第十一章 二次根式 单元提优小练 2025-2026学年苏科版八年级下册数学

**基本信息** 本单元提优小练以二次根式为核心，通过基础巩固、综合应用、创新探究三层设计，构建“概念理解-运算技能-几何应用”的知识巩固路径，适配单元复习需求，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|二次根式意义、化简、基本运算|单选题1-7聚焦概念辨析，填空题11-14强化运算技能，夯实基础| |中档层|性质综合应用、简单几何结合|单选题8-10结合规律排列与几何动态，填空题15-17渗透数形结合，衔接基础与提升| |提升层|新定义、最值问题、跨学科应用|解答题26-27通过网格构图与几何建模，培养空间观念与创新思维，实现能力突破|

第十一章二次根式单元提优小练 一、单选题 1.若√x-8在实数范围内有意义，则x的取值范围是() A.x≤8 B.x28 C.x2-8 D.x≤-8 2.下列化简正确的是() 21 B.V-7=-7C.2.5=0.5 D.V27 =3 3.如果最简二次根式√3a-8与√17-2a能够合并，那么a的值为() A.2 B.3 C.4 D.5 4.若√2+√2=√n,则整数n的值为() A.16B.8C.6D.4 5.式子5+2的倒数是() A.V5-2B.-V5-2C.2V5-2D.V5-2W2 3-x=3=成立的条件是（） 6.等式x+ix+1 A.x2-1B.x≤3C.-1≤x≤3D.-1<x≤3 7.已知a<0,则二次根式Vab化简后的结果为() A.a√bB.a√-bC.-a√bD.-a√-b 8.将1，√2，√5，√6按下列规律排列，若规定m,n)表示第m排从左至右第n个数，例 如，(4,2)表示√6.那么，表示5,5)和10,8)的数的积是() 1 第一排 √2 第二排 6 2 第三排 1 第四排 A.3B.√2C.32D.√6 9.如图，在RIAADC中，CD⊥AC,AD=3,DC=2,AC绕点A摆动到AB的位置，取 AB的中点E,连接BD、CE,求AC绕点A摆动的过程中，下列结论正确的是() B A.4E=13 B.(E的放小性为 C.BD+CE的最小值为3-5D.BD+CE的最小值为2 10.如图，在ABC中，AB=2√2，AC=2,以BC为边作Rt△BCD,BC=BD,点D与 点A在BC的两侧，则AD的最大值为() B A.4B.6C.1+√2D.2+22 二、填空题 11.计算(62+川62-1的结果为 12.已知a=3+√5，b=3-√5，则式子a2-ab+b2的值为 13.已知实数a,b,c在数轴上的位置如图所示，则化简a-c+a+b-(c-b的结果为 320十23 14.已知√a-8+b2-6b+9=0,则√ab的值为 15.如图，长方形内有两个相邻的白色正方形，面积分别为2cm2和18cm2,则图中两块阴 影部分的面积和为 cm2. 16.如图，菱形ABCD对角线AC,BD相交于点O,测得AC=4cm,BD=8cm,过点A 作AH⊥BC于点H,则AH的长为 cm. B 17.阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例 如：√5，√6-√万，√6+25等都是复合二次根式.其中有一些特殊的复合二次根式可 以进行化简，例如：V6+25=+25+5=VP+2x1x5+5=V+5=1+5.请 利用上述运算法则化简：V7-4√5= 18.如图，长方体的所有棱长和为48cm,长、宽、高的比为3：2：1，若一只蚂蚁从顶点A沿 长方体表面爬行到顶点B,最短的路程是 cm. B 19.定义：若一个三角形中，两边平方和等于第三边平方的4倍，那么我们把这样的三角形 叫作“奋进三角形”例如：某三角形三边长分别是√2，√5和√5，因为 (5)2+(V5)2=4×(V2)2=8所以这个三角形是奋过三角形.如图，R1△ABC中， ∠ACB=90°，BC=6,点D为AB的中点，连接CD,若△BCD是奋进三角形”，则 ABC的面积为 B 20.在ABC中，已知AB=AC=3√5，BC=6,AC的垂直平分线DE分别交AB,AC于 点D,E,点F和点G分别是线段DE和BC边上的动点，则CF+FG的最小值为· A F D B G 三、解答题 21.计算： 55+ (22(6-)-26-万+-7： 22.计算：“口x25-√2÷√6”，其中“口”部分印刷不清楚. ()若“口”代表的数是√6，下图是嘉淇的运算过程，他是从第步开始出错的，正确的结 果应该是 √6x25-√12÷√6=2V18-12÷√6..第一步 =(2-1V18-12÷√6.第二步 =√6÷√6第三步 =1… 第四步 (2)若原式的计算结果为√6-√2，求“口”代表的数. n 23.规定一种新运第：m©n=丽后+份，m@n=mn-. (1)计算：285=； (2)求2@(5-1)的值. 24.观察下列等式，解决问题： 第1个等式：，2 2 3 =2 第2个等式： =3, 第3个等式： 44 4 =4. V15 第4个等式： 55-5 5 V°24V24 (I)根据以上等式的规律，直接写出第5个等式： (2)用含n(n是整数且n22)的式子表示第(n-)个等式」 并证明. 1 25.在数学课外学习活动中，小明遇到一道题：已知a= 2+5,求d2-8a+1的值.他是这 样解答的：a= 1 2-5 =2-5 2+5(2+3)(2-5) ()请你帮助小明接着完成这道题： (2)请你根据小明的思路，解决如下问题 1 ①5+2 1 ②计第：2+十5+2++ √2026+√2025 26.【综合与实践】问题情境： 勾股定理是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛，关于勾股定理的证明方法已有几百 种，启哲学习小组以“四边形中边长与面积的关系”为主题在8×8的正方形网格中开展了数学 活动，每个小正方形的顶点称为格点 B 图1 图2 图3 备用图 (I)操作发现：在图1中，每个小正方形的边长均为1.所画出的四边形ABCD的顶点A,B, C,D都是格点，则边长分别是AB= BC= ，CD= DA= ;四边形ABCD的面积为 (2)实践探究：在图2中，每个小正方形的边长均为1.在图2所示的正方形网格中画出矩形 MNPQ(顶点都在格点上)，使MN=√3，MQ=2V13,并求出矩形MNP2的面积. (3)继续探究：若口ABCD中有两边的长分别为2√2,2√10，试运用构图法在图3的正方形 网格（每个小正方形的边长为1）中画出所有符合题意的口ABCD(顶点A,B,C,D都是 格点且全等的平行四边形视为同一种情况)，并求出它的面积. 27.己知0<x<2,求V1+x2+1+(2-x)2的最小值. 分析：如图，我们可以构造一个长方形ABCD,其中AB=L,BC=2,P是BC上的一个动点， 设BP=x,则PC=2-x,那么通过勾股定理可以用含x的式子表示AP,DP,问题可以转化 为求AP与DP的和的最小值，用几何知识可以解答. P (I)AP+DP的最小值为_-； (2)结合以上解题思路，求V9+x2+V9+y2的最小值.（其中x,y为两个正数，x+y=12) 画出图形. 答案 1.B 【详解】解：二次根式在实数范围内有意义的条件为被开方数大于等于0， ∴√x-8有意义需满足x-8≥0， 解不等式得x≥8. 2.D 【详解】解： V3 A选项错误，不符合题意； B、√-7)=√49=7，B选项错误，不符合题意； 2≠0.5，C选项错误，不符合题意； D、 27_27-9=3,正确， 5V3 符合题意 3.D 【详解】解：最简二次根式√3a-8与√7-2a能够合并 ∴3a-8=17-2a, 解得a=5. 4.B 【详解】解：√2+=√n, :22=√n, ⑧=Vn, …n=8. 故选：B. 5.A 1×V5-2 【详解】解：5+2的倒数是5+25+2列×5-2习 1 5-2 (5-22 =5-2 5-4 =5-2, 故选：A. 6.D 【详解】解： 3-x3-x 成立， 「3-x≥0 x+1>01 解得-1<x≤3， 故选：D. 7.C 【详解】解：二次根式Vab有意义， ∴被开方数满足ab≥0. a<0, a2>0,因此可得b≥0， √ab=a.b=ab. a<0, a =-a, a'b=-avb. 8.A 【详解】解：由图可知：第一排：1个数，第二排2个数，第三排3个数，第四排4个 2mm+)个数，且 1 数， 第m排有m个数，从第一排到第m排共有：1+2+3+4+.+m= 每四个数一个循环，(5,5)表示第5排第5个数， 前4排共有1+2+3+4=10个数， 5,5为第15个数， 15÷4=3.3, ∴表示5,5的数是5： ~10,8)表示第10排第8个数即第53个数， 53÷4=131, 10,8)表示的数为1， ∴表示5,5和10,8)的数的积是√3×1=√3； 9.D 【详解】解：在RIAADC中，CD⊥AC,AD=3,DC=2, ..AC=AD2-DC2=32-22=5, AC绕点A摆动到AB, .AB=AC=5, :E为AB的中点， ∴AE=4B=5 ,故选项A错误； 2 如图，取AC的中点M,连接BM,DM, E.M D B AM-CM=1AC-5 2 :AM AE, 在△ABM和△ACE中， AB=AC ∠BAM=∠CAE AM-AE AABM≌△ACE(SAS), .BM CE .BD+CE=BD+BM≥DM, ∴当D,B,M三点共线时和最小，最小值为DM的长， DM=CD2+MC2 22 √21 2 六BD+CE的最小值为2 ,故选项C错误，选项D正确； 2 BM=CE, ∴当BM取得最小值时，CE取得最小值， ~当A,B,M三点共线且B在AM延长线上时，BM取得最小值，此时点B与点C重合，即此 时BM=CM= 2 CE的最小值为5 故选项B错误。 10.B 【详解】解：如图，把ABC绕B顺时针旋转90°得到△HBD,连接AH, .AB=BH=2√2，AC=DH=2,LABH=90°， D :AH=√AB2+BH2=4. :AD≤DH+AH, AD的最大值为4+2=6. 11.71 【详解】解：(62+1(62-1=(62-2=72-1=71. 12.24 【详解】解：a2-ab+b2=a2+2ab+b2-3ab=(a+b2-3ab 已知a=3+√5，b=3-√5， a+b=3+5)+3-5)=6,ab=(3+53-V5)=32-(W52=9-5=4 ∴a2-ab+b2=a2+2ab+b2-3ab=(a+b)2-3ab=62-3×4=24. 13.-2a 【详解】解：由数轴可知：a<b<0<c, ÷a-c<0,a+b(0,c-b)0 ∴原式=c-a+(-a-b)-(c-b) =c-a-a-b-c+b =-2a 14.26 【详解】解：√a-8+b2-6b+9=0, √a-8+(b-32=0, 即：a-8=0,b-3=0, 解得：a=8,b=3, “√ab=√8x3=2√6. 15.4 【详解】解：由题意可得：大白色正方形的边长为3√2cm,小白色正方形的边长为√2cm, ∴大长方形的长为3√2+√2=4√2cm,宽为3√2cm, ∴大长方形的面积为4√2x3√2=24cm2, 阴影部分的面积为：24-(2+18)=4cm2. 16.85 5 【详解】解：在菱形ABCD对角线AC,BD相交于点O,AC=4cm,BD=8cm, .OC=4C=2cm,BO=BD=4cm,BD LAC, .cm)BC-0c-25(cm) AH⊥BC, 5.c=2XBC×4H, .AH =S auc= 885 2XBC 2*2V55(cm) 1 17. 2-5 【详解】解：V7-43=√4-45+3 =V22-2x2x5+ =V2- =2-5 18.6√2 【详解】~所有棱长和为48cm,一组长、宽、高的和为12cm, 又长、宽、高的比为3：21 3 3+2+=4cm,高为12 2 1 长方体的长为12×3+2+6cm,宽为12 =2cm 3+2+1 蚂蚁有三种爬法： 如图1：蚂蚁爬行的路径AB=V62+(4+2)2=√72=6W2cm 如图2：蚂蚁爬行的路径AB=V6+42+2=04=2W26cm 如图3：蚂蚁爬行的路径AB=V6+2)2+4=v80=4W5cm B 4 B 6 A 6 6 图1 图2 图3 √72<√80<104 妈蚁从A爬到B最短的距离是62. 19.18√7或65 【详解】Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6,点D为AB的中点，△BCD是“奋进三角形”， :.AD BD =DC, 分以下两种情况： 当CD2+BD2=4×62时， 解得：BD=DC=6N2, 则AB=12√2， 故Ac=12E)2-62=6万 则4BC的面积为：6x6v万=18v万； 当CD2+BC2=4×BD2时， 解得：BD=DC=2√5， 则AB=4V5, 故AC=VAB2-BC2=2V5, 则4BC的面积为：×6x25=65。 综上所述，ABC的面积为18√万或6√5. 20.6 【详解】解：如图，作AH⊥BC于点H, A D B GH AB=AC=35,BC=6, ÷BH=CH=BC=3, 六AH=VAB2-BH2=6, 连接AF、AG, DE垂直平分AC, .AF CF, ∴CF+FG=AF+FG≤AG, 由垂线段最短可得，当点G与点H重合时，此时AG最短为6， “CF+FG的最小值为6. 21.(1)4 (2)-√7-7 【详解】(1)解： 5+) =3+1 =4 (2)26-7)-26-万+(-7) =26-2万-(26-7-7 =2√6-2√万-2√6+√万-7 =-√万-7 22.(1)二，5√2 ®号 【详解】(1)解：嘉祺第二步未先算乘除、后算加减，运算错误； √6x2V5-2÷V6 =28-√2 =6N2-V2 =5√2； (2)解：若原式的计算结果为√6-√2， 则x25-2÷6=V6-√2， x25-√2=6-2， x2V5=√6， 0=√6÷2W3, 0= 6√6x√532_2 2523×362 23.03v 2； (2)45-6. 【详解】D解：285=5×5+V厚=V而+9-四： (2)解：2@(5-1)=2(5-1)-(5-1)2=2V5-2-3+25-1=4V5-6. n n ,证明见解析 【详解】(1)解：由题意得，第5个等式： 66 16 6 V35 =635 (2)解：第(n-个等式为 n n 7n+ 证明：左边= 等式成立. 25.(1)4V5-8 (2)①√5-√2；②√2026-1 1 2-5 【详解】1)解：a2+5(2+32-可 =2-5 a2-8a+1 =a2-8a+16-16+1 =(a-4)2-15 =(2-5-4)-15 =(-2-3)215 =(2+V5)2-15 =4+4V3+3-15 =4V3-8; 2解：05+5不55万-5， 1 5-√2 ②1 1 1 V2+13+2++ √2026+√2025 V2-1 5-2 V2026-V2025 (2+1W2.+5+V2N35+.·+226+V2025N20262025 =√2-1+√5-√2+.+√2026-√2025 =V2026-1. 26.(1)4W2,2√2,25,25,18 (2)作图见解析，矩形MNPQ的面积为26； (3)作图见解析，口ABCD的面积为16或8. 【详解】(1)解：AB=√42+42=4√2，BC=√22+22=2√2，CD=V22+42=2V5, AD=V22+42=2V5; 如图1，连接BD,则BD=6, B 图1 1 四边形A8CD的面积为2x6x4+2×6x2=18, 2 (2)解：如图2：矩形MNP即为所求：MN=√22+3=3 MQ=V42+62=2y13 则矩形MNPQ的面积为MN·MQ=√3×2V13=26; M 图2 (3)解：“ABCD中有两边的长分别为22,20，且 22+2=22,V22+62=2W10, ∴如图3：口ABCD即为所求， ,0ABCD的面积为号×8×2+吉×8×2=16 B 图3 如图4：口ABCD即为所求， 。ABCD的面积为号×4×2+吉×4×2=8： 图4 综上，口ABCD的面积为16或8 27.【详解】(1)解：长方形ABCD, ∴∠ABC=∠C=∠BAD=90°，AB=CD=1,AD=BC=2, 设BP=x,则PC=2-x, 由勾股定理得，AP=√AB2+BP2=+x,DP=VDC2+PC=V+(2-x G 过点A作关于BC的对称点G,连接PG,DG :.PA=PG,BA=BG=1, :.PA+PD=PG+PD2DG,AG=1+1=2 ∴当点D,P,G三点共线时，PA+PD取得最小值即为GD GD=VAD2+AG2=V22+22=√8=2V2: (2)解：作长方形ABCD,使得AB=3,BC=12,P是BC上的一个动点，设BP=x, PC=y,则x+y=12,那么y=12-x, G ∠ABC=∠C=∠BAD=90°，AB=CD=3,AD=BC=12, ∴由勾股定理得，AP=VAB2+BP2=V9+x2,DP=VDC2+PC2=V9+(12-x)i 过点A作关于BC的对称点G,连接PG,DG ..PA=PG.BA=BG=3. .PA+PD=PG+PD2DG,AG=3+3=6 “当点D,P,G三点共线时，PA+PD取得最小值即为GD GD=AD2+AG2=122+62=65.