精品解析：2025年江苏省无锡市新吴区中考二模数学试卷

2025初中学业水平考试适应性练习 数学试卷 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为120分钟，试卷满分为150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 的相反数是（　　） A 5 B. C. D. 2. 若分式的值为零，则的取值为（　　） A. 3 B. 2 C. D. 3. 下列计算正确的是（　　） A B. C. D. 4. 为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“科”“技”的坐标分别为，，则“新”所在的象限为（　　）     A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 某学生六次数学成绩（单位：分）为：、、、、、，则这组数据的众数与极差分别是（　　） A. 80.5，17 B. 80.5，9 C. 81，9 D. 81，17 6. 下列命题中的假命题是（　　） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形． B. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形． C. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形． D. 对角线相等的四边形是矩形． 7. 《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，寸）．意思是：现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余尺．问长木长多少？设长木长为尺，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 8. 操作与发现：如图①，将正方形纸片沿对角线折叠一次，剪去阴影部分（直角梯形）．如图②，将正方形纸片沿对角线折叠两次，剪去阴影部分（直角梯形）．与原正方形纸片相比，下列说法正确的是……（　　） A. 图①、图②展开后周长均变大． B. 图①、图②展开后周长均不变． C. 图①、图②展开后周长均变小． D. 图①展开后周长不变，图②展开后周长变大． 9. 在平面直角坐标系中，将抛物线向上（下）或向左（右）平移个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则的最小值为（　　） A. 1 B. 1 C. D. 4 10. 如图，在正方形中，、分别为、的中点，连接、交于点，将沿对折，得到，延长线交延长线于点，下列结论正确的个数为（　　） ①；②；③；④； ⑤． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，其中第18题第1个空1分，第2空2分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 计算：___________． 12. 命题“对顶角相等”的逆命题是_______． 13. 用反证法证明“若，则”时，应首先设_____________． 14. 已知圆弧所在圆的半径为，所对的圆心角为，则这条弧的长为_____． 15. 已知一个函数的图象在第一象限内随着的增大而增大，请写出符合条件的函数表达式___________． 16. 新吴区某校在设计班徽活动中，七（1）班美术老师调查了本班每位同学在“红、黄、粉、蓝”四个颜色中最喜欢的主体颜色，并绘制了不完整的扇形统计图（图①）及条形统计图（图②，柱的高度从高到低排列）．条形统计图不小心被撕了一块，图2中括号处（第三组）应填的颜色是___________． 17. 如图，在矩形中，已知为边上的中点，若将沿着直线翻折，使点A落在点处，连接，则___________． 18. 如图，矩形的两边落在坐标轴上，反比例函数的图象在第一象限的分支交于点，交于点，直线交轴于点，交轴于点，连接． （1）___________（填“>”“<”或“=”）． （2）若，则___________． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）因式分解： （2）解不等式组：． 20. 如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点测得该楼顶部点的仰角为，测得底部点的俯角为，点与楼的水平距离米，求这栋楼的高度（结果保留根号）． 21. 如图，在中，是上一点，，是外一点，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 22. 某中学为了考前给学生减压，计划九年级各班分班进行“欢乐端午节”活动，九（1）班学生已竞选出三位男生和两位女生作为候选主持人．每位候选人既积极又优秀，班主任基于公平原则准备随机抽签决定． （1）若从这五位候选人中随机选出一位主持人，则选到女生的概率是___________． （2）若从这五位候选人中随机选出两位主持人，请用列表或画树状图的方法，求一男一女当选的概率． 23. 在太空种子种植体验实践活动中，为了解“宇番2号”番茄，某校科技社团小组随机调查了若干株番茄的挂果数量（单位：个），并绘制如下不完整的统计图表：请根据以上信息回答下列问题： “宇番2号”番茄挂果数量统计表 挂果数量（个） 频数（株） 频率 6 12 9 （1）本次抽样调查的样本容量为___________．统计表中， _____， ______， _____； （2）将频数分布直方图中第三组和第四组补充完整； （3）若绘制“挂果数量扇形统计图”，则挂果数量在所对应扇形圆心角度数为___________； （4）若所种植“宇番2号”番茄有1000株，请估计挂果数量在“”范围的番茄有多少株？ 24. 如图，在中，，，，点O为边上一点，切边于点D，设，的半径为y． （1）求y关于x的函数解析式； （2）当时，求在边上截得的线段的长． 25. 某水果店对一款成本价为每盒30元的车厘子进行销售，如果按每盒40元销售，每天可卖出50盒．通过市场调查发现，每盒售价每上涨1元，则日销售量减少1盒． （1）若该水果店某天销售车厘子的盈利为800元，求每盒车厘子的售价； （2）当每盒车厘子的售价定为多少元时，该水果店销售车厘子可以获得最大日利润？并求出最大日利润． 26. 新定义：若直角三角形的两直角边的比值为（为正整数），这样的直角三角形称为“型三角形”．（尺规作图要求：在不使用刻度的情况下用直尺和圆规作图，不写做法，保留作图痕迹） （1）如图1，已知“型三角形”，其中，，点在斜边上，且，过点作于点，连接，求证：是“型三角形”． （2）如图2，已知是“型三角形”（为正整数），其中，，请利用直尺和圆规在中作出一个，使得是“型三角形”．（其中，） 27. 【问题原型】在数学活动课上，老师给出如下问题：如图①，在中，，以为斜边作直角三角形，点在边同侧，与交于点，连接，过于点．求证：（请根据下面的要求完成证明）． 【解决问题】（1）如图②，有思维敏捷的同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．请根据上述解题思路写出证明的完整过程． 【实践应用】（2）的大小为___________度； （3）若是的中点，且，求四边形的面积． 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，经过点的直线与抛物线交于点，与轴交于点． （1）求此二次函数的表达式和顶点的坐标； （2）点是线段上一动点，点是线段上一动点，且，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025初中学业水平考试适应性练习 数学试卷 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为120分钟，试卷满分为150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 的相反数是（　　） A. 5 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，的相反数是，负数的相反数是正数． 【详解】解：的相反数是5， 故选：A． 2. 若分式的值为零，则的取值为（　　） A 3 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】使分子等于0，分母不等于0，解方程求得．本题考查了分式的值为0 的条件，熟练掌握分子等于0，分母不等于0 ，是解决此类问题的关键． 【详解】∵分式的值为零， ∴ ， ∴， ∴． 故选B 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：∵不是同类项，无法计算，错误， 故A不合题意． ∵，错误， ∴B不合题意． ∵，错误， ∴C不合题意． ∵，正确， ∴D合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握公式和运算的法则是解题的关键． 4. 为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“科”“技”的坐标分别为，，则“新”所在的象限为（　　）     A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了判断点的坐标所在象限，由题意建立平面直角坐标系，再结合坐标系即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵建立平面直角坐标系，使“科”“技”的坐标分别为，， ∴建立平面直角坐标系如图所示： ， ∴“新”所在的象限为第四象限， 故选：D． 5. 某学生六次数学成绩（单位：分）为：、、、、、，则这组数据的众数与极差分别是（　　） A. 80.5，17 B. 80.5，9 C. 81，9 D. 81，17 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了众数和极差，根据众数和极差的定义计算即可得解，熟练掌握众数和极差的定义是解此题的关键． 【详解】解：在这组数据中出现次数最多的为，故众数为， 将这组数据按从小到达排列为：、、、、、，故极差为， 故选：D． 6. 下列命题中的假命题是（　　） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形． B. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形． C. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形． D. 对角线相等的四边形是矩形． 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行四边形、正方形、矩形及菱形的判定定理对各选项逐一判断后即可确定正确的选项．本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、正方形、矩形及菱形的判定定理，难度中等． 【详解】A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意； B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，是真命题，不符合题意； C、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，是真命题，不符合题意； D、对角线相等的四边形不一定是矩形，故本选项原说法是假命题，符合题意； 故选：D． 7. 《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，寸）．意思是：现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余尺．问长木长多少？设长木长为尺，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设长木长为尺，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设长木长为尺， 根据题意得，， 故选：． 8. 操作与发现：如图①，将正方形纸片沿对角线折叠一次，剪去阴影部分（直角梯形）．如图②，将正方形纸片沿对角线折叠两次，剪去阴影部分（直角梯形）．与原正方形纸片相比，下列说法正确的是……（　　） A. 图①、图②展开后周长均变大． B. 图①、图②展开后周长均不变． C. 图①、图②展开后周长均变小． D. 图①展开后周长不变，图②展开后周长变大． 【答案】B 【解析】 【分析】设正方形的边长为，则正方形的周长为，根据折叠的性质，正方形的判定和性质，图形的周长解答即可． 本题考查了折叠的性质，正方形的判定和性质，图形的周长，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为，则正方形的周长为， 如图，根据折叠性质和正方形的性质，得到四边形都是矩形， 得到， 第一次剪裁后，图形的周长为 ， 故第一次剪裁后图形周长与原正方形的周长相同； 同理可证，第二次剪裁后的图形周长与原正方形的周长也是相同的， 故选：B． 9. 在平面直角坐标系中，将抛物线向上（下）或向左（右）平移个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则的最小值为（　　） A. 1 B. 1 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，先求出抛物线与轴、轴的交点坐标，进而可得平移方向及平移距离，据此即可求解，求出抛物线与坐标轴的交点坐标是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线， 当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为； 当时，， 解得，， ∴抛物线与轴的交点坐标为和， ∴将抛物线向下平移4个单位长度，或者向左平移个单位长度，或者向右平移个单位长度，可以使平移后的抛物线恰好经过原点， ∴的最小值为， 故选：C． 10. 如图，在正方形中，、分别为、的中点，连接、交于点，将沿对折，得到，延长线交延长线于点，下列结论正确的个数为（　　） ①；②；③；④； ⑤． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质易证，即可判断①；根据，，即可得到，从而推出为直角三角形，即可判断②；根据，得到，结合折叠的性质可知，即可判断③；由③可知，根据正方形的性质和折叠的性质可得到，，，不妨设，，则，，利用勾股定理可求得，从而用表示出和，即可判断④；设与交于点，根据①②所得和折叠的性质可证，，得到，，进而得到为的中位线，然后由三角形面积公式得到，结合即可判断⑤． 【详解】解：四边形为正方形，、分别为、中点， ，，，， ， ， ，故①正确； 由①可知， ， ，即， ， 在中，，故②正确； 四边形为正方形， ， ， 将沿对折，得到， ， ，故③正确； 由③可知， 四边形为正方形，点、分别为、的中点， ，， ， 将沿对折，得到， ，，， ， 不妨设，，则，， 在中，，即， 解得， ，， ，故④错误； 设与交于点，如图所示： 由①②可知，，，， 将沿对折，得到， ，， ， ， ，， ，， 点为的中点， ， ， 为的中位线， ， ，， ， ，， ，故⑤正确； 综上所述，结论正确的有4个． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，三角形中位线的判定与性质，平行线分线段成比例等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，其中第18题第1个空1分，第2空2分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 计算：___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求一个数的算术平方根，零指数幂，一个数的乘方等知识点，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． 利用求一个数的算术平方根，零指数幂，一个数的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 12. 命题“对顶角相等”的逆命题是_______． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 【解析】 【分析】本题主要考查了写出一个命题的逆命题，把原命题的条件与结论互换写出对应的逆命题即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角， 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角． 13. 用反证法证明“若，则”时，应首先设_____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了反证法．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断． 【详解】解：a，b的等价关系有两种情况，因而的反面是． 因此用反证法证明“”时，应先假设． 故答案为：． 14. 已知圆弧所在圆的半径为，所对的圆心角为，则这条弧的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查弧长的计算，直接利用公式求解即可，解题的关键是熟练掌握弧长公式的应用． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 15. 已知一个函数的图象在第一象限内随着的增大而增大，请写出符合条件的函数表达式___________． 【答案】（不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的图像及性质作答即可。掌握一次函数的性质是解题的关键。一个一次函数的图象在第一象限内随着的增大而增大，则比例系数，符合条件即可. 【详解】解：一个一次函数的图象在第一象限内随着的增大而增大，只要比例系数即可，如： 故答案：（不唯一）. 16. 新吴区某校在设计班徽活动中，七（1）班美术老师调查了本班每位同学在“红、黄、粉、蓝”四个颜色中最喜欢的主体颜色，并绘制了不完整的扇形统计图（图①）及条形统计图（图②，柱的高度从高到低排列）．条形统计图不小心被撕了一块，图2中括号处（第三组）应填的颜色是___________． 【答案】红 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，解题关键是熟练准确从统计图中获取正确信息．根据同学最喜欢的颜色最少的是蓝色，可求出总人数，可求出喜欢红色的14人，则可知喜欢粉色和黄色的人数分别为16人和15人，可知“（ ）”应填的颜色． 【详解】解：同学最喜欢的颜色最少的是蓝色，有5人，占， ∴本班学生总人数为：（人）， 喜欢红色的人数为（人）， 喜欢红色和蓝色一共有（人）， 喜欢剩余两种颜色的人数为（人）， 其中一种颜色的喜欢人数为16人，另一种为15人，由柱的高度从高到低排列可得，第三条的人数为14人，“（ ）”应填的颜色是红色； 故答案为：红． 17. 如图，在矩形中，已知为边上的中点，若将沿着直线翻折，使点A落在点处，连接，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】求出，由勾股定理求出，由翻折变换的性质得出，因此，由等腰三角形的性质得出，由三角形的外角性质得出，即可得出． 【详解】∵四边形是矩形， ∴， ∵，E是的中点， ∴， ∵， ∴， 由翻折知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折的性质，三角形外角性质，等腰三角形判定和性质，勾股定理，余弦定义，解直角三角形，熟练掌握各知识点是解题的关键． 18. 如图，矩形的两边落在坐标轴上，反比例函数的图象在第一象限的分支交于点，交于点，直线交轴于点，交轴于点，连接． （1）___________（填“>”“<”或“=”）． （2）若，则___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质，一次函数的图象性质，矩形的性质，平行四边形的判断及性质，几何图形的面积公式等知识点，利用代数式求出各点坐标是解题的关键． 设点的坐标为，利用矩形的性质可得到和的坐标，代入反比例中可表示出和的坐标，再求出所在直线的解析式，进而求出的坐标，进而判断，用、、表示线段长，再利用三角形面积公式列方程求解即可． 【详解】解：设点的坐标为 ∵四边形为矩形 ∴， ∵点，在反比例函数上 ∴， ∴直线的解析式为 令，则， ∴，，，， ∴，， ∴ 令，则 ∴，∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ 解得：，(舍去)， 故答案为：=，8 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）因式分解： （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先提取公因式，再用平方差公式分解因式即可． （2）根据解不等式组的基本步骤解答即可． 本题考查了因式分解，解不等式组，熟练掌握解不等式组是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解： 由①得：； 由②得： 不等式组的解集为． 20. 如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点测得该楼顶部点的仰角为，测得底部点的俯角为，点与楼的水平距离米，求这栋楼的高度（结果保留根号）． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，由题意可得米，，，，解直角三角形得出、的长，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，米，，， ∴， ∴米，米， ∴这栋楼的高度为米． 21. 如图，在中，是上一点，，是外一点，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件证即可求证； （2）根据全等三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：， ， 在和， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ，， ， . 【点睛】本题综合考查全等三角形的判定与性质．掌握相关定理是解题关键． 22. 某中学为了考前给学生减压，计划九年级各班分班进行“欢乐端午节”活动，九（1）班学生已竞选出三位男生和两位女生作为候选主持人．每位候选人既积极又优秀，班主任基于公平原则准备随机抽签决定． （1）若从这五位候选人中随机选出一位主持人，则选到女生的概率是___________． （2）若从这五位候选人中随机选出两位主持人，请用列表或画树状图的方法，求一男一女当选的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据简单地概率公式解答即可． （2）利用画树状图法解答即可． 本题考查了简单地概率公式，树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． 【小问1详解】 解：三位男生和两位女生作为候选主持人．根据题意，得选到女生的概率是， 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 一共有20种等可能性，一男一女的等可能性有12种， ∴一男一女当选的概率是：． 23. 在太空种子种植体验实践活动中，为了解“宇番2号”番茄，某校科技社团小组随机调查了若干株番茄的挂果数量（单位：个），并绘制如下不完整的统计图表：请根据以上信息回答下列问题： “宇番2号”番茄挂果数量统计表 挂果数量（个） 频数（株） 频率 6 12 9 （1）本次抽样调查的样本容量为___________．统计表中， _____， ______， _____； （2）将频数分布直方图中第三组和第四组补充完整； （3）若绘制“挂果数量扇形统计图”，则挂果数量在所对应扇形的圆心角度数为___________； （4）若所种植的“宇番2号”番茄有1000株，请估计挂果数量在“”范围的番茄有多少株？ 【答案】（1）60；15；18； （2）见解析 （3） （4）450株 【解析】 【分析】本题考查的是频数分布表和补全频数分布直方图，用样本的频率估计总体等，从统计表中获得正确的信息是解决问题的关键． （1）根据的频率为，频数为6，求总数即可；根据的频率为求出频数即可；根据总数和其他各项的频数和频率，求出b、c即可； （2）由（1）得，补全图，即可求解； （3）用乘以的频率，即可得出答案； （4）由表格可求出挂果数量在55个以上（包含55个）的频率为，从而可求解． 【小问1详解】 解：由题意得样本容量为： ， ， ， ； 故答案为：60；15；18；； 【小问2详解】 解：补全图如下： 【小问3详解】 解：挂果数量在所对应扇形的圆心角度数为： ； 【小问4详解】 解：由题意得： （株）， 答：挂果数量在“”范围的番茄有450株． 24. 如图，在中，，，，点O为边上一点，切边于点D，设，的半径为y． （1）求y关于x的函数解析式； （2）当时，求在边上截得的线段的长． 【答案】（1）；（2）8 【解析】 【分析】（1）证明△AOD∽△ABC，得到，列得，求解即可； （2）先由y=5求出x=3，作于点H，连结，利用垂径定理及勾股定理求出EH即可得到EF． 【详解】解：（1）连结， 切于点D， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）当时，， ，即， 作于点H，则， ， 连结，在中，， ． 【点睛】此题考查圆的切线的性质定理，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定及性质定理，熟练掌握圆的知识点是解题的关键． 25. 某水果店对一款成本价为每盒30元的车厘子进行销售，如果按每盒40元销售，每天可卖出50盒．通过市场调查发现，每盒售价每上涨1元，则日销售量减少1盒． （1）若该水果店某天销售车厘子的盈利为800元，求每盒车厘子的售价； （2）当每盒车厘子的售价定为多少元时，该水果店销售车厘子可以获得最大日利润？并求出最大日利润． 【答案】（1）50元或70元 （2）当每盒车厘子售价60元时，可以获得最大日利润为900元 【解析】 【分析】（1）设每盒车厘子售价元，由题意得：，解方程即可． （2）设每盒车厘子售价为元，利润为元，构造二次函数解答即可． 本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，最大利润问题，熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的最值是解题的关键． 【小问1详解】 解：设每盒车厘子售价元， 由题意得：， 解得， 答：每盒车厘子售价为50元或70元． 【小问2详解】 解：设每盒车厘子售价为元，利润为元 因为 根据图像性质当时，有最大值900 答：当每盒车厘子售价60元时，可以获得最大日利润900元． 26. 新定义：若直角三角形的两直角边的比值为（为正整数），这样的直角三角形称为“型三角形”．（尺规作图要求：在不使用刻度的情况下用直尺和圆规作图，不写做法，保留作图痕迹） （1）如图1，已知是“型三角形”，其中，，点在斜边上，且，过点作于点，连接，求证：是“型三角形”． （2）如图2，已知是“型三角形”（为正整数），其中，，请利用直尺和圆规在中作出一个，使得是“型三角形”．（其中，） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）设，则，由勾股定理可得，再由平行线分线段成比例定理可得，即可得解； （2）在上急缺，过点作于，连接，即为所求的图形，同（1）证明即可． 【小问1详解】 解：因为是“型三角形”， 所以． 设，则， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以 所以， 所以， 所以是“型三角形”； 【小问2详解】 解：如图，在上急缺，过点作于，连接，即为所求的图形， ， 因为是“型三角形”， 所以． 设，则， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以 所以， 所以， 所以是“型三角形”． 【点睛】本题考查了尺规作图，勾股定理，平行线分线成比例定理，二次根式的化简，新定义等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 27. 【问题原型】在数学活动课上，老师给出如下问题：如图①，在中，，以为斜边作直角三角形，点在边同侧，与交于点，连接，过于点．求证：（请根据下面的要求完成证明）． 【解决问题】（1）如图②，有思维敏捷的同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．请根据上述解题思路写出证明的完整过程． 【实践应用】（2）的大小为___________度； （3）若是的中点，且，求四边形的面积． 【答案】[解决问题]见解析；[实践应用]（2）135，（3）27 【解析】 【分析】（1）证明，后等量代换解答即可． （2）根据，角的和，等腰直角三角形的性质，计算的大小即可； （3）根据题意，证明，得到，再结合图形得到解答即可． 【详解】（1）证明：在上截取， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：135． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，对顶角的性质，等腰三角形三线合一性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，经过点的直线与抛物线交于点，与轴交于点． （1）求此二次函数的表达式和顶点的坐标； （2）点是线段上一动点，点是线段上一动点，且，求的最小值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】对于（1），将点代入得出方程组，求出解即可； 对于（2），先作轴，截取，得，再证明， 可得，即，然后求出直线的关系式，接下来根据勾股定理求出，当共线时，最小，最后根据勾股定理求出答案． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：，顶点； 【小问2详解】 解：过点在第二象限作轴，截取，则， ∵， ∴， ∴， 则． 设直线的关系式为， 将点代入关系式， 得， 解得， ∴直线的关系式为， 当时，， ∴点， ∴． ∵， ∴． 根据勾股定理，得， ∴． 当共线时，最小， 则， 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，求一次函数关系式，全等三角形的性质和判定，勾股定理，当三点共线时取得最小值是解题关键． 第1页/共1页 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