精品解析：广东河源市龙川第一实验学校2025-2026学年下学期期中考试八年级数学

025-2026年度龙川第一实验学校期中 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共4页，23小题，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题．（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子：①；②；③；④其中一元一次不等式的个数为（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 龟峰塔（如图）位于广东省河源市源城区，因其建在龟峰山上而得名．该塔历来被列为“河源八景”之首，又享有“东江第一塔”美誉，为广东首批公布重点保护文物之一．该塔高米，从上面看该塔，得到的平面图形是六边形，六边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 4. 已知不等式的解集是，则满足的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，是边上的中线，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 李华大扫除时，要挪动墙角的储物柜，挪动过程示意图如图所示，其中，，将储物柜沿着墙向右平移到的位置，已知，则储物柜扫过的区域（四边形）的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 若，，则下列判断错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 把等腰直角按如图所示的方式折叠，已知，则下列说法：①平分；②是等腰三角形；③；④的周长等于的长．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 二、填空题．（每题3分，共15分） 11. 如图，一次函数的图象经过点，，则关于x的不等式的解集为__________． 12. 将一副三角尺按如图①所示位置摆放，，，三点共线，，，将三角尺绕点逆时针旋转到如图②的位置，此时，则三角尺旋转的度数是___________． 13. 将含角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，若，点，表示的刻度分别为，，则的周长为___________． 14. 《周髀算经》记载并证明了勾股定理．如图，在中，，分别以的三条边，，为边向外作等边三角形，面积分别记为，，，已知，则__________． 15. 定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以是不等式组的“关联方程”，若关于的方程是不等式组的“关联方程”，则的取值范围是____________． 三、解答题（一）．（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在网格格点上，绕原点逆时针旋转的图形为． （1）画出，并写出点的坐标； （2）将先向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，画出平移后的． 18. 如图，已知． （1）尺规作图：作的平分线，交于点D；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，作交的延长线于点E．求证：是等腰三角形． 四、解答题（二）．（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在中，，，直线是线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接，若，求的长． 20. 已知关于的不等式组无解，求的取值范围． 21. 话剧是以对话方式为主的戏剧形式，主要叙述手段为演员在台上无伴奏的对白或独白．某剧院上映话剧《雷雨》，设置两种票价，甲种票每张50元，乙种票每张80元． （1）某校话剧社团共52人去该剧院看话剧《雷雨》，购票共花费3500元，求购买甲、乙两种票各多少张？ （2）该剧院场馆共有500个座位，在每场票售罄的前提下，要使该话剧每场售票总金额不低于35000元，则甲种票所对应的座位最多可设置多少个？ 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 【阅读理解】 小明在课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫作绝对值不等式，求绝对值不等式的解集．小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出恰好是3时的值，并在数轴上表示为点，如图所示． 观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于3；点，之间的点（不包括点，）表示的数的绝对值小于3；点右边的点表示的数的绝对值大于3． 因此，小明得出结论：绝对值不等式的解集为或． 【迁移应用】 （1）的解集是________，的解集是_________； （2）求绝对值不等式的解集； （3）直接写出不等式的解集． 23. 综合与探究 问题情境：数学活动课上，同学们以两张直角三角形纸片为背景进行探究性活动．在中，，，中，，，．将其按如图1位置摆放，使点在同一直线上，点与点重合，． 初步分析：（1）如图1，直接写出线段，线段的长； 操作探究：（2）如图2，将从图1位置开始，绕点F顺时针旋转得到，点的对应点为点，点的对应点为点，当线段经过点时，连接，判断的形状，并说明理由； （3）如图3，将从图1位置开始沿射线方向平移，平移过程中，始终保持，当为直角三角形时，直接写出平移的距离．（分母中可以保留根号） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 025-2026年度龙川第一实验学校期中 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共4页，23小题，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题．（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 2. 下列式子：①；②；③；④其中一元一次不等式的个数为（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数次数是1，用不等号连接的整式不等式，逐一判断各式即可． 【详解】解：①，不含未知数，不是一元一次不等式； ②，含有一个未知数 ，未知数次数为1，是一元一次不等式； ③，含有一个未知数 ，未知数次数为1，是一元一次不等式； ④，是等式，不是不等式， 综上，一元一次不等式有②③，共2个． 3. 龟峰塔（如图）位于广东省河源市源城区，因其建在龟峰山上而得名．该塔历来被列为“河源八景”之首，又享有“东江第一塔”美誉，为广东首批公布重点保护文物之一．该塔高米，从上面看该塔，得到的平面图形是六边形，六边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角和，利用正多边形的内角和公式（其中 为多边形的边数，且为大于等于 3 的整数）计算即可．‌‌ 【详解】解：正六边形的内角和为：． 4. 已知不等式的解集是，则满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，不等式两边同时除以同一个负数时，不等号方向改变，根据解集的不等号方向判断系数的正负即可求解． 【详解】解：∵ 不等式 的解集是，不等号方向发生改变． ∴ 根据不等式的基本性质，可得系数． 解得． 5. 如图，在中，，是边上的中线，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等腰三角形“三线合一”的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴． 6. 若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解关于的一元一次方程，得到用含的式子表示，再根据“解是非负数”列出关于的不等式，求解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：解方程 ， 移项得：， 合并同类项：， 系数化为 1：， 方程的解是非负数， ， 即， 解得：． 7. 如图，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴和均为直角三角形， ∵在和中， ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 8. 李华大扫除时，要挪动墙角的储物柜，挪动过程示意图如图所示，其中，，将储物柜沿着墙向右平移到的位置，已知，则储物柜扫过的区域（四边形）的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用等腰直角三角形的性质，确定了两条直角边的长度．再根据平移的性质，得出了梯形的上底和下底长度．最后直接套用梯形面积公式，计算出最终结果． 【详解】解：，， 是等腰直角三角形， 平移得到，平移距离， ，， ∴四边形是直角梯形，上底，下底，高， ． 9. 若，，则下列判断错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质．先求得，得到，解得，再分别求得、和的取值范围即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，解得； ∴，则， 即； ∵，， ∴， ∴，即； ∵，， ∴， ∴，即， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D． 10. 把等腰直角按如图所示的方式折叠，已知，则下列说法：①平分；②是等腰三角形；③；④的周长等于的长．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查折叠问题、等腰三角形的判定与性质和勾股定理，由于，所以，两次折叠后，有许多相等的量，利用这些条件结合勾股定理可得出正确答案． 【详解】解：∵等腰直角中，∵， ∴， ∵折叠 ∴，，，，，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形 中，， ∴， ∴， ∴ ∴，， 的周长等于； ∵， ∴不平分， ∴①，③错误，②④正确， 故选：C． 二、填空题．（每题3分，共15分） 11. 如图，一次函数的图象经过点，，则关于x的不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由一次函数的图象经过，以及y随x的增大而减小，可得关于x的不等式的解集． 【详解】解：由图象可知y随x的增大而减小， ∵一次函数的图象经过， ∴关于x的不等式的解集是． 12. 将一副三角尺按如图①所示位置摆放，，，三点共线，，，将三角尺绕点逆时针旋转到如图②的位置，此时，则三角尺旋转的度数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】在图②中，根据平行线的性质可得，对比图①中的角度，即可求解． 【详解】解：在图②中， ∴ 在图①中， ∴旋转的度数是 13. 将含角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，若，点，表示的刻度分别为，，则的周长为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据题意得出，证明，则是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴是等边三角形 ∵点，表示的刻度分别为，， ∴ ∴的周长为． 14. 《周髀算经》记载并证明了勾股定理．如图，在中，，分别以的三条边，，为边向外作等边三角形，面积分别记为，，，已知，则__________． 【答案】6 【解析】 【分析】过点D作于E，求出得到，同理可得：，继而推导出，得到，则，解得或（不符合题意，舍去），即可解答． 【详解】解：如图，过点D作于E， ∴， ∵等边三角形， ∴， ∴ ∴ ∴ 同理可得：， ∵， ∴， 即， ∵在中，， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）． 15. 定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以是不等式组的“关联方程”，若关于的方程是不等式组的“关联方程”，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出给定一元一次方程的解，再解一元一次不等式组得到解集，根据“关联方程”的定义，使方程的解落在不等式组的解集范围内，构造关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：解方程得． 解不等式得， 解不等式得， 因此不等式组的解集为． 因为是该不等式组的“关联方程”， 所以方程的解在不等式组的解集范围内， 可得， 解得． 三、解答题（一）．（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】， 【解析】 【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在网格格点上，绕原点逆时针旋转的图形为． （1）画出，并写出点的坐标； （2）将先向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，画出平移后的． 【答案】（1）见解析； （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质画出，进而根据坐标系写出点的坐标； （2）根据平移的性质画出． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求， ， 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求 18. 如图，已知． （1）尺规作图：作的平分线，交于点D；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，作交的延长线于点E．求证：是等腰三角形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据尺规作图-角平分线的作法作图即可； （2）先推导出，得到，证明出，则是等腰三角形，即可解答． 【小问1详解】 解：如图①，即为所求； 【小问2详解】 证明：如图②， 由（1）知，平分， ， ∵， ， ， ， 是等腰三角形． 四、解答题（二）．（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在中，，，直线是线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接，若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到，进而得到，再由勾股定理解答即可． 【详解】解：垂直平分， ， ， ， ， ， ， ． 20. 已知关于的不等式组无解，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 该不等式组无解， ， 解得：． 21. 话剧是以对话方式为主的戏剧形式，主要叙述手段为演员在台上无伴奏的对白或独白．某剧院上映话剧《雷雨》，设置两种票价，甲种票每张50元，乙种票每张80元． （1）某校话剧社团共52人去该剧院看话剧《雷雨》，购票共花费3500元，求购买甲、乙两种票各多少张？ （2）该剧院场馆共有500个座位，在每场票售罄的前提下，要使该话剧每场售票总金额不低于35000元，则甲种票所对应的座位最多可设置多少个？ 【答案】（1）购买甲种票22张，购买乙种票30张 （2）166个 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，找出题目中的数量关系列出方程和不等式是解答本题的关键． （1）设购买甲种票x张，购买乙种票y张，根据共52人和共花费3500元列方程组求解即可； （2）设甲种票所对应的座位设置a个，则乙种票所对应的座位设置个，根据每场售票总金额不低于35000元列不等式求解即可． 【小问1详解】 设购买甲种票x张，购买乙种票y张， 根据题意，得， 解得， 答：购买甲种票22张，购买乙种票30张； 【小问2详解】 设甲种票所对应的座位设置a个，则乙种票所对应的座位设置个， 根据题意，得， 解得， ∵a为整数， ∴甲种票所对应的座位最多可设置166个， 答：甲种票所对应的座位最多可设置166个． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 【阅读理解】 小明在课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫作绝对值不等式，求绝对值不等式的解集．小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出恰好是3时的值，并在数轴上表示为点，如图所示． 观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于3；点，之间的点（不包括点，）表示的数的绝对值小于3；点右边的点表示的数的绝对值大于3． 因此，小明得出结论：绝对值不等式的解集为或． 【迁移应用】 （1）的解集是________，的解集是_________； （2）求绝对值不等式的解集； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1）或， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）仿照题干的解法解得即可； （2）原式变形为，再仿照题干的解法解得即可； （3）原式变形为 ，再仿照题干的解法解得即可． 【小问1详解】 解：令，解得：， 画数轴如下： ； 点A的左边的点表示的数和点B的右边的点表示的数的绝对值大于4，点A和点B之间的点表示的数的绝对值小于4， ∴的解集为或； 令，解得：， 画数轴如下： ； 点A的左边的点表示的数和点B的右边的点表示的数的绝对值大于3，点A和点B之间的点表示的数的绝对值小于3， ∴的解集为； 【小问2详解】 解：， ∴， 令， ∴， 解得：或1； 画出数轴如下： 点A的左边的点表示的数和点B的右边的点表示的数到的绝对值大于4，点A和点B之间的点表示的数到的绝对值小于4， ∴的解集为； 【小问3详解】 解：， ∴， ∴ ， 令 ，解得：， 画数轴如下： ； 点A的左边的点表示的数和点B的右边的点表示的数的绝对值大于15，点A和点B之间的点表示的数的绝对值小于15， ∴ 的解集为或， 即的解集为或． 23. 综合与探究 问题情境：数学活动课上，同学们以两张直角三角形纸片为背景进行探究性活动．在中，，，中，，，．将其按如图1位置摆放，使点在同一直线上，点与点重合，． 初步分析：（1）如图1，直接写出线段，线段的长； 操作探究：（2）如图2，将从图1位置开始，绕点F顺时针旋转得到，点的对应点为点，点的对应点为点，当线段经过点时，连接，判断的形状，并说明理由； （3）如图3，将从图1位置开始沿射线方向平移，平移过程中，始终保持，当为直角三角形时，直接写出平移的距离．（分母中可以保留根号） 【答案】（1）， （2）是等边三角形，理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理得到，，，，由此即可求解； （2）根据旋转得到，，，当线段经过点时，，得到，则，由此得到，且，结合等边三角形的判定即可求解； （3）如图所示，将从图1位置开始沿射线方向平移得到，平移过程中，始终保持，过点作的平行线，可得在平移过程中，点在上运动，即即为平移距离，分类讨论：当时，是直角三角形（点与平移前的点对应，点与平移前的点对应），即；如图所示，当时，是直角三角形（点与平移前的点对应，点与平移前的点对应），即，过点作于点；数学结合分析即可求解． 【详解】解：（1）在中，， ∴， ∴， ∵点与点重合，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）是等边三角形，理由如下， 如图所示，设交于点， ∵将从图1位置开始，绕点F顺时针旋转得到， ∴，，， 当线段经过点时，， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴是等边三角形； （3）如图所示，将从图1位置开始沿射线方向平移得到，平移过程中，始终保持，过点作的平行线， ∴，， ∴，即， ∴在平移过程中，点在上运动，即即为平移距离， 当时，是直角三角形（点与平移前的点对应，点与平移前的点对应），即， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 由（1）可得，， ∴， ∴， ∴平移距离为； 如图所示，当时，是直角三角形（点与平移前的点对应，点与平移前的点对应），即，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴，是等腰直角三角形， ∴，即， 解得，， ∴， 在中，， ∴， ∴平移距离为； 综上所述，平移距离为或． 【点睛】本题主要考查三角板中角度的计算，勾股定理，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，图形平移的性质等知识的综合，掌握图形变换的性质，数形结合分析，分类讨论思想是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $