精品解析：2026年江苏省无锡市新吴区中考二模考试数学试题

2026年初中学业水平考试适应性练习 数学试卷 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为120分钟．试卷满分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号是否与本人的相符合． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 端午前夕，学校食堂调查学生对豆沙粽、蛋黄粽、肉粽这三种粽子的喜爱程度，以决定最终的采购方案．下面统计量中，最值得关注的是（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数 4. 如果，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点A、B、C、D、E、F、G都为格点（方格纸中小正方形的顶点），若经过点C的直线平行于，则可能经过的点是（ ） A. 点D B. 点E C. 点F D. 点G 6. 如图，为的直径，点C，D是上的两点，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将绕顶点顺时针旋转得到对应．若点恰好落在边上，则的大小是（ ） A. B. C. D. 8. 活动课上，学习委员把班级40名同学分成若干个学习小组，若每组只能是3人或4人，则分组方案一共有（ ） A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 9. 如图，的顶点A，B，C均在坐标轴上，与y轴交于点E，且，若反比例函数经过点D，则k的值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 10. 若一个函数的图象上存在点，满足，则称该函数为“绝对不动点函数”，这个点为该函数图象上的一个绝对不动点．例如：对于函数图象上的点，因为，则我们称函数为“绝对不动点函数”，点为该函数图象上的一个绝对不动点．下列说法： ①一次函数是“绝对不动点函数”，且只有1个绝对不动点； ②反比例函数一定是“绝对不动点函数”，且一定有4个绝对不动点； ③若二次函数是“绝对不动点函数”，且有4个绝对不动点，则或； ④若二次函数的顶点为绝对不动点，则的取值范围为． 其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ①③④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，其中第17题第1个空1分，第2空2分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 8的立方根是________． 12. 因式分解：__________． 13. 春风又绿江南岸，樱花赛道正当燃，2026年无锡马拉松吸引了来自全球的顶尖高手与大众跑者，有效报名人数高达万，创造了中国及亚洲马拉松报名新纪录，最终约名选手站上起跑线．数据用科学记数法可表示为_________． 14. 请写出一个既是中心对称又是轴对称的几何图形：_________． 15. 用反证法证明“在中，如果，那么”，第一步应假设_________． 16. 用半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为_____． 17. 图1是《天工开物》记载的我国春秋时期提水的器具——桔槔（ ），图2是横杆处于水平时的示意图，表示支架且与地面垂直，，是固定长度的竹竿均垂直于地面，米，横杆米，．当竹竿与水桶的连接点的位置低于地面米时（如图3），若的度数为，则的度数为_________（用含的代数式表示）；若支架与竹竿之间的距离是米，则这个桔槔支架的高度为_________米． 18. 如图，在四边形中，（），，当边长取得最大值时，则的值为_________． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算及解方程 （1）计算： ； （2）解方程：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，在矩形中，点，在边上，连接，，． （1）求证：； （2）当，，求的长． 22. 如图是某校停车场一处相邻的四个空闲车位，分别记为A，B，C，D．现王老师、李老师准备把车停到车位上．（每辆车只占一个车位，每个车位仅停一辆车） （1）若王老师先选择车位，则停在“A”车位是 事件．（填“随机”“必然”或“不可能”）； （2）若王老师、李老师各自随机选择一个车位停车，用画树状图或列表的方法，求两人停在相邻车位的概率． 23. 继去年以“草根赛事”火热出圈后，2026赛季的“苏超”如约重返江湖，对于“苏超”的成功，某自媒体对小区部分居民进行了随机抽样调查，选取其中五个热点话题，分别为A．以城为名——强化归属感；B．社交传媒——网络玩爆梗；C．赛事升级——城市嘉年华；D．票根经济——驱文旅消费；E．商业赞助——引体系创新．每人只能从中选一个热点话题．根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，解决下列问题： （1）本次调查样本容量为 ，请补全条形统计图； （2）热议话题E所在扇形的圆心角度数为 °； （3）若这个小区居民共有1800人，根据抽样调查的结果，估计该小区居民中热点话题是“社交传媒——网络玩爆梗”的大约有多少人？ 24. 如图，已知． （1）请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的垂线，在上求作点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，，则点到的距离为 ．（如需画草图，请使用备用图） 25. 如图，中，，平分交于点，点在斜边上，以为半径的经过点，交于点，交于． （1）求证：为的切线； （2）若的半径为3，，求的长． 26. 如图1，花洒一端的插口P安装在固定高度的支撑杆上，握把长，握把可在竖直方向绕着点P转动．图2是花洒喷水后的截面示意图，水流近似为射线状，设计要求水流方向和握把垂直，即，身高长的小军站在支撑杆的正前方的处．已知，，且，．设．（注：所有图形都在同一平面内） （1）当时，花洒喷出的水刚好碰到小军的头顶B，求小军身高的长约为多少（精确到）； （2）如图3，小军洗完澡后，将握把绕着插口P顺时针转动一定的角度，以此调整水柱，确保在处冲到脚．求此时的度数．（精确到） （参考数据：，，，，） 27. 已知二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求二次函数的表达式； （2）点为抛物线上一点，且，求点的坐标； （3）若轴下方的抛物线上有点，点关于轴的对称点为点，直线交抛物线于点，当时，求点的坐标． 28. 在中，，，为边的中点，点从出发沿着边，运动，直至到点时停止运动，将沿直线折叠，设动点的移动路程为． （1）如图1，若时，当点的对称点在下方，且到的距离为1时，求的值； （2）如图2，若时，点的对称点落在的内部（不含边界），直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平考试适应性练习 数学试卷 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为120分钟．试卷满分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号是否与本人的相符合． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵与互为相反数，根据有理数加法法则，互为相反数的两个数的和为， ∴． 2. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵分式有意义时，分式的分母不能为0， ∴， 解得． 3. 端午前夕，学校食堂调查学生对豆沙粽、蛋黄粽、肉粽这三种粽子的喜爱程度，以决定最终的采购方案．下面统计量中，最值得关注的是（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数 【答案】D 【解析】 【分析】学校食堂调查的目的是得出最喜欢哪种口味的粽子的人数最多的人数最多，以便决策，再根据众数的意义，即可得出结果． 【详解】解：根据题意，可知：学校食堂调调查的目的是明确最喜欢哪种口味的粽子的人数最多， ∵众数是数据中出现次数最多的数， ∴最值得关注的是统计数据中的众数． 故选：D． 【点睛】本题考查了统计的有关知识，理解平均数、中位数、众数、方差的意义是解题的关键． 4. 如果，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据不等式的基本性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A：由于不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，则，故A正确； 选项B：由于不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，则，故B错误； 选项C：由于不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，则，故C错误； 选项D：由于，移项得，故D错误． 5. 如图，点A、B、C、D、E、F、G都为格点（方格纸中小正方形的顶点），若经过点C的直线平行于，则可能经过的点是（ ） A. 点D B. 点E C. 点F D. 点G 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格结构，观察线段在水平方向和竖直方向的变化量，利用平移的性质确定直线的变化规律，从而判断直线可能经过的点． 【详解】解：设小正方形的边长为1．观察图形可知，从点到点，水平方向向右移动个单位，竖直方向向下移动个单位．  直线，点在直线上， 从点出发，向右移动个单位，向下移动1个单位，应到达直线上的另一个格点．观察图形，点向右格、向下格恰好到达点． 直线可能经过点 ． 6. 如图，为的直径，点C，D是上的两点，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，利用圆周角定理得到，再根据直径所对的圆周角是直角得到，最后利用直角三角形两锐角互余计算即可． 【详解】解：连接， ， ， 为的直径， ， ． 7. 如图，将绕顶点顺时针旋转得到对应．若点恰好落在边上，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由旋转性质可知，，，，然后通过等边对等角，三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由旋转性质可知，，，， ∴， ∴． 8. 活动课上，学习委员把班级40名同学分成若干个学习小组，若每组只能是3人或4人，则分组方案一共有（ ） A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 【答案】C 【解析】 【分析】本题是二元一次方程的实际应用问题，解题思路是根据总人数列出方程，结合分组数为非负整数，找出所有符合条件的分组方案即可． 【详解】解：设3人组有组，4人组有组，其中均为非负整数， 根据题意得 ， 变形得 ， 和互质， 必为的倍数， 又 ， ， 因此的可取非负整数值为，，， ，对应的值分别为，，， ，均符合要求， 分组方案一共有种，故选C． 9. 如图，的顶点A，B，C均在坐标轴上，与y轴交于点E，且，若反比例函数经过点D，则k的值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】先由平行得到 ，再由，可得，设，分别表示出其他的边长从而得到点D的坐标代入函数解析式，由此求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 设，则，， 由 ，即 ，得， 故， ∴， 因为且，且在轴上， ∴点， ∵， ∴点， ∵反比例函数经过点， 则： ． 10. 若一个函数的图象上存在点，满足，则称该函数为“绝对不动点函数”，这个点为该函数图象上的一个绝对不动点．例如：对于函数图象上的点，因为，则我们称函数为“绝对不动点函数”，点为该函数图象上的一个绝对不动点．下列说法： ①一次函数是“绝对不动点函数”，且只有1个绝对不动点； ②反比例函数一定是“绝对不动点函数”，且一定有4个绝对不动点； ③若二次函数是“绝对不动点函数”，且有4个绝对不动点，则或； ④若二次函数的顶点为绝对不动点，则的取值范围为． 其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据定义，“绝对不动点函数”存在点满足，即或与函数有交点，逐个判断四个结论即可． 【详解】解：由得或，交点即为绝对不动点，逐一判断： ① 对于： 联立得：， 此情况，无解； 联立得：， 解得：，即仅个交点，为 是“绝对不动点函数”，且只有个绝对不动点， 故①正确； ②对于： 联立得：， 解得：， 联立得：， 解得：， 当时，方程 有两个实数根，方程无实数根，此时有2个“绝对不动点”， 当时，方程 无实数根，方程有两个实数根，此时有2个“绝对不动点”， 因此，该函数总是有2个“绝对不动点”，而不是4个， 故②错误； ③对于： 联立得：， 即， 联立得：， 即， 要有个不同绝对不动点，需两个方程都有两个不等实根， 则判别式， 解得：， 当时，两个方程有公共根，仅得到个不同绝对不动点， 因此，即或， 故③正确； ④对于， 则顶点坐标为， 由于顶点是绝对不动点， 则， 整理得：， 即， ， 故④正确； 综上所述，正确的有：①③④． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，其中第17题第1个空1分，第2空2分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 8的立方根是________． 【答案】2 【解析】 【分析】立方根的定义：如果一个数满足，那么叫做的立方根． 【详解】解：∵， ∴8的立方根是2． 12. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查提公因式法分解因式，找准公因式是解题的关键． 直接利用提公因式法求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 春风又绿江南岸，樱花赛道正当燃，2026年无锡马拉松吸引了来自全球的顶尖高手与大众跑者，有效报名人数高达万，创造了中国及亚洲马拉松报名新纪录，最终约名选手站上起跑线．数据用科学记数法可表示为_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 14. 请写出一个既是中心对称又是轴对称的几何图形：_________． 【答案】圆（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，找出同时满足两个定义的几何图形即可． 【详解】解：平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形；平面内将一个图形绕某一点旋转，旋转后的图形能与原图形重合的图形是中心对称图形． 圆沿任意过圆心的直线折叠，直线两旁的部分都可完全重合，且圆绕圆心旋转后能与自身重合，符合要求． 故答案为：圆（答案不唯一）． 15. 用反证法证明“在中，如果，那么”，第一步应假设_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：用反证法证明命题时，第一步需假设结论不成立，原命题结论为，因此第一步应假设． 16. 用半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】设这个圆锥的底面圆半径为r，利用弧长公式得到并解关于r的方程即可． 【详解】设这个圆锥的底面圆半径为r， 根据题意得2πr=， 解得r=1， 所以这个圆锥的底面圆半径为1． 故答案为1． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 17. 图1是《天工开物》记载的我国春秋时期提水的器具——桔槔（ ），图2是横杆处于水平时的示意图，表示支架且与地面垂直，，是固定长度的竹竿均垂直于地面，米，横杆米，．当竹竿与水桶的连接点的位置低于地面米时（如图3），若的度数为，则的度数为_________（用含的代数式表示）；若支架与竹竿之间的距离是米，则这个桔槔支架的高度为_________米． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据垂直于同一直线的两直线平行，可得，再利用平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）即可求解；（2）先根据线段比例关系求出和的长，在 中利用勾股定理求出的长，再通过构造相似三角形求出点与点的竖直距离，最后结合点的位置求出的高度，即可求解． 【详解】解：地面，地面， . ， ， ，， ， 在 中，， ， 由勾股定理得： 过点作交的延长线于点，则 地面，地面， ． 又 ， . 点的位置低于地面米，， 点离地面的高度为 （米）． （米）． 18. 如图，在四边形中，（），，当边长取得最大值时，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】作交于点，过点分别作的垂线交于点，证明四边形是等腰梯形，设，证明，求得，根据最大值，取得最大值，得出，即可求解． 【详解】解：如图，作交于点，过点分别作的垂线，垂足分别为点， ∵， ∴ ∴，， ∵ ∴四边形是等腰梯形， ∴， 设 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得： ∴当时最大，则取得最大值， ∴当边长取得最大值时，则的值为． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算及解方程 （1）计算： ； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用负整数指数幂、零指数幂的运算规则，以及特殊角的三角函数值，分别计算各项后合并即可得到结果； （2）先去分母将分式方程转化为整式方程求解，再检验即可得到结果． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： 原方程为 ， 去分母可得， ， 去括号可得， ， 解得：， 检验：当时， ， 所以是原分式方程的解． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 如图，在矩形中，点，在边上，连接，，． （1）求证：； （2）当，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得到，，利用角的等量代换求出，即可证明； （2）先求出的长，再利用勾股定理运算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴在中，． 22. 如图是某校停车场一处相邻的四个空闲车位，分别记为A，B，C，D．现王老师、李老师准备把车停到车位上．（每辆车只占一个车位，每个车位仅停一辆车） （1）若王老师先选择车位，则停在“A”车位是 事件．（填“随机”“必然”或“不可能”）； （2）若王老师、李老师各自随机选择一个车位停车，用画树状图或列表的方法，求两人停在相邻车位的概率． 【答案】（1）随机 （2），见详解 【解析】 【分析】（1）直接根据事件的分类解答即可； （2）用树状图列举出所有等可能的结果数以及两人停放在相邻车位的结果数，再利用概率公式求解． 【小问1详解】 解： 王老师先选择车位时，可能选到A，B，C，D中的任意一个，所以他停在“A”车位是随机事件； 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，所有等可能的结果共有12种，其中两个车位相邻的有6种结果， 所以（两人停在相邻车位）=． 23. 继去年以“草根赛事”火热出圈后，2026赛季的“苏超”如约重返江湖，对于“苏超”的成功，某自媒体对小区部分居民进行了随机抽样调查，选取其中五个热点话题，分别为A．以城为名——强化归属感；B．社交传媒——网络玩爆梗；C．赛事升级——城市嘉年华；D．票根经济——驱文旅消费；E．商业赞助——引体系创新．每人只能从中选一个热点话题．根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，解决下列问题： （1）本次调查样本容量为 ，请补全条形统计图； （2）热议话题E所在扇形的圆心角度数为 °； （3）若这个小区居民共有1800人，根据抽样调查的结果，估计该小区居民中热点话题是“社交传媒——网络玩爆梗”的大约有多少人？ 【答案】（1）200； （2）； （3）540人 【解析】 【分析】（1）由条形统计图知为60人，扇形统计图知占，用除法可求样本容量，再用总人数减去已知四项人数得的人数； （2）先求所占百分比，再乘以得圆心角度数； （3）用总体人数乘以样本中所占百分比即可估计总体中的人数． 【小问1详解】 解：由条形统计图知热点话题的人数为60人， 由扇形统计图知占总人数的， 本次调查样本容量为． 为50人，为60人，为20人，为40人， 的人数为． 补全条形统计图略 【小问2详解】 解：热点话题所占百分比为， 所在扇形的圆心角度数为． 【小问3详解】 解：样本中热点话题所占百分比为， 估计该小区1800名居民中选的人数约为人． 24. 如图，已知． （1）请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的垂线，在上求作点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，，则点到的距离为 ．（如需画草图，请使用备用图） 【答案】（1）解：如图，直线，点即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）过点作的垂线，作线段的垂直平分线．垂足为，交直线于点，点即为所求； （2）连接，设直线交于点，利用面积法求出，设，构建方程求出，再利用勾股定理求解． 【小问1详解】 如图，直线，点即为所求； 【小问2详解】 解：连接，设直线交于点． ， 面积＝，， ， ， ， 垂直平分线段， ＝， 设，则有， 解得， ， ， 点到距离为． 25. 如图，中，，平分交于点，点在斜边上，以为半径的经过点，交于点，交于． （1）求证：为的切线； （2）若的半径为3，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质，易证，从而，进而，根据切线的判定，即可求证； （2）根据三角形相似的判定，可得，进而，计算即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 平分， ， ， ， ， ， ，即， 是的半径， 为的切线； 【小问2详解】 解：的半径为3， ， ， ，， 由（1）知，， ， ，即， ． 26. 如图1，花洒一端的插口P安装在固定高度的支撑杆上，握把长，握把可在竖直方向绕着点P转动．图2是花洒喷水后的截面示意图，水流近似为射线状，设计要求水流方向和握把垂直，即，身高长的小军站在支撑杆的正前方的处．已知，，且，．设．（注：所有图形都在同一平面内） （1）当时，花洒喷出的水刚好碰到小军的头顶B，求小军身高的长约为多少（精确到）； （2）如图3，小军洗完澡后，将握把绕着插口P顺时针转动一定的角度，以此调整水柱，确保在处冲到脚．求此时的度数．（精确到） （参考数据：，，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作支撑杆的垂线，交延长线于，构造矩形，把转化为；利用求出，再用求出； （2） 连，先在中求出及；由与重合得，在中求出；最后利用平角建立角度关系求出． 【小问1详解】 解：过点作于点，交延长线于点， ，，， 四边形为矩形， ，，． 在中，，， ， ， ， ． ，， ． 在中， ， ∴． 【小问2详解】 连接， 在中，，， ． ， ． 水流过点且， ． 在中，， 参考数据， ， ， ， ． 27. 已知二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求二次函数的表达式； （2）点为抛物线上一点，且，求点的坐标； （3）若轴下方的抛物线上有点，点关于轴的对称点为点，直线交抛物线于点，当时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入二次函数求出的值，即可得到表达式； （2） 先求出，过点作交于点，过点作轴于点，得出，得出直线的解析式为 ，联立直线与抛物线方程，舍去点后得到点坐标； （3）根据关于轴的对称点为 ，求出直线的解析式为 ，联立抛物线得到点坐标与的关系，代入求解得到，进而得到点坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：已知二次函数 ，点 在函数图象上， 把代入函数得：， 解得， 因此二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：令，则， 因式分解得， 解得， 因为点在点左侧，所以； 过点作交于点，过点作轴于点， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ 设直线的解析式为， ∴ 解得：， 所以直线的解析式为 ， 联立， 解得：或 因此点P的坐标为 ； 【小问3详解】 解：由题意得，点 在抛物线上，所以 ， 关于轴的对称点为 ， 已知， 设直线的解析式为 ∴ 解得： 所以直线的解析式为 ， 联立， 整理得 ， 移项因式分解得 ， 解得（对应点，舍去），或 因此点横坐标， ， 由题意， 代入得：  ， 整理得 ， 解得， 代入得 ， 因此点的坐标为 28. 在中，，，为边的中点，点从出发沿着边，运动，直至到点时停止运动，将沿直线折叠，设动点的移动路程为． （1）如图1，若时，当点的对称点在下方，且到的距离为1时，求的值； （2）如图2，若时，点的对称点落在的内部（不含边界），直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）利用矩形性质与折叠性质，通过作双垂线构造矩形与直角三角形，用勾股定理列方程求解． （2）过点作垂线构造直角三角形，由勾股定理求出，再由折叠性质得．分点在上和点在上两种情况，找到点落在各边界上的临界位置，从而确定的取值范围． 【小问1详解】 解：过点作于点，于点， 四边形是矩形， ，， 四边形为矩形， ，． 到的距离为，， ， ． 由折叠性质知， 在中，，， ． ， ， ． 在上，， ． 在中，， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：解：过点作于点， ∵，， ∴， ∴在中，， ∵为中点，， ∴， ∴在中，， 由折叠性质得，． 当点在上时，，此时，， 当点落在上时， ∵，，点在上， ∴， 过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， 即， 解得， 当点落在上时，在直线上， ∵垂直平分， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴当时，点落在内部． 当点在上时，，此时，， 当点落在上时，在直线上， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得， 当点落在上时， ∵，，点在上， ∴， 当时，过点作于点， ∵四边形是矩形， ∴， ， ∴， ∴ ， ∴在 中，， 即， ∴ ， ∴ ， 解得， ∴当时，点落在内部． 综上，的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $