云南2026届高三下学期5月联考数学试题

高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集，，则集合B可能为 A． B． C． D． 2．已知复数，则 A． B． C． D． 3．已知是奇函数，当时，，则 A．0 B．1 C．2 D． 4．2026人形机器人半程马拉松于4月19日开跑，有300多台机器人参赛．某人形机器人行走时，踝关节摆动高度y（单位：cm）随时间t（单位：s）的变化满足，已知该机器人踝关节完成一次完整的摆动动作需要的时间为1.2s，则 A． B． C． D． 5．已知数列的前n项和，则 A．2025 B．2026 C．2027 D． 6．已知，均为锐角，则“”是“”的 A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知双曲线的右焦点为Ｆ，Ｏ为坐标原点，直线与双曲线Ｃ的一条渐近线交于点Ａ，若，则Ｃ的离心率为 A．2 B．3 C． D． 8．在中，，若，，则 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上且位于第一象限，，则 A．的周长为16 B． C． D．直线的斜率为 10．已知函数，则 A．的定义域为 B．的值域为 C．在上单调递增 D．存在，使得函数恰有两个零点 11．已知数列的通项公式为，数列的通项公式为．若，当时，，则 A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某市开展餐饮消费调查，比较预制菜餐厅与传统现炒餐厅的翻台率（每天每桌接待顾客批次），得到预制菜餐厅的平均翻台率为3.2次/（桌·天），传统现炒餐厅的平均翻台率为2.4次/（桌·天）．已知该市餐饮协会数据显示，全市营业餐厅中，预制菜餐厅约占40%，其余的都是传统现炒餐厅，据此估计，全市餐厅的平均翻台率约为 ▲ 次/（桌·天）． 13．已知函数没有极值点，则 ▲ ． 14．如图，在三棱锥中，，，，，则该三棱锥的体积为 ▲ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，． （1）求c； （2）点D在边上，若的面积为，求． 16．（15分） 如图，在四棱锥中，底面是矩形，E，F，G分别是，，的中点，点O在线段上，平面，，，，． （1）证明：平面． （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17．（15分） 甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛共3局，获胜局数多的人赢得本次比赛．已知第一局比赛甲、乙获胜的概率分别为0.6，0.4，此后，若上一局甲获胜，则本局比赛甲、乙获胜的概率分别为0.7，0.3，若上一局乙获胜，则本局比赛甲、乙获胜的概率分别为0.5，0.5． （1）求甲赢得本次比赛的概率； （2）用X表示甲获胜的局数，求X的分布列与期望． 18．（17分） 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，，求的取值范围； （3）证明：，，． 19．（17分） 已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，过点F的直线与C交于P，Q两点，当时，． （1）求C的方程． （2）记过点P且与C相切的直线为l，过点P作直线l的垂线交C于另一点H，求的最小值． （3）是否存在定圆M，使得以为直径的圆始终与圆M相切？若存在，求圆M的方程；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学参考答案 题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 D A D D B C A B AC ACD ABD 2.72 1 15．解：（1）因为，所以． 2分 因为，所以， 3分 ， 5分 即，解得． 7分 （2）由（1）可得，． 因为，所以， 9分 的面积为，解得． 11分 ， 13分 16．（1）证明：因为F，G分别是，的中点，所以，，四边形为平行四边形，所以． 1分 因为平面，平面，所以平面． 2分 在中，．连接．因为平面，平面，所以平面． 3分 因为，所以平面平面． 4分 因为平面，所以平面． 6分 （2） 解：以，所在直线分别为y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ，，，，，， 8分 ，，． 10分 设平面的法向量为， 则取，得． 12分 ， 14分 所以直线与平面所成角的正弦值为 15分 17．解：（1）甲赢得本次比赛的情况共3种： 第1种情况，甲连胜2局，其概率； 2分 第2种情况，甲第1局胜、第2局负、第3局胜，其概率； 3分 第3种情况，甲第1局负、第2局胜、第3局胜，其概率． 4分 故甲赢得本次比赛的概率为． 5分 （2）依题可知，X的所有可能取值为0，1，2，3． 6分 ． 7分 甲赢2局的情况共3种，分别为甲第1局胜、第2局胜、第3局负，甲第1局胜、第2局负、第3局胜，甲第1局负、第2局胜、第3局胜． ， 9分 ， 10分 ． 12分 Ｘ的分布列为 0 1 2 3 0.1 0.25 0.356 0.294 ． 15分 18．（1）解：当时，，． 2分 ，． 3分 故所求切线方程为，即． 4分 （2）解：因为，，，所以 6分 ，则，解得． 7分 下面证明当时，，． 当时， 8分 令函数，． ， 9分 所以在上单调递减，所以，即当时，， ． 10分 综上，a的取值范围是 11分 （3）证明：由（2）知，，当且仅当时，等号成立， 所以当时，． 12分 当，时，，令，得，即． 14分 ， 16分 所以． 17分 19．解：（1）当时，轴， 1分 此时，，解得， 2分 所以抛物线C的方程为． 3分 （2）根据对称性，不妨设点P在第一象限，直线l的方程为． 由得． 由，得，则，，所以． 设过点P且与直线l垂直的直线的方程为， 5分 与联立可得． 设，，则，． ， 7分 令，，则． 当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 8分 ，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为． 9分 （3）设直线：，，． 由得，，，， ，，则的中点． 11分 ， 则以为直径的圆的圆心为，半径． 12分 假设存在符合题意的定圆M，设，半径为，则有， 即恒成立， 或恒成立． 13分 若， 化简得， 则解得 故存在定圆，符合题意 15分 若， 化简得， 则解得舍去 16分 综上，存在定圆，使得以为直径的圆始终与圆M相切 17分 学科网（北京）股份有限公司 $