2026届高三数学三轮三角函数与解三角形、数列、导数层级分类保温争分专题训练

**基本信息** 聚焦三角函数与解三角形、数列、导数三大模块，以层级分类题组构建从基础到应用的知识网络，强化数学思维与模型应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角函数与解三角形|8题|含图像解析式、解三角形、实际应用（路灯优化）、角平分线问题|从函数图像性质到正余弦定理应用，再到实际情境模型构建| |数列|4题|等差数列证明、通项公式、分组求和、综合应用|从定义证明到通项推导，再到求和方法，形成完整数列研究链条| |导数|4题|切线方程、极值、恒成立、不等式证明|从几何意义到极值求解，再到综合应用，体现导数工具性深化|

高三三轮三角函数与解三角形、数列、导数层级分类保温争分专题训练 一、三角函数与解三角形 1．（2026·广东广州·三模）函数（，，）在一个周期内的图象如图所示， (1)求函数的解析式； (2)设函数，求的值域和单调区间． 【难度】0.71 【详解】（1）由题意可知，，又因为函数的最小正周期为，， 所以，此时，由，可得， 因为，所以，所以，解得， 所以函数的解析式为． （2）因为．所以． 化简得.所以函数的值域为．令，解得，令，解得． 所以函数的单调增区间为，单调减区间为 2．（2026·天津河西·三模）在中，角，，所对的边分别为，，．已知的面积，，． (1)求的值； (2)求和的值； (3)求的值． 【难度】0.72 【详解】（1）由余弦定理可得：，将上式代入已知面积条件中，得：，又因为三角形面积公式为，两式联立可得：，因为在中，，，所以：，显然两边同除以得：，因为，所以角A的大小为：, （2）由余弦定理，将，代入得：，即，解得，又由已知得. （3）在中，由正弦定理得：，由（2）可知，，． ，， ， . 3．（2026·广东深圳·二模）某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱与地面垂直，灯杆与灯柱所在的平面与道路走向垂直，路灯采用锥形灯罩，射出的光线与平面的部分截面如图中阴影部分所示.已知，路宽米.设 (1)若，求灯柱的高； (2)此公司应该如何设置的值才能使制造路灯灯柱与灯杆所用材料的总长度最小？最小值为多少？ 【难度】0.62 【详解】（1）在中，，由正弦定理可得：，得，在中，，由正弦定理可得：， 得， 若，则灯柱的高； （2）中，由正弦定理可得：，得， 当时，取得最小值. 故设置时，制造路灯灯柱与灯杆所用材料的总长度最小，最小值为米. 4．（2026·海南海口·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求角A； (2)是的角平分线，且．当取最小值时，求此时的面积． 【难度】0.57 【详解】（1）得到 得到，，，又，. （2）由得， 得，化简得，即，         所以，当且仅当时等号成立，取得最小值，     此时，面积为． 5．（2026·山东东营·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求角A的大小； (2)若，a为正整数，求的面积． 【难度】0.72 【详解】（1）由正弦定理得：，即，亦即.因为，所以，解得，所以． （2）由余弦定理得：，所以． 法一：一方面，由基本不等式得， 所以，解得；另一方面，，所以. 又因为a为正整数，所以，此时，． 法二：，，所以，即. 又因为a为正整数，所以，此时，． 6．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）在中，角、、所对的边长分别为、、，. (1)若，求角； (2)在（1）的条件下，若，求的面积. 【难度】0.65 【详解】（1）在中，，由结合正弦定理可得，又因为、，则，所以，即， 因为，则，所以，可得，所以，故. （2）由（1）可知，故 ，即，因为，故，所以，故 ，所以，由正弦定理可得，即，整理可得，解得，故， 因此. 7．（2026·甘肃张掖·二模）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求的值； (2)求的取值范围． 【难度】0.64 【详解】（1）因为，由余弦定理及正弦定理可得，， 即，所以. （2），当且仅当时等号成立， 由知，，所以. 8．（2026·重庆·模拟预测）已知中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若的角平分线与交于点，且，求的最小值. 【难度】0.56 【详解】（1） ；根据正弦定理化简得：，再由余弦定理，代入上式得：，因为，所以. （2）因为的角平分线与交于点，所以，因为， 所以，得，故； 所以， 当且仅当，即，时，等号成立；故的最小值为. 二、数列 9．（2026·四川成都·模拟预测）已知数列满足，且． (1)证明：数列为等差数列； (2)设，求数列的前项和． 【难度】0.82 【详解】（1）由，所以，所以， 所以数列是以为公差，首项为的等差数列； （2）由（1）有，所以，所以， 所以. 10．（2026·江西南昌·模拟预测）已知数列为等差数列，数列为等比数列，. (1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和. 【难度】0.66 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则，而，即 则，显然， 而等差数列的通项是关于的一次函数，则，即，则，即. （2）由，则， 两式相减得，，则. 11．（2026·山东济南·三模）已知数列的前n项和为，，是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前2n项和． 【难度】0.56 【详解】（1）由是公差为的等差数列，且，所以，所以， 当时，，解得，当时，由得，所以，即，所以，所以数列为常数列，所以，即，当时，，所以； （2）由（1）得，所以 ，令①， 所以②，由①②有：，所以，所以. 12．（2026·江西九江·模拟预测）已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【难度】0.62 【详解】（1）将递推式两边同除以，得 ，令，则，且， 当时，由累加法得 ，所以 ， 因此，经检验时满足上式，故. （2）由（1）得，其前项和， 则，两式相减可得 ，即. 三、导数 13．（2025·湖北武汉·二模）已知函数，曲线在点处的切线与平行． (1)求的值； (2)求的极值． 【难度】0.85 【详解】（1）因为，.所以，. 由题意. （2）因为，.所以，.由；由.所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，函数取得极小值，且. 14．（2025·河北衡水·模拟预测）已知函数在处取得极值. (1)求，； (2)证明：时，. 【难度】0.85 【详解】（1），故且， 解得，故，，令得，令得， 所以在处取得极值，满足要求； （2）时，，令，，则，故在上单调递减，则，所以，，证毕. 15．（2026·湖南长沙·二模）已知函数. (1)若曲线在处的切线斜率为1，求实数a的值； (2)若在定义域上恒成立，求实数a的取值范围. 【难度】0.65 【详解】（1）函数的定义域为.则.因为曲线在处的切线斜率为1，所以 ，解得； （2）函数的定义域为.则在上恒成立，即在上恒成立， 令，则，当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减，所以，所以． 16．（2026·山东聊城·三模）已知函数． (1)当时，证明：； (2)当时，求的极大值点． 【难度】0.68 【详解】（1）当时，，定义域为.求导得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 因此在处取得最小值，故. （2）函数的定义域为.求导得.对分子因式分解得.令，解得或，由知. 当时，.此时时，，单调递减；时，，单调递增； 时，，单调递减.故的极大值点为.当时，，此时，当且仅当时取等号.因此在上单调递减，无极值点.当时，. 此时时，，单调递减；时，，单调递增；时，，单调递减.故的极大值点为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三三轮三角函数与解三角形、数列、导数层级分类保温争分专题训练 一、三角函数与解三角形 1．（2026·广东广州·三模）函数（，，）在一个周期内的图象如图所示， (1)求函数的解析式； (2)设函数，求的值域和单调区间． 【难度】0.71 2．（2026·天津河西·三模）在中，角，，所对的边分别为，，．已知的面积，，． (1)求的值； (2)求和的值； (3)求的值． 【难度】0.72 3．（2026·广东深圳·二模）某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱与地面垂直，灯杆与灯柱所在的平面与道路走向垂直，路灯采用锥形灯罩，射出的光线与平面的部分截面如图中阴影部分所示.已知，路宽米.设 (1)若，求灯柱的高； (2)此公司应该如何设置的值才能使制造路灯灯柱与灯杆所用材料的总长度最小？最小值为多少？ 【难度】0.62 4．（2026·海南海口·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求角A； (2)是的角平分线，且．当取最小值时，求此时的面积． 【难度】0.57 5．（2026·山东东营·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求角A的大小； (2)若，a为正整数，求的面积． 【难度】0.72 6．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）在中，角、、所对的边长分别为、、，. (1)若，求角； (2)在（1）的条件下，若，求的面积. 【难度】0.65 7．（2026·甘肃张掖·二模）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求的值； (2)求的取值范围． 【难度】0.64 8．（2026·重庆·模拟预测）已知中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若的角平分线与交于点，且，求的最小值. 【难度】0.56 二、数列 9．（2026·四川成都·模拟预测）已知数列满足，且． (1)证明：数列为等差数列； (2)设，求数列的前项和． 【难度】0.82 10．（2026·江西南昌·模拟预测）已知数列为等差数列，数列为等比数列，. (1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和. 【难度】0.66 11．（2026·山东济南·三模）已知数列的前n项和为，，是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前2n项和． 【难度】0.56 12．（2026·江西九江·模拟预测）已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【难度】0.62 三、导数 13．（2025·湖北武汉·二模）已知函数，曲线在点处的切线与平行． (1)求的值； (2)求的极值． 【难度】0.85 14．（2025·河北衡水·模拟预测）已知函数在处取得极值. (1)求，； (2)证明：时，. 【难度】0.85 15．（2026·湖南长沙·二模）已知函数. (1)若曲线在处的切线斜率为1，求实数a的值； (2)若在定义域上恒成立，求实数a的取值范围. 【难度】0.65 16．（2026·山东聊城·三模）已知函数． (1)当时，证明：； (2)当时，求的极大值点． 【难度】0.68 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $