精品解析：2025年山东省德州市夏津县九年级数学中考第二次练兵试题

2024-2025学年第二学期九年级第二次模拟考试数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记为零分． 1. 四个有理数、、0、，其中比小的是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 如图是哪个几何体的俯视图（ ） A. B. C. D. 3. 一副三角板如图所示摆放，直线，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 墨迹覆盖了等式“”中的运算符号，则覆盖的是（ ） A. × B. ÷ C. － D. ＋ 5. 某酒店客房的智能家居触摸开关如图所示，每个开关分别对应一种电器设备（可以同时触摸多个开关），其中表示电视，表示床灯，表示廊灯，表示新风．现该酒店某客房的四种电器设备均处于关闭状态，若服务人员随机同时触摸两个开关，则恰好使床灯和廊灯同时被打开的概率为（ ） A B. C. D. 6. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是被撕掉一块的正多边形纸片，若直线，则该正多边形是（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十边形 8. 已知分式（为常数）满足下表的信息，则下列结论错误的是（ ） 2 0 无意义 0 1 A. B. C. D. 9. 如图，在扇形中，，点分别在，上，连接，点，关于直线对称，连接，若的长为，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．函数（c为常数，）的图象与x轴交于点M，其轴点函数与x轴的另一交点为．若，则的值为（    ） A. B. 5或 C. D. 或3 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，共记24分，只要求填写最后结果，每小题填对4分． 11. “白日不到处，青春怡自来；苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首《苔》，苔花的花粉直径约为0.000048米，则数据0.000048用科学记数法表示为_____________． 12. 不等式组的整数解为__________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，点的对应点为，若为12，则点的坐标为______． 14. 如图，在中，．射线平分，直线垂直平分，垂足为，直线交于点，于点．若，，则的长为______． 15. 如图，已知点，点分别在轴和轴上；将线段绕点顺时针旋转至线段，连，将沿轴正方向平移至；当双曲线恰好同时经过点，时，的值等于______． 16. 如图，等腰直角△ABC斜边AB下方有一动点D，∠ADB＝90°，BE平分∠ABD交CD于点E，则的最小值是_____． 三、解答题：本大题共8小题，共86分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17 （1）计算：； （2）化简：． 18. 如图，四边形平行四边形． （1）尺规作图：作菱形，使点在线段上，点在线段上（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，求菱形的面积． 19. 为进一步提升学生的安全意识，某校举办了安全知识竞赛，现从全校八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制），对竞赛成绩进行统计分析，形成如下报告（不完整）： 主题项目 校园安全知识竞赛成绩分析报告 数据收集 八年级学生成绩 80，80，100，90，80， 70，70，80，70，90， 70，80，100，90，60， 80，90，80，90，90 九年级学生成绩 90，90，100，80，80， 60，70，80，60，100， 60，70，90，80，90， 90，90，70，100，90 数据整理与分析 八、九年级学生成绩分析表 统计量 年级 平均数 中位数 众数 八年级 82 80 80 九年级 82 90 任务1 ①补全条形统计图； ②求“扇形统计图”中80分所在扇形圆心角的度数； ③直接写出成绩分析表中，九年级学生成绩的中位数______； 任务2 该校九年级学生共1200人，请估计成绩不低于80分的人数； 任务3 根据上述统计数据，你认为哪个年级的成绩更好？请说明理由． 根据所给信息，请完成以上所有任务． 20. 某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高，坡面的坡度（注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点、A与河岸、在同一水平线上，从山顶处测得河岸和对岸的俯角分别为，．（参考数据：，， （1）求点A与点C的距离； （2）若在此处建桥，试求河宽的长度．（结果精确到） 21. 如图，是的直径，弦于点，过点作的切线交的延长线于点． （1）已知，求的大小（用含的式子表示）； （2）取的中点，连接，请补全图形；若，，求的半径． 22. 为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的30天中，第x天（且x为整数）的售价p（元/千克）与x的函数关系式（且x为整数），销量q（千克）与x的函数关系式为，已知第5天售价为50元/千克，第10天售价为40元/千克，设第x天的销售额为W元 （1）___________， ___________； （2）求第x天的销售额W元与x之间的函数关系式； （3）在试销售的30天中，销售额超过1000元的共有多少天？ 23. 已知二次函数（为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若此函数图象上有一点到轴的距离不大于2，求的最大值与最小值之差； （3）已知点在该二次函数的图像上且位于轴的两侧，若恒成立，求的取值范围． 24. 【经典再现】 人教（2013年版）八年级数学下册教科书69页14题，原文如下：如图1，四边形是正方形，是边的中点，且交正方形外角的平分线于点． 求证：．（提示：取的中点，连接．） （1）请你写出证明过程； 【类比探究】 （2）将图1中的“四边形是正方形”换成“四边形是矩形，且”，其它条件不变（如图2所示）．猜想与的数量关系，并证明你的猜想； 【综合应用】 （3）将图2中“”换成“”，其它条件不变，增加条件“为边上一点，，”（如图3所示）．请你直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期九年级第二次模拟考试数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记为零分． 1. 四个有理数、、0、，其中比小的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较是解题的关键．根据有理数的大小比较即可得出答案． 【详解】解：， 其中比小的是． 故选：A． 2. 如图是哪个几何体的俯视图（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图；根据这四种几何体的俯视图即可作出判断． 【详解】解：根据三视图的意义可知，圆台的俯视图是同心圆，因此选项C中的几何体符合题意， 故选：C． 3. 一副三角板如图所示摆放，直线，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”以及平角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 4. 墨迹覆盖了等式“”中的运算符号，则覆盖的是（ ） A. × B. ÷ C. － D. ＋ 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可把选项中的符合代入进行求解即可． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故符合题意； C、，与不是同类项，不能合并，故不符合题意； D、，与不是同类项，不能合并，故不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查幂的乘方、同底数幂的乘除法及合并同类项，熟练掌握幂的乘方、同底数幂的乘除法及合并同类项是解题的关键． 5. 某酒店客房的智能家居触摸开关如图所示，每个开关分别对应一种电器设备（可以同时触摸多个开关），其中表示电视，表示床灯，表示廊灯，表示新风．现该酒店某客房的四种电器设备均处于关闭状态，若服务人员随机同时触摸两个开关，则恰好使床灯和廊灯同时被打开的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用树状图或列表法求两次事件的概率，正确理解题意、掌握解答的方法是关键． 先画出树状图，得到所有可能的情况数，再从中找出符合题意的情况数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：画出树状图如下： 由图可得：所有出现的等可能结果共有种，其中符合题意的有种， ∴恰好使床灯和廊灯同时被打开的概率为； 故选：B． 6. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数轴，绝对值的意义，不等式，理解并正确运用是解题的关键． 利用数轴的特征，及正负数在数轴上的表示求解并判断，即可解题． 【详解】解：由数轴可知， A、因为，所以，故，原说法正确，该选项不符合题意； B、因为，所以，故原说法正确，该选项不符合题意； C、因为，那么，所以故原说法正确，该选项不符合题意； D、从数轴上看，在左侧，所以，而不是，原说法错误，故该选项符合题意； 故选：D． 7. 如图是被撕掉一块的正多边形纸片，若直线，则该正多边形是（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形的性质，多边形的外角和定理的应用，记正多边形的顶点为：，，直线，的交点为，证明，结合，可得正多边形的一个外角的大小，从而可得答案． 【详解】解：如图，记正多边形的顶点为：，，直线，的交点为， ∵正多边形的每一个内角都相等， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴该正多边形正八边形． 故选：C 8. 已知分式（为常数）满足下表的信息，则下列结论错误的是（ ） 2 0 无意义 0 1 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，分式值为0的条件，分式无意义的条件，分式值为0的条件是分子为0，分母不为0，分式无意义的条件是分母为0，据此可求出m、n的值，再根据表格中的数据，求出对应的a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵当时，分式无意义， ∴当时，， ∴； ∵当时，， ∴当时，， ∴； ∵当时，， ∴； ∴当时，， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， 故选：A． 9. 如图，在扇形中，，点分别在，上，连接，点，关于直线对称，连接，若的长为，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，弧长、扇形的面积，等边三角形的判定与性质，证得是等边三角形是解题的关键． 连接，证明是等边三角形，得到，从而得到，利用弧长公式求得扇形的半径，再根据扇形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点关于直线对称， ， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ∵的长为， ， ， ∴扇形的面积为， 故选：D． 10. 定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．函数（c为常数，）的图象与x轴交于点M，其轴点函数与x轴的另一交点为．若，则的值为（    ） A. B. 5或 C. D. 或3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与轴交点问题、一次函数与轴交点问题，读懂轴点函数的定义是解题的关键．根据题意，用表示出点、的坐标，代入，解出即可得到答案． 【详解】解：函数（为常数，）的图象与轴交于点 其轴点函数与轴的两个交点为、 或 解得：或 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，共记24分，只要求填写最后结果，每小题填对4分． 11. “白日不到处，青春怡自来；苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首《苔》，苔花的花粉直径约为0.000048米，则数据0.000048用科学记数法表示为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．根据科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：数据0.000048用科学记数法表示为， 故答案为：． 12. 不等式组的整数解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 不等式组的整数解是， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，点的对应点为，若为12，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形，正确解得两三角形的相似比是解题关键． 首先结合点、点的坐标确定与的位似比为3，即可获得答案． 【详解】解：∵点的对应点为，与是以原点为位似中心的位似图形， ∴与位似比为， ∴， ∵为12， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为： 14. 如图，在中，．射线平分，直线垂直平分，垂足为，直线交于点，于点．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用三角形面积公式与角平分线的性质求得，再根据垂直平分线的意义求得，然后证明，列出比例式求出的长． 【详解】解：如图， ∵在中，平分， ∴，，， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴，解得：， ∵直线垂直平分， ∴， ∴， 又在中，直线垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂直平分线性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，求三角形的面积等知识，解题关键是找准相似三角形，列出比例式求解． 15. 如图，已知点，点分别在轴和轴上；将线段绕点顺时针旋转至线段，连，将沿轴正方向平移至；当双曲线恰好同时经过点，时，的值等于______． 【答案】6 【解析】 【分析】先求出点的坐标，再根据平移，用表示出，的坐标，然后根据双曲线恰好同时经过点，时，列出方程求解． 【详解】解：设平移了个单位， ∵将线段绕点顺时针旋转至线段，点，点， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点， ∵将沿轴正方向平移至， ∴，，，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 当双曲线恰好同时经过点，时，， 解得：，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用平移的性质求解，反比例函数与几何综合，求反比例函数解析式，根据旋转的性质求解，解题的关键是根据反比例函数图象上的横纵坐标的积为求解． 16. 如图，等腰直角△ABC的斜边AB下方有一动点D，∠ADB＝90°，BE平分∠ABD交CD于点E，则的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，取AB的中点O，连接OC，OD，AE．想办法证明CE=CA，当CD是直径时的值最小． 【详解】如图，取AB的中点O，连接OC，OD，AE． ∵∠ACB＝∠ADB＝90°，OA＝OB， ∴OC＝OD＝AB， ∴A，C，B，D四点共圆， ∵CA＝CB， ∴∠CBA＝∠CBA＝45°， ∴∠CDA＝∠CBA＝45°，∠CDB＝∠CAB＝45°， ∴∠CDB＝∠CDA， ∵BE平分∠ABD， ∴AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∵∠CAE＝∠CAB+∠BAE＝45°+∠BAE，∠CEA＝∠EDA+∠EAD＝45°+∠DAE， ∴∠CAE＝∠CEA， ∴CA＝CE＝定值， ∴当CD的值最大时，的值最小， ∴CD是直径时，的值最小，最小值＝＝， 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形的内心、等腰直角三角形的性质、四点共圆、圆周角定理、等腰三角形的判定等知识；证明CA=CE是解题的关键． 三、解答题：本大题共8小题，共86分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合计算，分式的混合计算，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算立方根，负整数指数幂和零指数幂，再计算乘方和乘法，最后计算加减法即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2） ． 18. 如图，四边形是平行四边形． （1）尺规作图：作菱形，使点在线段上，点在线段上（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）24 【解析】 【分析】（1）连接，作的垂直平分线，交线段于点E，交线段于点F，则四边形即为所求作的线段； （2）根据，，解直角三角形求出，根据勾股定理求出，根据菱形的性质求出，，最后求出结果即可． 【小问1详解】 解：如图，菱形即为所求作的四边形； 根据作图可知：垂直平分， 则， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴、互相平分， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 【小问2详解】 解：， 在中，， 又， ， 在中，， 四边形是菱形， ，， ． 【点睛】本题主要考查了基本作图，菱形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判定和性质． 19. 为进一步提升学生的安全意识，某校举办了安全知识竞赛，现从全校八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制），对竞赛成绩进行统计分析，形成如下报告（不完整）： 主题项目 校园安全知识竞赛成绩分析报告 数据收集 八年级学生成绩 80，80，100，90，80， 70，70，80，70，90， 70，80，100，90，60， 80，90，80，90，90 九年级学生成绩 90，90，100，80，80， 60，70，80，60，100， 60，70，90，80，90， 90，90，70，100，90 数据整理与分析 八、九年级学生成绩分析表 统计量 年级 平均数 中位数 众数 八年级 82 80 80 九年级 82 90 任务1 ①补全条形统计图； ②求“扇形统计图”中80分所在扇形圆心角的度数； ③直接写出成绩分析表中，九年级学生成绩的中位数______； 任务2 该校九年级学生共1200人，请估计成绩不低于80分的人数； 任务3 根据上述统计数据，你认为哪个年级的成绩更好？请说明理由． 根据所给信息，请完成以上所有任务． 【答案】任务1：①图见解析；②；③ 85 ；任务人；任务 3 ：我认为九年级成绩更好，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查读统计表和统计图，利用统计图获取信息的能力以及中位数，众数和平均数，以及概率的计算．利用统计表获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 任务一：①由数据收集得到八年级 80 分的有 7 人即可补全条形统计图； ②“80 分”所在扇形的圆心角的度数为乘以占比即可； ③根据中位数定义进行求解即可； 任务二：用样本估计总体即可； 任务三：比较中位线，众数，平均数进行分析即可． 【详解】解：任务一：①由数据收集得到八年级 80 分的有 7 人， 故补全条形统计图，如图所示： ②“80 分”所在扇形的圆心角的度数为： ； ③将九年级学生成绩从小到大进行排序，排在中间位置的两个数为 80，90， 则中位数为； 任务二：九年级学生成绩不低于 80 分的人数为：人； 任务三：我认为九年级成绩更好． 理由：由分析表可知两个年级的平均数相同，九年级的中位数和众数高于八年级，所以九年级的成绩更好． 20. 某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高，坡面的坡度（注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点、A与河岸、在同一水平线上，从山顶处测得河岸和对岸的俯角分别为，．（参考数据：，， （1）求点A与点C的距离； （2）若在此处建桥，试求河宽的长度．（结果精确到） 【答案】（1）点A与点C的距离为 （2）河宽EF的长度约 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键； （1）根据题意易得，然后问题可求解； （2）由题意易得，根据三角函数可得，则有，然后问题可求解． 【小问1详解】 解：在中，， 的坡度， ， ， 答：点A与点C的距离为； 【小问2详解】 解：在中，，， ， ， ， 在中，，，， ∴， ∴， ， 答：河宽的长度约． 21. 如图，是的直径，弦于点，过点作的切线交的延长线于点． （1）已知，求的大小（用含的式子表示）； （2）取的中点，连接，请补全图形；若，，求的半径． 【答案】（1）=；（2）的半径为4. 【解析】 【分析】（1）连接OF，求出∠BOF=2∠A=，利用DF是的切线证得∠CFD=∠COF=即可得到答案； （2）如图，连接OM，根据M是BE的中点，O是AB的中点求出∠MOB=，∠OMB=90°，设的半径为r得到OM=，根据勾股定理得到，求出r即可. 【详解】（1）连接OF， ∵是的直径，弦于点， ∴，∠ACE=∠ACF=90°， ∴∠BOF=2∠A=，∠OFC+∠COF=90°， ∵DF是的切线， ∴∠OFD=90°， ∴∠OFC+∠CFD=90°， ∴∠CFD=∠COF=, 即=； （2）如图，连接OM， ∵M是BE的中点，O是AB的中点， ∴OM∥AE， ∠MOB=，∠OMB=90°， 设的半径为r， ∴OM=， ∵∠BOF=2∠A=60°， ∴∠MOF=90°， ∴, ∵， ∴， 解得r=4， ∴的半径为4. 【点睛】此题是一道圆的综合题，考查圆的切线的性质定理，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，三角函数. 22. 为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的30天中，第x天（且x为整数）的售价p（元/千克）与x的函数关系式（且x为整数），销量q（千克）与x的函数关系式为，已知第5天售价为50元/千克，第10天售价为40元/千克，设第x天的销售额为W元 （1）___________， ___________； （2）求第x天的销售额W元与x之间的函数关系式； （3）在试销售的30天中，销售额超过1000元的共有多少天？ 【答案】（1）， （2）时，，当时， （3）7天 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求待定系数； （2）根据“销售额=售价×销售量”列出函数关系式， （3）利用二次函数和一次函数的性质分析求解. 【小问1详解】 解：∵第5天售价为50元/千克，第10天售价为40元/千克， ∴，解得， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意当时，， 当时，， 【小问3详解】 解：由题意当时，， ∵， ∴当时，最大为， 当时，， 由时，解得， 又∵x为整数，且， ∴当时，随的增大而增大， ∴第至天，销售额超过1000元，共7天． 【点睛】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，理解题意，分段分析函数解析式，掌握一次函数和二次函数的性质是解题关键． 23. 已知二次函数（为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若此函数图象上有一点到轴的距离不大于2，求的最大值与最小值之差； （3）已知点在该二次函数的图像上且位于轴的两侧，若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）的最大值与最小值之差为9． （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，求出函数解析式是解题的关键． （1）由题意先设顶点式，再代入，即可求解； （2）由题意得，由于开口向上，那么当时，有最小值1；由于横坐标为的点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离1，则当时，取得最大值，即可求解； （3）①若点在轴的左侧，点在轴的右侧，则，由于恒成立，所以，再分别解不等式和不等式组；②若点在轴的右侧，点在轴的左侧，则，由于恒成立，则，再分别解不等式和不等式组即可． 【小问1详解】 解：因为对称轴为直线， 所以设， 因图象经过点， 所以， 解得， 所以二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：因为点到轴的距离不大于2，所以， 因为该函数二次项系数为1大于0， 所以当时，有最小值1； 因为横坐标为的点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离1， 所以当时，取得最大值为， 因为， 所以的最大值与最小值之差为9； 【小问3详解】 解：二次函数图象的对称轴为直线， ①若点在轴的左侧，点在轴的右侧， 所以，解得：， 因为恒成立，所以，解得， 所以． ②若点在轴的右侧，点在轴的左侧， 所以，解得：， 因为恒成立，所以，解得， 所以， 综上所述，的取值范围是或． 24. 【经典再现】 人教（2013年版）八年级数学下册教科书69页14题，原文如下：如图1，四边形是正方形，是边的中点，且交正方形外角的平分线于点． 求证：．（提示：取的中点，连接．） （1）请你写出证明过程； 【类比探究】 （2）将图1中的“四边形是正方形”换成“四边形是矩形，且”，其它条件不变（如图2所示）．猜想与的数量关系，并证明你的猜想； 【综合应用】 （3）将图2中“”换成“”，其它条件不变，增加条件“为边上一点，，”（如图3所示）．请你直接写出的长． 【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，如图1所示，由正方形性质、中点定义、等腰直角三角形的判定与性质、角平分线定义得到相关角度与线段关系，再由两个三角形全等的判定与性质即可得证； （2）在上截取，连接，如图2所示，不妨设，则，由得，，同（1）得到，再由三角形相似的判定与性质即可得证； （3）延长，交于点，作，交延长线于，交的延长线与，作于，如图所示，可设，则，可证得，从而，可证得，从而得出，，由（2），同理可得，则，从而得出，从而，根据勾股定理得到，解一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：（1）取的中点，连接，如图1所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∵是的中点， ∴， 在中，，，则， 是正方形外角的平分线， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ； （2）， 证明如下： 在上截取，连接，如图2所示： ∵是的中点， ， 不妨设，则， ， ，则， 由（1），同理可得， ∴， ∴，即与的数量关系是； （3）在上截取，连接，延长，交于点，作，交延长线于，交的延长线与，作于，如图所示： ∴ ∴四边形是矩形， ∴ ∵， ∴可设，则， ， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（1），同理可得， ∵， ∴， ， ，， ， ， ∴， ∴， ∴， 由（2），同理可得，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 在中，由勾股定理可得，则， ，解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查四边形综合，难度较大，涉及正方形的性质、中点定义、角平分线定义、等腰直角三角形的判定与性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形及相似三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$