第5章 一元函数的导数及其应用章末综合提升-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

4.解(1)由题意知，函数f(x)的定义域为(0，十∞)， (2)由(1)知f(x)=xe2-x十ex. f(x=2a2+a-3=2a+a1-3(a>0. 由f(x)=e2-r(1-x十e-1)及e2-t>0知， x x f'(x)与1-x十ex-1同号. 令f(x)=0,则2a2x2十ax-3=0, 令g(x)=1-x+e-1,则g'(x)=-1+e-l 即(ax-1)(2ax十3)=0. 所以当x∈（一∞，1）时，g'(x)<0,g(x)在区间（一∞，1）上单调递减： 又a>0,x>0,ax-1=0,r=1 当x∈(1，十∞)时，g'(x)>0,g(x)在区间(1，十∞)上单调递增. 故g(1)=1是g(x)在区间(-∞，十∞)上的最小值， 当x∈(0，日)时，f(x)0f(x)在(0，÷）上是减画教：当x∈ 从而g(x)>0,x∈（一0，十∞）， 综上可知，f(x)>0,x∈(-∞，十∞)，故f(x)的单调递增区间为 (行+o∞）时.f()>0,f在（日+∞）上是增函数. (-∞，十∞). 2.解(1)当a=1时，f(x)=e十x2一x, (2)由1)知f(x)在(0，日)上是减通教，在（日十∞）上是增 f(x)=e+2x-1,令g(x)=e+2x-1, 函数. 由于e'(x)=e十2>0， 若y=f(x)的图象与x轴没有公共点，则f(x)mn>0,故f(x)mn= 故f(x)单调递增，注意到f(0)=0, 故当x∈（一o∞，0）时，f(x)<0,f(x)单调递减， f(）dx(日)+a×-加日+1>0.a>-3. 当x∈(0，十∞)时，f(x)>0,f(x)单调递增. Ina>-1.:a>e-1=1 (2)由fx)≥号x+1得， e a的取值范周是（仁十∞） e+ar-≥zx+1,其中r≥0， ①当x=0时，不等式为1≥1，显然成立，符合题意： 5.解(1)f(x)=e-a,g'(x)=a ②当x>0时，分离参数a得， ①若a≤0，f(x)>0在R上恒成立，f(x)在R上单调递增，即f(x) e-2x3-x-1 无最小值： a ②若a>0,当x∈(-∞，lna)时，f(x)<0,f(x)单调递减，当x∈ (na,十o∞)时，f(x)>0,f(x)单调递增.f(x)在x=lna处取得最 e-x-x-1 小位fna)=a-alna.当z∈(0，日）时，g(0,g)单调适减， 记g(x)= 当x(日+o∞）时，g(x>0g)单调递增. -2)(e-2x2-x-1） g'(x) g(x)在x= 亡处取得装小值（仕）=1+na, 又f(x)与g(x)有相同的最小值， ◆Aa)=e-2--1(≥0. ∴.a-alna=1+lna,a>0. 则h'(x)=e-x-1, 设h(a)=ana十lna-a十1，a>0,则h(a)=】十lna, 令t(x)=h'(x),x≥0，则t(x)=e-1≥0， 故h'(x)单调递增，h'(x)≥h'(0)=0, 令o(a)=h'(a),则o(a)= +日 a>0, 故函数h(x)单调递增，h(x)≥h(0)=0, 当a∈(0,1)时，o'(a)0,h'(a)单调递减， 由(x)≥0可得e-2x-1≥0恒成立， 当a∈(1，十∞)时，(a)>0,h'(a)单调递增. 故当x∈(0,2)时，g(x)>0,g(x)单调递增： ∴.h'(a)在a=1处取得最小值h'(1)=1>0, 当x∈(2，十∞)时，g(x)<0,g(x)单调递减： 则当a>0时，h'(a)>0恒成立，h(a)单调递增， 又h(1)=0,∴.a=1. 因此，g(x)ns=g(2)=7二c 4 (2)证明由(1)得f(x)=e-x,g(x)=x-lnx, 且f(x)在（一∞，0）上单调递减，在(0，十∞)上单调递增，g(x)在 (0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增，f(x)mm=g(x)mim=1. 综上可得a的取值范图足[，十o） !题型三 当直线y=b与曲线y=f代x)和y-g(x)共有三个不同交点时，设三 个交点的横坐标分别为x1,x2,x3,且x1x2x3, 1.解(1)f(x)=3x2-2a.x十b, 则f(x1)=f(x2)=g(x2)=g(x3)=b. ,函数f(x)在x=一1和x=3处取得极值 .f(x)=e-x,g(x)=x-In x=e*-In x=f(In ) .一1,3是方程3x2一2ax十b=0的两根. ·f（x1）=fx2）-fnx2)=flnx). -1+3= 2 由于x2卡x1,x2≠lnx2,所以x2=lnx3x1=lnxg, 3a, a=3, f(In z2)=elm2-In z:=x2-In x2=x2-1=6, ，-1x8= {b=-9. f(In a)=eh "a-In 3=23-In 3==6, 上述两式相减得1十=2x2,即从左到右的三个交，点的横坐标成 (2)由(1)知f（x)=x3-3.x2-9x十c, 等差数列 f'(x)=3x2一6x一9，当x变化时，有下表： 章末综合提升 (-2, (-1, 2 -1 3 (3,6) -1) 3) 题型一 1.C[y'=e1十xe-1=(x十1)e1,故曲线在，点(1,1)处的切线斜 f'(x) 0 0 率为k=2.] f(z)c-2 单调 极大值 单调 极小值 单调 2.解(1).f(2)=23十2-16=-6，.点(2，-6)在曲线上. c+54 递增 c+5 递减 c-27 递增 :f(x)=(x3+x-16)/=3x2+1,.在点(2，-6)处的切线的斜率 为k=f(2)=3×2十1=13， x∈[一2,6]时，f(x)的最大值为c十54 要使f(x)2|c恒成立，只要c十542c即可， .切线的方程为y=13(x-2)十(-6)，即y=13x一32. 当c≥0时，c十54<2c,.c>54: (2)设切点坐标为(x0,y0),则直线1的斜率为f'(x0)=3z6十1， 当c0时，c十54<-2c,.c<-18, .直线l的方程为y=(3z十1)(x一x0)十x8十x0-16. .c∈(-∞，-18)U(54,+∞). 又：直线1过点(0,0)，0=(3x号十1)(-xo)+z8十0一16，整理2.解(1)f(x)=一3.x2+2ax十6 得x8=-8,∴x0=-2,0=(-2)3+(-2)-16=-26,.k=3X (-2)2十1=13， 又=-1=号分别对应函载取得报小位，权大位的精见，所以 .直线1的方程为y=13x,切点坐标为（一2，一26）. 题型二 -1,号为方程-3x2+2ax十h=0的两个根. 1.解(1)因为f(.x)=xe-x十bx, 所以f(x)=(1-x)er+b. 所以a=一 分b=2.则f)=-2-分2+2x 依题设，f2)=2e十2，即2e2十26=2e十2， 当x=一2时，f(x)=2,即(-2,2)在曲线上. 1f'(2)=e-1,{-e-2+b=e-1. 又切线斜率为k=f(x)=一3.x2-x十2，f(-2)=-8, 解得{侣 所求切线方程为y一2=一8(x十2)， 即为8x十y十14=0. 162 (2)x在变化时，f(x)及f(x)的变化情况如下表 故xf(x)≤x2十ax十1等价于lnx-x≤a, 2 2 x -2 令g(x)=lnx-x,则g(x)=1-1, -1) 令g'(x)=0,解得x=1.:f(x)的定义域为(0，十∞) f'(x) 0 0 当0<x<1时，g(x)>0;当x>1时，g(x)<0. 故x-1是g(x)的极大值，点，且是最大值点，则g(x)≤g(1)=1, 单调 单调 f(x) 2 3 22 综上，a的取值范围是[一1，十∞). 递减 2 单调递增 27 递减 (2)证明：由(1)知，g(x)≤g(1)=-1,即1nx-x十1≤0. 则f(.x)在[一2,1]上的最大值为2，最小值为 3 当0<x<1时，f(x)=(x十1)lnx-x十1=xnx十(lnx-x+1) 0: 题型四 解(1)f(x)=+1 +lnx-1=lnx十 ，20f 当x≥1时，f(x)=lnx十(xnx-x十1)=nx十z +1, .(x-1)f(x)≥0. 课时分层检测参考芳答案与解析 课时分层检测（一） 当a=-1时4，=月一子，是然是递培教列，故爱小位为山=0， 基础达标练 B正确： 1.C[由通项公式得a2=2×2-2=2,a3=3×3十1=10，所以a2a3 =20.] 令a,=n叶升=a,得-a十a=0,当0<a<4时，△=a2-4a<0, 2.C[A、B都是递减数列，D是有穷数列，只有C符合题意，故选C.] 故方程无解，所以a不是数列{an}中的项，C错误： 3.D[由√2n-1=3W5-√45，得2n-1=45,即2n=46,解得n= 23,故选D.] 若a,是递增数列，别a>4即a十1十异>十号得a< 4.AD[由于an=n2满足an=n<(n十1)2=an+1(n∈N"),故数列n2十n,又n2十n≥2，所以a<2,D正确.] {an}是递增数列，选项A正确； 26a,=6=号（十96当>5里∈N时a>0,且 n十11 数列1,2,3与3,2,1的顺序不同，不是同一个数列，选项B错误： 由于4，=sin匹，数列{a,}的前四项依次为1,0，-1,0，且a1=数列递减：当n≤5且n∈N时，a,<0,且数列递减.故当n=6时， am最大.] s如t-sn(受+2x）-n受-a: 13.210[观察数列中的星星构成的规律：当n=1时，有1个，当n-2 2 时，有1十2个，当n=3时，有1十2十3个，所以当n=20时，有1十2 所以数列{an}是周期数列，且是无穷数列，选项C错误，选项D: 十3+…十20=21×10=210个.] 正确， 5选项A中取不到1，其通项公式中不合4，A错民：选项B时解（证明a=fm》=”骨1一日 中，当n是奇数时，an-2X1=2,当n是偶数时，an=2×0=0,B正 确：选项C中，a1=0≠2，C错误；选项D中，a1=cos元十1=0≠2，D 又n∈N0<≤1a,<1 错误.故选B.] (2)数列{an}是递增数列.理由如下： 6.9[因为a,=19-2,且an>0,于是有19-2n>0,解得n<2,而！ 19 :a+1-a,=nt1）1u n+1 n n∈N”,则nmx=9,所以符合条件的最大正整数n的值为9.] 1 1 nn十1n十2n 7.十3[a,a1a+=n十·干2干n千3] …an+1>an{an}是递增数列. 7 8.4-36[由题意，a+1-an=2m-7,令2n-7>0,得n> 5,解①)证明因为。片7了 72+7n∈N*), 故数列{an}从第4项开始递增. 所以0<an1, an=n(n-8)-20=(n-4)2-36, 故数列的各项都在区间(0,1)内. 故当n=4时，{an}的最小值为a1=一36.] 2 9.解(1)令an=一n2+n十110=20， 即n2一n-90=0,.(n十9)(n-10)=0, .n=10或n=-9(舍). 期号<<neN, .20是数列{an}中的一项，且为数列{an}中的第10项. (2)令an=一n2+n十110=0， 解得n=1,即在区间（行，子）内有且只有1项数列中的项，为@ 即n2-n-110=0, ·创新拓展练 .(n-11)(n+10)=0, a,=2-(答案不唯一)[因为西数a,=2- 工的定义城为N, .n=11或n=-10(舍) .当n-11时，an-0. 且an=2- 10,解(1)易知该数列由从4开始的偶数构成，所以该数列的一个通· 日在N上单洞递增，0<2司<2，所以满足3个条件 n 项公式为am=2n十2，n∈N“ 的教列的通项公式可以是，=2子] (2)通过观察可知，该数列中的奇数项为负，偶数项为正，故选择 (一1)“拥整符号.又第1项可改写成分数一号，所以每一项的分母： 课时分层检测（二） 基础达标练 依次为3,5,7,9，，可写成2n十1的形式.分子为3=1×3,8=2× =X5,244X6.…,可写成十2的形式，所以这数列的1.D[由题知，a=1a,=2a,=a=3a号 一个道项公式为a=(一1)，贸∈N。 2.A[由题意得a=ma十1，即3=5m十1m=号] （8)将载列变形为号1-01，号1-a01).号1-0.01)，故演8.C85=2×2X212X)1a=5-5 :182-2×18-(172-2×17)=33,a2+a18=34.] 列的一个通项公光为a,(-)N。 .A[周为S-Da,=32,所以S,S,-25a68a 3 3 3 能力提升练 ，由)=x 32,所以a1=z,故选A.] 1.ABD[当a=2时，an=n十 兰的单调性及a1=5.B[结合图象易知，41=1，am=3=a1十2，a,=6=a,+3,a=10= 3,a2=3,可知A正确： !a3十4， 163数学选择性必修第二册 章末综合提升 一、系统认知·形成数学思维 (一)贯通知识体系和联系 变化率问题 平均变化率 取极限 △.x 导数的概念 导数的概念 瞬时变化率lim △y Ax+0△x 导数的几何意义 切线的斜率k=f(xo) 基本初等函数的导数公式 导数及 导数的计算 导数的运算法则 甯 简单复合函数的导数 y=y· 函数y=f(x)在区间(a,b)上可导，若f'(x) 函数的单调性 >0,则f(x)在(a,b)内单调递增；若f(x)< 0,则f(x)在(a,b)内单调递减 导数的应用 函数的极值 ①求导数f'(x);②解方程f(x)=0;③判断两侧符号 函数的最大（小）值一①求极值；②极值与端点处函数值比较 生活中的优化问题 (二)把握数学思想和方法 要确定好分类的对象以及分类的标准和依据； 1.数形结合思想在利用导数研究函数零点（方程： 其次在讨论时还要遵循不重复不遗漏的原则， 根)中的应用：涉及函数的零点（方程根）问题，关 逐级逐类进行讨论；最后要把讨论的结果进行 键是将函数零点（方程根）转化为两函数的图象 整合. 交点问题，利用导数工具确定函数的单调性、极：3.转化与化归思想在不等式恒成立问题中的应 值与最值的情况，确定函数的大致图象，从而确： 用：转化与化归思想在利用导数研究函数中的 定参数的取值范围. 应用广泛，在本章中解决一些恒成立问题或存 2.本章在研究函数单调性、极值、最值及不等式恒： 在性问题，我们可以将问题转化为与之等价的 成立等问题中，函数解析式中含有参数时，往往： 最值问题，解题过程中体现了转化的数学 需要对参数进行分类讨论.在分类讨论时，首先：思想， 66 第五章一元函数的导数及其应用 二、把握重点·常考题型集训 题型一导数的几何意义及应用 题型二函数的单调性与导数 1.曲线y=xex-1在点(1,1)处切线的斜率等于 1.设函数f(x)=xea-x十bx,曲线y=f(x)在点 ) (2,f(2)处的切线方程为y=(e-1)x十4. A.2e B.e C.2 D.1 (1)求a,b的值； 2.已知函数f(x)=x3十x-16. (2)求f(.x)的单调区间. (1)求曲线y=f(x)在点(2，一6)处的切线的 方程； (2)直线1为曲线y=(x)的切线，且经过原点， 求直线1的方程及切点坐标. 2.已知函数f(x)=e2十ax2-x (1)当a=1时，讨论f(x)的单调性； (2)当x≥0时(x)≥22+1，求a的取值 范围. /题型技法/ 利用导数求切线方程时关键是找到切点， /题型技法/ 若切点未知需设出.常见的类型有两种，一类是 函数的单调性与导数的关注点 求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点， (1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的 易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是 子区间. 求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一 (2)已知函数在某个区间上的单调性时，转化要 定是切点，可先设切点为Q(x1y),由0一 等价 x0一x1 (3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不 =(x1)和y1=f(x1)求出x1,y1的值，转化 等式的解集 为第二种类型。 (4)求参数的范围时常用到分离参数法， 67 数学选择性必修第二册 …/题型技法/… 题型三利用导数研究函数的极值、最值 由函数的解析式能求出函数的极值和最 1.已知函数f(x)=x3-a.x2+bx十c(a,b,c∈R) 值，反过来由函数的极值或最值也能求出参数 (1)若函数f(x)在x=-1和x=3处取得极值， 的值或取值范围.另外，这部分内容可能会和恒 试求a,b的值； 成立问题、有解等问题联系到一起考查。 (2)在(1)的条件下，当x∈[-2,6]时，f(x)< 2c恒成立，求c的取值范围. 题型四利用导数证明不等式问题 已知函数f(x)=(.x+1)lnx-x+1. (1)若xf(x)≤x2+a.x+1,求a的取值范围； (2)证明：(x-1)f(x)≥0. 2.已知函数f(x)=-x3+a.x2+bx在区间(-2,1)： 内，当x=一1时取极小值，当x=子时取极大值。 (1)求函数y=f(x)在x=一2时的对应点的切 线方程； (2)求函数y=f(x)在[-2,1]上的最大值与最 小值. /题型技法/ 若要证明不等式f(x)>g(x),通常可构造 函数p(x)=f(x)-g(x),只需证p(x)>0,由 此转化为求(x)的最小值问题，可借助于导数 解决；若要证明不等式f(x)>a(a为常数)，通 常证明f(x)为增函数，且f(x)min>a. 温馨提示 古人学问无遗力，少壮工夫老始成。纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。 请做章末检测卷（二） 模块综合检测卷（一） 模块棕合检测卷（二） 68