云南玉溪师范学院附属中学2025-2026学年高二下学期第二次校测数学试题

高二下学期第二次校测数学试卷 出题人 石玉 审题人 邓敬也 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的 1.在的展开式中，的系数为（ ） A. B.5 C. D.10 2.已知向量，，若，则（ ） A. B. C.1 D.2 3.已知直线：，将绕点逆时针旋转角后得到直线，若与直线垂直，则旋转角的大小为（ ） A. B. C. D. 4.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A.60种 B.120种 C.240种 D.480种 5.已知双曲线：，顶点到渐近线的距离为，则离心率（ ） A. B. C. D.2 6.已知，为正实数且，则的最小值为（ ）. A. B. C. D. 7.设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 8.的内角，，的对边分别为，，.若的面积为，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知函数的图象是由函数的图象向右平移个单位得到，则（ ） A.的最小正周期为 B.在区间上单调递增 C.的图象关于直线对称 D.的图象关于点对称 10.已知球的半径为，则下列结论正确的是（ ） A.球的表面积为 B.球的内接正方体的棱长为1 C.球的外切正方体的棱长为 D.球的内接正四面体的棱长为2 11.设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，则______. 13.直线过点，且与抛物线交于，两点.若，则线段的中点到轴的距离是______. 14.接种流感疫苗能有效降低流行感冒的感染率，某学校的学生接种了流感疫苗，已知在流感高发时期，未接种疫苗的感染率为，而接种了疫苗的感染率为.现有一名学生确诊了流感，则该名学生未接种疫苗的概率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（本小题13分） 一次性医用口罩是适用于覆盖使用者的口、鼻及下颌，用于普通医疗环境中佩戴、阻隔口腔和鼻腔呼出或喷出污染物的一次性口罩.按照我国医药行业标准，口罩对细菌的过滤效率达到95%及以上为合格，98%及以上为优等品.某部门为了检测一批口罩对细菌的过滤效率，随机抽检了200个口罩，将它们的过滤效率（百分比）按照，，，，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的值并估计这一批口罩中优等品的概率； （2）为了进一步检测样本中优等品的质量，用分层抽样的方法从和两组中抽取7个口罩，再从这7个口罩中随机抽取3个口罩做进一步检测，记取自的口罩个数为，求的分布列与期望. 16.（本小题15分） 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若等比数列满足，，求数列的前项和. 17.（本小题15分） 如图，四棱锥中，底面为菱形，侧面为等边三角形，平面平面，，，是的中点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值. 18.（本小题17分） 已知椭圆的焦点，在轴上，焦距为4，点在椭圆上，过点的直线交椭圆于，两点. （1）求椭圆标准方程； （2）若直线与坐标轴不垂直，在轴上是否存在点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 19.（本小题17分） 已知函数. （Ⅰ）讨论函数的单调性； （Ⅱ）设，为两个不相等的正数，，证明：. 高二下学期第二次校测数学答案 1.C 2.D 3.D 4.C 5.A 6.A 7.D 8.C 9.AD 10.AD 11.BCD 12.3 13.3 14. 15.解：（1）由频率分布直方图得， ， 所以估计这一批口罩中优等品的概率为. （2）由频率分布直方图得， 这一批口罩中的过滤效率位于区间、中的频率为0.25、0.1， 则用分层抽样的方法从和两组中抽取的个数应为 ，， 所以的可能取值为1、2、3， 所以，， 所以的分布列为： 1 2 3 故的期望. 16.解：（1）因为在数列中，， 当时，，两式相减得，即， 当时，，符合上式，所以； （2）由（1）知，，，因为数列是等比数列，设公比为， 所以，所以，所以， 所以 . 17.解：（1）证明：，是的中点， ， 平面平面， 平面平面，平面， 平面， 又平面，； （2）平面，平面，， 是正三角形，是的中点， ， ，，两两垂直， 以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， ，， 设是平面的一个法向量， 则， 令，得， 轴与平面垂直，是平面的一个法向量 ， 设二面角的平面角为，结合图形可知为锐角，故； 二面角的余弦值为. 18.解：（1）设椭圆的标准方程为， 因为焦距为4， 所以， 所以， 因为点在椭圆上， 所以，得， 所以椭圆的标准方程为. （2）假设存在点满足条件， 因为直线与坐标轴不垂直， 设过点的直线的方程为， 设，， 如图： 联立， 得， 因为在椭圆内，所以， 则，， 因为， 则， 即， 即， 即 整理得 则 整理得， 解得， 所以存在点，使得. 19.解：（Ⅰ），， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 故函数在上单调递增，在上单调递减， （Ⅱ）证明：由，得， 令，， 则，是的两根，其中 不妨令，，则，， 要证，即证，即证， 令，， 则， ， 所以在上单调递减， 所以， 所以， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $