山东省泰安市泰山区2025-2026学年高二下学期期末数学模拟练习

**基本信息** 聚焦数学核心素养，以现实情境（如服装厂消费调查、手机掉落测试）承载知识应用，梯度覆盖函数、概率统计、导数等高二核心内容，注重逻辑推理与数据分析能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、函数求值、正态分布|基础概念辨析，强化数学眼光| |多选题|3/18|二项式定理、统计概念|选项分层设计，考查思维严谨性| |填空题|3/15|导数几何意义、排列组合|聚焦关键能力，突出运算素养| |解答题|5/77|概率分布列、统计案例、导数证明|综合现实情境（如消费调查），融合逻辑推理与数据观念，匹配高考命题趋势|

山东省泰安市泰山区2026年高二下学期期末模拟练习 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）离散型随机变量的取值为0，1，2，若，，，，则（   ） A． B．0.6 C．0.8 D．1.6 3．（本题5分）已知函数，则（   ） A． B． C．2 D．4 4．（本题5分）已知由样本数据组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，去除两个样本点和后，新得到的经验回归直线斜率不变，则新得到的经验回归方程为（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）函数的零点所在的一个区间为（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）对某地区高二学生数学考试成绩进行数据分析，成绩服从正态分布，则从该地区随机选择一名高二考生，其成绩不低于90分的概率为（    ） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，． A．0.15865 B．0.0027 C．0.02275 D．0.00135 7．（本题5分）将2本不同的漫画书和2本不同的科技书全部分给甲、乙、丙三位同学，每位同学至少1本，若不分给甲漫画书，则不同的分配方案共有（    ） A．36种 B．24种 C．14种 D．12种 8．（本题5分）已知定义在上的函数，其导函数为，当时，，若，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）已知，则（   ） A．的值为 B．的值为30 C．的值为 D． 10．（本题6分）下列说法正确的是（   ） A．两个模型中，残差平方和越大的模型拟合的效果越不好 B．若随机变量，则 C．数据2，3，5，8，13，21，34的第80百分位数是21 D．一组数，，．．．，的平均数为a，若再插入一个数a，这个数的方差不变 11．（本题6分）已知函数，的导函数为，则（   ） A．存在，使得 B．对于定义域内的任意，都有 C．函数的图象关于原点对称 D．方程有4个实数根 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）已知函数，则曲线在处的切线方程为______. 13．（本题5分）的展开式中的系数为_____. 14．（本题5分）在8只不同的试验产品中有3只不合格品､5只合格品.现每次取1只测试，直到3只不合格品全部测出为止.最后1只不合格品正好在第4次测试时被发现的不同情形有__________种. 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）在的展开式中，第、、项的二项式系数依次成等差数列. (1)求； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率. 16．（本题15分）已知函数，. (1)当时，解关于的方程； (2)若对，，使得，求的取值范围. 17．（本题15分）已知甲、乙、丙三个品牌的手机从1米高的地方掉落时，屏幕第一次未碎掉的概率均为，当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率依次为，，，假设三个品牌的手机掉落后屏幕是否碎掉互不影响. (1)求这3个品牌的手机中至少有2个品牌第一次掉落屏幕未碎掉的概率； (2)设这3个品牌的手机掉落两次后屏幕仍未碎掉的品牌个数为随机变量X，求X的分布列； (3)已知3个品牌的手机掉落两次后恰有1个品牌的手机屏幕仍未碎掉，求该品牌手机是甲的概率. 18．（本题17分）某服装厂为了解消费者对鲜艳色和基础色衣服的喜好是否与年龄有关，随机选取了部分消费者进行调查研究，得到如下列联表： 年龄 喜好 合计 喜欢鲜艳色衣服 喜欢基础色衣服 小于50岁 75 50 125 不小于50岁 25 50 75 合计 100 100 200 (1)根据小概率值的独立性检验，分析消费者对鲜艳色和基础色衣服的喜好是否与年龄有关？ (2)从样本中小于50岁的125名消费者中按照分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求在这2人中至少有1人喜欢鲜艳色衣服的条件下，2人都喜欢鲜艳色衣服的概率． 附：，． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 19．（本题17分）已知函数，． (1)若，求的极值； (2)若有两个极值点，，当时，证明：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《山东省泰安市泰山区2026年高二下学期期末模拟练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D A B D C D AB AC 题号 11 答案 BCD 1．C 【分析】由交集的概念即可求解. 【详解】已知集合，，则. 故选：C. 2．D 【分析】 由题意得到，从而得到，计算方差得到，再计算即可. 【详解】由题知： . 所以， 所以. 故选：D 3．D 【分析】利用指对数运算性质计算，结合分段函数求值即可. 【详解】由题意得： ， 故选：D. 4．A 【分析】先根据原经验回归方程和求出原样本数据的，再计算去除两个样本点后的和，最后根据经验回归方程的性质求出新的经验回归方程. 【详解】因为经验回归方程为，， 所以. 原样本有10个数据点，， 则. 去除两个样本点后，样本有8个数据点，且， 所以新样本的 因为新的经验回归直线的斜率不变，则设新的经验回归方程为， 将代入方程得， 所以新的经验回归方程为. 故选：A. 5．B 【分析】先判断函数的单调性，然后根据零点存在性定理判断. 【详解】函数定义域为，函数在单调递减， 由，；； ，又，所以； ，又，所以； . 所以，所以函数的零点所在的一个区间为. 故选：B 6．D 【分析】根据正态分布的性质求解. 【详解】由已知， 故选：D. 7．C 【分析】分类讨论甲分得几本科技书，结合组合数运算求解即可. 【详解】因为不分给甲漫画书，则有： 若甲分得1本科技书，则不同的分配方案共有种； 若甲分得2本科技书，则不同的分配方案共有种； 综上所述：不同的分配方案共有种. 故选：C. 8．D 【分析】令，结合题意可得是奇函数，是偶函数，在上单调递增，从而在上单调递减，又，可得，不等式即，即可求解． 【详解】令，则， ∵当时，，且， ∴当时，，即在上单调递增， 由， 得， 则，即，则是奇函数， 设，则， 因为， 所以 是常数，得， 因此，即，故是偶函数. ∵在上单调递增，∴在上单调递减， 因为，所以， ∴当时，；当时，；当时，， 又，所以即，则或， 所以不等式的解集为． 故选：D． 9．AB 【分析】令 ，即可判断 ；利用二项式展开得通项，结合乘法得分配律即可判断 ；分别令 和 即可判断 ；令 即可判断 . 【详解】对于 ，令 ，则 ，故 正确； 对于B， 先将展开，其通项公式为， 展开式中的系数为展开式中的系数与的系数之和， ，故B正确； 对于 ，令 ，则 ， 令 ，则 ， 则 ， 故 错误； 对于 ，令 ，则 ， 所以，D错误. 故选： AB 10．AC 【分析】对于A，由一元线性回归模型的知识即可判断正误；对于B，先求出随机变量的方差，由方差的性质可知正误；对于C，由百分位数的算法即可算得；对于D，容易计算得出平均数不变，而方差会变，可判断正误. 【详解】对于A，由一元线性回归模型的知识可知，决定系数越大，表示残差平方和越小， 即模型的拟合效果越好，也即残差平方和越大的模型拟合的效果越不好，故A正确； 对于B，因为随机变量服从二项分布， 由二项分布的方差计算公式可知， 再由方差的性质可知，故B错误； 对于C，从小到大排列一共有7个数据，， 故第80百分位数是第6个数据，即21，故C正确； 对于D，由题意可知，若再插入一个数， 则平均数为，即平均数不变， 而原来的数据的方差为， 可算得新数据的方差为， 所以方差会变，故D错误； 故选：AC 11．BCD 【分析】对于A，根据函数式，通过计算得可判断B正确； 对于B，利用导数得函数的单调性结合函数的对称性求得可判断A不正确； 对于C，先求得，再求导，得，经验证得到，可判断C正确； 对于D，令，由，确定，方程的只有一个根且由在上的单调性得，再由方程有4个不相等的实数根.得到方程有4个不相等的实数根，判断D正确. 【详解】对于B，由得，，故B正确； 对于A，，定义域为. 当时，，， 令，得；令，得； 所以在上单调递减，在上单调递增. 由B知，的图象关于对称， 所以在上单调递增，在上单调递减. .故A不正确； 对于C，， 当时，， 当时，，， 所以， 当时，， 当时，， 所以是奇函数，图象关于原点对称.故C正确； 对于D，由A知，的图象关于对称， 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且. 令，则，由，得,， 根据的对称性和单调性知，方程，只有一个实数根且 由在上单调递增，，所以 而方程有4个不相等的实数根. 所以方程有4个不相等的实数根.故D正确. 故选：BCD. 12． 【分析】求出导函数，根据导数的几何意义得出切线的斜率，代入点斜式方程，即可求出切线方程. 【详解】由可得，∴. ∵. 所以曲线在处的切线方程为， 即. 故答案为：. 13． 【分析】求出展开式中和的系数，然后由多项式乘法得结论． 【详解】展开式的通项公式为，所以所求的系数为. 故答案为：. 14．90 【分析】根据题意，前3次有两次是不合格品，一次是合格品，由分步计数原理得到所求结果. 【详解】有8只不同的试验产品，其中有3只不合格品，第4次抽到不合格品， 前3次有两次是不合格品，一次是合格品共有种可能， 前3次测试中的顺序有种可能， 由分步计数原理即得共有种可能. 故答案为：90 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二项式系数以及等差数列的定义可得出关于的方程，结合且可解得的值； （2）利用二项式系数的增减性可知二项式系数最大的项为第项或第项，再结合二项展开式通项可求得结果； （3）利用二项展开式通项可知，展开式中的有理项为项，再结合插空法与古典概型的概率公式可求得所求事件的概率； 【详解】（1）由题意得，，即， 因为且，整理得，解得. （2）二项展开式共项，二项式系数最大的项为第项或第项， 二项式系数最大的项为，. （3）展开式共有项，展开式的通项公式为， 当为整数，即时为有理项，即有理项共项， 由插空法得有理项不相邻的概率为. 16．(1)或. (2). 【分析】（1）解指数方程结合指数函数值域计算求解； （2）先把存在问题转化为指数不等式恒成立，结合指数函数值域计算求解. 【详解】（1）当时，， 令，则即，， 解得或，即或， 解得或. （2）设在上的值域为A，在上的值域为B，则， 因为，所以，当且仅当即时等号成立， 所以， 因为，所以对恒成立， 即对恒成立， 令，则，， 当时，， 所以. 17．(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式及互斥事件的概率公式列式计算. （2）求出的可能值，再求出各个值对应的概率，列出分布列. （3）利用条件概率公式求解. 【详解】（1）设事件D表示“3个品牌的手机中至少有2个品牌第一次掉落屏幕未碎掉”， 则. （2）依题意，随机变量X的取值集合为， 设事件A表示“甲品牌的手机掉落两次后屏幕仍未碎掉”， 事件B表示“乙品牌的手机掉落两次后屏幕仍未碎掉”， 事件C表示“丙品牌的手机掉落两次后屏幕仍未碎掉”， 则，，， 因此，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 （3）设事件E表示“3个品牌的手机掉落两次后恰有1个品牌的手机屏幕仍未碎掉”， 事件F表示“3个品牌的手机掉落两次后恰有甲品牌的手机屏幕仍未碎掉”， 由（2）知，，， 所以已知3个品牌的手机掉落两次后恰有1个品牌的手机屏幕仍未碎掉， 该品牌手机是甲的概率为. 18．(1)答案见解析； (2) 【分析】（1）计算出，与临界值比较可得； （2）确定喜欢鲜艳色衣服的人数以及喜欢基础色衣服的人数，然后用条件概率公式计算. 【详解】（1）， 所以根据小概率值的独立性检验， 有99.9%的把握认为消费者对鲜艳色和基础色衣服的喜好与年龄有关. （2）小于50岁的125名消费者中喜欢鲜艳色衣服的人数和喜欢基础色衣服的人数比为， 因此抽取的5人中，喜欢鲜艳色衣服的人数为3，编号为，喜欢基础色衣服的人数为2，编号为， 从5人抽取2人的样本点为：共10个， 这2人中至少有1人喜欢鲜艳色衣服的样本点有共9个，概率为， 2人都喜欢鲜艳色衣服的样本点有：共3个，概率为． 所以在这2人中至少有1人喜欢鲜艳色衣服的条件下，2人都喜欢鲜艳色衣服的概率为. 19．(1)的极小值是，无极大值； (2)证明见解析. 【分析】（1）求导数，确定单调性后得极值； （2）求出，得出是方程的两个相异正根，且，由确定，求出，并把参数都用表示，然后利用导数求得新函数的最小值，从而证出. 【详解】（1）由题意的定义域为， 且， 因为恒成立， 所以在上单调递增， 又，所以时，，时，， 即在上递减，在上递增， 所以的极小值是，无极大值； （2）的定义域为， ， 因为是的两个极值点， 所以是方程的两个相异正根，且， 由得， ， 令， 则， 所以在上单调递减，故， 即. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的极值点问题，解题关键是利用极值点的定义确定极值点是一个方程的解，从而利用韦达定理把极值点与参数联系起来，然后把进行消元，变为的函数. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $