第2章 第11节 利用导数研究函数的单调性-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

第二章函数、导数及其应用 第11节利用导数研究函数的单调性 ★[课程标准]1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系 2.能利用导数研究函数的单调性.3会求函数的单调区间（其中多项式函数不超过三次） 夯实必备知识 教材夯实强基固本 必备知识 (4)f(x)在(a,b)上单调递增与(a,b)是f(x)的 1.函数的单调性与导数的关系 单调递增区间意义不一样， ( 函数y=f(x)在区间(a,b)内可导： ◆[小题查验] (1)若f(x)>0,则f(x)在区间(a,b)上是增函数； 1.(教材改编)如图所示是函数 (2)若(x)<0,则f(x)在区间(a,b)上是减函数； f(x)的导函数'(x)的图 (3)若f(x)=0,则f(x)在区间(a,b)上是常数 像，则下列判断中正确的是 函数 2.求函数单调区间的步骤 (1)求定义域 A.函数f(x)在区间（一3,0）上是减函数 (2)求导. B.函数f(x)在区间（一3,2）上是减函数 (3)由导数大于0求单调递增区间；由导数小于0 C.函数f(x)在区间(0,2)上是减函数 求单调递减区间」 D.函数f(x)在区间（一3,2）上是单调函数 重要结论 2.函数f(x)=1+x-sinx在(0,2x)上的单调情况是 1.f(x)>0(或f'(x)<0)是f(x)在(a,b)内单调 ( 递增（或递减）的充分不必要条件， A.单调递增 B.单调递减 2.若f(x)可导且f(x)=0不恒成立，则f'(x)≥0 (或f'(x)≤0)是f(x)在(a,b)内单调递增（或递 C.先增后减 D.先减后增 减)的充要条件. 3.(2024·和平区模拟)已知f(x)是定义在R上的 自主诊断 函数，它的图像上任意一点P(xo,yo)处的切线 ◆[思考辨析] 方程为y=(x十x0一2)x十（y0一x8一x号十 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 2.xo),那么函数f(x)的单调递减区间为（) 里打“/”，错误的打“X”. A.(-2,1) B.(-1,2) (1)(x)>0是f(x)为增函数的充要条件. C.(-∞，-2) D.(1,+∞) ( 4.(教材改编)函数f(x)=x一lnx的单调递减区间 (2)函数的导数越小，函数的变化越慢，函数的图 为 像就越“平缓”， (3)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)=0, 5.已知f(x)=x3-ax在[1，+∞)上是增函数，则 则f(x)在此区间内为常数函数. a的最大值是 ( ·61· 高考总复习人教数学B版（新教材） 跃升>关键能力 层级突破素养提升 专点1)利用导数判断或证明函数的单调性（重难点） 春点2)利用导数求函数的单调区间（重难点） [典例]已知函数f(x)=21nx+1. [典例们 (1)若f(x)≤2x十c,求c的取值范围： 已知函数f)=￥+只-1nx-号其中 (2)设a>0,讨论函数g(x)=f）二f@的单 a∈R,且曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线 xa 调性 垂直于直线y=2 [尝试解答] (1)求a的值： (2)求函数f(x)的单调区间 [尝试解答] 方法指导 导数法证明函数f(x)在(a,b)内的单调性的步骤 (1)求f(x): (2)确认f(x)在(a,b)内的符号； (3)下结论：f(x)>0时为增函数；f(x)<0时为减 函数. 易错警示：研究含参数函数的单调性时，需注 意依据参数取值对不等式解集的影响进行分 类讨论。 跟踪训练 讨论函数f(x)=ln(x+l) a工(a>1)的单调性. 方法指导 x+a 利用导数求函数单调区间的方法 (I)当导函数不等式可解时，解不等式f(x)>0 或f'(x)<0求出单调区间， (2)当方程f(x)=0可解时，解出方程的实根， 依照实根把函数的定义域划分为几个区间， 确定各区间∫(x)的符号，从而确定单调 区间 (3)若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据 f'(x)结构特征，利用图像与性质确定f'(x) 的符号，从而确定单调区间. 提醒：若所求函数的单调区间不止一个，这些 区间之间不能用并集“U”及“或”连接，只能 用“，”“和”字隔开. 62 第二章函数、导数及其应用 日跟踪训练 (5)对于不等式xf(x)十f(x)>0(或<0)，构造 已知函数f(x)=ln(e'+1)-a.x(a>0) 函数F(x)=xf(x). (1)若函数y=f(x)的导函数是奇函数，求a (6)对于不等式xf(x)一f(x)>0(或<0)，构造 的值； 函数F(x=f)(x≠0). x (2)求函数y=f(x)的单调区间. (7)对于xf(x)+nf(x)>0型，构造F(x)= x"f(x),F'(x)=x"-I[xf'(x)+nf(x)] (注意对x”-1的符号进行讨论)，特别地，当n =1时，xf(x)十f(x)>0,构造F(x)= xf(x),F'(x)=xf'(x)+f(x)>0. (8)对于xf'(x)一nf(x)>0(x≠0)型，构造 Fr)=,谢F)=f (注意对x+1的符号进行讨论)，特别地，当n =1时，xf(x)-f(x)>0,构造F(x)= f(r)F()=f()f()0. x x2 (9)对于不等式f(x)十f(x)>0(或<0)，构造 春点3 函数单调性的简单应用 函数F(x)=e'f(x) (10)对于不等式f'(x)一f(x)>0(或<0)，构造 ◆[命题角度]比较大小或解不等式（重难点） 1.已知实数a,b,c∈(0,1)，且a=2023e4-2023,b= 函数F(x)=fx) 2024eb-2024,c=2025e-2025,则 ◆[命题角度2]已知函数的单调性求参数的 A.a<b<c B.b<c<a 取值范围（迁移点） C.c<a<b D.c<b<a [母题]已知函数f(x)=x3-a.x-1. 2.(多选)(2024·山东省高三模拟)已知函数f(x)= (1)讨论f(x)的单调性； ex十er十|x.则下面结论正确的是 (2)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围. A.f(x)是奇函数 [破题关键点了(I)讨论了(x)的符号是正的 B.f(x)在[0，十∞)上为增函数 还是负的； C若≠0，则+) >e2+2 (2)转化为f(x)≥0在（-，十o)上恒成立. D.若f(x-1)<f(-1),则0<x<2 [尝试解答] 解题技法 构造法解f(x)与f(x)共存问题 (1)对于不等式f(x)+g'(x)>0(或<0)，构造 函数F(x)=f(x)十g(x). (2)对于不等式(x)-g'(x)>0(或<0)，构造 函数F(x)=f(x)-g(x). 特别地，对于不等式f'(x)>k(或<k)(k≠ 0),构造函数F(x)=f(x)一kx. (3)对于不等式f(x)g(x)+f(x)g'(x)>0(或 <0),构造函数F(x)=f(x)g(x). (4)对于不等式f(x)g(x)-f(x)g(x)>0(或 <0),构造函数F(r)=(g)≠0). 8(x) 63 高考总复习人教数学B版（新教材） [子题1]函数f(x)不变，若f(x)在区间(1，十o∞) [子题3]函数f(x)不变，若f(x)的单调递减区间为 上为增函数，求a的取值范围。 (-1,1),求a的值 [子题4]函数f(x)不变，若f(x)在区间（一1,1） 上不单调，求a的取值范围。 [子题2]函数f(x)不变，若f(x)在区间(-1,1) 上为减函数，试求a的取值范围. 、 规律总结 已知函数单调性，求参数范围的两个方法 (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在 (a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间 的子集 (2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调 递增，则f(x)≥0；若函数单调递减，则 f(x)≤0”来求解， 易错警示：f(x)为增函数的充要条件是对任 意的x∈(a,b)都有f(x)≥0且在(a,b)内的 任一非空子区间上f'(x)不恒为0.应注意此 时式子中的等号不能省略，否则漏解 C温馨提西 学习至此，请完成配套训练课时冲关18 ·64高考总复习人教数学B版（新教材） 小题查验 第11节 1.B2.D3.B 4.(-9.8t十6.5) 夯实·必备知识 -9.8 5.2x-y=0 思考辨析 (1)× (2)×(3)/ 考点11.-1 (4)/ 跃升·关键能力 小题查验 2.解：设f(x)= 1.A2.A3.A4.(0,1)5.3 Vx 跃升·关键能力考点1 则△y=f(1十△x)-f(1)= [典例][解](1)函数f(x)的定义 1 1=1-√1中Az 域为(0，十∞)， √I十△x √/1十△x f(x)2x十c→f(x)一2x-c0→ (1-√1+△元)(1十√1十△x) 21nx十1-2x-c0(*), √/+△x(1十√1+△x) 设h(x)=21nx十1-2x-c(x>0), -△x 则有N(x)=2-2=21-2, x /1+△x(1+√/1+△x) 当x>1时，h'(x)<0,h(x)单调 △y △元 递减； W1+△.x(1+√/1+△x) 当0x1时，h(x)>0,h(x)单调 是-吗 -1 递增. 所以当x=1时，函数h(x)有最 =一21 大值， 即h(x)mm=h(1)=2ln1十1-2×1 yx=1=一2 -c=一1-c, 要想不等式(*)在(0，十∞)上恒 考点2 成立， 1.[A(+是/=1-是，故A 只需h(x)mx≤0→-1-c≤0→c≥ -1. 错误；B.(tanx)'= () (2)g()=2lnx+1-(21na+1) cosx十sinx=1 cosx c0s云，故B正确； 2lnx-lna(x>0且x≠a), x-a C(e-√E)y=e-(x立)y=e 1 因此g()=2(a-znx+ln@ x(x-a)2 1 =e一 设m(x)=2(x-a-xlnx十xlna) 2 ,故C正确；D.('cos) 则有m'(x)=2(lna-lnx), =2 rcos x-a sin a,故D错误.] 当x>a时，lnx>lna,所以m(x)< 2.A[由题意，f(x)=2cos2x-2sin 0,m(x)单调递减， 2,所以f(受 因此有m(x)<m(a)=0,即g'(x) 2cosπ-2sinπ 0,所以g(x)单调递减； =-2.] 当0<x<a时，lnx<lna,所以 3.解析：()=2+了（号）osx, m'(x)>0,m(x)单调递增， 因此有m(x)<m(a)=0,即g'(x)< f()+r() 0,所以g(x)单调递减， 所以函数g(x)在区间(0，a)和(a, f()誓 十∞)上单调递减，没有递增区间. 跟踪训练 2n 解：f(x)的定义域为（一1，十∞）， (x)=zx-(a2-2a)] 答案：+ (x十1)(x十a)2 ①当1<a<2时，若x∈(-1，a° 4解析：r)( 2a),则f(x)>0,f(x)在(-1，a 2a)内是增函数； 2x-1 若x∈(a一2a,0),则f'(x)0, 2x+1 f(x)在(a-2a,0)内是减函数. (2x-1)'(2x+1)-(2x-1)(22十1) 若x∈(0，十o∞)，则f(x)>0,f(x)在 (2x十1) (0,十o∞)内是增函数. ②当a=2时，f(x)≥0，f(x)=0 4x2-1 成立当且仅当x=0,f(x)在(-1， 十oo)内是增函数」 答案：4x了 4 ③当a>2时，若x∈(-1,0)，则 考点3命题角度1 f(x)>0,f(x)在(-1,0)内是增 函数； 1.C2.y=3x3.y= y=一 e 若x∈(0，a-2a),则f(x)<0, 命题角度24.1-ln2 f(x)在(0，a2-2a)内是减函数； 命题角度35.A6.8 若x∈(a2-2a,十o∞)，则f'(x)>0, 命题角度47.AC8.AD f(x)在(a2-2a,十oo)内是增函数. ·420· 考点2 [典例][解](1)对f(x)求导得f(x) 2 由f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直 于直线y=2, 1 知f1)=-3-a=-2, 4 解得a=是 （2)由(1)知fx)=÷+是 5-In x 3 2 则∫(x)=-4红-5 4x2 令f(x)=0,解得x=-1或x=5, 因x=一1不在f(x)的定义域(0， 十∞)内，故舍去. 当x∈(0,5)时，f(x)<0,故f(x)在 (0,5)内为减函数；当x∈(5，十∞) 时，f(x)>0,故f(x)在(5，十o)内 为增函数」 跟踪训练 解：(1)函数f(x)的定义域为R. 由已知得()=e e+1 a ,函数y=f(x)的导函数是奇函数， f'(-x)=-f(x), 即e 'e+1-a=- e e*+i十a, 解得a=子 (2)由(1)f(x)= e+1-a=1 1 e'+1-a. ①当a≥1时，f(x)<0恒成立， a∈[1，十o∞)时，函数y=f(x)在 R上单调递减 ②当0a<1时，由f'(x)>0得(1 -a)(e+1)>1,即c>-1+-a 1 解得x>ln一a' a 由f(x)<0得(1-a)(e+1)<1, 即e<1十已。解择<h产 a .a∈(0,1)时，函数y=f(x)在 (吕a+∞）上单调递增，在 ,a）上单调递减. （-oo,ln1=a)H 考点3命题角度1 1.D 2.BCD 命题角度2 [母题][解](1)f(x)=3x-a. ①当a≤0时，f(x)≥0， 所以f(x)在（一∞，十∞）上为增 函数. ②当a>0时，令3x2-a=0,得x= ±3a 3 当x>3@或x<- a时，f(x) 跃升·关键能力考点1 3 命题角度11.D >0: 命题角度2 当-3<x 2.解：(1)由已知，得x>0,f(x)=x 3 3@时，f(x)<0. V3a a+D+是， 因此f(x)在 3 y=f(x)在(2，f(2)处切线的斜率 为1， 3 ,十∞上为增函数，在 所以f(2)=1, 3 3@,3@上为减函数. 即2-(a+1)+受=1， 3 3 所以a=0,此时f(2)=2一2=0， 综上可知，当a≤0时，f(x)在R上 故所求的切线方程为y=x一2. 为增函数； 当a>0时，f(x)在 -o,- 2)f)=x-(a+1)+是 3 =2-(a+1)x十a 【十上为培，在 (x-1)(x-a) 3a,3a上为减函数. x 3 3 ①当0<a<1时，若x∈(0，a), (2)因为f(x)在(-∞，十o∞)上是增 f（x)>0,函数f(x)单调递增； 函数， 若x∈(a,1),f(x)<0,函数f(x)单 所以f(x)=3x一a≥0在(-0∞，十 调递减； ∞)上恒成立， 若x∈(1，十o∞)，f'(x)>0, 即a≤3x对x∈R恒成立. 函数f(x)单调递增， 因为3x2≥0，所以只需a0. 此时x=a是f(x)的极大值，点，x=1 又因为a=0时，f(x)=3x2≥0， 是f(x)的极小值点，函数f(x)的极 f(x)=x3-1在R上是增函数，所以 大值是f(a)=- a≤0，即a的取值范围为（一∞，0]. a+alna, [子题1]解：因为f(x)=3x-a,且 极小值是f1)=-号 f(x)在区间(1，十∞)上为增函数，所 以f(x)≥0在(1，十∞)上恒成立， ②当a=1时，f(x)=1D>0, 即3x2-a≥0在(1，十∞)上恒成立， 所以函数f(x)在定义域(0，十∞)上 所以a3x在(1，十o∞)上恒成立， 单调递增， 所以a3, 此时f(x)没有极值，点，故无极值. 即a的取值范围为(-o,3]. ③当a>1时，若x∈(0,1)，f(x)>0, [子题2]解：由f(x)=3.x-a≤0在 函数f(x)单调递增； (-1,1)上恒成立，得a≥3x2在 若x∈(1，a),f(x)<0,函数f(x)单 (-1,1)上恒成立. 调递减； 因为-1<x<1,所以3z2<3,所以a 若x∈(a,十o∞)，f(x)>0,函数 ≥3. f(x)单调递增。 即当a的取值范围为[3，十∞)时， 此时x=1是f(x)的极大值，点，x=a f(x)在（一1,1）上为减函数. 是f(x)的极小值点，函数f(x)的极 [子题3]解：由母题可知，f(x)的单 调递减区间为 大值是f(1)= 名极小值是fa) √3av3a 3@=1. 3,3 3 +alne,综上，当0<a< 即a=3. 时，)的极大值是-号。十alna, [子题4]解：：f(x)=x3-ax-1, .f(x)=3z2-a. 极小值是一合： 由f(x)=0,得x=±@(a≥0. 3 当a=1时，f(x)没有极值： f(x)在区间(-1,1)上不单调， 当a>1时，代x)的板大值是-，极 0<3a<1,得0<a<3, 3 小值是-a+alha 即a的取值范围为(0,3). 命题角度33.B 第12节 4.BCD 夯实·必备知识必备知识 考点2 3.(2)极值各极值函数值f(a),f(b) [典例][解](1)f(x)=2xe+ 思考辨析(1)×(2)/(3)× xaer=x(ax十2)e. (4)×(5)/(6)× ①当a=0时，由f(x)>0,得x>0,由 小题查验 f'(x)0,得x0. 1.C2.A3.C4.石+55.14 故函数f(x)在(0，十∞)上单调递 增，在（一∞，0）上单调递减； ·421· 参考答案 ②当a<0时，由f(x)>0,得0<x <2 a 由f(x)<0,得x<0或x>- 2 故画教f(x)在(0，-)上单调 递增， 在(-∞，0)与 名，+∞)上单调 递减。 (2)①当a=0时，f(x)在区间[0,1] 上单调递增，其最大值为f(1)=1; ②当-2<a<0时，-2>1，f(x)在 区间[0,1]上单调递增，其最大值是 f(1)=e; ③当a≤-2时，0<-2≤1，x= -2是函教f(x)在区间[0,1]上唯 一的极大值点，也就是最大值点， 此时函数f(x)最大值是 ()品 综上得当-2<a≤0时，f(x)在[0， 1]上的最大值是e“: 当a≤-2时，f(x)在[0,1]上的最大 值为。 4 跟踪训练 解：(1)由f(x)=(x-k)e, 得f(x)=(x-k十1)e, 令f(x)=0,得x=k-1. f(x)与F(x)随x的变化情况如 下表： (-0∞， (k-1, k-1 k-1) 十0∞) f(x) 0 f(x) -e-1 所以f(x)的单调递减区间是（一∞， k-1);单调递增区间是(k一1， 十0∞). (2)当k一10，即k1时，函数 f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x) 在区间[0,1]上的最小值为f(0)= 一k.当0k一1<1，即1<k<2时， 由(1)知f(x)在[0，k-1)上单调递 减，在(k一1,1门上单调递增. 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值 为f(k-1)=-e- 当k一1≥1，即k≥2时，函数f(x)在 [0,1]上单调递减， 所以f(x)在区间L0,1]上的最小值 为f(1)=(1-k)e. 度 当k≥2时，f(x)m=f1)=(1一k)e. 考点3 [典例][解](1)设容器的容积为 V,由题意知V=r1十号， 又V=8,故= 3 3r2