同，分给甲，乙，丙三位同学，每人至少分一本，则共有______种不同的分法．(用数字作答) 14．在长方体中，，分别是棱的中点，M是平面ABCD内一动点，若直线与平面EFG平行，则的最小值为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（1）从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ （2）4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？ （3）2名男生和4名女生排成一排．问：男生既不相邻也不排两端的不同排法共有多少种？ 16．为研究高中生每周自主整理错题时长与数学学科成绩的关联性，某高中数学教研组从本校高二年级随机抽取了100名学生进行调查，统计其每周整理错题时长（单位：小时）及期末数学成绩，按照“整理错题时长小时”和“整理错题时长小时”将学生分为时长充足组和时长不足组，再按照数学成绩是否不低于120分（满分150分）分为成绩优秀和成绩一般，得到如下列联表： 成绩优秀 成绩一般 合计 时长充足组 30 10 40 时长不足组 20 40 60 合计 50 50 100 同时，从样本中随机选取6名学生，记录其每周整理错题时长（记为变量x，单位：小时）与对应数学成绩（记为变量y，单位：分），得到如下数据： 学生编号 1 2 3 4 5 6 x 0 1 2 2 3 4 y 91 105 116 119 125 140 (1)根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为高中生数学成绩与每周整理错题时长充足与否有关联？并解释所得结论的实际含义； (2)请你结合第（1）问得出的独立性检验结论，根据选取的6组数据，建立y关于x的经验回归方程，并预测某名学生每周整理错题时长为4.5小时，其数学成绩大约为多少分？该结果是否一定与实际情况相符合，原因是什么？ 参考数据与公式：，． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． 17．如图，在正三棱柱中，，，分别为棱，，的中点，为线段上的动点. (1)证明：平面. (2)若为线段的中点，且，，求与平面所成角的正弦值. 18．雅礼中学某社团组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响. (1)求小王答3道题后积分小于6的概率； (2)设小王答4道题后积分为，求； (3)若小王一直答题，直到积分为0或12时停止，记小王的积分为时，最终积分为12的概率为，请直接写出和的值，并求出的值. 19．已知函数，其中，且． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的零点个数； (3)若恒成立，求的取值范围 学科网（北京）股份有限公司 $