第2章 第12节 利用导数研究函数的极值、最值-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

第二章函数、导数及其应用 第12节利用导数研究函数的极值、最值 ★[课程标准]1.借助函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.能利用导数求 某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数不超过三次） 3.体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系. 夯实>必备知识 教材夯实强基固本 必备知识 4.利用导数求解实际问题中的优化问题 生活中求利润最大、用料最省、效率最高等问题 1.函数极值的概念 称之为优化问题.导数是解决生活中优化问题的 般地，设函数y=f(x)的定义域为D,设xo∈D, 有力工具，用导数解决优化问题的基本思路是： 如果对于x。附近的任意不同于x。的x都有 优化问题→用函数表示的数学问题→用导数解 (1)f(x)<f(xo),则称xo为函数f(x)的一个极大 决数学问题→优化问题的答案， 值点，且f(x)在xo处取极大值； 利用导数解决实际应用问题一般有如下几类： (1)给出了具体的函数关系式，只需研究这个函数的 (2)f(x)>f(xo),则称xo为函数f(x)的一个极小 性质即可 值点，且f(x)在x。处取极小值.极大值点与极 (2)函数关系式中含有比例系数，根据已知数据求 小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为 出比例系数得到函数关系式，再研究函数的 极值 性质 2.可导函数的极值与导数之间的关系 (3)没有给出函数关系，需要先建立函数关系，再研 究函数的性质 一般地，设函数f(x)在xo处可导，且f(xo)=0. 重雯结论 (1)如果对于x0左侧附近的任意x,都有f(x)>0,对 1.对于可导函数f(x),f(xo)=0是函数f(x)在x 于xo右侧附近的任意x,都有f(x)<0,那么 =x。处有极值的必要不充分条件 此时xo是f(x)的极大值点. 2.若函数f(x)在闭区间[a,b]上的图像连续不断， (2)如果对于xo左侧附近的任意x,都有f(x)<0,对 则f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值 于xo右侧附近的任意x,都有f(x)>0,那么 3.若函数f(x)在闭区间[a,b]内是单调函数，则 此时xo是f(x)的极小值点. f(x)一定在区间端点处取得最值， 4.若函数f(x)在开区间(a,b)上的图像连续不断， (3)如果f(x)在xo的左侧附近与右侧附近均为 且有唯一的极值点，则这个极值点就是函数的最 正号（或均为负号），则xo一定不是y=f(x)的 值点 极值点. 自主诊断 3.函数的最值 ◆[思考辨析] (1)一般地，如果函数y=f(x)在定义域内的每一 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 点都可导，且函数存在最值，则函数的最值点一 里打“/”，错误的打“×” 定是某个极值点；如果函数y=f(x)的定义域 (1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的 为[a,b],函数y=f(x)在(a,b)内可导且存在 (2)函数的极大值不一定比极小值大.( ) 最值，那么函数的最值点要么是区间端点a或 (3)对可导函数f(x),f(xo)=0是x0点为极值 b,要么是极值点. 点的充要条件 ) (2)求函数f(x)在[a,b]上最值的步骤 (4)函数的极大值一定是函数的最大值.( ①求函数y=f(x)在(a,b)内的 (5)开区间上的单调连续函数无极值和最值. ( ②将函数y=f(x)的 与端点处的 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是 (6)函数f(x)=1在区间[-1,1]上有最值. 最小值，得出函数f(x)在[a,b]上的最值 ·65 高考总复习人教数学B版（新教材） ◆[小题查验] 3.函数y=xex的最小值是 1.函数f(x)=(x2一1)2+2的极值点是( A.-1 B.-e A.x=1 B.x=-1 C.-1 D.不存在 e C.x=1或-1或0 D.x=0 2.(教材改编)函数f(x)=a.x3+bx在x=1处有 4.(教材改编)函数y=x+20osx在区间[0，]上的 极值-2，则a,b的值分别为 最大值是 5.从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去 A.1,-3 B.1,3 四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则 C.-1,3 D.-1,-3 盒子容积的最大值为 cm". 跃升>关键能力 层级突破素养提升 专点1 利用导数研究函数的极值 [命题角度1]由函数图像判断其极值情况（基础点） 1.设函数f(x)在R上可导， 其导函数为f(x),且函数y =(1一x)f(x)的图像如图 所示，则下列结论中一定成 立的是 ( A.函数f(x)有极大值f(2) 和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(一2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(一2)》 方法指导 D.函数f(.x)有极大值f(一2)和极小值f(2) 运用导数求可导函数y=f(x)的极值的步骤 ◆[命题角度2]利用导数求函数的极值（重难点） (1)先求函数的定义域，再求函数y=f(x)的导 2设a0.函数)-2-a+1x+a1+n. 数f(x); (2)求方程f(x)=0的根； (1)求曲线y=f(x)在(2，f(2)处与直线y (3)检查f(x)在方程根的左右的值的符号，如 一x+1垂直的切线方程； 果左正右负，那么(x)在这个根处取得极大 (2)求函数f(x)的极值. 值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取 得极小值.如果左右符号相同，则此根处不是 极值点， 易错警示：若函数y=f(x)在区间(a,b)内有 极值，那么y=f(x)在(a,b)内绝不是单调函 数，即在某区间上单调函数没有极值 ◆[命题角度3)】已知极值（点）求参数的取值（重难点） 3.若x=-2是函数f(x)=(x2十a.x-1)ex-1的极 值点，则(x)的极小值为 ) A.-1 B.-2e-3 C.5e-3 D.1 4.(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)若函数f(x)=alnx 十+S(a≠0)既有极大值也有极小值，则 A.bc>0 B.ab0 C.b2+8ac>0 D.ac<0 66· 第二章函数、导数及其应用 点2利用导数研究函数的最值（重难点） 专点3利用导数研究生活中的优化问题（应用点） [典例]已知函数f(x)=x2ear,其中a≤0，e为自 [典例]某企业拟建造如图所示的容器（不计厚 然对数的底数. 度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左 (1)讨论函数f(x)的单调性； 右两端均为半球形，按照设计要求，容器的容积 (2)求函数(x)在区间[0，]上的最大值， [尝试解答] 为9立方米，且≥2x,假设该容器的建造0用 仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建 造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用 为c(c>3)千元，设该容器的建造费用为y千元. (1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的 定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的r [思维导引门(1)建造费用=表面积×单价，用x 把1表示出来，再由≥2x得到r的取值范围，即 函数y的定义域；(2)利用导数求该容器的建造 方法指导 费用最小时的r 求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值时，首先可 [尝试解答 判断函数在[a,b]上的单调性，若函数在[a,b们上 单调递增或单调递减，则f(a),f(b)一个为最大 值，一个为最小值.若函数在[a,b]上不单调，一 般先求[a,b]上f(x)的极值，再与f(a),f(b)比 较，最大的即为最大值，最小的即为最小值， 易错警示：求极值、最值时，要求步骤规范、表格 齐全；含参数时，要讨论参数的大小 日跟踪训练 已知函数f(x)=(x-k)e', (1)求f(x)的单调区间； (2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值， 67 高考总复习人教数学B版（新教材） 方法指导 春点4 利用导数求解函数极值和最值 利用导数解决实际生活中的优化问题的一般步骤 的综合问题（重难点） 1.(多选)(2024·山东省高三模拟)关于函数f(x) (1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实 际问题的数学模型，写出相应的函数关系式 =alnx+2」 ，下列判断正确的是 y=f(x). (2)求导数f(x),解方程f(x)=0. A.函数f(x)的图像在点x=1处的切线方程为 (3)判断使f(x)=0的点是极大值点还是极小 值点 (a-2)x-y-a+4=0 (4)确定函数的最大值或最小值，还原到实际问 B.x=二是函数f(x)的一个极值点 题中作答.一般地，对于实际问题，若函数在 给定的定义域内只有一个极值点，那么该点 C.当a=1时，f(x)≥ln2+1 也是最值点 跟踪训练 D.当a=-1时，不等式f(2x-1)-f(x)>0的 (2024·绵阳市模拟)某商场销售某种商品的经 解集为(21 验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与 销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y= 2.(多进)已知函数fx)=十-1，则下列结论 2g+10(u-6,其中3<1<6，a为常数.已 正确的是 知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品 11千克 A.函数f(x)存在两个不同的零点 (1)求a的值； B.函数f(x)既存在极大值又存在极小值 (2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价 格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润 C.当一e<k<0时，方程f(x)=k有且只有两个 最大. 实根 D.若x∈[，+e)时，fxas昌则1的最小 值为2 解题技法 解决函数极值、最值综合问题的策略 (1)求极值、最值时，思维要规范，含参数时，要讨 论参数的大小 (2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就 是最值点，要通过比较才能下结论， (3)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极 值与端点值进行比较才能确定最值. e温馨提西 学习至此，请完成配套训练课时冲关19 68当x>3@或x<- a时，f(x) 跃升·关键能力考点1 3 命题角度11.D >0: 命题角度2 当-3<x 2.解：(1)由已知，得x>0,f(x)=x 3 3@时，f(x)<0. V3a a+D+是， 因此f(x)在 3 y=f(x)在(2，f(2)处切线的斜率 为1， 3 ,十∞上为增函数，在 所以f(2)=1, 3 3@,3@上为减函数. 即2-(a+1)+受=1， 3 3 所以a=0,此时f(2)=2一2=0， 综上可知，当a≤0时，f(x)在R上 故所求的切线方程为y=x一2. 为增函数； 当a>0时，f(x)在 -o,- 2)f)=x-(a+1)+是 3 =2-(a+1)x十a 【十上为培，在 (x-1)(x-a) 3a,3a上为减函数. x 3 3 ①当0<a<1时，若x∈(0，a), (2)因为f(x)在(-∞，十o∞)上是增 f（x)>0,函数f(x)单调递增； 函数， 若x∈(a,1),f(x)<0,函数f(x)单 所以f(x)=3x一a≥0在(-0∞，十 调递减； ∞)上恒成立， 若x∈(1，十o∞)，f'(x)>0, 即a≤3x对x∈R恒成立. 函数f(x)单调递增， 因为3x2≥0，所以只需a0. 此时x=a是f(x)的极大值，点，x=1 又因为a=0时，f(x)=3x2≥0， 是f(x)的极小值点，函数f(x)的极 f(x)=x3-1在R上是增函数，所以 大值是f(a)=- a≤0，即a的取值范围为（一∞，0]. a+alna, [子题1]解：因为f(x)=3x-a,且 极小值是f1)=-号 f(x)在区间(1，十∞)上为增函数，所 以f(x)≥0在(1，十∞)上恒成立， ②当a=1时，f(x)=1D>0, 即3x2-a≥0在(1，十∞)上恒成立， 所以函数f(x)在定义域(0，十∞)上 所以a3x在(1，十o∞)上恒成立， 单调递增， 所以a3, 此时f(x)没有极值，点，故无极值. 即a的取值范围为(-o,3]. ③当a>1时，若x∈(0,1)，f(x)>0, [子题2]解：由f(x)=3.x-a≤0在 函数f(x)单调递增； (-1,1)上恒成立，得a≥3x2在 若x∈(1，a),f(x)<0,函数f(x)单 (-1,1)上恒成立. 调递减； 因为-1<x<1,所以3z2<3,所以a 若x∈(a,十o∞)，f(x)>0,函数 ≥3. f(x)单调递增。 即当a的取值范围为[3，十∞)时， 此时x=1是f(x)的极大值，点，x=a f(x)在（一1,1）上为减函数. 是f(x)的极小值点，函数f(x)的极 [子题3]解：由母题可知，f(x)的单 调递减区间为 大值是f(1)= 名极小值是fa) √3av3a 3@=1. 3,3 3 +alne,综上，当0<a< 即a=3. 时，)的极大值是-号。十alna, [子题4]解：：f(x)=x3-ax-1, .f(x)=3z2-a. 极小值是一合： 由f(x)=0,得x=±@(a≥0. 3 当a=1时，f(x)没有极值： f(x)在区间(-1,1)上不单调， 当a>1时，代x)的板大值是-，极 0<3a<1,得0<a<3, 3 小值是-a+alha 即a的取值范围为(0,3). 命题角度33.B 第12节 4.BCD 夯实·必备知识必备知识 考点2 3.(2)极值各极值函数值f(a),f(b) [典例][解](1)f(x)=2xe+ 思考辨析(1)×(2)/(3)× xaer=x(ax十2)e. (4)×(5)/(6)× ①当a=0时，由f(x)>0,得x>0,由 小题查验 f'(x)0,得x0. 1.C2.A3.C4.石+55.14 故函数f(x)在(0，十∞)上单调递 增，在（一∞，0）上单调递减； ·421· 参考答案 ②当a<0时，由f(x)>0,得0<x <2 a 由f(x)<0,得x<0或x>- 2 故画教f(x)在(0，-)上单调 递增， 在(-∞，0)与 名，+∞)上单调 递减。 (2)①当a=0时，f(x)在区间[0,1] 上单调递增，其最大值为f(1)=1; ②当-2<a<0时，-2>1，f(x)在 区间[0,1]上单调递增，其最大值是 f(1)=e; ③当a≤-2时，0<-2≤1，x= -2是函教f(x)在区间[0,1]上唯 一的极大值点，也就是最大值点， 此时函数f(x)最大值是 ()品 综上得当-2<a≤0时，f(x)在[0， 1]上的最大值是e“: 当a≤-2时，f(x)在[0,1]上的最大 值为。 4 跟踪训练 解：(1)由f(x)=(x-k)e, 得f(x)=(x-k十1)e, 令f(x)=0,得x=k-1. f(x)与F(x)随x的变化情况如 下表： (-0∞， (k-1, k-1 k-1) 十0∞) f(x) 0 f(x) -e-1 所以f(x)的单调递减区间是（一∞， k-1);单调递增区间是(k一1， 十0∞). (2)当k一10，即k1时，函数 f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x) 在区间[0,1]上的最小值为f(0)= 一k.当0k一1<1，即1<k<2时， 由(1)知f(x)在[0，k-1)上单调递 减，在(k一1,1门上单调递增. 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值 为f(k-1)=-e- 当k一1≥1，即k≥2时，函数f(x)在 [0,1]上单调递减， 所以f(x)在区间L0,1]上的最小值 为f(1)=(1-k)e. 度 当k≥2时，f(x)m=f1)=(1一k)e. 考点3 [典例][解](1)设容器的容积为 V,由题意知V=r1十号， 又V=8,故= 3 3r2 高考总复习人教数学B版（新教材） 由上表可得，x=4时，函数f(x)在 区间(3,6)内的极大值点，也是最大 台（停-≥2 值点.所以，当x=4时，函数f(x)取 得最大值，且最大值等于42.所以， 整里得0>5r,故0<≤2.所以建 当销售价格为4元/千克时，商场每 日销售该商品所获得的利润最大· 造费用y=2πrlX3十4元rc=2πrX 考点4 专(2)×8+4r 1.ACD 2.ABC 第13节 第一课时 因此y=4π(c-2)r2+ 160x,0<r 考点1 ≤2. [典例][解](1)因为∫(x)=a(e 十a)-x,定义域为R,所以(x)= (2)由(1)得y'=8π(c-2)r 160π r ae-1, _8x(c-2( 当a0时，由于e>0,则ae0,故 f(x)=ae'-1<0恒成立， 由于c>3,所以c-2>0, 所以f(x)在R上单调递减； 当3-20 20 当a>0时，令f'(x)=ae-1=0,解 c-2 =0时，r=√-2 得x=-lna, 令=0 当x<-lna时，f(x)<0,则f(x)在 (一o∞，-lna)上单调递减； 所以y=8x(C-2(r-m)(,+rm 当x>-na时，f(x)>0,则f(x)在 r2 (-lna,十o∞)上单调递增； 综上，当a≤0时，f(x)在R上单调 十m2). 递减； ①当0Km<2,中e>号时，当r=m 当a>0时，f(x)在(-oo,一lna)上 时，y=0; 单调递减， 当r∈(0，m)时，y'<0;当r∈(m,2) f(x)在(-lna,十o∞)上单调递增. 时，y>0. (2)证明：方法一：由(1)得，f(x) 所以r=m是函数y的极小值点，也 =f(-lna)=a(em“十a)+lna=1 是最小值点， +a'+In a, ②当m≥2，中3<c≤号时， 卖注x)>2na十号，即注1+a 当r∈(0,2]时，y<0,函数单调 3 递减， +lna>21na+2,即证。-之 所以r=2是函数y的最小值点。 lna>0恒成立，令g(a)=a2- 2 综上所递，当3<（≤号，建造费用最 lna(a>0),则g'(a)=2a- 小时r=2; 9 2a2-1 当c>之，建造衡用最小时， 320 =√-21 令g'(a)<0,则0<a< 2:令g'(a) 跟踪训练 解：1)因为x=5时，y=11,所以之 >0则。>9， 十10=11，即a=2. 所以g@)在号)上单论减，在 (2)由(1)可知，该商品每日的销售量 为y=, x-3 十10(x一6).所以商场 (，+上单延。 每日销售该商品所获得的利润 为f(x)= 所以a=()-（号）-号 红-[3+1o-61 -1n=1n>0,别ga)>0证 =2+10(x-3)(x-6)2,3<x<6. 成立， 从而，(x) =10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)] 所以当a>0时，fu)>2na十号恒 =30(x-4)(x-6). 成立，证毕. 于是当x变化时，f(x),f(x)的变 方法二：令h(x)=e一x-1, 化情况如下表： 则h'(x)=e-1, x (3,4) 4 (4,6) 由于y=e在R上单调递增，所以 h'(x)=e-1在R上单调递增，又 '(x) h'(0)=e-1=0, 所以当x<0时，h'(x)<0;当x>0 f(x)单调递增极大值42单调递减 时，h'(x)>0: ·422· 所以h(x)在（一o,0)上单调递减， 在(0，十∞)上单调递增，故h(x)≥ h(0)=0,则e≥x十1，当且仅当x= 0时，等号成立， 因为f(x)=a(e十a)-x=ae十a -x=e+ae十a2-x≥x十lna十1十 a2-x, 当且仅当x十lna=0,即x=-lna 时，等号成立， 3 所以要证f(x)>2血a十2，即证x +lna+1十a-2>2na+号，即注 d--lna>0, 令g(a)=d-子-lna(a>0),则 g'(a)=2a- 1=2a2-1 a 令g(a)<0,则0<a<:令g(a》 >0,则a> 2 所以ga)在(0号)上单羽递减，在 所以xa(号)-() -In =ln√2>0，则g(a)>0恒 成立， 所以当。>0时，f(x)>2a十多恒 成立，证毕」 跟踪训练 [解] (1)由题意：f(x)= 工+1-1，得 e f(x)=2ax+1)e-(am2+x-1)e (e)2 --ax2十2ax-x十2」 e 2=2 f(0)= 即曲线y=f(x)在点(0，一1)处的切 线斜率为2， y=f(x)在点(0，-1)处的切线方 程为y-(-1)=2(x-0), 即2x-y-1=0. (2)证明：当a≥1时，f(x)十e ≥十x-1+e4 e 令g(x)=x2十x-1十e+1,则g'(x) =2x+1十e+1,g'(-1)=0,g'(x) 在R上为增函数. 当x<-1时，g(x)<0,g(x)单调 递减； 当x>-1时，g(x)>0,g(x)单调 递增. 所以g(x)≥g(-1)=0. 因此当a≥1，fx)十e≥0. 考点2 [典例][解](1)将x=-1代入切 线方程得y=一2，