01导数中的不等式证明问题训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦导数与不等式证明的系统性训练，通过分层题型强化数学思维与推理能力，构建从导数应用到不等式证明的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|7题|比较大小、函数性质判断|以导数单调性为核心，连接函数值比较与不等式关系| |解答题|9题|不等式证明、参数范围求解|从构造函数到导数分析，体现从概念到应用的推导过程|

高考一轮总复习课时作业 素养提升专题--- 01导数中的不等式证明问题 一、单选题 1．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用导数证明不等式 【分析】利用特殊值以及导数求得正确答案. 【详解】A选项，当时，，所以A选项错误. B选项，当时，，所以B选项错误. C选项，当时，，所以C选项错误. D选项，构造函数， 在区间上单调递增， ，所以当时，，所以，所以D选项正确. 故选：D 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较对数式的大小、利用导数证明不等式 【分析】利用指数不等式来判断，利用对数函数单调性来判断，从而即可得到结果. 【详解】先证明：，令，其中， 则， 当时， ， 所以 在上单调递增，即， 则不等式在上恒成立， 再令，则，故， 再利用对数函数单调递增，且， 所以有，故， 故选:A. 3．若，则（） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数证明不等式、比较函数值的大小关系 【分析】先设，把统一用表示，再分别构造函数，利用导数判断单调性：先构造比较出对数式大于，再借助得正切值大于进而大于，最后构造由导数恒正知函数递增，推出大于，综合单调性取值大小得到. 【详解】令，则，可得：，，. 比较和： 构造函数，求导得，故在单调递增，，即，所以. 比较和： 对， 因此在上单调递增，又，故: 当时，，又，且，故，即. 比较和： 构造函数，， 时，故 所以,即在单调递增，，即，所以. 综上，. 4．设函数，在上的导函数存在，且，则当时（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式 【分析】对于AB，利用特殊函数法，举反例即可排除；对于CD，构造函数，利用导数与函数单调性的关系证得在上单调递减，从而得以判断. 【详解】对于AB，不妨设，，则，，满足题意， 若，则，故A错误， 若，则，故B错误； 对于CD，因为，在上的导函数存在，且， 令，则， 所以在上单调递减， 因为，即，所以， 由得，则，故C正确； 由得，则，故D错误. 故选：C. 二、填空题 5．已知，比较与的大小，结果为________． 【答案】 【知识点】利用导数证明不等式 【分析】构造函数，利用导数可得在上单调递增，从而得到，故. 【详解】令， 因为，所以， 又因为函数在处连续，所以在上单调递增， 所以，即， 故． 故答案为：. 6．已知实数、满足，则________．（在“”、“” 、“” 、“” 、“”中选一个填在横线处） 【答案】 【知识点】利用导数证明不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】由条件可得，构造函数利用导数证明，由此可得，令，利用导数判断的单调性，解不等式可得. 【详解】由可得， 令，则，所以在单调递增， 所以，所以， 所以， 令，， 则，所以在单调递增， 因为，即，所以. 故答案为：. 7．已知函数.给出下列四个结论： ①当时，为偶函数； ②当时，对任意，都有； ③当时，在上单调递减； ④存在实数，使得有2个零点. 其中正确结论的序号为__________. 【答案】①②③ 【知识点】求函数零点或方程根的个数、利用导数证明不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】利用偶函数定义判断①；利用导数确定单调性判断②③；确定零点个数判断④. 【详解】函数的定义域为， 对于①，当时，，，为偶函数，①正确； 对于②，当时，，求导得， 函数在上单调递减，恒有，②正确； 对于③，当时，， 当时，；当    时，， 函数在上单调递减，在上单调递减，因此在上单调递减，③正确； 对于④，函数的零点即为方程的根， 亦即函数的图象与直线交点的横坐标， 在同一坐标系内画出函数的图象及直线，如图： 直线过定点，令与函数相切的切点为， 由，求导得，则，解得， 则当时，函数的图象与直线有1个交点； 当时，直线还过点，函数的图象与直线有1个交点； 当时，直线还过点，函数的图象与直线有1个交点， 因此当时，函数的图象与直线有1个交点； 当时，函数的图象与直线没有交点； 当时，由对称性得函数的图象与直线有1个交点， 所以不存在实数，使得有2个零点，④错误. 三、解答题 8．已知，证明：． 【答案】证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式 【分析】构造函数，利用导数研究函数单调性与最值，即可证明不等式. 【详解】令，则， 因为，所以， 所以在上单调递增， 所以． 所以，命题得证． 9．已知函数，． (1)若， （i）求的极值点； （ii）证明：当时，； (2)若，，求的取值范围． 【答案】(1)（i）极小值点为2，无极大值点；（ii）证明见解析. (2)． 【知识点】求已知函数的极值、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）（i）对函数进行求导，根据极值点的概念，进行判断即可； （ii）构造函数，求导判断其单调性，求得最大值，即可证明； （2）构造函数，求导判断其单调性，求得最小值，得不等式，解不等式即可. 【详解】（1）（i）当时，，定义域为， 则， 令，解得， 当变化时，与的变化如下表所示： 2 － 0 ＋ 减 极小值 增 所以的极小值点为2，无极大值点； （ii）令， 则， 当时，，所以为减函数， 所以， 从而当时，，即． （2）令， 则． 因为，所以， 从而当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以的最小值为 因为，所以，即，从而， 故的取值范围为． 10．已知函数． (1)求函数的极值； (2)求函数在上的值域； (3)设，证明：． 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2) (3)证明见解析 【知识点】求已知函数的极值、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式 【分析】（1）对求导，根据极值的定义即可求出答案； （2）根据函数的单调性，即可求出值域； （3）可化为，令，通过求导证明即可证明不等式. 【详解】（1）已知函数的定义域为， 则， 因，故，令得， 当时，，在单调递增； 当时，， 在单调递减， 因此只有极小值，无极大值，且极小值为，无极大值． （2）由（1）的单调性可知在单调递减，在单调递增， 因此最小值为， 计算区间端点值，， 因为，所以， 故在上的最大值为， 因此在上的值域为． （3）因为， 由，得，即， 令，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，即恒成立， 所以． 11.已知 (1)设函数，讨论函数的单调性； (2)当，时，证明：． 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析. 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数证明不等式 【分析】（1）在，两种情况下求解可得单调性； （2）由题设可得，所证不等式等价于，然后由的单调性可证明不等式. 【详解】（1）由题可得：，其中. . 当时，令，， 则此时在上单调递减，在上单调递增； 当时，，则此时在上单调递增. 综上可得：时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增. （2）当时，，又，则， 则要证：， 即证 .令， 则，令. 则；， 则在上单调递增，在上单调递减， 从而，即，从而命题得证. 12．已知函数，. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）将代入函数得到的解析式，再求函数的导函数；将代入和，求出切点坐标和切线斜率；利用点斜式求出切线方程； （2）将代入函数得到，；证明，即证明；分析时，不等式成立的情况；时，构造函数，利用导数分析在的单调性，通过单调性分析函数的最值大小来证明不等式. 【详解】（1）函数的定义域为，当时，； ； 当时，，； ，即. 函数在处的切线方程为. （2）函数的定义域为，当时，. 要证明，即证明，； 当时，，，此时成立； 当时，令，则； 令，则； 在区间上单调递增，在区间上单调递增， 在区间上单调递增，即； ，； 在上单调递增，即； ，，即； 在区间上单调递增，即； ，即； ，即； 综上所述，当时，. 13.已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：； 【答案】(1) (2)证明过程见解析； 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式 【分析】（1）求导，得到，由导函数几何意义得到切线方程； （2）即证，构造函数，求定义域，得到函数单调性，从而得到不等式； 【详解】（1）由题可知， ，则， 故曲线在点处的切线方程为， 即； （2）要证明，即证， 即证， 令，定义域为，显然， 则，其中， 当时，令，则， 其中，，故， 故在上单调递增， 又，故在上恒成立， 故在上单调递减， 当时，， 所以在上单调递增， 所以恒成立，从而，当时，等号成立； 14.已知函数． (1)判断在区间的单调性； (2)求的最小值； (3)证明：当时，． 【答案】(1)在和单调递增，在和单调递减 (2)1 (3)证明见详解 【分析】（1）求导，判断导函数在上的正负，进而可得单调性； （2）利用导数研究函数的单调性，进而可求最小值； （3）构造函数，利用三角函数的有界性以及（2）的结论即可判断的单调性，进而可知的最值，进而可证不等式. 【详解】（1）由题可得， 当时，，当时，，当时，，当时，， 所以在和单调递增，在和单调递减. （2），令，得， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. （3）当时，令， 则， 因为，所以 由（2）知，故， 所以，故在上单调递减， 所以，所以． 15.（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知，． (1)求函数在处的切线方程； (2)对一切，恒成立，求实数a的取值范围； (3)证明：对一切，有成立． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求出导函数，求出函数在处的切线斜率，进而求得切线方程. （2）不等式整理为恒成立，只需求出右式的最小值即可，构造函数，利用求导的方法得出函数的最小值； （3）根据不等式的形式可得，只需使的最小值大于右式的最大值即可，构造函数，利用求导得出函数的最大值． 【详解】（1），∴ 所以，所以函数在处的切线方程为. （2）因为在上恒成立，∴恒成立， 令，则， 由，得，，时，； 时，．∴时，．∴． ∴实数的取值范围是． （3）对一切，都有成立， ∴，∴， 由（1）可知的最小值是，当且仅当时取到． 设，则， ∵时，，时，，∴， 从而对一切，成立． 16.已知函数的图象在处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)当时，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义得，即可求解； （2）要证明，所以需证在上恒成立，即证在上恒成立，设，利用导数求其单调性可得证. 【详解】（1）， 所以， 因为过点的切线为，所以. （2）由（1）得，， 当时，要证明，即证明， 所以需证在上恒成立， 即证在上恒成立. 设，则， 当时，，故在上单调递增， 令，则， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以，所以（当且仅当取得等号）. 又当时，，所以， 即， 所以. 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考一轮总复习课时作业 素养提升专题--- 01导数中的不等式证明问题 一、单选题 1．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．若，则（） A． B． C． D． 4．设函数，在上的导函数存在，且，则当时（ ） A． B． C． D． 二、填空题 5．已知，比较与的大小，结果为________． 6．已知实数、满足，则________．（在“”、“” 、“” 、“” 、“”中选一个填在横线处） 7．已知函数.给出下列四个结论： ①当时，为偶函数； ②当时，对任意，都有； ③当时，在上单调递减； ④存在实数，使得有2个零点. 其中正确结论的序号为__________. 三、解答题 8．已知，证明：． 9．已知函数，． (1)若， （i）求的极值点； （ii）证明：当时，； (2)若，，求的取值范围． 10．已知函数． (1)求函数的极值； (2)求函数在上的值域； (3)设，证明：． 11.已知 (1)设函数，讨论函数的单调性； (2)当，时，证明：． 12．已知函数，. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，证明：. 13.已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：； 14.已知函数． (1)判断在区间的单调性； (2)求的最小值； (3)证明：当时，． 15.（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知，． (1)求函数在处的切线方程； (2)对一切，恒成立，求实数a的取值范围； (3)证明：对一切，有成立． 16.已知函数的图象在处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)当时，证明：. 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $